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Full text of "Lehrbuch der Mineralogie"

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343 


LEHRBUCH 

DER 


MINERALOGIE 


■  MAX  BAUER. 


ZWEITE, 
VÖLLIG  NEUBEARBEITETE  AUFLAGE. 


MIT  670  nOUREN. 


STUTTGART. 

E.  SCHWEIZERBART'SCBE  VERLAOSHANDLUNQ  (E.  NÄGELE). 

1904. 


Zur  Beachtung. 


Verfasser  und  Verleger  behalten  »ich  alle  Rechte  vor. 


Vorrede  zur  ersten  Auflage. 


i 
L 


Das  vorliegende  Lehrbuch  soll  dazu  dienen,  den  Leser  in  das 
wissenschaftliche  Studium  der  Mineralogie  nach  ihrem  neuesten  Stand- 
punkt einzuführen.  Dasselbe  kann  zum  Studium  neben  einer  minera- 
logischen Vorlesung  benutzt  werden,  aber  auch  ohne  eine  solche  zum 
Selbststudium,  wobei  allerdings  vorausgesetzt  werden  muß,  daß  eine, 
wenngleich  nicht  notwendig  umfangreiche,  Sammlung  der  wichtigsten 
^  Mineralien,  Krystallmodelle,  Präparate  und  Instrumente  zur  Verfügung 

^  steht,  ohne  deren  sachgemäße  Benutzung  ein  tieferes  Eindringen  in 

^  die  Mineralogie  unmöglich  ist. 

Dem  Zweck  des  Buches  entsprechend  ist  der  allgemeine  und  ein- 
leitende Teil  desselben  ziemlich  ausfuhrlich  behandelt. 

Zunächst  sind  darin  die  Lehren  der  Erystallographie  eingehend 
dargestellt  Der  Verfasser  hat  sich  dabei  nicht  auf  eine  Beschreibung 
der  Krystallformen  beschränkt,  sondern  er  hat  sich  bemüht,  den  Leser 
zu  einem  wirklichen  Verständnis  derselben  gelangen  zu  lassen,  soweit 
dies  ohne  umfangreiche  mathematische  Behandlung  möglich  ist. 

Den  physikalischen  ^Eigenschaften  der  Mineralien  wird  heutzutage 
eine  ganz  besondere  Wichtigkeit  beigelegt.  In  dem  Abschnitt  über 
Mineralphysik  wurde  im  allgemeinen  die  Kenntnis  der  Physik,  soweit 
sie  etwa  in  einer  guten  Universitätsvorlesung  über  Experimental- 
physik dem  Zuhörer  übermittelt  wird,  als  bekannt  vorausgesetzt. 
Nur  diejenigen  physikalischen  Lehren  sind  etwas  ausführlicher  be- 
handelt worden,  welche  für  die  speziellen  Zwecke  der  Mineralogie 
besondere  Bedeutung  haben  und  welche  zuweilen  in  den  Lehrbüchern 
der  Physik  nicht  in  der  für  den  Mineralogen  wünschenswerten  Aus- 
führlichkeit dargestellt  werden,  wie  z.  B.  die  Farbenerscheinungen 
in  den  Erystallen  im  polarisierten  Licht  etc.  Als  bekannt  voraus- 
zusetzende Gegenstände  wurden  nur  insoweit  kurz  berührt,  daß  der 
ganze  Abschnitt  über  Mineralphysik  an  einem  fortlaufenden  Faden 
dargestellt  werden  konnte.  Größere  theoretische  Ausführungen,  wie 
z.  B.  die  Erklärung  der  Interferenzerscheinungen  in  Krystallen  und 

1  ^>  ■:  o  '">  Q 


IV  Vorrede. 

ähnliches  wurde  vermieden.  In  bezug  hierauf  und  überhaupt  in  bezug 
auf  die  einschlägigen  physikalischen  Lehren  sei  auf  die  ausfuhrlicheren 
Lehr-  und  Handbücher  der  Physik  verwiesen. 

In  dem  Abschnitt  über  Mineralchemie  wurden  die  Lehren  der 
Chemie,  besonders  der  unorganischen  als  bekannt  vorausgesetzt  und 
es  wurde  im  allgemeinen  Teil  hauptsächlich  nur  die  chemische  Zu- 
sammensetzung der  Mineralien  im  allgemeinen,  ihr  Verhalten  vor  dem 
Lötrohr,  sowie  gegen  Wasser,  Säuren  und  andere  Lösungsmittel,  end- 
lich namentlich  die  Lehren  des  Isomorphismus  und  Dimorphismus  ein- 
gehender behandelt.  Die  Zusammensetzung  der  Mineralien  wurde 
durch  die  empirischen  Formeln,  sowie  nicht  selten  durch  die  älteren 
gruppierenden  Formeln  dargestellt.  Dabei  wurden  die  zwei  Metall- 
atome in  den  Sesquioxyden  (und  entsprechend  in  den  empirischen 
Formeln)  in  bekannter  Weise  mittels  durchstrichener  Buchstaben 
bezeichnet,  zur  leichteren  Unterscheidung  der  Metallatome  in  den 
Monoxyden  derselben  Metalle,  besonders  beim  Eisen. 

Bei  der  Betrachtung  der  chemischen  Verhältnisse  der  Mineralien 
im  allgemeinen  wurde  schließlich  auch  gebührende  Eücksicht  ge- 
nommen auf  die  Art  und  Weise,  wie  die  Mineralien  entstehen,  wie 
sie  unter  den  verschiedenartigen  von  außen  auf  sie  einwirkenden 
natürlichen  Einflüssen  umgewandelt  und  wie  sie  endlich  unter  Um- 
ständen auch  ganz  zerstört  werden,  um  anderen  Mineralien  zur  Ent- 
stehung Veranlassung  zu  geben.  Dabei  durfte  die  Art  und  Weise 
des  natürlichen  Vorkommens  der  Mineralien  in  der  Erdkruste  nicht 
übergangen  werden,  das  nicht  nur  an  sich  wichtig  und  interessant, 
sondern  auch  zur  Beurteilung  der  Entstehung  der  Mineralien  von 
größter  Bedeutung  ist.  Es  wurden  daher  in  dem  die  Mineralien  be- 
handelnden Abschnitt  des  einleitenden  Teiles  einige  Paragraphen  über 
die  allgemeinen  Verhältnisse  des  Vorkommens  der  Mineralien  ein- 
gefügt. 

In  allen  Abschnitten  wurde  die  Betrachtung  nach  Möglichkeit 
auf  das  Tatsächliche  und  das  Beobachtete  beschränkt  und  die  Herein- 
ziehung des  rein  Hypothetischen  tunlichst  vermieden. 

Die  weniger  wichtigen  Abschnitte  des  allgemeinen  Teils  sind  von 
den  wichtigeren  durch  kleineren  Druck  unterschieden ;  klein  gedruckt 
sind  auch  Beispiele  zu  allgemeineren  Sätzen,  längere  Beschreibungen 
von  Instrumenten  und  ähnliches.  Der  Anfönger  wird  sich  zunächst 
mit  dem  genaueren  Studium  des  Großgedi'uckten  begnügen  können. 
Im  speziellen  Teil  sind  die  Beschreibungen  der  wichtigen  und  häufigen 
Mineralien  groß,  die  der  unwichtigeren  und  selteneren  ebenfalls  klein 
gedruckt.  Der  Anfänger  kann  die  letzteren  überschlagen.  Eine  An- 
zahl solcher  unwichtigen  Mineralien  ist  nur  mit  wenigen  Worten  im 
Text  erwähnt,  eine  Anzahl  anderer  ist  wenigstens  in  dem  ausführlich 


Vorrede.  V 

gehaltenen  alphabetischen  Mineralverzeichnis  am  Schluß  mit  einem 
kurzen  erläuternden  Zusatz  aufgeführt.  Das  Buch  kann  daher  auch 
bis  zu  einem  gewissen  Grade  als  Nachschlagebuch  benutzt  werden. 

Die  Mineralien  organischen  Ursprungs  sind  mehr  anhangsweise 
und  auch  kurz  behandelt,  sowie  durchaus  mit  kleinen  Lettern  gedruckt 
Daß  der  Bernstein  etwas  ausführlicher  beschrieben  worden  ist,  wird 
in  einem  Buche,  das  zum  allergrößten  Teil  in  der  Hauptstadt  des 
Bemsteinlandes,  in  Königsberg  i/Pr.,  entstanden  ist,  nicht  auffallend 
erscheinen. 

Das  Register  zerfallt  in  zwei  getrennte  Hälften,  eine  für  die 
allgemeinen  einleitenden  Abschnitte  und  eine  zweite,  ein  Mineralien- 
register, für  den  speziellen,  beschreibenden  Teil  des  Buches. 

Im  §  3  findet  man  eine  Übersicht  über  die  wichtigsten  selb- 
ständig erschienenen  Werke  der  mineralogischen  Literatur.  Dieselben 
sind  nach  Fächern  und  innerhalb  jedes  Faches  chronologisch  geordnet. 
Es  wurde  dabei  bis  zum  Anfang  dieses  Jahrhunderts  zurückgegangen. 
Absolute  Vollständigkeit  wurde  nicht  erstrebt.  Ebensowenig  ist  dies 
der  Fall  mit  den  Literaturnachweisen,  namentlich  aus  Zeitschriften, 
welche  den  einzelnen  Paragraphen  und  Mineralbeschreibungen  an- 
gehängt sind.  Bezüglich  dieser  war  anfänglich  größere  Vollständig- 
keit geplant  und  auch  z.  T.  ausgeführt  Die  Durchfuhrung  dieser 
Absicht  hätte  aber  zu  viel  Raum  beansprucht,  und  so  fand  später 
eine  Beschränkung  auf  das  Wichtigste  statt  Infolge  davon  sind  die 
Literaturangaben  bei  den  einzelnen  Paragraphen  und  Mineralien  etwas 
ungleichförmig,  die  größere  Ausführlichkeit  in  einzelnen  Punkten  wird 
aber  dem  Buch  wohl  nicht  zum  Schaden  gereichen.  Im  allgemeinen 
ist  das  Prinzip  verfolgt,  daß  aus  der  zitierten  Literatur  jedes  Gregen- 
standes  die  andere  nicht  zitierte  möglichst  vollständig  ersehen  werden 
kann ;  zu  diesem  Zweck  sind  mehrfach  an  sich  unbedeutende  Arbeiten 
angeffthrt  worden,  wenn  in  ihnen  die  ältere  Literatur  in  hervor- 
ragender Weise  berücksichtigt  worden  ist  Aus  den  Literaturangaben 
sind  auch  die  Namen  derjenigen  Forscher  zu  entnehmen,  welche  sich 
mit  den  betreffenden  Gegenständen  vorzugsweise  eingehend  beschäftigt 
haben.  Im  Texte  selbst  sind  deren  Namen  nur  ausnahmsweise  ge- 
nannt 

Die  588  Figuren  sind  mit  geringen  Ausnahmen  neu  konstruiert; 
nur  eine  kleine  Zahl  ist  aus  anderen  Werken  kopiert,  so  z.  B.  die 
Abbildungen  einiger  Instrumente  aus  dem:  „Bericht  über  die  wissen- 
schaftlichen Instrumente  auf  der  Berliner  Oewerbeausstellung  im 
Jahi-e  1879". 

Die  sehr  mühsame  Korrektur  ist  mit  der  dankenswerten  Unter- 
stützung des  Herrn  Dr.  R.  Brauns  hier  ausgeführt  worden,  welcher 
auch  das  Register  für  den  allgemeinen  Teil  angefertigt  hat    Einige 


VI  Vorrede. 

stehengebliebene  sinnstörende  Druckfehler  wolle  man  vor  der  Be- 
nutzung des  Buches  verbessern. 

Die  Fertigstellung  des  Buches  hat,  durch  mannigfache  Hinder- 
nisse unterbrochen,  sehr  lange  Zeit  in  Anspruch  genommen.  Es 
konnten  daher  manche  wichtige  in  den  letzten  Jahren  erschienene 
Arbeiten  teils  gar  nicht  mehr,  teils  nur  in  ungenügender  Weise  bei 
der  Korrektur  benutzt  werden. 

Möge  es  dem  Verfasser  trotzdem  gelungen  sein,  ein  Werk  zu 
schaffen,  welches  den  eingangs  angegebenen  Zweck  zu  erfüllen  im 
Stande  ist. 

Besonderen  Dank  würde  derselbe  denjenigen  Fachgenossen  ent- 
gegenbringen, welche  ihn  auf  die  beim  Gebrauche  des  Buchs  sich 
ergebenden  Mängel  und  Irrtümer  aufmerksam  machen  wollten. 


Marburg,  Neujahr  1886. 


Max  Bauer. 


Vorrede  zur  zweiten  Auflage. 


Daß  diese  zweite  Auflage  yollkommen  nenbearbeitet  werden 
mnßte,  geht  ohne  weiteres  aus  der  langen  Zeit  hervor,  die  seit  dem 
Erscheinen  der  ersten  Auflage  verflossen  ist.  Zweck  und  Anlage  des 
Buches  sind  die  gleichen  geblieben,  aber  der  Umfang  ist  gewachsen, 
stärker  als  dem  Verfasser  lieb  ist.  In  völlig  neuem  Gewände  er- 
scheint die  Erystallographie,  die  ganz  den  jetzigen  Anschauungen 
gemäß  in  einer  für  Anfänger  möglichst  geeigneten,  anschaulichen 
Weise  entwickelt  ist.  Ein  erheblicher  Teil  des  Zuwachses  beruht 
hierauf,  außerdem  auf  einer  beträchtlichen  Steigerung  der  Figuren- 
zahl und  endlich  auf  einem  größeren  und  weiteren  und  infolgedessen 
viel  übersichtlicheren  Druck,  sowie  darauf,  daß  der  Text  durchweg 
in  ausfuhrlichen  Sätzen  mit  fast  gänzlicher  Vermeidung  abkürzender 
Zeichen  dargestellt  wurde.  Größere  Übersichtlichkeit  wurde  dabei 
namentlich  dadurch  erzielt,  daß  auch  die  Beschreibung  der  mit  kleinen 
Lettern  dargestellten,  weniger  wichtigen  Mineralien  fast  durchweg 
mit  einer  neuen  Zeile  beginnt.  Außerdem  wurden  die  verbreiteteren 
unter  diesen  dadurch  hervorgehoben,  daß  ihre  Namen  wie  bei  den 
großgedruckten  Mineralien  für  sich  auf  einer  Zeile  stehen.  Der  in 
dieser  zweiten  Auflage  enthaltene  Lehrstoff  ist  demnach  keineswegs 
in  dem  Maße  angeschwollen,  als  es  die  erhöhte  Seitenzahl  vielleicht 
vermuten  lassen  könnte.  Doch  ist  jeder  größeren  Mineralgruppe  eine 
ausführlichere  Einleitung  vorangesteUt,  was  wohl  ebenfalls  den  Über- 
blick erleichtert  und  die  Darstellung  einheitlicher  gestaltet. 

Den  Herren  Professor  C.  Busz  in  Münster,  sowie  Dr.  A.  Schwantke 
und  Fr.  Otto  Groos  hier  bin  ich  fttr  Beihilfe  bei  der  mühsamen  Korrektur, 
den  Herren  R.  Brauns  in  Gießen,  H.  Rosenbusch  in  Heidelberg  und 
G.  Tschermak  in  Wien  für  die  Erlaubnis  zur  Benutzung  einiger  Ab- 
bildungen aus  ihren  bekannten  Werken  zum  Danke  verpflichtet. 


Marburg,  Herbst  1903. 


Max  Bauer. 


Inhaltsübersicht. 


flinleitniiif.    1.  Mineralien.    2.  Mineralogie.    3.  Literatur. 

Allgemeiner  Teil. 

I.  Abschnitt.    firystallogTaplile. 

A.  Be^ir  des  KrystallB. 

4.  KrjBtallisiert,  amorph.    5.  Individnnm.    6.  Krystall,  derb. 

B.  Begr^^ninnST^^l^m^nte. 

a)  Flächen.  7.  Flächenparallelismus.  8.  Flächenbeschaffeuheit.  9.  Einfache 
Erystallformen,  Kombinationen.    10.  Offene,  g^eschlossene  Formen. 

b)  Kanten.  11.  Allgemeines.  12.  Flächenwinkel.  13.  Anlegegoniometer. 
14.  Seüexionsgoniometer  (Prinzip).  16.  Wollastonsches  Goniometer.  16.  Go- 
niometer mit  horizontalem  Kreis.  17.  Theodolithgoniometer.  18.  Gleiche 
Kanten. 

c)  Ecken.    19.  Ecken. 

C.  Gesetxey  nach  denen  die  Begreniunggelemente  der  Krystalle 

angeordnet  sind. 

a)  Gesetz  der  Winkelkonstanz  nud  der  Flächengrnppiernng. 
20.  Winkelkonstanz.  21.  Winkel  yerschiedener  Substanzen.  22.  Konstanz 
der  Flächengruppiemng.  28.  Parallelyerschiebnng  der  Flächen.  24.  Ideale 
Krystallfonneu. 

b)  Gesetz  der  rationalen  Kantenschnitte.  25.  Kantenschnitte. 
26.  Rationale  Kantenschnitte.  27.  Andere  Fassung  des  Gesetzes  der  ratio- 
nalen Kantenschnitte.  28.  Mögliche  Krystallflächen.  Krystallreihe.  29.  Bei- 
spiel. 30.  Achsen.  31.  Parameter.  Flächenansdmck.  32.  Achsenlängen, 
Ableitnngszahlen.  33.  Wahl  der  Achsen.  34.  Gesetz  der  rationalen  Achsen- 
schnitte. 36.  Spezielle  Betrachtang  der  ableitnngszahlen.  36.  Spe- 
zielle Flächenansdrttcke.  37.  Parallele  Gegenflächen.  38.  Achsensystem. 
39.  Weiss'sche  Flächenbezeichnnng.  40.  Indices.  41.  Miller'sche  Flächen- 
bezeichnung. 42.  Umwandlung  Weiss^scher  Symbole  in  MiUer^sche  und  um- 
gekehrt.   43.  Beispiel. 

c)  Zonenge  setz.  44.  Zone.  46.  Ausdruck  der  Zone.  46.  Zonengleichung. 
47.  Fläche  in  zwei  Zonen.  48.  Deduktion.  49.  Zonengesetz.  60.  Beispiele. 
61.  Praktischer  Wert  der  Zonen. 


X  Inhaltsübersicht. 

d)  Sjmmetrieverhältnisse.  52. Symmetrie.  53. Symmetrieebeuen.  54. Bei- 
spiele. 55.  Symmetrieachsen.  56.  Beispiele.  57.  Symmetriezentnim.  58.  Grad 
der  Symmetrie.  59.  Krystallklassen.  60,  61.  Beziehung  der  Symmetrie  zum 
Eanteuschnittgesetz.  62.  32  Krystallklassen.  63.  Holoedrie.  Meroedrie. 
Hemiedrie.  64.  Korrelate  hemiedrische  Flächen.  65.  Charakter  der  Hemi- 
edrie.  66.  Kongruente  und  enantiomorphe  Hemieder.  67.  Tetartoedrie. 
Ogdoedrie.  68.  Hemimorphismus.  69.  Symmetrie  hemiedrischer  Formen. 
70.  Haüy'sches  Symmetriegesetz.  71.  Symmetrieverhältnisse  der  hemiedri- 
schen  Formen  nach  dem  Haüy^sche  Symmetriesatz.  72.  Symmetrieverhält- 
nisse der  tetartoedrischen  Formen.  73.  (besetz  der  Hemiedrie  etc.  74.  Ab- 
leitung mehrerer  hemiedrischer  Formen  aus  derselben  vollflächigen.  75. 
Hemiedrie  ohne  Formveränderung.  76.  Auftreten  derselben  Formen  in 
mehreren  Krystallklassen.  77.  Holoedrische  und  hemiedrische  Krystallklassen. 
78.  Krystallsysteme.  79.  Übersicht  tlber  die  Krystallsysteme.  80.  Grenz- 
formen. 81.  Übersicht  über  die  32  Krystallklassen.  82.  Krystallographische 
Achsen.  83.  Voll-  und  teilflächige  Krystallformen  an  den  Achsen.  84.  Ab- 
leitung der  krystallographischen  Achsensysteme.  85.  Krystallographische 
Achsensysteme  für  die  einzelnen  Krystallsysteme.  86.  Achsenelemente. 
87.  Oktanten,  Dodekanten.    88.  Gruppierung  der  Flächen  um  die  Achsen. 

89.  Ableitung  der  einfachen  Formen  aus  den  krystallographischen  Achsen. 

90.  Beispiele.  91.  Gleichliegende,  gleichnamige  Flächen.  92.  Kombinationen. 
93.  Modifikationen  der  Kanten  und  Ecken.  94.  Gesetz  der  Kombinations- 
bildung. 95.  Symmetrieverhältnisse  der  Kombinationen.  96.  Bildung  der 
Kombinationen.  97.  Beispiele.  98.  Haüyscbes  Symmetriegesetz  bei  der 
Kombinationsbildung.  99.  Beispiele.  100.  Ableitung  der  Kombinationen 
nach  dem  Haüy^schen  Symmetriegesetz.  Beispiele.  101.  Umkehrung  des 
HaÜyVhen  Symmetriesatzes. 

D.  KrystaHsysteme. 

102—112.  Reguläres  System.  113-130.  Hexagonales  System.  131—137.  Qua- 
dratisches System.  138—143.  Bhombisches  System.  144—150.  Monokliues  System. 
151—153.  Triklines  System. 

E.  Gesetzm&ßige  Yerwaehsang  der  Krystalle. 

154.  Parallel  Verwachsung.  155—170.  ZwiUiugsverwachsung.  171.  Mimesie. 
172.  Nachahmende  G^estalten.   173.  Verwachsung  ungleichartiger  Krystalle. 

F.  Beschaffenheit  und  Ausbildiuig  der  Krystalle. 

174.  Habitus.  175.  Krystallflächen.  176.  Vicinale  Flächen.  177.  KrysUll- 
skelette.  178.  Krystallschalen.  179.  Sanduhrstruktur.  180—183.  Einschlüsse.  184.  Aus- 
bildung der  Krystalle.  185.  Eingewachsene  Krystalle.  186.  Aufgewachsene  Krystalle. 
187.  Derbe  Aggregate.    188.  Formen  der  amorphen  Mineralien. 

U.  Abschnitt.    Mineralphysik. 

189.  Hauptgesetz  der  Krystallphysik.  190.  Spezifisches  Gewicht.  191.  Kohäsion. 
192.  Elastizität.  193.  Bruch  194.  Blätterbruch.  195.  Gleitflächen.  196.  Kömerprobe. 
197.  Härte.  198.  Zersprengbarkeit.  199.  Tenazität.  200.  Atzfiguren.  200  a.  Ver- 
witterung. Verstäubung.  201.  Isotrop.  Anisotrop.  202.  Welle.  Strahl.  203—211. 
Isotrope  Medien,  und  zwar:  203.  Fortpflanzungsgeschwindigkeit.  204.  B>eflexion. 
205.  Refraktion.  206.  Dispersion.  207.  Polarisation.  208.  Planparallele  Platte. 
209.  Prisma.  210.  Totalreflexion.   211.  Brechungskoeffizienten.   212—214.  Anisotrope 


Inhaltsttbersicht.  XI 

Medien,  und  zwar:  212.  Schwingnng^richtnngen.  213.  Doppelbrechung.  214.  Op- 
tische Achsen.  215 — 220.  Einachsige  ErystaUe:  216.  Allgemeine  Eigenschaften. 
216.  WeUenfläche  (Strahlenfläche).  217.  Charakter  der  Doppelbrechung.  218.  Doppel- 
brechung im  Kalkspat.  219.  Nicoisches  Prisma.  Turmalinplatte.  220.  Brechungs- 
koeffizienten. 221—229.  Zweiachsige  Erystalle :  221.  ElastizitätseUipsoid.  222.  Schwin- 
gungsrichtungen.  223.  Wellenfläche.  224.  Optische  Achsen.  225.  Achsenwinkel. 
226.  Dispersion  der  optischen  Achsen.  227.  Dispersion  der  Elastizitätsachseu.  228. 
Optische  Konstanten.  229.  Brechungskoeffizienteu.  230—236.  Polarisationsinstm- 
mente :  230.  Zweck  des  Polarisationsinstruments.  231.  Polarisation  für  konvergentes 
Licht.  232.  Polarisationsinstrument  für  paralleles  Licht.  233.  Wirkung  des  Polari- 
sationsinstruments. 234.  Auslöschungsschiefe.  235.  Stauroskop.  236.  Mikroskop  mit 
Polarisation.  237—254.  Verhalten  der  Mineralien  im  Polarisationsinstrument :  237.  Iso- 
trope Mineralien.  238—254.  Anisotrope  Mineralien :  238.  Erscheinungen  im  Polarisatious- 
instrument  für  paralleles  Licht.  239.  Interferenzfarben.  240.  Quarzkeil.  241.  Kompen- 
sation. 242.  Bestimmung  der  Interferenzfarbeu.  243.  Unterscheidung  der  beiden 
Schwingungsrichtungen  in  der  Platte.  244 — ^248.  Einachsige  Krystalle.  249—254.  Zwei- 
achsige Krystalle.  255.  Einfluß  der  Temperatur  auf  die  optischen  Eigenschaften. 
256.  ZwUlinge.  257.  Optische  Anomalien.  258.  Glanz.  259.  Pelluzidität.  260.  Farbe. 
261.  Strich.  262.  Pleochroismus.  263.  Phosphoreszenz.  Fluoreszenz.  264.  Besondere 
Farbenerscheinungen.  265.  Thermische  Eigenschaften.  266.  Wärmestrahlung. 
267.  Wärmeleitung.  268.  Ausdehnung.  269.  Änderung  des  Aggregatzustandes. 
270.  Elektrizität.    Pyroelektrizität.    271.  Thermoelektrizität.    272.  Magnetismus. 

IIL  Almehnltt.    Mineralchemle. 

273.  Zusammensetzung.  274.  Analyse.  275.  Wassergehalt.  276.  Chemische 
Charakteristik.  277.  Verhalten  vor  dem  Lötrohr.  278,  279.  Mikrochemische  Analyse. 
280.  Verhalten  gegen  Lösungsmittel.  281.  Beziehung  zwischen  chemischer  Zusammen- 
setzung und  Krystallform.  282.  Polymorphismus.  283.  Isomorphismus.  284.  Chemi- 
sches Verhalten  isomorpher  Körper.  285.  Krystallographisches  Verhalten  isomorpher 
Korper.  286.  Physikalisches  Verhalten  isomorpher  Körper.  287.  Isodimorphismus. 
288.  Isomorphe  Fortwachsung.  289.  Isomorphe  Mischungen.  290.  Krystallographisches 
und  physikalisches  Verhalten  isomorpher  Mischungen. 

IT.  Abselmltt.    Torkommen,  Entstehung  nnd  XJmwandlang 

der  Mineralien. 

291.  Entstehung  der  Mineralien.  292.  Verbreitung  der  Mineralien.  293.  Vor- 
kommen der  Mineralien.  294.  Gesteinsbestandteüe.  295.  Struktur  der  G^teine. 
296.  Lagerung  der  Gesteine.  297.  Material  nnd  Entstehung  der  Gesteine.  298.  Trttm- 
mergesteine.  299.  Mineralien  auf  Hohlräumen.  300.  Mineralien  auf  geschlossenen 
Hohlräumen.  301.  Mineralien  auf  Spalten.  302.  Kontaktbildungen.  303.  Paragenesis. 
304.  Mineralbildungsprozesse.  305.  Abscheidung  aus  Wasser.  306.  Organische  Mine- 
ralbildungen. 307.  Erstarrung  aus  dem  Schmelzfluß.  308.  Sublimation.  309.  Um- 
wandlung der  Mineralien.  310.  Beispiele  für  Umwandlungsprozesse.  311.  Pseudo- 
morphosen.    312,  pag.  409.  Intemationale  Atomgewichte  von  1903. 

Spezieller  Teil. 

313.  Mineralspezies.    314.  Varietät.    315.  Mineralsystem. 

Sodann  folgt  die  Beschreibung  der  einzelnen  Mineralspezies  und  zwar  in  der 
folgenden  Anordnung: 


Xn  Inhaltflttberfioht. 

1.  SJiaMe.    Elemente,  a)  Metalloide pag.  416 

b)  Metalle „423 

2.  „         Haloidverbindungen,  a)  Einfache „     433 

b)  Zusammengesetzte „     442 

3.  ,,         Schwefelverbiudnngen,  a)  Einfache „     448 

b)  Zusammengesetzte  ....  „     484 

4.  „         Oxyde,  a)  Wasserfreie „     606 

b)  Hydroxyde  und  Hydrate „     561 

5.  „         Borate,  a)  Wasserfreie „     573 

b)  Wasserhaltige „     576 

6.  „         Karbonate  und  Nitrate,  a)  Wasserfreie „     577 

b)  Wasserhaltige »604 

7.  „         Silikate,  pag.  608,  a)  Wasserfreie ,    .  „     609 

b)  Wasserhaltige »773 

8.  „         Titanate,  Zirkoniate,  Thorate  und  Stannate     .    .  „     792 

9.  „         Tantalate  und  Niobate „     797 

10.  „         Phosphate,  Arseniate,  Antimoniate,  Yanadinate, 

a)  Wasserfreie „     800 

b)  Wasserhaltige »812 

11.  „         Wolframiate  und  Molybdate „     828 

12.  „         Chromate,  Tellurate  und  Jodate „     834 

13.  „         Sulfate,  a)  Wasserfreie »835 

b)  Wasserhaltige »848 

14.  „         Mineralsubstanzen  organischen  Ursprungs   ...  „     870 


Register  zum  allgemeinen  Teil „     883 

Register  zum  speziellen  Teil „     895 


Einleitung. 


1.  Mineralien.  Mineralogie  oder  OryUognosie  ist  derj^ige  Teil  der 
Naturgeschichte,  der  sich  mit  der  wissenschaftlichen  Erforschung  der 
Mineralien  nach  allen  ihren  Eigenschaften  und  Beziehungen  beschäftigt 

Mineralien  sind  die  homogenen,  starren  oder  tropfbarflüssigen  un- 
oi^nischen  Naturprodukte  von  bestimmter,  durch  eine  Formel  aus- 
drfickbarer  chemischer  Konstitution,  welche  die  feste  Kruste  der  Erde 
und  anderer  Himmelskörper  zusammensetzen. 

Alle  Mineralien  sind  homogen,  d.  h.  durch  und  durch  gleichartig,  so  daO  ein 
Teilchen  ganz  genau  ehenso  beschaffen  ist,  wie  jedes  andere  Teilchen  desselben 
Stücks.  Dadurch  unterscheiden  sich  die  Mineralien  u.  a.  von  gewissen  in  der  festen 
Erdkruste  in  großer  Ausdehnung  und  großen  Quantitäten  an  vielen  Orten  in  ganz 
gleicher  Weise  yorkonmienden  Massen,  wie  Granit,  Gneis  etc.,  welche  als  Gebirg»- 
arten  oder  Gesteine  nicht  der  Mineralogie,  sondern  der  Fetrographie  angehören.  Es 
sind  dies  Mineralgemenge,  deren  einzelne  Bestandteile  homogen  sind  und  Gegen- 
stftnde  der  Mineralogie  bilden. 

Die  aUerm  eisten  Mineralien  sind  fest,  nur  Quecksilber,  Wasser  und  Petroleum 
sind  flüssig. 

Die  Mineralien  sind  femer  unorganisch,  d.h.  nicht  durch  den  Lebensprozeß 
von  Pflanzen  xind  Tieren  gebildet,  und  stehen  insofern  jenen  organischen,  aus 
ZeUen  zusammengesetzten  Naturk($rpern  gegenüber,  welche  letztere  oder  ihre  Be- 
standteile selbst  dann  nicht  zu  den  Gegenständen  der  Mineralogie  gehören,  wenn 
sie  im  sog.  fossilen  oder  yersteinerten  Zustande  sich  als  Versteinerungen,  Fossilien 
oder  Petrefakten  in  der  Erdkruste  finden.  So  sind  also  namentlich  Muschelschalen, 
Korallenstücke  und  ähnliches,  sodann  aber  auch  die  im  Tier-  und  Pflanzenkörper 
vielfach  gebildeten  Erystalle  etc.  vom  Mineralreich  ausgeschlossen.  Dasselbe  ist  streng 
genommen  mit  den  fossilen  Kohlen  der  Fall  (Stein-  und  Braunkohlen  etc.,  welche  über- 
dies auch  weit  davon  entfernt  sind,  homogen  zu  sein),  mit  Harzen,  wie  Bernstein,  und 
mit  ähnlichem,  weil  alle  diese  Körper  organischen  Ursprungs  sind,  mehr  oder 
weniger  weit  vorgeschrittene  Umwandlungsstadien  von  Pflanzenmassen  verschiedener 
Art  Aber  einem  alten  Gebrauch  zufolge  werden  diese  letzteren  Substanzen  trotzdem 
in  der  Mineralogie  mit  behandelt. 

Nur  solche  Substanzen  heißen  Mineralien,  die  eine  bestimmte  und  feste,  durch 
eine  Formel  darstellbare  chemische  Konstitution  besitzen.  Es  sind  die  in  der 
Natur  vorkommenden  Elemente  und  deren  chemische  Verbindungen.  Im  Gegensatz 
hierzu  gibt  es  eine  Anzahl  sonst  wie  Mineralien  sich  verhaltender  Körper,  glas- 
artig erstarrte  Gesteinsmassen,  wie  Obsidian,  Pechstein  etc.,  die  aber  eine  schwan- 
kende Zusammensetzung  haben  und  daher  nicht  zu  den  Mineralien  zählen.  Sie 
gehören  zu  den  Objekten  der  Petrographie. 

Die  Mineralien,  als  auf  vollkommen  natürlichem  Weg  ohne  Zutun  des  Menschen 
Baaer,  Mineralogie.  ^ 


2  Mineralien.    Mineralogie. 

entstandene  sog.  Naturprodukte,  stehen  den  sog.  Knnstprodukten  der  chemischen 
Fabriken  nnd  Laboratorien  gegenüber,  zu  deren  Entstehung  der  Mensch  Veran- 
lassung gegeben  hat,  z.  B.  EiseuTitriol,  Alaun  etc.  In  allen  Eigenschaften  der 
Homogenität,  der  konstanten  chemischen  Zusammensetzung  und  der  unorganischen 
Struktur  und  Entstehung  stimmen  diese  künstlich  dargestellten  Körper  mit  den 
Mineralien  durchaus  überein,  aber  die  Mineralien  haben  gerade  wegen  ihrer  vom 
Menschen  ganz  unabhängigen  Entstehung  in  der  festen  Erdkruste,  welche  von  ihnen 
zum  größten  Teil  zusammengesetzt  wird,  eine  selbständige  eigentümliche  Be- 
deutung, und  es  ist  daher  geboten,  sie  als  die  Grundbestandteile  der  Erdkruste  für 
sich  und  abgesondert  Ton  den  künstlich  dargestellten  Substanzen  zu  betrachten. 

Stücke  anderer  Himmelskörper  gelangen  zuweilen  als  sog.  Meteoriten  auf  die 
Erde.  Sie  werden  von  Minerdien  gebildet,  die  zum  größten  Teil  mit  irdischen 
völlig  identisch,  zum  Teil  allerdings  auch  von  allen  solchen  verschieden,  jedoch  in 
sämtlichen  wesentlichen  Beziehungen  mit  ihnen  analog  sind. 

2.  Mineralogie.  Die  wissenschaftliche  Untersuchung  und  Be- 
schreibung der  Mineralien  bildet  das  Gebiet  der  Mineralogie.  Sie  hat 
sich  mit  allen  Eigenschaften,  mit  dem  Gesamtverhalten  der  Mineral - 
körper,  zu  beschäftigen. 

Das  erste,  was  sich  hierbei  darbietet,  ist  die  chemische  Zusammen- 
setzimg. Man  muß  vor  allem  wissen,  was  ein  vorliegendes  Mineral 
in  stoflElicher  Beziehung  ist,  ehe  man  zur  Erforschung  weiterer  Eigen- 
schaften übergehen  kann.  Die  Chemie  ist  also  eine  erste  wichtige 
Hilfswissenschaft  für  die  Mineralogie.  Sie  ermittelt  auch  zugleich 
das  Verhalten  der  Mineralien  gegen  Säuren  und  Basen,  gegen  Wasser, 
Sauerstoff,  Kohlensäure  und  andere  Agentien,  spielt  bei  der  Frage 
nach  der  Entstehung  der  Mineralien  eine  wesentliche  Bolle  und  dient 
neben  den  anderen  Eigenschaften  bei  der  Erkennung  und  Bestimmung 
der  Mineralspecies  als  ein  wichtiges  Hilfsmittel. 

Das  zweite  ist  die  Erforschung  der  Krystallform^  die  Kenntnis 
der  regelmäßig  polyedrischen  Begrenzung,  welche  die  meisten  Mine- 
ralien zeigen,  und  welche  einmal  an  sich,  sodann  aber  auch  in  ihren 
wichtigen  Beziehungen  zur  chemischen  Zusammensetzung  untersucht 
wird  (Isomorphismus,  Dimorphismus).  Die  Kryställographie  ist  also  eine 
zweite  wichtige  Hilfswissenschaft. 

Sodann  sind  die  physikalischen  Eigenschaften  der  Mineralien  ins 
Auge  zu  fassen,  das  Verhalten  derselben  gegen  Wärme,  Elektrizität, 
Magnetismus,  die  Verhältnisse  der  Kohäsion,  der  Elastizität,  der  Härte 
u.  s.  w.,  das  spezifische  Gewicht  und  vor  allem  ihr  Verhalten  gegen 
das  Licht,  alles  dies  sowohl  an  sich,  als  auch  in  Beziehung  zu  der 
Krystallform  und  zu  der  chemischen  Zusammensetzung.  Diese  Unter- 
suchungen setzen  als  Hilfswissenschaft  die  Physik  voraus. 

Auf  Grund  der  chemischen,  krystallographischen  und  physikalischen 
Eigenschaften  werden  die  Mineralien  sodann  in  ein  System  gebracht, 
das  eine  möglichst  leichte  und  bequeme  Übersicht  über  das  Gesamt- 
gebiet zum  Zwecke  hat. 


Mineralogie.    Literatur.  3 

Da  die  Mineralien  Teile  der  festen  Erdkruste  sind,  so  ist  femer 
.von  wesentlichstem  Interesse  die  Kenntnis  ihres  Vorkommens  in  der- 
selben, der  Art  und  Weise,  wie  sie  mit  anderen  Mineralien  zusammen 
den  Aufbau  der  Erdkruste  bewirken,  wie  sie  in  ilir  entstanden  sind, 
wie  sie  sich  unter  dem  Einfluß  der  in  der  Erde  stets  wirksamen 
chemischen  und  physikalischen  Kräfte  verhalten,  wie  sie  durch  diese 
umgeändert  und  häufig  ganz  zerstört  werden  und  wie  sie  dabei 
zur  Bildung  neuer  Mineralien  Veranlassung  geben.  In  diesen  Fragen 
steht  die  Mineralogie  zur  Geologie  in  einer  nahen  Beziehung,  so  daß 
beide  sich  vielfach  gegenseitig  als  Stutze  und  Ergänzung  dienen. 
Sie  ist  in  diesem  Sinne  nichts  anderes  als  der  unorganische  Teil 
der  Geologie. 

Nach  allem  dem  kann  man  also  schließlich  die  Aufgabe  der  Mine- 
ralogie zusammenfassen  als  die  Anwendung  der  Lehren  der  Chemie, 
Krystallographie  und  Physik  auf  die  Kenntnis  der  Mineralien  unter 
gleichzeitiger  besonderer  Berücksichtigung  der  Art  und  Weise  ihres 
Vorkommens  in  der  Natur,  ihres  Anteils  an  dem  Aufbau  der  festen 
Erdkruste,  ihrer  Entstehung,  ihrer  Umwandlung  und  ihres  Vergehens 
unter  dem  Einfluß  der  in  der  Erde  stets  wirksamen  chemischen  und 
physikalischen  Kräfte. 

Manchmal  werden  die  Mineralien  anch  nnr  als  die  auf  natürlichem  Wege  ent- 
standenen chemischen  Substanzen  aufgefaßt.  Man  sieht  von  ihrem  Vorkommen  in 
der  festen  Erdkruste  und  Ton  ihrer  Bedeutung  als  Bausteine  derselben  gänzlich  ab 
und  betrachtet  sie,  im  Verein  mit  den  ja  in  allen  wesentlichen  Eigenschaften  mit 
ihnen  analogen  künstlichen  Substanzen  der  chemischen  Laboratorien  und  Fabriken, 
nur  hinsichtlich  ihres  chemischen,  krystaUographischen  und  physikalischen  Verhaltens. 
Diese  Zusammenfassung  ist  vom  chemischen,  krystallographischen  und  physikalischen 
Standpunkte  aus  yöllig  berechtigt,  es  ist  aber  nicht  das,  was  von  alters  her  stets 
als  Mineralogie  bezeichnet  worden  ist.  Man  hat  dafür  in  neuerer  Zeit  den  Namen 
Anorganoffraphie  eingeführt. 

3.  Literatur.  Im  folgenden  ist  eine  Anzahl  von  selbständig 
erschienenen  Werken  angegeben,  die  für  die  Entwicklung  unserer 
Wissenschaft  von  Bedeutung  gewesen  sind,  geordnet  nach  den  ver- 
schiedenen Zweigen  der  Mineralogie  und  weiterhin  nach  den  Jahren 
ihres  Erscheinens.  Literaturangaben  für  die  einzelnen  speziellen 
Gegenstände,  auch  solche  aus  Zeitschriften,  finden  sich  an  den  be- 
treffenden Stellen  im  Tezt 

A.  Lehr-  und  Handbüoher  der  llüneralogie. 

1794.    Widenmaiin«    Handbuch  des  oryktognostischen  Theils  der  Mineralogie. 
1801—05.    Beuss.    Lehrbuch  der  Mineralogie.    3  Bde. 

1811 — 17.    Hoftatann»   Handbuch  der  Mineralogie  (beendigt  Ton  Breithaupt).  4  Bde. 
1811—24.    Steffens.  Vollständiges  Handbuch  der  Oryktognosie.  4  Bde.  u.  1  Supplement. 
1820.    Jameson«    A  System  of  mineralogy.    3  Bde.    3.  Aufl. 
1822.    Hafty.    Trait^  de  min6ralogie.    2.  Aufl.    4  Bde. 
—     CleTeland.    Treatise  on  mineralogy  and  geology.    2  Bde. 

1* 


4  Literatur. 

1822—24.    Mohs.    Gmndriss  der  Mineralogie.    2  Bde. 

1826.    Von  Haidillger  mit  ZoBätzen  fibersetzt  unter  dem  Titel :  Treatise  of  mineralogy. 

1826.    C.  C.  T.  Leonliard.    Handbuch  der  Oryktognosie.    2.  Anfl, 

1828.  Hanmann.    Lehrbuch  der  Mineralogie.    1  Bd.  mit  Atlas. 

—  Hartraann.    Handwörterbuch  der  Mineralogie  und  Geologie. 
1828—47.    HanBmaim.    Vollständiges  Handbuch  der  Mineralogie.    2  Theüe. 

1829.  Haidinger.    Anfangsgründe  der  Mineralogie. 
1830—31.    T.  Kobell.    Charakteristik  der  Mineralien.    2  Theile. 
1830—32.    Bendant.    Trait6  616mentaire  de  min6ralogie.    2.  Aufl.    2  Theile. 

1831.  €(locker.    Handbuch  der  Mineralogie.    2.  Aufl. 

1832.  Breithanpt.    Vollständige  Charakteristik  des  Mineralsystems.    3.  Aufl. 

1834.  Allan«    Manuel  of  mineralogy. 

1835.  Necker.    Le  r^gne  min6rale.    2  Bde. 

1836.  Thomson«    Outlines  of  mineralogy,  geology  and  mineral  analyses.    2  Bde. 
1886 — 39.    Moh«.    Leichtfassliche  Anfangsgründe  der  Naturgeschichte  des  Mineral- 
reichs.   2.  Aufl.    2  Bde.    (Der  2.  Bd.  bearbeitet  von  Zippe.) 

1836—47.    Breithanpt.    Vollständiges  Handbuch  der  Mineralogie.    3  Bde. 

1838.  T.  Kobell.    Grundzüge  der  Mineralogie. 

1839.  Olocker.    Orundrisa  der  Mineralogie. 

1842.  Fnehs,  Joh.  Nep«,  Naturgeschichte  des  Mineralreichs. 

1843.  Hartmann.    Handbuch  der  Mineralogie.    2  Bde.  mit  Nachtrag.    1860. 
1849.    Niool.    Manuel  of  mineralogy. 

1861.  Haidinger.    Handbuch  der  bestimmenden  Mineralogie.    2.  Aufl. 

1862.  Phillips.    Elementary  introduction  in  mineralogy.    Neue  (5.)  Aufl.    Heraus- 
gegeben von  Brooke  und  Miller. 

1862—67.    Shepard.    Treatise  on  mineralogy.    2.  Bde.    3.  Aufl. 

1866.    Erdmann.    Lärobok  i  Mineralogien. 

1866—69.    DnMnoy.    Trait6  de  min^ralogie.    4  Bde.  mit  Atlas.    2.  Aufl. 

1868—60.    Deiafosse.    Nouveau  cours  de  min6ralogie.    2  Bde.  und  Atlas. 

1869.    Zippe.    Lehrbuch  der  Mineralogie  mit  naturhistorischer  Grundlage. 

1860.    Gm  Leonhard.    Grundzüge  der  Mineralogie.    2.  Aufl. 

—  Pfair.    Grundriss  der  Mineralogie. 
1862.    Oirard.    Handbuch  der  Mineralogie. 

1862—93.    Des  Cloizeanx.    Traitd  de  nün^ralogie.    2  Bde.    Unvollständig. 

1864.    Andrft.    Lehrbuch  der  gesammten  Mineralogie. 

1869.    Senft.    Lehrbuch  der  Mineralien-  und  Felsartenkunde. 

1873—76.    Bombicei.    Corso  di  mineralogia.    2.  Aufl.    2  Bde. 

1874.    Blnm.    Lehrbuch  der  Mineralogie.    4.  Aufl. 

1876.    Senft.    Mineralogie  (Leunis,  Synopsis  der  drei  Naturreiche.    2.  Aufl.    3.  Bd. 

1.  Abthlg.;  1.  Aufl.  von  Fr.  Ad.  Eoemer). 
1876.    Pisani.    Trait^  ^lementaire  de  min^ralogie. 
1876.    !Knop.    System  der  Anorganographie. 
1880.    Kenngott.    Lehrbuch  der  Mineralogie.    6.  Aufl. 
1883—86.    Kenngott,  t.  Lasaulx  und  Bolle.     Handwörterbuch  der  Mineralogie, 

Geologie  und  Paläontologie.    3  Bde. 
1884.    Banmlianer.    Kurzes  Lehrbuch  der  Mineralogie. 

—  Banerman.    Textbook  of  descriptive  mineralogy. 

1889.    Hintze.    Handbuch  der  Mineralogie.    2  Bde.    (Noch  nicht  Tollständig.) 

—  Banmbaner.    Das  Beich  der  Krystalle. 

1892.    Dana.    A  System  of  mineralogy.    6.  Aufl.    Mit  einem  Appendix  1899. 

1896.  Dana.    Minerals  and  how  to  study  them. 

1897.  Tschermak.    Lehrbuch  der  Mineralogie.    6.  Aufl. 


Literatur.  5 

1896.    DftBm*    A  textbook  of  mineralogy.    Nene  Auflage. 

—  HomBteiii*    Kleines  Lehrbuch  der  Mineralogie.    5.  Anfl. 

1899.    T*  Kobell.  Lehrbuch  der  Mineralogie  in  leicht  faBslicher  Darstellong.  6.  Anfl. 
bearbeitet  von  Oebbeke  nnd  Weinschenk. 

1899.  de  Lapparent.    Conrs  de  min^ralogie.    3.  Anfl. 

1900.  KloeknuMtn«    Lehrbuch  der  Mineralogie.    2.  Aufl. 

—  Itenard  und  Stdber.    Notions  de  min^ralogie. 

—  Moses  und  Parsons*    Elements  of  mineralogy,  crystallography  and  blowpipe 
analysis  from  a  practical  Standpoint    Neue  Auflage. 

—  d^Aelüardi«    Guida  al  corso  di  mineralogia.    (1.  Theil.) 

1901.  Naumann-Zirkel.    Elemente  der  Mineralogie.    14.  Aufl. 

1902.  Mienu    Mineralogy,  an  introduction  to  the  scientiflc  study  of  minerals. 

B.  Krystallographie  und  Physik  der  llüneralien. 

1772.  Bom^  de  Plsle«    Essai  de  cristallographie. 

1774.  A.  G»  Werner«    Von  den  äusserlichen  EennsEeichen  der  Fossilien. 

1783.  Bom6  de  Plsle.    Gristollographie.    4  Bde. 

1822.  Hafty.    Traite  de  cristallographie.    2  Bde. 

1823.  NeuBiaDiu    Beiträge  zur  Erystallonomie. 

—  Kupffer.    Preisschrift  über  genaue  Messung  der  Winkel  der  Krystalle. 
1825.  Naumann«    Orundriss  der  Krystallographie. 

1829.  Orassmann«    Zur  physischen  Erystallonomie  und  geometrischen  Combinations- 
lehre. 

1830.  Naumann«    Lehrbuch  der  reinen  und  angewandten  Erystallographie.    2  Bde. 

1831.  Kupffer«    Handbuch  der  rechnenden  Erystallonomie. 

—  Hessel«     Erystallometrie  oder  Erystallonomie  und  Erystallographie.     (Aus 
Gehlen^s  phys.  Handwörterbuch,  auch  Ostwald's  Classiker  Nr.  88.  89.) 

1835.    Frankenheim«    Lehre  von  der  Cohftsion. 

1839.  Miller«   A  treatise  on  crystallography.  (Uebersetzt  und  bearbeitet  von  Grailich. 
1856.) 

1840.  Quenstedt«    Methode  der  Erystallographie. 
1842.    Frankenheim«    System  der  Erystalle. 

1846.  Kenngott«    Lehrbuch  der  reinen  Erystallographie. 

1851.  Schröder«    Elemente  der  rechnenden  Erystallographie. 

1862.  Sammeisberg«    Lehrbuch  der  Erystallkunde. 

1853.  Pfair«    Gnindriss  der  mathematischen  Verhältnisse  der  Erystalle. 

1854.  Naumann«    Anfangsgründe  der  Erystallographie.    2.  Aufl. 

1855.  Kenngott«    Synonymik  der  Erystallogi*aphie. 

—  Schabus«    Bestimmung  der  Erystallgestalten  in  chemischen  Laboratorien  er- 
zeugter Producte. 

1856.  Grailleh,  vergl.  1839  MiUer« 

—  Naumann«    Elemente  der  theoretischen  Erystallographie. 

1857.  J«  Weisbach.    Das  axouometrische  Zeichnen. 

1858.  €(railich«    Erystallographisch-optische  Untersuchungen. 

1861.  Karsten«    Lehrbuch  der  Erystallographie. 

—  Bes  Cloiieaux«    Lebens  de  cristallographie. 

1862.  Kopp«    Einleitung  in  die  Erystallographie.    2.  Aufl. 

1863.  Miller«    A  tract  on  crystallography  (übersetzt  Ton  Jörres,  1864). 

1865.  T.  Kokaeharow«    Vorlesungen  über  Mineralogie.    (Allgemeiner  Theil.) 
1865—78.    Schranf«    Atlas  der  Erystallformen  des  Mineralreiches.    Unvollständig. 

1866.  T«  T«  Lang«    Lehrbuch  der  Erystallographie. 

—  Brarais«    Etudes  cristallographiques. 


6  Literatur. 

1866 — 68.    Schrauf«    Lehrbuch  der  physikalischen  Mineralogie.    2  Bde. 

1867.  €(•  Werner.    Leitfaden  zum  Studium  der  Erystallographie. 

—  Knop«    Molekularconstitution  und  Wachsthum  der  Erjstalle. 

—  Des  Cloizeaux.    Nouvelles  recherches  sur  les  propri6t48  optiques  des  cristaux. 
1869.    Frankenheim«    Zur  Erystallkunde.    I.  Charakteristik  der  Krystalle. 

1871.    Oadolin«    Memoire  sur  la  d6duction  d'un  seul  principe  de  tous  les  syst^es 

crystallographiques  et  de  leurs  subdivisions  (Ostwald,  Classiker  Nro.  7ö). 
1873.    Qnenstedt«    Grundriss  der  bestimmenden  und  rechnenden  Erystallographie. 

—  0.  Böse.    Elemente  der  Erystallographie.    3.  Aufl.  bearbeitet  von  Sadebeck. 
1876.    Sadebeck«    Angewandte  Erystallographie.    (2.  Bd.  zu  G.  Böse,  Elemente.) 

—  Klein«    Einleitung  in  die  Erystallbereohnung. 

1879 — 84.    Mallard.    Trait6  de  cristallographie  g§ometrique  et  physique.    2  Bde. 

—  Sohnke*    Entwickelung  einer  Theorie  der  Erystallstructur. 
1881.    Liebisoh*    Geometrische  Erystallographie. 

—  Bauerman.    Textbook  of  systematic  mineralogy. 

1883.    Bammelsberg.    Elemente  der  Erystallographie  für  Chemiker. 

—  Brezina.    Methodik  der  Erystallbestimmung. 

1886.  Henrich.    Lehrbuch  der  Erystallbereohnung. 

—  Websky.    Anwendung  der  Linearprojection  zur  Berechnung  der  Erystalle. 
(3.  Bd.  zu  G.  Rose,  Elemente  1873). 

1886—91.    Goldschmidt.    Index  der  Erystallformen  des  Mineralreichs.    3  Bde. 

1887.  KreJM.    Elemente  der  mathematischen  Erystallographie. 

—  C^oldschmidt.    Erystallographische  Projectionsbilder. 

1888.  Wyronboff.    Manuel  pratique  de  cristallographie. 
1888—89.    Lehmann.    Molekularphysik.    2  Bde. 

1890.  Williams.    Elements  of  crystallography. 

1891.  Liebisch.    Physikalische  Erystallographie. 

—  Schönfliess.    Erystallsysteme  und  Erystallstructur. 

1898.  Hecht*    Anleitung  zur  Erystallbereohnung. 

—  Soret.    Elements  de  cristallographie  physique. 

—  Friedel.    Cours  de  mineralogie.    I.  Mineralogie  g6n6rale. 
1896.    Groth.    Physikalische  Erystallographie.    3.  Aufl. 

—  Nies.    Allgemeine  Erystallbeschreibung  auf  Grund  einer  yereinfachten  Methode 
des  Erystallzeichnens. 

—  Story-Maskelyne.    Crystallography,  a  treatise  on  the  morphology  of  crystals. 

1896.  Linok.    Grundriss  der  Erystallographie. 

—  Yoigt.    Die  fundamentalen  physikalischen  Eigenschaften  der  Erystalle. 

—  Liebisoh.    Grundriss  der  physikalischen  Erystallographie. 

1897.  Goldschmidt.    Erystallographische  Winkeltabellen. 

1899.  Lewis.    A  treatise  on  crystallography. 

—  Moses.    The  characters  of  crystals. 

—  Leiss.    Die  optischen  Instrumente  der  Firma  B.  Fuess. 

1900.  Binne.    Das  Mikroskop  im  chemischen  Laboratorium. 
1902.    Bmhns.    Elemente  der  Erystallographie. 

C.  Mikroskopisches  Verhalten  der  Mineralien* 

1868.  Fischer.    Chronologische  Uebersicht  über  die  Einführung  des  Mikroskops  in 
die  Mineralogie. 

1869—76.  Fischer.  Eritische  mikroskopisch-mineralogische  Studien  mit  2  Fortsetzungen. 
1873.    Zirkel.    Die  mikroskopische  Beschaffenheit  der  Mineralien  und  Gesteine. 
1876.    Dölter.    Die  Bestimmung  der  petrographisch  wichtigeren  Mineralien  durch 
das  Mikroskop. 


Literatur.  7 

1879.    Fonqii^  und  Mlehel-L^Ty«    Mineralogie  micrographiqne. 

1881.    ZirkeL    Die  EinfUhrnng  des  Mikroskops  in  das  mineralogisch-geologische 

Studium. 
1881—83.    Cohen.    Sammlnng  von  Mikrophotographien  znr  Yeranschanlichnng  der 

mikroskopischen  Stmctnr   der  Mineralien  nnd  Gesteine   (später  eine  dritte, 

nnveränderte  Ausgabe). 
1888.    Tsohemak«    Die  mikroskopische  Beschaffenheit  der  Meteoriten. 

1885.  Hnssak*    Anleitung  znr  Bestimmung  der  gesteinsbüdenden  Mineralien. 

1888.  Bosenbnseh«    Hälfstabellen  zur  mikroskopischen  Mineralbestimmung. 

—  Mieliel-L^Ty  und  Laeroix*    Les  mineraux  des  roches. 

1889.  j9         99  99  Tableau  des  mineraux  des  roches. 

1892—96.    Bosenbaseh«    Mikroskopische  Physiographie  der  Mineralien  und  Gesteine. 

2  Bde.    3.  Aufl. 
1893—94.    ZirkeL    Lehrbuch  der  Petrographie.    2.  Aufl. 

1900.  Luquer«    Minerals  in  rock  sections. 

—  SehrOder  yan  der  Kolk.    Tabellen  zur  mikroskopischen  Bestimmung  der 
Mineralien  nach  ihren  Brechungscoefficienten. 

1901.  Welttgehenk.    Anleitung  zum  Gebrauch  des  Polarisationsmikroskops. 

—  99  Die  gesteinsbildenden  Mineralien. 

D.  Chemisohe  Verhältnisse  der  Mineralien. 

(Vergl.  auch  die  speziellen  chemischen  Werke  von  Berzelius,  Fresenius,  H.  Böse, 
Wähler,  Claus,  Bammelsbergi  de  Eoninck  etc.,  sowie  betre&  des  Lötrohrverhaltens  etc. 

Abt.  F.  dieses  Abschnittes.) 

1795—1805.  Haprotk.  Beiträge  zur  chemischen  Eenntniss  der  Mineralkörper.  6  Bde. 

1808—16.    John.    Chemische  Untersuchung  der  Mineralkörper. 

1822.    Stromejer.    Untersuchungen  über  die  Mischung  der  Mineralkörper. 

1841—53.  Bammelsberg.  Handwörterbuch  des  chemischen  Theils  der  Mineralogie 
mit  5  Supplementen. 

1843.  Belesse.  Thöse  sur  Temploi  de  l'analjse  chimique  dans  les  recherches 
de  min^ralogie. 

1854.    Yolger.    Studien  zur  Entwickelungsgeschichte  der  Mineralien. 

1861.    Wöhler.    Die  Mineralanalyse  in  Beispielen. 

1863—66.  Bisehof.  Lehrbuch  der  chemischen  und  physikalischen  Geologie.  2.  Aufl. 
mit  einem  Supplement  1871.    (1.  Aufl.  1847—54.) 

1873.    Snop.    Studien  über  Stoffwandlungen  im  Mineralreich. 

1875.  Bammelsberg.  Handbuch  der  Mineralchemie.  2.  Aufl.  Mit  2  Ergänzungs- 
heften 1886  und  1895. 

1875.  Hanshofer.  Die  Constitution  der  natürlichen  Silicate  nach  den  neuesten  An- 
sichten der  Chemie. 

1879—90.    Both.    Allgemeine  und  chemische  Geologie.    3  Bde. 

1886.  Bammelsberg.    Die  chemische  Natur  der  Mineralien. 
1888.    Fock«    Einleitung  in  die  chemische  Erystallographie. 

1890.  Bdlter.    Allgemeine  chemische  Mineralogie. 

1893.  Anrani.  Physikalische  Chemie  der  Erystalle.  (Aus  Graham-Otto,  Lehrb. 
d.  Chemie.    1.  Bd.    3.  Abschnitt) 

—  Ostwald«    Grundriss  der  allgemeinen  Chemie. 

1896.  Brauns.    Chemische  Mineralogie. 

1897.  Clarke  aad  HlUebrand.  Analyses  of  rocks  and  analytical  methods.  Deutsch 
von  Zschimmer  unter  dem  Titel:  Praktische  Anleitung  zur  Analyse  der  Sili* 
catgesteine  1899. 

1900.    Hlllebraad.    Some  principles  and  methods  of  rock  analysis. 


8  literatnr. 

1900.    Ofltwald,    Lehrbuch  der  allgemeinen  Chemie.    3  Bde. 

—  Tan  t'Hoff.  Yorlesimgen  über  theoretische  und  physikalische  Chemie.  2.  Anfl, 

E.  Künstliohe  Naohbildung  (Synthese),  der  Mineralien. 

1860—59.    Hausmann.    Beiträge  zur  metallurgischen  KrystaUknnde. 

1857.  Charit«    üebersicht  der  pyrogeneten  künstlichen  Mineralien. 

1858.  €•  €•  T.  Leonhard.    Hüttenerzengnisse  nnd  andere  auf  künstlichem  Wege 
gebildete  Mineralien  als  Stützpunkte  geologischer  Hypothesen. 

1872.    Fuehs.    Die  künstlich  dargestellten  Mineralien. 

1879.    Danbr^e«     Etudes  synth^tiques  de  g^ologie  exp6rimentale.     (Deutsch  Yon 

Gurlt  18Ö0.) 
1882.    Fonqu^  und  Michel-L^Tj«    Synthese  des  minSraux  et  des  roches. 

1884.  Bourgeois«    B,eproduction  artificielle  des  min^raux. 

1891.  Meunier.    Les  m^thodes  de  synth^se  en  min^ralogie. 

1892.  Yogt«    Beiträge  zur  Kenntniss  der  Gesetze  der  Mineralbildung  in  Schmelz- 
massen und  in  den  neovulkanischen  Ergussgesteinen. 

F.  Untersuchung  und  Bestimmung  der  Mineralien, 

(Siehe  zum  Teil  auch  D.) 

1844.  Berzelius.    Die  Anwendung  des  Löthrohrs,  deutsch  von  H.  B^e.    4.  Aufl. 

1848.  Zimmermann«    Handbuch  zum  Bestimmen  der  Mineralien. 

1857.  Scheerer«    Löthrohrbuch.    2.  Aufl. 

1862.  KerL  Leitladen  zu  qualitativen  u.  quantitativen  Löthrohruntersuchungen.  2.Aufl. 

1864.  Fiseher.    Clavis  der  Silicate. 

1866.  Blum.    Die  Mineralien,  nach  den  Erystallsystemen  geordnet. 

1872.  Birnbaum.    Löthrohrbuch. 

1874.  Helmhacker.    Tafeln  zur  Bestimmung  häufig  vorkommender  Mineralien. 

—  Senft.    Analytische  Tabellen  zur  Bestimmung  der  Mineralien. 

1875.  Hirschwald.    Löthrohrtabellen. 

1877.  Boricky.  Elemente  einer  neuen  chemisch-mineralogischen  Gesteinsuntersuchung. 

1879.  Laube.    Hülfstafeln  zur  Bestimmung  der  Mineralien.    2.  Aufl. 

1880.  Bunsen.    Flammenreactionen. 

—  Chapman.    Blowpipe  practice. 

1881.  Laudauer.    Die  Löthrohranalyse.    2.  Aufl. 

—  Behrens.    Mikrochemische  Methoden  zur  Mineralanalyse. 

1882.  Comwall.    Manuel  of  blowpipe-analysis. 

1885.  Haushofer.    Mikroskopische  Beactionen. 

1886.  Klement  und  Benard.    Eeactions  microchimiques. 

1889.    Boss.    Das  Löthrohr  in  der  Chemie  und  Mineralogie.    2.  Aufl.    Uebersetzt 
von  Eosmann. 

1891.  Hirsohwald.    Anleitung  zur  systematischen  Löthrohranalyse. 

1892.  Haushofer.    Leitfaden  der  Mineralbestimmung. 

—  Endlieh.    Manuel  of  qualitative  blowpipe-analysis. 

1896.  Cohen.     Zusammenstellung  petrographischer  Untersuchungsmethoden  nebst 
Angabe  der  Litteratur. 

1897.  Plattner.    Probierkunst  mit  dem  Löthrohr.  6.  Aufl.  bearbeitet  von  Kolbeck. 

1898.  C.  W.  C.  Fuchs.    Anleitung  zum  Bestimmen  der  Mineralien.    4.  Aufl.    Be- 
arbeitet von  Brauns. 

—  Brush.   Manuel  of  determinative  mineralogy.   15.  Aufl.  Bearbeitet  von  Penfield. 

1899.  Behrens»  *  Anleitung  zur  mikrochemischen  Analyse.    2.  Aufl. 

1900.  A.  Weisbach.    Tabellen  zur  Bestimmung  der  Mineralien  nach  äusseren  Kenn* 
zeichen.    5.  Aufl. 


Literatur  9 

1900.  Xoses  und  Parsone,    Siehe  bei  A. 

1901.  T«  Kobell.  Tafeln  ziir  Bestimmmig  der  Mineralien  mittelst  einfacher  che- 
nuBcher  Yersnche.    14.  Aufl.  von  Oebbeke. 

Gh.  Vorkommen  der  Mineralieiu 

1805 — 09.  €•  C.  T.  Leonliard«  Handbuch  einer  allgemeinen  topographischen  Minera- 
logie. 

1810—19.    H^ron  de  Tillefosse.    De  la  richesse  min^rale.    3  Bde.  nnd  Atlas. 

1814.  üllwann,  SjstematiBch-tabellarische  üebersicht  der  chemisch-einfachen  Fos- 
silien. 

1825.  Montioelll  e  Coyelli«    Prodrome  della  mineralogia  yesnyiana. 

1826.  Hlstnger«  Versuch  einer  mineralogischen  Geographie  yon  Schweden.  Deutsch 
yon  Wöhler  nach  der  Handschrift  zur  2.  Aufl. 

1887 — 42.    G*  Kose.    Mineralogisch-geognostische  Reise  nach  dem  Ural  etc.    2  Bde. 

1842.  L«  €•  Beck.    Report  of  the  mineralogy  of  the  State  of  New-Tork. 

1843.  Gm  Leonliard*    Handwörterbuch  der  topographischen  Mineralogie. 
1849.    Breithanpt.    Die  Paragenesis  der  Mineralien. 

1863.    Sartorius  yon  Waltershausen.    Die  ynlkanischen  Gesteine  yon  Sicilien  und 

Island. 
1863—92.    y.  Kokseharow.  Materialien  zur  Mineralogie  Rasslands.  10  Bde.  u.  1  AÜas. 
1866—56.    Borat*    Trait6  du  gisement  et  de  Texploitation  des  mineraux  utiles. 

2  Bde.    3.  Aufl. 

1865.  Haidinger.  Geologische  Üebersicht  der  Bergbaue  der  Oesterreichischen  Mo- 
narchie. 

1856.    Sella.    Stndi  sulla  mineralogia  sarda. 

1867.  J.  Roth.    Der  Yesuy  und  die  Umgebung  yon  Neapel. 

—  Yogi.    Gangyerhältnisse  und  Mineralreichthum  Joachimsthals. 

1868.  Greg  and  Lettsom.    Manuel  of  the  mineralogy  of  Great  Britain  and  Ireland. 
1868—93.    y.  Zepharoyieh.    Mineralogisches  Lexikon  des  Eaiserthums  Oesterreich. 

3  Bde.    (3.  Bd.  von  F.  Becke.) 

1869—61.    y.  Cotta.    Die  Lehre  yon  den  Erzlagerstätten. 
1863.    Fiedler.    Die  Mineralien  Schlesiens. 

—  A.  Nordenskiöld.    Beskrifning  üfyer  de  i  Finland  funna  mineralier.    2.  Aufl. 

1866.  Kenngott.    Mineralien  der  Schweiz. 

1868.  Banbr^e.  Substances  minSrales.  Extrait  des  rapports  du  Jury  international 
de  Texposition  uniyerselle  de  1867. 

—  Senft.    Die  krystallinischen  Erdgemengtheile  nach  ihren  mineralischen  Eigen- 
schaften. 

1869.  Grimm.    Die  Lagerstätten  der  nutzbaren  Mineralien. 

1870.  Landgrebe.    Mineralogie  der  Vulkane. 

—  Höfer.    Die  Mineralien  Kärntens. 

1873.  y.  Deohen.    Die  nutzbaren  Mineralien  und  Gebirgsarten  im  Deutschen  Reiche. 

—  d'Achiardi.    Mineralogia  della  Toscana.    2  Bde. 

1874.  Frensel.    Mineralogisches  Lexikon  für  das  Königreich  Sachsen. 

1875.  Genth.    Report  on  the  mineralogy  of  Pensylyania.    Mit  Nachtrag  1876. 

—  Gonnard.    Mineralogie  du  departement  du  Puy-de-Döme. 

—  Hofr.    Mineralogy  of  Noya  Scotia. 

1876.  G.  Leonhard.    Die  Mineralien  Badens  nach  ihrem  Vorkommen.    3.  Aufl. 

1878.  Fngger.    Die  Mineralien  des  Erzherzogthums  Salzburg. 

—  Gieseeke.    Mineralogische  Reise  nach  Grönland  (ed.  Johnstrup). 

—  Balmondi.    Mineraux  du  P^rou.    Aus  dem  Spanischen  yon  Martinet. 

1879.  y.  Groddeek.    Die  Lehre  yon  den  Lagerstätten  der  Erze. 


10  Literatur. 

1879.  Domejko.  Mineralojia  (besonders  die  Mineralien  von  Chile,  Bolivia,  Pera  und 
Argentinien  behandelnd).    3.  Aufl.    Snppl.  1871. 

—  Brakebnsoh.    Las  Especies  minerales  de  la  Eepnblica  argentina. 

1880.  Wenkenbaeh.  üebersicht  über  die  in  Nassau  anfgefondenen  einfachen  Mineralien. 

1881.  Ball«    Manuel  of  the  geologj  of  India.    Part  JH.    Economic  geology. 

1882.  Liyeraidge.    The  minerals  of  New  South- Wales.    2.  Aufl. 

1884.  Brunlechner.    Die  Minerale  des  Herzogthums  Kärnten. 

1885.  Hatle*    Die  Mineralien  des  Herzogthums  Steiermark. 

1886.  Selwyn«  Descriptiye  Catalogue  of  a  collection  of  the  economic  minerals  of 
Canada. 

1887.  Mallet«  A  manuel  of  the  geology  of  India.  Part  IV.  Mineralogy  (mainly 
non-economic). 

1888.  Tranbe*    Die  Minerale  Schlesiens. 

1890.  Brögger«  Die  Mineralien  der  Syenitpegmatitgänge  der  südnorwegischen  Augit- 
und  Nephelinsyenite. 

1891.  Oenth«    The  minerals  of  North-Oarolina. 

1893—1902.  Lacroix.  Mineralogie  de  la  France  et  de  ses  colonies.  2  Bde.  Noch 
unvollendet. 

1894.  Cohen.  Meteoritenkunde.  1.  Heft.  Untersuchungsmethoden  und  Charakte- 
ristik der  Bestandtheile. 

—  Orelm«    Die  Mineralien  des  Grossherzogthums  Hessen. 
1896.    Lnedeeke*    Die  Minerale  des  Harzes. 

1900.  R,  Beek,    Lehre  von  den  Erzlagerstätten. 

1901.  Heddle«    The  mineralogy  of  Scotland,  herausgegeben  von  6K)odchild.    2  Bde. 

1902.  Tenne  und  Calderon.    Die  Mineralfundstätten  der  iberischen  Halbinsel. 

(Siehe  außerdem  die  verschiedenen  Werke  über  Petrographie  von  Zirkel,  Bosenbusch, 
Ealkowsky,  v.  Lasaulx  u.  a.) 

H.  Sammelwerke,  Zeitschriften  eto. 

1806—18.    Hisinger  und  Berzelius.    Afhandlingar  i  Fisik,  Kemi  och  Mineralogi. 

6  Bde. 
1807—24.    C.  C*  V«  Leonhard.   Taschenbuch  für  die  gesammte  Mineralogie.   18  Bde. 
1811—33.    Sohweigger.    Journal  für  Physik  und  Chemie.    69  Bde. 
1829—55.    Karsten  und  v«  Deehen.    Archiv  für  Mineralogie,  Geognosie  etc.  26  Bde. 
1849.    Kenngott«    Mineralogische  Untersuchungen. 
1853 — 92.    V«  Kokseharow*    Siehe  unter  G. 

1853.    V.  Kobell.    Die  Mineralnamen  und  die  mineralogische  Nomenclatur. 
1854—75.    Hessenberg,    Mineralogische  Notizen.    12  Hefte.    Li  den  Abhandlungen 

der  Senckenbergischen  Gesellschaft  von  Bd.  1—10. 
1865—78.    Sohrauf«    AÜas  der  Erystallformen  des  Mineralreichs.    (Unvollständig.) 

1866.  Breithanpt«    Mineralogische  Studien. 

1867.  Des  Cloizeaux.    Nouvelles  recherches  sur  les  propri^t^s  optiques  des  cristaux. 

Zeitschriften,  in  welchen  gegenwärtig  mineralogische  Arbeiten 

publiziert  werden,  sind  n.  a.: 

Neues  Jahrbuch  für  Mineralogie,  Geologie  und  Paläontologie  von  Bauer,  Koken  und 
Liebisch,  gegründet  von  Leonhard  und  Bronn,  seit  1830. 

Mineralogische  und  petrographische  Mittheilungen  von  Tschermak,  seit  1871;  fort- 
gesetzt von  Becke. 

Zeitschrift  für  Erystallographie  und  Mineralogie  von  Groth,  seit  1877. 

Zeitschrift  der  Deutschen  Geologischen  G^esellschaft,  seit  1849. 


Literatur.  XI 

Annaleii  der  Physik  und  Chemie  (früher  yon  Wiedemann,  Poggendorff  und  von 
Gübert),  seit  1799. 

Zeitschrift  für  praktische  Geologie,  seit  1893. 

Berg-  und  hüttenmännische  Zeitnng,  seit  1842. 

Verhandlungen  der  russisch-kaiserlichen  mineralogischen  Gesellschaft  zu  St.  Peters- 
burg. 

Annales  de  chimie  et  de  physique,  seit  1816. 

Bulletin  de  la  soci6t6  min^ralogique  de  France,  seit  1878;  von  1886  ab  unter  dem 
Titel:  Bulletin  de  la  societ6  frangaise  de  min^ralogie. 

Bulletin  de  la  soci6t4  g^ologique  de  France,  seit  1836. 

Annales  des  mines,  seit  1816. 

The  mineralogical  magazine,  seit  1877. 

American  Journal  of  science  and  arts  yon  SiUiman,  seit  1818. 

(Außerdem  kommen  mineralogische  Arbeiten  in  den  zahlreichen  Schriften  der  Aka- 
demien und  naturwissenschaftlichen  Vereine  etc.  aller  Länder  zur  Veröffent- 
lichung, sowie  vereinzelt  in  fast  sämtlichen  der  Chemie  und  Physik  gewid- 
meten Zeitschriften.) 

J.  JahreBberiohte  über  den  Stand  und  den  Fortschritt  der 

Wisaensohaft. 

1822—48.  BerzeliuB.  Jahresbericht  über  die  Fortschritte  der  physischen  Wissen- 
schaften.   Deutsch  von  Gmelin. 

1835—37.    Gloeker.    Mineralogische  Jahreshefte.    6  Bde. 

1845.  Haidingen  üebersicht  der  Resultate  mineralogischer  Forschungen  im 
Jahr  1843. 

1852—68.  Kenngott«  Üebersicht  der  Besultate  mineralogischer  Forschungen  in  den 
Jahren  1844—1865.    17  Theüe. 

1847—.  liebig  und  Kopp«  Jahresbericht  über  die  Fortschritte  der  reinen  etc. 
Chemie,  Physik,  Mineralogie  und  Geologie,  nebst  Fortsetzungen,  welche  unter 
yerschiedenen  Herausgebern  bis  heutzutage  erscheinen ;  berücksichtigt  neuerer 
Zeit  die  Mineralogie  nicht  mehr. 

K.  Überslohten  über  das  System. 

1808.  Karsten.    Mineralogische  Tabellen.    2.  Aufl. 

1809.  Hafty.  Tableau  comparatif  des  r^sultats  de  la  cristallographie  et  de  Tanalyse 
chimique. 

1817.  A.  B*  Werner.  Letztes  Mineralsystem  (in  Hoffmann,  Handbuch  der  Minera- 
logie 1811—17,  Bd.  IV). 

1830.    Breithaupt.    üebersicht  des  Mineralsystems. 

1847.  Berzeliug'  neues  chemisches  Mineralsystem  nebst  einer  Zusammenstellung  seiner 
älteren  hierauf  bezüglichen  Arbeiten,  herausgegeben  von  C.  Rammelsberg. 

—  C^loeker.    Generum  et  specierum  mineralium  etc.  Synopsis. 

—  HSmes.    Uebersichtliche  Darstellung  des  Mohs'schen  Systems. 
1849.    Nordenskiöld.    Ueber  das  atomistisch-chemische  Mineralsystem. 
1852.    G.  Rose.    Das  krystallo-chemische  Mineralsystem. 

1853—54.    Kenngott.    Das  Mohs'sche  Mineralsystem  mit  Supplement. 
1860.    Hermann.    Heteromeres  Mineralsystem.    2.  Aufl. 
1886.    Toula.    Mineralogische  und  petrographische  Tabellen. 

1897.  A«  Weisbaeh.    Synopsis  mineralogica.    3.  Aufl. 

1898.  C^rotli.    Tabellarische  Üebersicht  der  Mineralien.    4.  Aufl. 

1899.  A.  Weisbaeh.    Characteres  mineralogici.    2.  Aufl. 


12  Literatar. 

L.  Beschreibuxig  von  Mineraliensainmltuigen« 

1804.  Mohs«    Des  Herrn  J.  F.  van  der  Nnll's  Mineralieiicabinet. 

1817.  Bonmon.    Catalog^e  de  la  collectioii  min^ralogiqne  speciale  du  Boi  (Paris).. 

1834.  Kayser«    Beschreibung  der  Mineraliensammlung  des  Medidnalraths  Bergemann 

in  Berlin. 

1837.  Ujj*    Description  d'une  collection  de  min^raux  formee  par  M.  Heuland. 

1843.  Haidinger.    Bericht  über  die  Mineraliensammlung  der  k.  k.  Hofkammer. 

1878.  €(roth.    Die  Mineraliensammlung  der  Eaiser-Wilhelms-Üniyersität  Strassbnrg» 

1885.  Hirsehwald.  Das  mineralogische  Museum  der  k.  technischen  Hochschule  Berlin. 
1899.  Yisohniakoff«    Allgemeine  Beschreibung  der  Mineraliensammlung  von  Rudolf 

Hermann  (Moskau). 

M.  Fraküsohe  Benatzimg  der  Mineralien  (Lithurgik  eto.)* 

1803.  Leonliardi«    Oekonomische  und  technische  Naturgeschichte  des  Mineralreichs. 
1803—04.    Sohmieden  Versuch  einer  Lithurgik  oder  ökonomischen  Mineralogie.  2  Bde. 

1805.  Yölker.    Handbuch  der  ökonomisch-technischen  Mineralogie.    2  Bde. 

1821.  Brard.    Mineralogie  appliqu^e  aux  arts.    3  Bde. 

1822.  Blomhof«    Lehrbuch  der  Lithurgik. 
1826.  Nanmann.    Entwurf  der  Lithurgik. 

1829.  Walehner«    Handbuch  der  Mineralogie  in  technischer  Beziehung.    2  Bde. 

1833.  Caire«    La  science  des  pierres  pr^cieuses  appliquee  aux  arts.    2.  Aufl. 

1840.  Blnm.    Lithurgik. 

1843.  Chapman.    Practical  mineralogj. 

1866.  Bnrat«    Trait^  du  gisement  et  de  Texploitation  des  min^rauz  utiles. 
1868.  Barbot.    Trait6  complet  des  pierres  pr^cieuses. 

1860.  Kluge.    Edelsteinkunde. 
1864.  Burat.    Mineralogie  appliquee. 

1867.  King.    The  natural  history  of  precious  stones  etc. 

1868.  Seliranf.    Handbuch  der  Edelsteinkunde. 
1870.  Bambosson,    Les  pierres  precieuses. 

1881.  Jannettaz,  Tanderheym  eto.    Diamant  et  pierres  precieuses. 

1886.  Jagnanx«    Traite  de  mineralogie  appliquee  aux  arts  etc. 

1887.  Blum.    Taschenbuch  der  Edelsteinkunde.    3.  Aufl. 

—  Oroth.    Grundriss  der  Edelsteinkunde. 

1890.  Kunz.    Gems  and  precious  stones  of  North-America. 

1893.  Dölten    Edelsteinkunde. 

—  Malaise«    Manuel  de  mineralogie  pratique.    3.  Aufl. 

1896.  Bauer*    Edelsteinkunde. 

1897.  Barrlnger«    A  description  of  mineraJs  of  commercial  yalue. 

1899.  Gürieh.    Das  Mineralreich. 

—  Streeter«    Precious  stones  and  gems.    6.  Aufl. 

1900.  Charpentier.    Geologie  et  mineralogie  appliquees;  les  mineraux  utiles  et 
leurs  gisements. 

N.  Geschichte  der  Mineralogie. 

1826.  Marx.    Geschichte  der  Krystallkunde. 

1839.  WheweU.    Geschichte  der  inductiven  Wissenschaften.    (Deutsch  von  Littrow.) 

1861.  Lenz.    Die  Mineralogie  der  alten  Griechen  und  Bömer. 
1866.  T.  Kobell.    (beschichte  der  Mineralogie. 


Allgemeiner  Teil 


L  Abschnitt 

Erystallographia 

Die  Krystallographie  umfaßt  die  Gesetzm&ßigkeiten, '  welche  die  regelmäßig^  poly- 
ednsche  Begrenzung  der  krystaUisierten  Körper  beherrschen.  Sie  sind  hei  natürlich 
gehildeten  Sahstanzen  dieser  Art  (Mineralien)  and  bei  künstlichen  genaa  dieselben. 


A.  Begriff  des  S[rystall8. 

4.  Krystallislert^  amorph.  Die  allermeisten  homogenen  Sub- 
stanzen von  bestimmter  chemischer  Konstitution  besitzen  die  Eigen- 
schaft, bei  ihrer  Entstehung  und  Festwerdung  lediglich  durch  die  ihnen 
von  Natur  innewohnenden  Kräfte  ohne  alles  äußere  Zutun  eine  regel- 
mäßig ebenflächige,  polyedrische  Begrenzung  anzunehmen,  wie  z.  B. 
der  Quarz,  Feldspat,  Alaun  etc.,  während  andere  nie  etwas  solches 
wahrnehmen  lassen,  wie  z.  B.  Glas,  Opal  etc.  Die  ersteren  Substanzen 
nannte  man  hyställisiert,  die  letzteren  amorph,    (joh.  Nep.  Fachs ,  Amor- 

phismos  im  Gegensatze  zu  Erjstallisation.    Schweiggers  Joamal  47.  1833  a.  Pogg. 
Ann.  31.  1834.  577.) 

Der  Unterschied  zwischen  dem  krystallisierten  und  amorphen  Zu- 
stande haftet  aber,  wie  man  später  gefunden  hat,  nicht  bloß  an  der 
Gestaltung  der  Oberfläche,  sondern  er  ist  ein  tiefgehender,  das  Ge- 
samtverhalten  der  Substanz  umfassender,  und  auch  in  den  inneren 
physikalischen  Eigenschaften  der  Körper  begründeter,  so  daß  es  nach 
diesen  letzteren  möglich  ist,  einen  krystallisierten  Körper  auch  dann 
von  einem  amorphen  zu  unterscheiden,  wenn  der  erstere  seine  regel- 
mäßige Begrenzung,  z.  B.  infolge  von  mechanischer  Entfernung  der 
äußeren  Schicht,  nicht  erkennen  läßt. 

Man  findet  nämlich  bei  der  Untersuchung  amorpher  homogener 
Substanzen,  daß  dieselben  nach  allen  Eichtungen  sich  physikalisch 


14  Ej7stallisiert.    Amorph. 

vollkommen  gleich  yerhalten,  und  daü  ganz  besonders  alle  diejenigen 
physikalischen  Eigenschaften,  welche  mit  der  Kohäsion  zusammen- 
hängen, in  ihnen  nach  allen  Bichtungen  yollkommen  gleich  sind. 
Namentlich  ist  dies  mit  der  Elastizität,  gemessen  durch  den  Elastizitäts- 
koeffizienten, der  Fall.  Diesen  letzteren  findet  man  an  einem  amorphen 
Körper  stets  gleich,  man  mag  das  zur  Messung  dienende  Stäbchen 
aus  demselben  herausschneiden,  in  welcher  Eichtung  man  will.  Er 
ist  Yon  der  Richtung  yöUig  unabhängig. 

Dem  gegenüber  sind  die  krystallisierten  Körper  dadurch  charak- 
terisiert, daß  in  ihnen  die  physikalischen  Eigenschaften  sich  im  allge- 
meinen mit  der  Richtung  ändern.  Dies  ist  bei  allen  Krystallen  ohne 
Ausnahme  besonders  mit  der  Kohäsion  und  den  damit  zusammen- 
hängenden Eigenschaften  der  Fall.  In  den  meisten  Krystallen  sind 
so  große  Kohäsiousunterschiede  vorhanden,  daß  sie  sich  in  gewissen 
Bichtungen  besonders  geringer  Kohärenz  leicht  nach  ganz  ebenen 
Flächen  zerspalten  lassen  (194),  während  dies  in  anderen  Bichtungen, 
wo  die  kleinsten  Teilchen  fester  zusammenhalten,  nicht  möglich  ist. 
Die  Existenz  solcher  Flächen  besonders  geringer  Kohäsion,  also  be- 
sonders leichter  Trennung  der  kleinsten  Teilchen,  sog.  Spaltungs- 
flächen oder  Blätterbrtiche,  ist  ein  sicheres  Kennzeichen  für  Krystalli- 
sation.  Sie  finden  sich  nie  an  amorphen  Körpern,  allerdings  auch 
nicht  an  allen  krystallisierten  gleich  deutlich. 

Besonders  wichtig  ist  aber  auch  hier  wie  bei  den  amorphen 
Körpern  die  Elastizität,  weil  man  diese  nach  allen  Bichtungen  hin 
besonders  genau  untersuchen  kann.  Man  findet,  daß  in  jedem  krystalli- 
sierten Körper  zwar  in  allen  parallelen  Lagen  der  Elastizitätskoeffizient 
stets  derselbe  ist,  daß  er  aber  in  abweichenden  Bichtungen  im  allge- 
meinen einen  anderen  Wert  besitzt,  daß  er  sich  also  mit  der  Bich- 
tung  ändert  Damit  ist  nicht  gesagt,  daß  in  jeder  anderen  Bichtung 
ausnahmslos  auch  ein  anderer  Elastizitätskoefflzient  erhalten  wird,  im 
Gegenteil  gibt  es  in  den  meisten  Krystallen  mehrere  Bichtungen 
gleicher  Elastizität,  aber  jede  Bichtung  verhält  sich  in  Bezug  auf  die 
Elastizität  stets  anders  als  alle  unmittelbar  benachbarten  (192). 

Danach  kann  man  amorphe  und  krystallisierte  Mineralien  folgender- 
maßen definieren: 

Amorphe  Substanzen  sind  solche,  bei  denen  die  physikalische  Be- 
schaffenheit, besonders  die  Kohäsion  und  alle  damit  in  Zusammenhang 
stehenden  physikalischen  Eigenschaften  nach  allen  Bichtungen  gleich, 
also  von  der  Bichtung  unabhängig  sind.  Keine  Bichtung  ist  von  den 
anderen  irgendwie  physikalisch  verschieden. 

Krystallisierte  Substanzen  sind  diejenigen  homogenen  festen  Körper, 
bei  denen  das  physikalische  Gtesamtverhalten,  vor  allem  die  Kohäsion 
und   alle   damit  zusammenhängenden  Eigenschaften,   besonders    die 


Individuum.  15 

Elastizität,  sich  mit  der  Richtung  stetig  ändern,  sofern  diese  Änderung 
nicht  durch  äaißere  Einflüsse  hervorgebracht  ist,  sondern  dem  Wesen 
der  Substanz  entspricht. 

Verschiedene  Elastizität  etc.  in  yerschiedenen  Richtungen  hahen  z.  B.  anch 
Holz,  Elfenhein  und  andere  ähnliche  Körper.  Diese  sind  aher  nicht  homogen,  faUen 
also  nicht  nnter  die  ohige  Definition.  Ebensowenig  fallen  darunter  gepreOte  oder 
gekohlte  Gläser  nnd  ähnliche  Substanzen,  die  zwar  homogen  sind,  bei  denen  aber 
die  Verschiedenheit  der  Elastizität  in  yerschiedenen  Sichtungen  durch  äuüere  Ein- 
flösse, wie  Pressung,  rasche  EUhlung  etc.  heryorgebracht  worden  ist,  während  Glas 
wie  alle  anderen  amorphen  Körper  im  ungepreßten  etc.,  also  im  natürlichen  Zustande, 
nach  allen  Richtungen  dieselbe  Elastizität  zeigt,  im  Gegensatz  beispielsweise  zum 
krystallisierten  Quarz,  der  im  yollkommen  normalen  natürlichen  Zustande  jene  Unter- 
schiede erkennen  läßt,  und  der  vielleicht  durch  äußere  Einflüsse,  wie  Pressung,  in 
einen  Zustand  der  allseitigen  Gleichheit  der  Elastizität  künstlich  versetzt  werden 
könnte,  ohne  daß  er  deshalh  aufhörte,  ein  krystallisierter  Körper  zu  sein. 

Einzelne  physikalische  Eigenschaften  sind  allerdings  in  gewissen  Krystallen 
nach  allen  Richtungen  die  gleichen.  So  pflanzt  sich  z.  B.  das  Licht  in  allen 
Krystallen  des  regulären  Systems  allseitig  mit  der  nämlichen  Geschwindigkeit  fort. 
Bei  dem  Unterschied  zwischen  krystallisierten  und  amorphen  Substanzen  handelt  es 
sich  aher  nicht  um  einzelne  physikalische  Eigenschaften,  sondern  um  alle  zusammen, 
um  das  physikalische  Geaamtverhalien. 

5.  IndiTidamn.  Ist  eine  zusammenhängende  Masse  eines 
krystallisierten  Minerals  so  beschaffen,  daß  die  von  allen  Punkten  o 
(Fig.  1)  (und  zwar  nicht  nur  in  einer  Ebene)  ausgehenden  parallelen 

Sichtungen  a^  Oj,  a^  a^,  a*  a^ ;   femer:  b^  6|,  b^  6„  6g  ftg ; 

etc.  sich  untereinander  auf  ihrer  ganzen  Erstreckung  durch  die  Masse 
hindurch  in  jeder  Beziehung  physikalisch  gleich  verhalten,  dann  ist 
diese  Masse  einheitlich  gebaut ;  sie  bUdet  ein  Individuimij  einen  nicht 
nur  chemisch,  sondern  auch  physikalisch  homogenen,  durchaus  gleich- 
artig beschaffenen  Körper.  Wenn  man  dagegen  durch  eine  solche 
Masse  hindurch  Eichtungen  legen  kann,  welche  nicht  auf  ihrer  ganzen 
Erstrecknng  von  einem  Ende  bis  zum  an- 
deren physikalisch  gleich  sind,  sondern 
nur  bis  zu  einem  gewissen  Punkt,  z.  B. 
auf  der  Strecke  ab  oder  cd  bis  zu  b  oder 
d  (Fig.  2),  von  wo  ab  sie  dann  in  ihrer 

Fortsetzung,  also  auf  der  Strecke  66^         mgTlT  Fig,  2 

und  ddl,  eine  andere  physikalische  Be- 
schaffenheit annehmen,  so  daß  man  sich  in  b  in  die  Richtung  bb^, 
und  in  d  in  die  Richtung  dä^  herumdrehen  muß,  um  die  erste  Be- 
schaffenheit in  den  Richtungen  ab  resp.  cd  wiederzufinden,  wie  dies 
die  gleich  resp.  verschieden  gezeichneten  Linien  andeuten,  dann  ist 
diese  Masse  nicht  einheitlich  gebaut,  sondern  ein  aus  zwei  (oder 
mehreren)  verschieden  orientierten  Individuen  verwachsenes  Aggregat. 
Die  Individuen  stoßen  stets  nach  einer  ganz  scharfen  Grenzfläche  mn 


16  Erystall.    Derb. 

zusammen ,  welche  von  allen  den  Punkten  6,  d  etc.  gebildet  wird ,  in 
welchen  die  physikalische  Beschaffenheit  der  hindurchgelegten  geraden 
Bichtungen  sich  ändert  Ein  solches  Aggregat  gleicher  Individuen,  d«  h. 
Individuen  derselben  Substanz,  aber  von  verschiedener  Orientierung, 
ist  dann  zwar  noch  chemisch,  aber  nicht  mehr  physikalisch  homogen. 

Wie  lineare  Bichttmgen  yerhalten  sich  auch  Ebenen,  die  man  dnrch  die 
Masse  hindnrcblegt.  So  gehen  Blätterbrüche  (Spaltungsflächen)  dorch  ein  Mineral- 
individnnm,  z.  B.  von  Kalkspat,  yoUkommen  gleichmäßig  und  nnonterbrochen  von 
einem  Ende  bis  zum  anderen  hindurch;  dagegen  gehen  sie  bei  einer  ans  zwei  oder 
mehr  Individuen  yerwachsenen  Masse  nur  bis  zur  Grenze  zweier  Individuen  in  einer 
bestimmten  Richtung,  von  dort  an  aber  in  den  anstoßenden  Individuen  in  einer 
anderen  Richtung  weiter,  während  sie  in  der  ursprünglichen  Richtung  genau  an  der 
Grenze  aufhören.  Hieran  lassen  sich  häufig  einzelne  Individuen  von  Verwachsungen 
mehrerer  Individuen  (Aggregaten)  leicht  unterscheiden. 

Zwei  getrennte  Individuen  derselben  Substanz,  welche  so  liegen, 
dafi  die  Richtungen  im  einen  allen  parallelen  Bichtungen  im  anderen 
Individuum  physikalisch  in  jeder  Hinsicht  gleich  sind,  heißen  pardUd, 
sie  befinden  sich  in  ParäUdstellung.  Individuen,  welche  so  stehen,  daß 
die  Bichtungen  im  einen  von  parallelen  Bichtungen  im  anderen,  wenn 
auch  nur  zum  Teil,  physikalisch  verschieden  sind,  sind  nicht  parallel, 
sie  sind  verschieden  orientiert. 

6.  Krystall,  derb.  Ein  krystallisierter  Körper,  welcher  nach 
außen  durch  eine  regelmäßige  und  ebenflächige  polyedrische  Be- 
grenzung abgeschlossen  wird,  heißt  ein  Kryställ,  sofern  diese  äußere  Be- 
grenzung sogleich  ursprünglich  bei  der  Festwerdung  des  Körpers  und 
zwar  lediglich  durch  die  inneren  Kräfte  desselben  und  ohne  Beein- 
flussung von  außen  sich  gebildet  hat,  und  somit  der  Substanz  des- 
selben wesentlich  ist.  Krystallisierte  Massen,  welche  eine  solche  regel- 
mäßige Begrenzung  nicht  besitzen,  heißen  Jerystallinisch  oder  derb. 
Sie  unterscheiden  sich  bezüglich  der  inneren  Beschafienheit  in  nichts 
von  den  Krystallen,  nur  fehlt  ihnen  die  regelmäßige  äußere  Begrenzung. 
Wie  die  Krystalle  bilden  auch  sie  Individuen  (5).  Aus  mehreren 
derben  Individuen  verwachsene  Mineralmassen  heißen  hrystallinische 
oder  derbe  Aggregate,  Durch  die  Verwachsung  mehrerer  Krystalle  ent- 
steht eine  KrystoHgruppe. 

Zu  dieser  Definition  des  Begriffs  Krystall  ist  folgendes  zu  hemerken: 

Aus  vielen  krystallisierten  Substanzen  lassen  sich,  wenn  in  ihnen  nach  mindestens 
drei  geeigneten  Bichtungen  leichte  Spaltbarkeit  herrscht  (4. 194),  ringsum  ebenflächig 
begrenzte  Stücke  herausspalten.  Die  Spaltbarkeit  ist  im  Wesen  der  Substanz  be- 
gründet, sie  verhält  sich  in  allen  Stücken  derselben  Substanz  völlig  gleich,  die 
einzelneu  Spaltungsflächen  sind  stets  in  derselben  Zahl  vorhanden  und  machen  stets 
dieselben  Winkel  miteinander,  wenn  man  sie  an  verschiedenen  Stücken  derselben 
Substanz  darstellt;  sie  sind  aber  nicht  ursprünglich,  sondern  erst  nachträglich  her- 
gestellt. Solche  regelmäßig  polyedrischen  Stücke  sind  also  keine  echten  Krystalle, 
trotzdem  ihre  Form  auf  den  inneren  Kräften  der  Substanz  beruht  und  ihr  daher 


Begrenxungselemente.    Flftchen.  17 

wesentlich  ist.   Man  nennt  sie  Spaliungsaiücke.  Solche  lassen  sich  z.  B.  in  aii4geieich- 
neter  Weise  am  Kalkspat  herstellen  (194). 

Ebensowenig  liegen  echte  Krystalle  yor,  wenn  eine  Substanz  durch  irgend  einen 
äußeren  Umstand  eine  regelmäßige  Form  erhält,  welche  für  die  Krystalle  dner 
anderen  Substanz  charakteristisch  ist,  wenn  z.  B.  ein  Krystall  einer  Substanz  eine  so 
langsame  und  allmähliche  chemische  Umwandlung  erlitt,  daß  zwar  die  ursprüngliche 
Substanz  einer  anderen  Platz  machte,  aber  unter  yöUiger  Erhaltung  der  ursprüng- 
lichen Form.  In  diesem  Fall  ist  die  Krystallform  zwar  ursprtLnglich,  jedoch  nicht 
durch  die  inneren  Kohäsionskräf te  der  Substanz  dieser  aufgeprägt,  sondern  mehr  durch 
ZufaU  entstanden,  sie  ist  der  Substanz  nicht  wesentlich.  Derartige  häufig  yorkommende 
kiystallähnUche  Bildungen  heißen  AfterkryntaUe  oder  Psettdomorphoaen  (311). 

Ein  von  regelmäßigen,  den  genannten  Anforderungen  entsprechen- 
den Flächen  begrenztes  Individuum  wird  ein  einfacher  Krystall  genannt 
(im  Gegensatz  zu  den  Zwillingen  (155 ff.);  einfache  Krystalle  sind  nicht 
zu  verwechseln  mit  einfachen  Krystallformen  (9)). 


B.  Begrenzungselemente. 

Die  Flächen y  Kanten  und  Ecken,  welche  die  ErystaUe  umschließen, 
heißen  die  Begrenzungselemente  derselben.  Ist  ihre  Anzahl  an  einem 
KrystaUe  beziehungsweise  =  Fy  K  und  E,  so  besteht  die  Beziehung :  F-^E==K'\-2, 

a.  FMcheiu 

7.  Fl&chenparallellsmns.  Die  Flächen,  welche  die  Krystalle 
hegrenzen,  treten  nicht  einzeln,  sondern  stets  paarweise  in  der  Art 
auf,  daß  zu  jeder  Fläche  eine  zweite  ihr  parallele  vorhanden  ist 
Diese  zwei  Flächen  gehören  notwendig  zusammen,  so  daß  man  streng 
genommen  nicht  von  Erystallflächen ,  sondern  von  Flächenpaaren  zu 
reden  hätte.  Wenn  von  einer  Fläche  gesprochen  wird,  so  ist  im  allge- 
meinen die  ihr  parallele  Gegenfläche  mit  verstanden. 

Ausnahmen  von  der  Erscheinung  des  Flächenparallelismus  büden  nur  gewisse 
hemimorphe  und  hemiedrische  Krystalle  ((68.  63)  z.  B.  Fig.  23  und  39  a  u.  c). 

8.  FliclienbeschaifeDheit.  Die  Begrenzungsflächen  der  ErystaUe 
fdnd  meist  ziemlich  eben,  doch  auch  nicht  selten  stark  gekrümmt,  wie 
z.  B.  beim  Diamant  und  bei  manchen  Gipskrystallen.  Aber  auch  die 
ebenen  Flächen  sind  meist  nicht  völlig  glatt,  sondern  sie  zeigen  häufig 
kleine  Erhabenheiten  und  Vertiefungen  von  verschiedener  Form  und 
Große,  regelmäjßig  geradlinige  Streifung  etc.  Manche  Flächen  zeigen 
starken  Olanz,  andere  sind  matt  und  rauh;  manche  sind  härter  als 
andere  desselben  Erystalls;  manchen  geht  ein  Blätterbruch  parallel, 
manchen  anderen  nicht  etc.  Dadurch  erhalten  die  Erystallflächen  einen 
^urch  die  Gesamtheit  ihrer  Eigenschaften  bestimmten  physikalischen 

Bauer,  Ui&enklogle.  ^ 


18 


EiDfache  KrjBtallfonnen.    Eombiitatioiieu. 


(iDorphologischen  oder  krystallographischen)  Charakter  (175).  Diejenigen 
Flächen  eines  Krystalls  {und  nur  auf  die  Flächen  eines  und  desselben 
Krystalls  bezieht  sich  das  Nachfolgende),  welche  denselben  physi- 
kalischen Charakter  haben,  welche  in  physikalischer  Hinsicht  in  jeder 
Beziehung  gleich  sind,  sind  auch  krystallographisch  gleichwertig,  sie 
heißen  kurzweg  ^gleich" ;  physikalisch  verschiedene  Flächen  sind  auch 
krystallographisch  verschieden.  Dabei  ist  ganz  abzusehen  von  der  rela- 
tiven Größe  und  Gestalt  derselben;  krystallographisch  gleiche  Flächen 
eines  Krystalls  siud  häufig  in  Form  und  Größe  sehr  voneinander  ver* 
schieden,  umgekehrt  sind  krystallographisch  verschiedene  Flächen  nicht 
selten  gleichgestaltet.  Parallele  Gegenflächen  sind  stets  einuLder  gleich 
(ausgenommen  bei  Hemiedrie  (63)  und  Hemimorphie  (68)). 

Weit  an  yollEtfindigren  Eryatallen  zn  jeder  Fl&che  eine  ihr 
g^leiche  parallele  Oegenfläche  vorhanden  int,  so  kann  man  Krystalt- 
brnchatflcke  sich  leicht  zn  vollatfindigen  Krystollen  ergänzt  denken. 
In  Fig.  3  wird  das  in  ausgezogenen  Linien  abgebildete  Erystallbmch- 
stflck  darcb  den  in  gestrichelten  Linien  (nnten  in  der  Fignr)  darge- 
stellten Teil  zn  einem  ToUstllndigen  Indifidanm  ergtnst.  Er;stftll- 
fragmente  genDgen  also,  wenn  sie  nicht  zn  mdimentAr  sind,  zur  Fes(> 
Stellung  krystallogrtiphischer  OesetzmäBigkeiten. 
Fig,  3.  Zur  Erleichtemng  der  KryatallbeBchreibnng  pflegt  mau  aof  Ab- 

bildungen nnd  Modellen  alle  gleichen  FlSchen  eines  Krystalls  mit 
demselben  Buchstaben  zq  hefeicbnen  (zu  signieren).  So  bedeutet  der  gleiche  Bnch- 
stabe  h  anf  den  Flächen  des  Krystalls  Fig.  5,  daß  sie  alle  einander  gleich  sind; 
die  BachBtaben  h  nnd  o  in  der  Erystallform  Fig.  7,  daQ  alle  Flächen  h  resp.  o  ein- 
ander gleich,  die  Flächen  h  aber  von  den  Flächen  o  yerscbieden  sind. 

9.  Elnfaehe  Erystallformen,  Kombinationen.  Untersncht  man 
die  in  der  Katur  vorkommenden  Krystalle,  so  findet  man,  daß  es 
einmal  solche  gibt,  deren  Begrenzungsfläcben  alle  einander  gleich 
sind,  sodann  solche,  welche  von  krystallographisch  verschiedenen  Flächen 
umgrenzt  werden.  Hierbei  ist,  wie  auch  im  folgenden  immer,  Gleichheit 
und  Verschiedenheit  im  Sinne  von  (8)  zu  verstehen. 

Die  Begrenzungen  von  Krystallen  der  ersten  Art  —  mit  lauter 
gleichen  Flächen  —  heißen  einfache  Krystallformen.  Solche  sind  z.  B. 
die  oktaedrischen  Formen,  welche 
man  häufig  beim  Magneteisen 
findet  (Fig.  4).  die  würfeligen  Ge- 
stalten des  Flnßspates  (Fig.  5) 
Q.  a.  m.  Man  findet  aber,  daß 
eine  solche  Form  nicht  aasschließ- 
lich  nur  bei  einem  einzigen  Mine* 
ral  vorkommt,  sondern  bei  meh- 
~'°  ~  "'°  reren.    So  trifft  man  die  okta- 

edrischen Formen  des  Magneteisens  gleicherweise  als  einfache  Formen 
wieder  beim    Glold,  Bleiglanz,  ebenfalls  beim  Flußspat,    der  außer 


Eombinatioiien.  19 

den  wOrfeligeo  aoch  oktaedrische  Erystalle  bildet,  beim  Alaun  etc. 
Die  wflrfeligen  Gestalten  des  Flußspats  treten  ebenso  wieder  beim 
Steinsalz,  Schwefelkies,  g'Ieichfalls  beim  Bleiglanz  etc.  anf. 

Die  Formen  mit  voneinander  verschiedenen  Begrenzangsflächen 
beiden  Konännaüonen.  Eine  solche  Kombination,  an  einem  Flußspat- 
krystaU  beobachtet,  ist  in  Fig.  7  abgebildet.  Der  Krystall  ist  nm- 
grenzt  von  den  8  dreieckigen  Flächen  o,  welche  alle  glatt  nnd  glänzend 
sind,  parallel  mit  welchen  die  Krystalle  sich  sehr  leicht  spalten  lassen, 
nnd  die  sich  überhaapt  in  jeder  Beziehung  gleich  verhalten ;  sodann 
von  den  6  viereckigen  Flächen  h,  welche  rauh  nnd  matt  sind,  in 
deren  Bichtong  Spaltung  nnmSglich  ist,  nnd  die  sich  ebenfalls  als 
untereinander  in  jeder  Beziehung  gleich,  aber  von  den  Flächen  o  ver- 
schieden erweisen. 

Denkt  man  sich  nun  die  sämtlichen  Flächen  o  bis  zur  gegen- 
seitigen Durchdringung  ausgedehnt,  bei  gleichzeitigem  Verschwinden 
der  Flächen  h,  nnd  faßt  sie  in  dieser  Weise  zn  einer  einfachen 
Erystallform  zusammen,  so  entsteht,  wie  Fig.  6  zeigt,  dieselbe  okta- 
edrische Gestalt,  welche  für  sich  allein  beim  Flußspat  etc.  auftritt 
(Fig.  4).  Denkt  man  sich  dagegen  in  gleicher  Weise  die  Flächen  A 
ausgedehnt  und  o  verschwunden  (Fig.  8),  so  entsteht  dadurch  die 
wOrfelige  Form,  welche  beim  Flatlspat  eta  vorkommt  (Fig.  5).    An 


Fig.  6.  Fig.  7.  Fig.  8. 


dem  in  Fig.  7  dargestellten  Krystall  sind  also  das  Oktaeder  und  der 
Würfel  gleichzeitig  nebeneinander  vorhanden;  er  ist  eine  Kombination 
dieser  beiden  einfachen  Formen.  Ebenso  kann  im  allgemeinen  jede 
andere  Erystallform  mit  angleichen  Flächen  als  eine  Yereinigong 
mehrerer,  meist  auch  isoliert  vorkommender  einfacher  Formen  aufge- 
faßt werden,  wobei  immer  die  zu  einer  einfachen  Form  gehörigen 
Flächen  einander  gleich  nnd  von  den  anderen  Flächen  verschieden 
sind  (vei^l.  10). 

Diese  einfachen  Formen  lassen  sich  somit  als  die  Elemente  be- 
trachten, ans  denen  man  den  ganzen  Keichtum  der  ErystaUgestalten 
ZDsammensetzen  kann.  Sie  sind  in  nur  geringer  Zahl  vorhanden  und 
jede  kehrfc  bei  einer  mehr  oder  weniger  großen  Zahl  von  Mineralien 
-wieder,  entweder  isoliert  für  sich,  wie  das  oben  tär  Oktaeder  nnd 


20 


Offene  und  geschlossene  Formen.    Kanten. 


Würfel  gezeigt  wurde,  oder  mit  anderen  Formen  zusammen,  in  Kom- 
binationen, die  ebenfalls  sich  bei  verschiedenen  Mineralien  in  der- 
selben Weise  wiederholen  können.  So  kommt  die  Form  Fig.  7  außer 
beim  Fluißspat  z.  B.  auch  beim  Bleiglanz  etc.  vor. 

Kombinationen,  m  welchen  2,  3,  4 . . .  einfache  Formen  vereinig  sind,  heißen 
2,  3,  4 . . .  gäfUig.  Die  Flächen  einer  einfachen  Form  sind  häufig  an  GrOfie  über- 
wiegend; diese  heißt  der  Träger  der  Kombination,  wie  z.  B.  0  in  Fig.  98  etc. 

10.  Offene,  geschlossene  Formen.  Eine  besondere  Art  einfacher 
Formen  lehrt  folgendes  Beispiel  kennen.  In  Fig.  9  (Mitte)  ist  ein 
von  den  Flächen  b  und  p  begrenzter  Ealkspatkrystall  abgebildet 
Alle  6  Flächen  p  sind  gleich,  aber  von  den  2  Flächen  b  verschieden« 
Erstere  sind  glasartig  glänzend,  letztere  milchig  trübe  und  matt.  Die 
Flächen  p  bilden  also  eine  einfache  Eiystallform  und  ebenso  die 
Flächen  b  eine  andere. 

Die  Flächen  p  schneiden  sich  in  6  parallelen  Kanten.  Sie  bilden 
offenbar  das  in  Fig.  9  (rechts)  abgebildete  sechsseitige  Prisma,  das 

den  Baum  nicht  mehr  allseitig  be- 
grenzt, sondern  ihn  nach  oben  und 
unten  offen  läßt.  Die  von  den  beiden 
Flächen  b  gebildete  einfache  Form  be- 
grenzt dagegen  den  ßaum  nur  nach 
oben  und  unten  (Fig.  9,  links),  läißt 
ihn  dagegen  nach  allen  anderen  Bich- 
tungen  hin  ringsum  offen.  Man  unterscheidet  danach  von  den  ge- 
schhssenen  einfachen  Krystallformen,  wie  z.  B.  Oktaeder  und  Würfel, 
die  offenen.  Von  diesen  werden  solche,  welche  den  Baum  nur  in  zwei 
entgegengesetzten  Bichtungen  offen  lassen,  wie  jenes  sechsseitige 
Prisma  p,  ganz  allgemein  JMsmen  genannl^  während  die  nur  von 
Fläche  und  Gegenfläche  b  begrenzten  Formen,  die  den  Baum  nur  nach 
zwei  entgegengesetzten  Bichtungen  abschließen,  Pinakoide  heißen. 

Offene  Formen  (Prismen  nnd  Pinakoide]  können  natürlich  isoliert  oder,  wie  man 
ea  sagen  pflegt,  selbständig  nicht  yorkommen,  sondern  nnr  in  Kombination  mit 
anderen  (offenen  oder  geschlossenen)  Formen.  Die  Zahl  der  ans  den  EombinationeB 
ableitbaren  (9)  einfachen  Formen  ist  also  nm  die  sämtlichen  offenen  Formen  größer 
als  die  der  selbständig  vorkommenden.  Übrigens  sind  anch  noch  nicht  aUe  in 
Kombinationen  sich  findenden  geschlossenen  einfachen  Formen  isoliert  bekannt  ge- 
worden. Hier  liegt  jedoch  keine  physische  Unmöglichkeit  yor,  sondern  es  ist  zu  er- 
warten oder  doch  möglich,  daß  sie  mit  fortschreitender  Kenntnis  der  Ejrystallwelt 
auch  selbständig  noch  gefunden  werden. 


iP 


Fig.  9. 


b.  Kanten. 

11.  Allgemeines.  Die  Flächen  schneiden  sich  in  Kanten,  welche 
gerade  verlaufen,  wenn  die  Flächen  eben  sind ;  im  anderen  Falle  sind 
sie  krumm,  wie  z.  B.  beim  Diamant  (8). 


Flfichenwinkel.    Goniometer.  21 

Da  die  Flächen  mit  ihren  parallelen  Gegenflächen,  also  paar- 
weise auftreten,  so  sind  die  Kanten  in  einer  Anzahl  von  mindestens 
vier  untereinander  parallelen  vorhanden  (oder  würden  vorhanden  sein, 
wenn  die  Flächen  weit  genug  ausgedehnt  wären). 

Die  Kante  zweier  Flächen  P  und  M  wird  mit  P/M  bezeichnet  (signiert).  Kanten, 
in  welchen  sich  an  einer  Kombination  zwei  nicht  derselben  einfachen  Krystallform 
angehGrige  Flüchen  schneiden,  heißen  Kombinationakanteny  z.  B.  die  Kanten  kjo 
m  Fig.  7. 

12.  FläehenwinkeL  In  den  Kanten  stoßen  die  Flächen  unter 
sehr  verschieden  großen  Winkeln  zusammen,  welche  aber  stets  bei 
vollkommen  regelmäßig  ausgebildeten  und  einheitlich  gebauten  ein-* 
fachen  Krystallen  (6)  ausspringend,  also  im  Innern  desKrystalls  <[180^ 
sind.  Die  vollkommen  regelmäßig  ausgebildeten  und  begrenzten  Krystall- 
individuen  sind  somit  stets  hmvexe  Polyeder  (vergl.  einspringende 
Winkel  der  Zwillinge  (155  ff.) ;  ebenso  (154)  bei  parallel  verwachsenen 
Individuen). 

Die  absolute  Größe  der  Flächenwinkel,  d.  h.  der  Winkel,  unter 
welchen  zwei  Flächen  in  einer  Kante  zusammenstoßen,  ist  das,  was 
man  unter  der  Gröfk  der  Kante  versteht.  Deren  Länge  ist  dabei  ebenso 
gleichgültig,  wie  die  Gestalt  der  Krystallflächen  (8).  Man  pflegt  zu 
sagen,  eine  Kante  ist  =  100®,  d.  h.  die  beiden  Flächen  stoßen  in  ihr 
unter  100®  zusammen.  Die  Größe  der  Kanten,  d.  h.  der  Flächen- 
winkel, ist  für  die  Kenntnis  der  Krystalle  höchst  wichtig,  und  man 
hat  daher  den  größten  Wert  auf  eine  möglichst  genaue  Messung 
derselben  zu  legen.  Diese  geschieht  mit  Hilfe  der  Goniometer,  welche 
als  die  wichtigsten  Instrumente  des  Krystallographen  anzusehen  sind. 
In  Gebrauch  ist  hauptsächlich  das  Anlegegoniometer  von  Garangeot 
und  das  Reflexionsgoniometer  von  WoUaston,  vielfach  mit  den  Ver- 
besserungen von  Mitscherlich,  Babinet  und  anderen.  Dieses  letztere 
gibt,  wenn  Krystalle  mit  gut  spiegelnden  Flächen  vorliegen,  auf  wenige 
Minuten,  ja  Sekunden  genaue  Resultate,  auch  wenn  die  Flächen  klein 
sind.  Das  erstere  setzt  große  Krystalle  mit  glatten,  wenn  auch  matten 
Flächen  voraus,  gibt  aber  auch  unter  den  günstigsten  Umständen 
nur  auf  V4* — V2^  richtige  Näherungsresultate.  Es  ist  sehr  viel  ein- 
facher gebaut  und  leichter  zu  handhaben  als  das  Reflexionsgonio- 
meter. 

Die  ebenen  Winkel  der  Kanten  (Xantemvinkel)  in  den  einzelnen  Flächen  lassen 
sich  nicht  so  genan  messen,  wie  die  Flächen winkel.  Sie  können  aber  ans  den 
Flächenwinkeln  leicht  durch  Rechnung  ermittelt  werden.  Nur  in  seltenen  Fällen  ist 
man  in  der  Lage,  sie  direkt  bestimmen  zu  müssen.  Die  dazu  dienenden  besonderen 
Methoden  sollen  aber  hier  nicht  weiter  berücksichtigt  werden. 

13.  Anlegegoniometer.  Das  Anlegegoniometer  ist  1783  von  dem 
Pariser  Mechaniker  Carangeot  erfunden  und  später  von  dem  Mineralogen 


22 


Anlegegoniometer.    fieflexionsgoniometer. 


Fig.  10. 


Haüy  verbessert  worden.    Es  besteht  aus  dem  in  Grade  etc.  geteilten 

Halbkreis  hgi  (Fig.  10),  dessen  Mittelpunkt  in  c 
sich  befindet.  Durch  c  gehen  zwei  Schienen,  deren 
eine  de  um  c  drehbar  ist,  die  andere  Tn  nicht 
Der  untere  Rand  der  Schiene  hi  ist  dem  Durch- 
b^  messer  0*^  bis  180®  des  Ej*eises  parallel  und  hl 
geht  verlängert  durch  c  und  durch  den  Anfangs- 
punkt 0®  der  Teilung,  sowie  durch  den  Punkt 
180^  Der  Rand  de  der  beweglichen  Schiene 
geht  dem  bei  jedem  Azimuth  derselben  durch 
den  Mittelpunkt  c  sich  fortsetzenden  Rande  ß  parallel.  Die 
Messung  geschieht,  indem  man  den  Erystall  so  zwischen  die  beiden 
Schienen  de  und  hi  bringt,  wie  das  den  Krystall  darstellende  ge- 
strichelte Parallelogramm  andeutet.  Die  zwei  Flächen,  deren  Winkel 
gemessen  werden  soll,  liegen  den  äußeren  Rändern  beider  Schienen 
genau  an,  was  durch  Drehung  der  beweglichen  Schiene  de  um  c  be- 
werkstelligt werden  kann.  Auch  muß  die  Ebene  des  Teilkreises  auf 
der  zu  messenden  Kante  möglichst  genau  senkrecht  stehen.  Der  Rand 
fk  der  beweglichen  Schiene  de  bezeichnet  am  Teilkreis  die  für  den 
gesuchten  Winkel  abzulesende  Zahl  a. 

um  auch  an  in  Hohlräumen  sitzenden  Erystalleu  Winkel  messen  zn  können, 
hat  das  Instrument  yielfach  die  Einiichtung,  daß  sich  die  eine  Hälfte  des  Kreises 
um  ein  bei  g  befindliches  Chamier  nach  hinten  umklappen  läßt.  Die  beiden  Schienen 
dt  und  hi  kann  man  meist  in  den  an  ihnen  angebrachten  Schlitzen  paraUel  mit  sich 
selbst  verschieben,  so  daß  sie  nach  Bedarf  nur  mit  zwei  kleinen  Spitzen  über  c 
hinausragen.  Auch  lassen  sich  bei  fast  allen  Instrumenten  dieser  Art  die  beiden 
Schienen  zusammen  aus  dem  Teilkreis  herausnehmen  und  wieder  einsetzen.  Noch 
etwas  andere  Konstruktionen  sind  ebenfalls  schon  yersucht  worden,  die  aber  yon  der 
obigen  nicht  wesentlich  abweichen. 

14.  Beflexionsgoniometer.  Prineip,  Das  Beflexionsgoniometer  be- 
ruht auf  folgendem  Prinzip  (Fig.  11):  Gemessen  soll  werden  der  Winkel 
der  beiden  Flächen  ac  und  hc  in  der  Kante  c  (kurz  die  Kante  c).  Auf 
der  einen  Fläche  ac  wird  bei  c  das  Bild  eines  leuchtenden  Punktes  p, 
des  Signals,  nach  dem  bei  o  befindlichen  Auge  reflektiert,  und  somit  in 

der  Richtung  ocgi  gesehen.  Diese  Richtung  kann 
durch  eine  in  der  Verlängerung  von  oc  bei  gt 
angebrachte  Marke  ein  fdr  allemal  fest  bestimmt 
werden.  Das  Auge  bleibt  dabei  stets  in  o  und 
der  leuchtende  Punkt  in  jp.  Der  Krystall 
ach  sei  so  orientiert,  daß  o  und  p  in  einer  zur 
Kante  c  senkrechten  Ebene  liegen  (welche  die 
Zeichnungsebene  sein  soll).  Dann  bewegt  sich 
das  auf  der  ersten  Fläche  ac  reflektierte  Bild 


Fig.  11. 


von  p  allmählich  über  das  Sehfeld  hin,  wenn  man  den  Krystall  um 


Wollastonsches  Groniometer.  23 

die  Kante  c  als  Achse  von  a  gegen  a^  dreht,  und  verschwindet  end- 
lich ganz.  Dabei  nähert  sich  die  zweite  Fläche  bc  in  ihrer  Lage 
immer  mehr  der  ursprünglichen  Lage  der  Fläche  ac  resp.  deren 
Erweiterung.  Wenn  so  bc  allmählich  ungefähr  in  die  erste  Position 
von  ac,  also  in  die  Nähe  von  cb^  gelangt  ist,  erscheint  das  nun  auf 
bc  reflektierte  Bild  von  p  wieder  von  der  anderen  Seite  her  im  Sehfeld, 
bewegt  sich  darin  bei  weiterem  Drehen  vorwärts  und  wird  in  dem 
Augenblick  wieder  genau  in  der  durch  die  Marke  q  fest  bestimmten 
Sichtung  acq  gesehen,  in  welchem  ob  nach  cb^  in  die  Verlängerung 
von  ac  fällt.  Man  erkennt  den  Moment,  in  dem  die  Fläche  cb  nach 
d>^  in  die  Erweiterung  der  Fläche  ac  gefallen  ist,  eben  gerade  daran, 
daß  man  das  Keflexbild  des  Signals  p  auf  der  zweiten  Fläche  cb^ 
wieder  genau  in  der  Richtung  ocq  sieht.  Der  Winkel,  um  den  man 
bis  dahin  drehen  muß,  ist  der  Winkel  bd)^,  den  die  zweite  Fläche 
in  ihrer  ersten  Lage  cb  mit  ihrer  zweiten  Lage  cb^  macht ;  es  ist  der 
Nebenwinkel  des  eigentlich  zu  messenden  Winkels  acb.  Letzteren  er- 
hält man,  wenn  man  den  ersteren  von  180®  abzieht.  Der  Winkel  oc6 
heißt  der  innere,  der  Winkel  bcb^  der  äußere  Winkel  der  beiden 
Flächen  ac  und  bc.  Die  Messung  des  Winkels  bcb^  kann  geschehen, 
wenn  der  Krystall  so  an  einem  drehbaren  Teilkreis  befestigt  wird, 
dass  die  zu  messende  Kante  c  mit  dessen  Drehachse  zusammen  resp. 
in  deren  Verlängerung  fällt 

Der  gemessene  äußere  Winkel  bcb^  ist  offenbar  gleich  dem  Winkel  der  Normalen  der 
beiden  Flächen  ac  und  bc.  Man  findet  diesen  direkt  gemessenen,  auch  als  „Normalen- 
winkel" bezeichneten  Winkel  vielfach  statt  des  eigentlichen  inneren  Flächenwinkels 
in  den  ExystaUbeschreibungen  angegeben.  Jeder  dieser  beiden  Winkel  ergänzt  den 
anderen  zu  180^  und  es  ist  namentlich:  ac5  =  180^  —  bcb\ 

15.  Wollastonsches  Goniometer.  Das  ursprüngliche,  zuerst  von 
WoUashn  1809  nach  diesem  Prinzip  konstruierte  Eeflexionsgoniometer 
in  seiner  einfachsten  Gestalt  ist  in  Fig.  12  abgebildet  (wo  man  sich 
zunächst  aber  den  Spiegel  s  und  das  Femrohr  e  auf  dem  Stativ  l,  die 
spätere  Zutaten  sind,  wegzudenken  hat). 

Auf  der  runden  Grundplatte  ist  das  oblonge  MessingstQck  q  befestigt,  auf 
welchem  sich  zwei  dicke  nach  oben  konvergierende  Messingftlße  erheben.  Dieselben 
vereinigen  sich  (hinter  dem  Teilkreis)  zu  einer  dicken  Messingplatte,  welche  cylindnsch 
durchbohrt  ist,  und  in  dieser  Durchbohrung  dreht  sich  die  Achse,  welche,  vorn  gegen 
den  Beschauer  gerichtet,  den  Teilkreis  trägt.  Dieser  ist  senkrecht  zu  der  Drehachse; 
letztere  ist  horizontal,  der  Kreis  selbst  vertikal.  Die  Drehung  dieser  Achse  mit  dem 
Teilkreis  geschieht  mittels  des  an  ihrem  hinteren  Ende  angebrachten  großen  runden 
Knopfes,  welcher  im  Bild  am  Rande  der  Scheibe  links  sichtbar  wird.  Diese  Achse  ist 
auch  ihrerseits  centrisch  durchbohrt  und  in  ihr  dreht  sich  koncentrisch  eine  zweite 
d&nnere  Achse  mittels  des  kleineren  Knopfes,  welcher  unmittelbar  links  von  dem  ge- 
nannten größeren  zu  sehen  ist.  Die  Einrichtung  ist  so  getrofien,  daß  beim  Drehen 
am  kleinen  Knopf  nur  die  innere  Achse  bewegt  wird,  während  die  äußere  mit  dem 
Teilkreis  unbeweglich  bleibt,  daß  aber  beim  Drehen  der  dickeren  äußeren  Achse  am 
großen  Knopf  die  innere  Achse  von  selbst  der  Drehung  folgt. 


24  Wollutoiuchefl  Goniometer. 

Am  Torderen  Ende  der  inneren  Achse  ist  der  Erystallträger  »ythk  befestigt.  Der- 
selbe läQt  sich  zunächst  zwischen  ewei  p&r&llelen  Schienen  (  in  radialer  Richtong 
aber  den  Endpunkt  der  Drehachse  hin  TerEchiel)en,  Das  zwischen  den  beiden  Schienen 
veTBcbiebhare  Stück  ist  senkrecht  nrng-ehogen;  der  zum  Teilkreis  senkrechte  Ann 
tr&gt  bei  j/  einen  dem  Kreis  parallelen  Stift,  um  welchen  sieh  das  bei  (  rechtwinklig 
nmgebogene  Stück  drehen  laßt.  An  diesem  ist  senkrecht  m  dem  Stift«  bei  y  die 
Hülse  h  befestigt,  in  welcher  der  Stift  k  geradlinig  verschoben  nnd  anch  gedreht  werden 
kann.  Dieser  Stift  k  hat  vom  einen  SchlitE,  in  welchem  ein  Tiereckiges  Mesäng- 
pl&ttchen  b  stecht,  an  das  der  zn  messende  Krjstall  mittels  Wachs  angeklebt  wird. 
Dieser  mnli  so  befestigt  sein,  daG  die  zn  messende  Kant«  der  Drehachse  des  Teil- 
kreises parallel  wird  nnd  in  ihre  Yerlftngeinng  fillt.  Je  genauer  dies  der  Fall  ist, 
desto  genaner  wild  aach  cet  psr.  die  Messang  des  Winkels. 


Fig.  12. 

Diese  Stellung  erhält  der  Erystaü  zunächst  so  gnt  als  mOglich  nach  dem  Angen- 
maQ,  wobei  der  Stift  k  dem  Teilkreis  parallel  gestellt  wird.  Um  die  Kante  ge- 
nauer in  die  bezeichnete  Lage  zn  bringen,  benutzt  man  die  beiden  zueinander  senk- 
rechten Drehachsen  y  nnd  k.  Darch  successive  Drehung  nm  dieselben  kann  dem  Erjstall, 
also  anch  der  i>etr.  Kante  jede  beliebige  Richtung  gegeben  werden,  also  auch  diejenige, 
welche  hier  erforderlich  ist.  Zu  diesem  Zweck  stellt  man  jetzt  das  Instrument  gerade 
Tor  einem  Fenster  so  anf,  daQ  der  Teilkreis  senkrecht  zn  demselben  gerichtet  ist; 
je  temer  das  als  gespiegeltes  Objekt  p  {Fig.  U)  benutzte  Fenster  yom  Krjslall  ist, 
desto  genauer  wird  die  Messung.  Han  bring't,  wie  Uberhanpt  immer  bei  diesen 
Messungen,  das  Auge  so  nahe  als  möglich  an  den  Krystall  und  läQt  nun  das  Fenster 
anf  der  einen  Erjstaliflttche  spiegeln,  indem  man  sie  durch  Drehung  am  kleinen 
Knopf  in  die  hierzu  geeignete  Lage  bringt.  Das  Bild  des  Fensters  wird  man  dabei  im 
allgemeine»  schief  stehen  sehen;  durch  eine  Drehung  des  ErjstalltrSgers  um  den 


Wollastonsches  Goniometer.  25 

Stift  y  wird  man  es  aber  leicht  dahin  bringen  können,  daß  das  anf  der  Fläche  ge- 
spiegelte Bild  dea  Fensters  gerade  steht,  d.  h.  daO  die  horizontalen  Sprossen  des 
Fensterkreuzes  ebenfalls  horizontale  Bilder  geben  nnd  daß  die  Bilder  der  vertikalen 
Sprossen  mit  den  direkt  gesehenen  zusammenfallen.  In  dieser  Lage  ist  die  erste 
Flftche  der  Drehachse  parallel;  durch  Drehung  des  Krystalls  um  die  letztere  wird  an 
dieser  Stellung  der  ersten  Fläche  nichts  geändert  Dreht  man  nun  den  Krystall  so, 
daß  das  Fenster  anf  der  anderen  Fläche,  deren  Winkel  zu  jener  ersten  gemessen 
weirden  soll,  gespiegelt  wird,  so  wird  dieses  zweite  Spiegelbild  im  allgemeinen  eben- 
falla  schief  stehen.  Dasselbe  kann  nun  durch  Drehung  des  Stiftes  k  in  der  Hülse  h 
gerade  gestellt  werden ;  die  zweite  Fläche  wird  dann  der  Drehachse  parallel.  Dadurch 
ist  aber  die  erste  Fläche  aus  ihrer  richtigen  Lage  wieder  etwas  herausgerückt  worden. 
Man  muß  sie  also  durch  Drehung  um  y  von  neuem  in  derselben  Weise  einstellen, 
wie  oben  gezeigt  wurde,  indem  man  auf  ihr  zum  zweitenmal  das  Fenster  spiegeln 
läßt;  dann  wieder  die  zweite  Fläche  durch  Drehung  yon  k  etc.  Dabei  ist  streng 
darauf  zu  sehen,  daß  jede  der  beiden  Flächen  stets  um  dieselbe  Achse,  y  oder  fc,  ge- 
dreht wird.  Nach  wenigen  Wiederholungen,  bei  denen  die  Abweichongen  immer 
kleiner  und  kleiner  werden,  sind  beide  Flächen,  also  auch  deren  Kante,  sowie  sämt- 
liche andere  in  derselben  Zone  liegenden  Flächen  der  Drehachse  des  Instruments 
parallel,  man  sagt,  der  Krystall  ist  justiert;  die  Spiegelbilder  des  Fensters  auf  beiden 
Flächen  gehen  dann  bei  einer  vollen  Drehung  des  Krystalls  bei  unveränderter  Stel- 
lung des  Auges  ganz  gerade  über  das  Sehfeld  hin.  Um  nun  die  der  Drehachse  parallele 
Kante  auch  genau  in  die  Verlängerung  von  jener  zu  bringen,  die  Kante  zu  ceiitHeren, 
ist  zuweilen  die  innere  Drehachse  noch  einmal  centrisch  durchbohrt  und  es  geht  ein 
nmder  Stift  hindurch,  der  vom  eine  scharfe  Schneide  hat,  welche  genau  in  die  Achse 
Mit.  Der  Krystallträger  wird  nun  in  dem  Schlitten  s  und  senkrecht  dazu  der  Stift 
k  längs  der  Hülse  h  ohne  Drehung  verschoben,  bis  die  zu  messende  Kante  genau 
an  der  Schneide  anliegt,  was  mittels  dieser  beiden  Bewegungen  stets  möglich  ist. 
Fehlt  der  Stift,  so  wird  dos  Centrieren  nur  nach  dem  Augenmaß  bewerkstelligt. 
Jedenfalls  aber  ist  zu  kontrollieren,  ob  dabei  nicht  die  Flächen  aus  ihrer  richtigen 
Lage  gekommen  sind,  eventuell  ist  die  Justierang  zu  korrigieren. 

Die  Messung  selbst  geschieht  dann  dadurch,  daß  man  eine  bestimmte  horizontale 
Sprosse  an  dem  Fenster  ins  Auge  faßt  und  den  Krystall  durch  Drehen  an  dem 
kleinen  Knopf  so  stellt,  daß  das  Spiegelbild  dieser  Sprosse  auf  der  ersten  Fläche  in 
geeigneter  Richtung  mit  einer  direkt  gesehenen  Marke,  welche  man  vor  dem  In- 
strument ebenfalls  in  möglichst  großer  Entfernung  wählt,  zusammenfällt.  Dann 
dreht  man  am  großen  Knopf,  bis  dasselbe  mit  dem  Spiegelbild  der  nämlichen  Fenster- 
sprosse auf  der  zweiten  Fläche  der  Fall  ist.  Die  vor  und  nach  der  letzteren  Drehung 
abgelesenen  Winkel  geben  die  Positionen  der  beiden  Flächen.  Wenn  man  sie  von 
einander  subtrahiert,  erhält  man  den  Normalenwinkel  (den  äußeren  Winkel)  der 
beiden  Flächen.  Die  Messung  wird  durch  Repetition  genauer:  man  dreht  an  dem 
kleinen  Knopf  den  Krystall  so,  daß  die  erste  Fläche  wieder  in  die  ursprüngliche 
Lage  kommt,  und  dreht  wieder  am  großen  Knopf,  bis  dasselbe  auch  mit  der  zweiten 
Fläche  abermals  der  Fall  ist  etc.  Abzulesen  ist  ev.  nur  vor  und  nach  dem  Beginn  der 
Messung  nötig;  der  ganze  ermittelte  Winkel  ist  ein  Multiphim  des  gesuchten,  den 
man  durch  Division  mit  der  Anzahl  der  Einstellungen  der  zweiten  Fläche  erhält 
als  arithmetisches  Mittel  aus  allen  Einzeleinstellungen  des  Winkels. 

Eine  Verbesserung  dieses  einfachsten  Instruments  ist  der  Spiegel  5,  der  um  eine 
der  Drehachse  des  Instruments  parallele  Achse  r  drehbar  ist.  Das  Fenster  wird  gleich- 
zeitig auf  der  Krystallfläche  und  dem  Spiegel  reflektiert.  Das  auf  dem  Spiegel  reflek- 
tierte Bild  des  Fensters  bleibt  bei  der  Drehung  des  Krystalls  unverändert  stehen, 
kann  also  anstatt  der  direkt  gesehenen  Marke  q  (Fig.  11)  benützt  werden.  Diese 
beiden  Reflexbilder  sind  oft  viel  bequemer  gleichzeitig  zu  beobachten  als  das  Spiegel- 


26  WoUastonsches  Goniometer. 

bild  auf  der  Krystallfläche  und  eine  möglichst  ferne  Marke  q ;  die  Messung  ist  daher 
mit  diesem  Spiegel  vielfach  leichter  und  auch  genauer  als  ohne  ihn. 

Eine  FehlerqueUe  liegt  bei  der  bisher  betrachteten  einfachen  Einrichtung  des 
Instruments  darin,  daß  das  Auge  des  Beobachters  unwillkürlich  während  der  Messung 
seine  Lage  etwas  ändert;  dadurch  ändert  sich  aber  auch  die  Visierrichtung  ocq 
(Fig.  11]  entsprechend.  Damit  immer  genau  in  derselben  Richtung  visiert  wird,  ist 
daher  weiter  auf  dem  Stativ  l  (Fig.  12)  das  um  die  mit  der  Drehachse  des  Instru- 
ments gleich  gerichtete  horizontale  Achse  d  in  einer  zum  Teilkreis  parallelen  Ebene 
drehbare,  mit  einem  Fadenkreuz  versehene  Fernrohr  e  angebracht  worden,  das  genau 
auf  die  Drehachse  gerichtet  wird.  Vor  der  Objektivlinse  desselben  kann  eine  weitere 
Linse  eingeschaltet  werden,  die  sich  durch  Drehung  um  einen  Stift  f  vor  der  vorderen 
Öf&iung  des  Fernrohrs  anbringen  und  wieder  entfernen  läßt.  Mit  dieser  Linse 
wirkt  das  Femrohr  als  Lupe,  in  der  man  den  Krystall  deutlich  sieht,  und  mittels 
welcher  das  Centrieren  mit  größerer  Genauigkeit  vorgenommen  werden  kann:  man 
schiebt  den  Krystall  so,  daß  die  zu  messende  Kante  in  das  Fadenkreuz  des  Fem- 
rohrs fällt.  Das  Femrohr  ist  mit  seinem  Stativ  längs  der  Platte  mn  in  der  Rich- 
tung der  Drehachse  des  Instruments  etwas  verschiebbar,  damit  man  stets  das  Faden- 
kreuz auf  die  Krystalle  richten  kann,  welche  nicht  immer  genau  in  derselben  Ent- 
femung  von  dem  Teilkreis  aufgeklebt  sind.  Bei  der  Beobachtung  der  Reflexe  zur 
Justierung  und  Messung  muß  die  Linse  wieder  zurückgeschlagen  werden. 

Natürlich  kann  statt  des  als  gespiegeltes  Objekt  benützten  Fensters  auch  etwas 
anderes  angewendet  werden,  namentlich  wenn  man  das  Fernrohr  e  gebraucht  In 
diesem  Fall  nimmt  man  zweckmäßig  eine  kleine,  möglichst  entfernte  Lichtflamme, 
welche  in  der  durch  das  Femrohr  gegebenen  Yertikalebene  liegen  muß.  Man  kon- 
trolliert dies,  indem  man  das  Licht  direkt  mit  dem  Femrohr  anvisiert,  das  man  zu 
diesem  Zweck  um  die  horizontale  Achse  d  nach  oben  dreht.  Das  Licht  muß  dann 
in  das  Fadenkreuz  fallen,  und  wenn  dies  nicht  der  Fall  ist,  muß  das  Instrument 
auf  seiner  Unterlage  so  lange  gedreht  werden,  bis  diese  Koincidenz  eintritt;  dann 
hat  das  Instmment  gegen  das  Licht  die  richtige  Stellung. 

Das  vorstehend  beschriebene  Instrument  gibt  die  Winkel  guter 
Flächen  auf  eine  Minute  genau.  Noch  genauere  Messungen  erfordern 
einen  Krystallträger  von  größerer  Vollkommenheit  als  den  eben  be- 
schriebenen, der  nur  eine  annähernde  Einstellung  der  Krystallkante 
gestattet.  Ein  solcher  verbesserter  Centrier-  und  Justierapparat,  der 
an  dem  soeben  beschriebenen  Instrument  leicht  mit  dem  vertikalen 
Kreis  verbunden  werden  kann,  ist  in  (16)  beschrieben.  Ein  mit  einer 
derartigen  Einrichtung  versehenes  vollkommeneres  Instrument  hat  zu- 
erst Mit^cherlich  konstruiert,  der  auch  zuerst  mit  dem  Wollastonschen 
Instrument  das  erwähnte  Fernrohr  verband  und  ebenso  noch  ein 
zweites  Femrohr,  dem  ersten  gegenüber  auf  der  anderen  Seite  des 
Kiystallträgers  stehend,  beide  Femrohre  in  derselben  zur  Drehachse 
senkrechten  Vertikalebene  gelegen.  Auch  dieses  zweite  Fernrohr,  das 
Eollimatorrohr,  ist  mit  dem  einen  Ende  auf  die  Drehachse  gerichtet 
und  kehrt  das  andere  Ende  nach  oben  und  außen,  dem  Okular  des 
ersten,  des  Beobachtungsfernrohres,  entgegengesetzt.  Es  dient  dazu, 
die  Richtung  des  einfallenden  Lichts  genau  zu  fixieren.  Seine  Ein- 
richtung ist  wie  die  des  Beleuchtungsfernrohrs  C  in  Fig.  13  und 
gleichfalls  aus  (16)  zu  ersehen. 


Goniometer  mit  horizontalem  Kreis.  27 

Yollkommenere  Instrumente  dieser  Art  siehe:  Y.  v.  Lang^  Denkschr.  Wiener 
Ak.  1875;  Brezina,  Jahrb.  k.  k.  geol.  Eeichsanstalt,  1884,  pag.  321,  vergl.  anch  (3) 
B.  1883;  Klein,  Krystallo^raphie  (siehe  (3)  B.  1876);  Liebisch,  siehe  (16).  Die  ersten 
Beflexionsgoniometer :  WoUastony  Gilb.  Ann.  Bd.  37,  1811,  pag.  367  xmd  Mitscherlichj 
Abh.  Berl.  Akad.  1843,  pag.  189. 

16.  Goniometer  mit  horizontalem  Kreis«  Keflexionsgoniometer,  nament- 
lich vollkommenere  mit  einem  größeren  Teilkreis  versehene,  werden  heutzutage 
vielfach  nicht  mehr  mit  vertikalem  Kreis  konstruiert.  Dieser  wird  nach  dem  Vor- 
schlage von  Malus  und  Bahinet  besser  horizontal  gelegt ;  die  Drehachse  sowie  die  zu 
messenden  Krystallkanteu  stehen  dann  vertikal.  Der  Vorteil  davon  ist,  daß  man 
auch  große  Krjstalle  messen  kann,  welche  sich  bei  horizontaler  Achse  wegen  zu  be- 
deutenden Gewichts  kaum  stabil  am  Krystallträger  befestigen  lassen.  Femer  werden 
bei  dieser  Anordnung  die  drehenden  Teile  des  Instruments  weniger  und  nicht  ein- 
seitig abgenützt.  Im  übrigen  ist  die  Einrichtung  eines  derartigen  Instruments,  wie 
es  in  Fig.  13  im  Durchschnitt,  Fig.  14  in  etwas  anderer  Form  in  seiner  äußeren 
Ansicht  abgebildet  ist,  von  einem  solchen  mit  Vertikalkreis  nicht  wesentlich  ver- 
schieden. 

Ein  messingener  Dreifuß  mit  Stellschrauben  trägt  das  an  das  eine  Bein  fest 
angeschraubte  Beleuchtungsfemrohr  C  (Fig.  13),  sowie  eine  horizontale  dicke  Messing- 
platte, welche  centrisch  bei  o  eine  nach  unten  sich  verjüngende  konische  Durch- 
bohrung hat.  Darin  steckt  eine  erste  hohle  Achse  &,  welche  den  Nonienkreis  d  trägt 
und  an  der  zum  Drehen  unten  eine  Scheibe  c  befestigt  ist,  au  welcher  die  bei  a 
befindliche  Klemm-  und  Einstell  Vorrichtung  angreift.  An  den  Nonienkreis  ist  das 
auf  dem  Stativ  B  befindliche  Beobachtungsfemrohr  festgeschraubt.  In  der  Achse  b 
steckt  die  zweite  konisch-hohle  Achse  e,  an  welcher  der  Limbus  mit  der  Teilung  bei  f 
normal,  also  horizontal  befestigt  ist;  diese  Achse  e  hat  unten  den  Knopf  g  und  die 
Klemm-  und  Einstellvorrichtung  ß.  In  dieser  Achse  e  steckt  eine  dritte  konische  Achse  A, 
welche  innen  cylindrisch  durchbohrt  ist  und  die  den  Stahlcylinder  s  aufnimmt,  an 
dem  oben  der  Ej-ystallträger  befestigt  ist.  Unten  trägt  sie  einen  Knopf  i,  der  von 
der  sog.  Centralschraube  k  durchbohrt  ist,  mittels  welcher  sich  der  Gylinder  s  nebst 
dem  Krystallträger  höher  und  niedriger  stellen  läßt  Die  Schraube  l  dient  dazu, 
eine  feste  Verbindung  zwischen  den  Achsen  h  und  e  herzustellen,  so  daß  sie  sich  nur 
zusammen  drehen  können ;  nach  Lösung  der  Schraube  {  dreht  sich  jede  Achse  selbst- 
ständig. Eine  Klemmschraube  bei  p  erlaubt  eine  feste  Verbindung  zwischen  s  und  h 
herzusteUen  oder  zu  lösen. 

Auf  der  Säule  s  ist  der  Krystallträger  befestigt,  der  aus  der  Gentrier-  und 
Justiervorrichtung  besteht.  Die  Justiervorrichtung  wird  gebildet  von  zwei  Halb- 
cylindem,  von  denen  einer  bei  t  sichtbar  ist;  au  demselben  ist  unten  ein  Teil  eines 
kreisförmigen  Zahnrades  befestigt,  in  dessen  Zähne  die  Schraube  ohne  Ende  x  ein- 
greift und  den  Gylinderschlitten  um  eine  zu  s  und  zu  x  senkrechte  Achse  in  der 
hohlen  Gylinderschale  r  dreht.  Eine  zweite  genau  gleiche  nur  etwas  kleinere  Vor- 
richtung ist  auf  die  erstere  bei  y  angesetzt.  Hier  dreht  sich  der  zweite  Halb- 
cylinder  f  mittels  einer  zu  x  und  auf  der  Zeichuungsebene  senkrechten  Schraube 
ohne  Ende  y,  die  in  der  Zeichnung  nur  als  kleiner  Kreis  über  y  zu  sehen  ist,  senk- 
recht zum  ersten  Gylinder  t  in  der  hohlen  Gylinderschale  r*.  Dieser  zweite  Gylinder 
f  trägt  oben  das  mit  der  Schraube  v  zu  befestigende  Plättchen  u,  auf  dem  der  zu 
messende  Krystall  befestigt  wird.  Durch  Drehung  der  die  beiden  Gylinder  in  Be- 
wegung setzenden  aufeinander  senkrechten  Schrauben  x  und  y  kann  dann  der  Kante 
des  Krystalls  jede  beliebige  Neigung  gegeben  werden. 

Die  Centriervorrichtung  mm  besteht  aus  zwei  ebenen  Schlitten,  welche  normal 
zur  Stange  s  in  zwei  zueinander  senkrechten  Richtungen  verschoben  werden  können. 


28  Goniometer  mit  horizontalem  Kreis, 

Eine  Schraube  a  bewegt  den  unteren  Schlitten  m  aber  n  veg  Ton  rechts  nach  links; 
eine  dazu  senkrechte  in  a  sich  projizierende  Schranbe  bewegt  den  zweiten  Schlitten 
m'  flher  die  «nf  m  befestigte  Schiene  n  weg  von  vorn  nach  hinten.  Der  zweit« 
ebene  Schlitten  m'  trägt  seinerseits  den  oben  beachriehenen  Jiiatierapparat,  man  kann 
also  den  jastierten  KrjstalL  ohne  Andernug  seiner  Neigung  mittels  der  beiden  ebenen 
Schlitten  ins  Centmm  bringen.  Der  Erystall  selbst  wird  mit  der  zu  messenden 
Kante  anfrecht  mittels  Wachs  an!  dos  Plättchen  u  geklebt,  welches  dnrch  die 
Schranbe  v  fest  mit  der  Jnstiervorrichtnng  verbunden  werden  kann. 

Das  Bei  euch  tnogsfemrohr  (Kollimator)  C  trägt  nach  innen   ein  achromatisches 
Objektiv  and  nach  anQen  im  Brennpunkt  des  letzteren  einen  Spalt  mit  geraden  oder 


Fig.  13. 

in  der  Hitte  sich  verjüngenden  Wänden,  oder  eine  anders  gestaltete  ÖfTnnng  ''das 
Signal).  Diese  wird  intensiv  belenchtet,  das  Licht  fSIlt  von  hier  auf  die  Linse,  tritt 
parallel  ans  der  Röhre  heraus  und  zwar,  da  der  Kollimator  genau  anf  die  Drehachse 
gerichtet  ist,  in  der  Eichtnng  anf  letztere  hin,  in  deren  Fortsetzung  der  Krystall 
zunächst  nach  dem  AngenraaG  möglichst  genau  centricrt  und  justiert  auf  das  Plättchen  h 
aufgesetzt  ist.  Auch  das  Beobachtongsfemrohr  B  ist  genau  auf  die  Drehachse  ge- 
richtet; es  vergrößert  nicht  oder  nur  sehr  wenig.  Durch  Vorstecken  einer  Linse 
kann  es  in  eine  Lupe  verwandelt  werden,  mittels  welcher  man  den  bei  u  befindlichen 
Krjstall  deutlich  sieht. 

Der  Krystall  wird  nun  zunächst  centrierl,  indem  man  die  beiden  ebenen  Schlitten 
m  und  m'  mittels  der  Schrauben  a  und  a  hewegt,  bis  bei  einer  vollen  Umdrehung 
des  Knopfes  i  (bei  loser  Schranbe  {)  der  Krystall  im  Fadenkreuz  des  in  eine  Lupe 


Goniometer  mit  horiBOQtalem  Ereig.  29 

Terwandelten  Femrohra  unrerrfickt  Bteheo  bleibt.  Diuin  wird  die  Jaatieriuig^  bewirkt, 
indem  mftn  dtis  Signal  des  Beleoclititngsfemrohra  zneret  anf  der  einen,  dann  aut  der 
anderen  der  zn  meuenden  Flächen  reflektieren  IfiQt  nnd  jedesmal  an  den  Schrauben  x  nud  y 
des  JoBtierapparatR  den  Krjstall  bo  lange  dreht,  bis  das  Spiegelbild  des  Signals  mit 
dem  vertikalen  Ereaztaden  im  Beobachtnngsfemrohr  koiniidiert.  SchlieBlicta  wird  die 
■n  messende  KaDte  noch  einmal  fein  centriert.  Die  Hessnng  selbst  ei^bt  sich  dann 
nach  dem  beim  Wollastonscheu  Instrument  Angegebenen  (lö)  leicht  von  selbst 

[Whisky,  Zeitschr.  fürErfst.  IV.  1860.  54ö;  weitere  Literatur  Über  Ooniometer 
siehe:  Liäiitch,  Ber.  Über  die  wissenscb.  Instrumente  der  Berl.  Qewerbeaosstellnng, 


1860,  pag.  321  nnd  EaudwOrterbnch  fUr  Chemie,  Artikel  Erystallographie,  pag.  160ff.). 
J!>i«s,  liehe  Literator  (3)  B.  18»9. 

17.  TheodoUthgonioKeter,  Die  KeSeiionsgoniometer  mit  horiaontalem  und 
rertikaiem  Teilkreis  haben  im  Laufe  der  Zeit  sehr  Tersohiedenartige  Formen  er- 
halten, die  hier  nm  so  weniger  berücksichtigt  zra  werden  branchen,  als  sie  das  Wesen 
der  Sache  nuberllhrt  lieQen.  Nenestens  hat  man  nnn  auch  Instramente  dieser  Art 
mit  cwei  Teilkreisen,  einem  horizontalen  nnd  einem  vertikalen,  konstruiert,  die  dem- 
nach als  zvieikrätige  Goniometer  oder  auch  als  Theodolithgoniometer  bezeichnet  werden. 
Sie  bieten  für  die  Vesanng  nnd  Berechnung  der  Erystalle  gewisse  Tortmle,  sind 
aber  trotsdem   noch  nicht  sefar  verbreitet    Ihre  Einrichtung  ist  im  Detail  bu  dea 


30  Gleiche  Kanten.    Ecken. 

verschiedenen  Modellen  etwas  verschieden,  im  wesentlichen  aher  immer  dieselbe. 
(7.  Goldschmidt,  Zeit«chr.  f.  Kryst.  21.  1893.  210  u.  29.  1898.  339;  v.  Fedoraw,  ibid. 
21.  1893.  603;  icw«,  N.  Jahrb.  f.  Mineralogie  etc.  1897.  I.  78,  1898.  If.  64,  Beilage- 
band 10. 1896. 180:  Czapski,  Zeitschr.  f.  Instrnmentenk.  13. 1893.  242;  Viola,  Zeitschr. 
f.  Kryst.  30.  1899.'  417 ;  Stöher,  ibid.  29.  1898.  26). 

Sogar  Apparate  mit  3  Teilkreisen  sind  schon  gebant  worden. 

Die  meisten  besseren  Eeflexionsgoniometer  sind  anch  znr  Bestimmung  von 
Brechungskoeffizienten  und  zu  anderen  optischen  Untersuchungen  eingerichtet,  von 
denen  unten  noch  eingehend  die  Bede  sein  wird.  Ein  für  alle  in  der  Mineralogie 
gewöhnlich  vorkommenden  krystallographischen  und  krystalloptischen  Arbeiten  gleich- 
zeitig geeignetes  Instrument  ist  das  Krystallpolymete^'  (C.  Klein,  Sitzgsber.  Berlin. 
Akad.  1900.  248). 

Einige  eigenartige,  auf  anderen  Prinzipien  beruhende  Goniometer  seien  hier 
noch  wenigstens  dem  Namen  nach  erwähnt,  und  zwar  Hirsch walds  Mikroskop- 
goniometer  (N.  Jahrb.  f.  Mineralogie  etc.  1879.  301  u.  539.  ibid.  1880.  156;  Zeitschr. 
f.  Kryst.  8.  1884.  16)  sowie  Fuess'  Fühlhebelgoniometer  (Zeitschr.  f.  Kryst.  8.  1884.  1), 

18.  Gleiche  Kanten.  Gleiche  Kanten  eines  Krystalls  sind,  ganz 
unabhängig  von  ihrer  Länge,  solche,  in  welchen  sich  beziehungsweise 
gleiche  Flächen  unter  gleichen  Winkeln  schneiden.  Hat  man  z.  B. 
ein  oblonges  Prisma  (Fig.  15)  dessen  zwei  ungleiche  Flächenpaare  a 

und  b  sich  rechtwinklig  schnei- 
den, so  sind  alle  vier  Kanten 
K  einander  gleich,  denn  jede  ist 
von  zwei  unter  90®  zusammen- 
stoßenden Flächen  a  und  b  ge- 
Fig.  16.  bildet    Ist  dagegen  das  Prisma 

ein  rhombisches  (Fig.  16),  d.  h. 
gebildet  von  zwei  gleichen,  aber  schiefwinklig  sich  schneidenden 
Flächenpaaren  (also  vier  gleichen  Flächen)  a,  so  sind  zwar  je 
zwei  gegenüberliegende  Kanten  K  (resp.  E})  gleich,  da  sie  gebildet 
sind  von  den  gleichen  Flächen  a,  welche  unter  den  gleichen  Winkeln 
a  (resp.  a^)  zusammenstoßen.  Aber  K  ist  von  K^  trotz  der  Gleich- 
heit der  Flächen  a  an  beiden  Kanten  verschieden,  da  der  Winkel 
das  eine  Mal  a,  das  andere  Mal  a^=  180® — «  ist.  Stets  ist  eine  Kante 
gleich  der  ihr  diametral  gegenüberliegenden  parallelen  Gegenkante. 
Gleiche  Kanten  eines  Krystalls  können  sehr  verschiedene  Längen  be- 
sitzen, ebenso  wie  gleiche  Flächen  sehr  verschiedene  Größen  und  Umrisse. 

In  dem  Staurolithkrystall  (Fig.  17,  pag.  32)  sind  die  Kanten  mjo  rechts  und  links  ein- 
ander gleich,  weil  auf  beiden  Seiten  m  und  o  sich  unter  gleichen  Winkeln  von  115^  17' 
schneiden;  ebenso  sind  die  Kanten  mjr  rechts  und  links  von  r  oben  und  unten  am 
E^rystaU  gleich,  da  alle  diese  ^  m/r  =  137^  68',  also  einander  gleich  und  von  den- 
selben Flächen  m  und  r  gebildet  sind. 

c  Ecken. 

19.  Ecken.  Die  Ecken  entstehen  dadurch,  daß  3,  4,....n  Flächen 
und  Kanten  in  einem  Punkt  zusammenstoßen.    Man  nennt  eine  Ecke 


Gesetz  der  Winkelkonstanz.  3X 

z.  B.  4  kantig  oder  4  flächig,  wenn  sie  von  4  gleichen  Kanten  resp. 
Flächen  gebildet  wird,  2  +  2kantig  resp.  -flächig,  wenn  in  ihr  je 
2  nnd  2  gleiche  Kanten  resp.  Flächen  zusammenstoßen  etc. 

Glddie  Ecken  eines  Krystalls  sind  solche,  in  denen  gleich  viele 
einander  beziehungsweise  gleiche  Flächen  und  Kanten  in  der  gleichen 
Ordnung  aufeinander  folgen,  wobei  diese  Reihenfolge  im  gleichen  Sinne 
oder  im  entgegengesetzten  Sinne  stattfinden  kann. 

Der  Staurolithkrjstall  (Fig.  17,  pag.  32)  hat  z.  B.  oben  und  unten  an  der  vertikalen 
Kante  mjm  zwei  gleiche  Ecken  mrm,  beide  gebildet  von  den  drei  Flächen  m,  m,  r; 
femer  von  der  Kante  mjm  und  den  beiden  gleichen  Kanten  mjr^  rjm,  welche  an 
beiden  Ecken  in  der  angegebenen  Reihe  aufeinander  folgen.  Die  beiden  oberen 
Ecken  mrp  rechts  und  links  von  r  sind  ebenfaUs  einander  gleich;  an  beiden  folgen 
sich  die  drei  Flächen  mrp  in  der  von  den  Buchstaben  angegebenen  Beihe,  bei  der 
einen  rechts-,  bei  der  anderen  linksherum  und  ebenso  bei  beiden  die  Kanten  mlr^  rjp,  pim. 
In  beiden  Ecken  folgen  sich  also  in  der  Tat  dieselben  Flächen  und  Kanten  in  der- 
selben Beihenfolge,  aber  im  entgegengesetzten  Sinne.  Die  beiden  Ecken  mrp  an  der 
unteren  Fläche  r  sind  den  beiden  genannten  ebenfaUs  gleich. 

Jede  Ecke  ist  der  ihr  diametral  gegenüberliegenden  Ecke  (der 
Gegenecke)  gleich. 


C.   Gesetze,   nach    denen   die  Begrenzungselemente    der 

Erystalle  angeordnet  sind. 

a.  Gesetz  der  Winkelkonstanz  und  der  Fläeliengrappierang. 

20.  Winkelkonstanz.  Untersucht  man  alle  gleichbegrenzten 
Erystalle  derselben  Substanz,  so  findet  man,  daß  die  entsprechenden 
Flächen  sich  in  gleichliegenden  Kanten  stets  unter  denselben  Winkeln 
schneiden.  Bei  fernerer  Untersuchung  findet  man,  daß  dieselben 
Winkel  auch  dann  wiederkehren,  wenn  man  sie  an  Krystallen  mißt, 
an  denen  außer  jenen  Flächen  noch  andere  vorhanden  sind,  oder  an 
denen  auch  einige  von  ihnen  fehlen.  Kurz,  es  ist  ein  ausnahmslos 
durch  die  Erfahrung  festgestelltes  Gesetz:  An  sämtlichen  Krystallen 
derselben  Sübstana  schneiden  sich  entsprechende  Flächen  in  gleich  liegenden 
Kanten  stets  unter  gleichen  Winkeln,  Dies  ist  das  Gesetz  der  konstanten 
Flächenwinkel  oder,  weil  aus  ihm  von  selbst  auch  die  Gleichheit  gleich- 
liegender Eantenwlnkel  folgt,  allgemein  das  Gesete  der  Winkelkonstam. 

Dabei  ist  aber  abzusehen  von  der  Temperatur,  von  unvermeidlichen  kleinen 
MessTmgsfehlem  und  von  kleinen  Unregelmäßigkeiten  in  der  Aosbildnng  der  ErystaUe, 
welche  geringe  Abweichungen  zur  Folge  haben. 

Mißt  man  die  Winkel  der  Flächen  an  den  oktaedrischen  Krystallen  des 
Magneteisens  (Fig.  4),  so  findet  man  an  allen  Kanten  stets  109^  28',  und  zwar 
auch  dann,  wenn,  wie  es  häufig  vorkommt,  statt  der  Kanten  andere  Flächen  vor- 


vT" 


-^£^ 


32  Winket  TerBchiedener  Sabstatuen.    Flftchengmppienuig. 

handen  sind,  wie  in  Fig.  78,  oder  wenn  noch  andere  Modifikationen  des  oktaedrischen 

Körpers  eingetreten    sind    (Fig.  98).     Unter  den- 

y ,        ■-,_,.-'      -y,  selben  Winkeln  schneiden  sich  stets  die  Flächen  o 

'-•'~~, — - L /  der  FloBspatkrystalJe,   nährend   sich  die  Flächen 

k  Btets  unter  90*  schneiden  nnd  zwar  ebensowohl 
in  den  Fig.  5,  wie  Fig.  7  abgebildeten  Krjst&llen; 
die  Fl&chen  o  und  h  machen  stet«  125"  16'.  Bis 
beiden  prismatischen  Spaltnngsfläcben  der  Hom- 
hlende  schneiden  sich  in  allen  Erjstallen  unter 
Yig.  17,  Fig.  18.   124*'  28';   die    Flächen,    denen  im   Kalkspat  die 

BlätterbrQche  parallel  gehen,  nnter  105"  Ö'.  Btim 
Stanrolith  findet  man  au  allen  Krjgtsllen  von  der  Form  Fig.  17  oder  18:  .2fm/i»  = 
129»  86  ;  aUe  ^  m/r  =  137"  68';  aUe  -^C  m'o  =  115"  IT;  alle  ^  m/p  =  90"  nnd 
o/p  ^90"  etc.  Dieselben  Winkel  m/m,  nt/r  etc.  findet  man  aber  auch  an  Krystallen, 
an  welchen  die  Fl&chen  r  fehlen,  oder  wo  zn  den  angegebenen  Flttchen  noch  weitere 
himcngetreten  sind. 

21.  Winkel  Terschledener  Substanzen.  Die  an  äen  Terscfaiedenen 
Erystalleo  derselben  Substanz  stets  wiederkehrenden  Winkel  findet 
man  im  allg:enieiQen  nicht  an  Krystallen  anderer  Substanzen.  Die 
Winkel,  welche  die  Flächen  der  Krystalle  einer  Suistanx  miteinander 
machen,  sind  für  diese  Substanz  charakteristisch ;  man  kann  letztere  daran 
wiedei'erkennen  and  von  anderen  Substanzen  unterscheiden,  auch  wenn 
die  Kiystalle  der  verschiedenen  Substanzen  sonst  außerordentlich 
ähnlich  sind.  So  gibt  es  z.  B.  sog.  Rhomboeder  (Fig.  171)  von  Kalk- 
spat, deren  Flächen  sich  unter  105"  5'  schneiden;  äußerlich  häufig 
nuanterscheidbar  davon  sind  die  Ehomboeder  des  Magnesit,  wenn  man 
nicht  die  Winkel  mißt,  die  hier  107"  28'  betragen.  Nur  die  Formen 
des  regnlären  Systems  (102  ff.)  und  einige  wenige  andere  sind  fär  alle 
Krystalle  ohne  Ausnahme  stets  dieselben. 

22.  Konstanz  der  Il&ehengrnpplemng.  Untersucht  man  die 
Krystalle  einer  nnd  derselben  Substanz  in  Beziehung  anf  die  Be- 
scbafienheit  ihrer  Flächen,  so  findet  man,  daß  an  solchen  die  gleich, 
d.  h.  von  gleich  vielen  in  gleicher  Weise  gegeneinander  liegenden 
Flächen  begrenzt  sind,  die  Zahl  und  die  gegenseitige  Lage,  d.  h.  die 
Gruppierung  der  gleichen  Flächen  stets  die  nämliche  ist.  Diese  bei  allen 
Krystallen  derselben  Substanz  wiederkehrende  Anordnung  der  gleichen 
resp.  der  ungleichen  Flächen  kann  als  das  Gesetz  der  hmstanten  Flachen- 
grvppierung  bezeichnet  werden. 

So  sind  an  den  oktaedrischen  Krjetallen  des  Flußspats  (Fig.  4)  stets  alle 
8  Fl&chen  einander  gleich,  ebenso  anch  an  den  oktaedrischen  Krystallen  des  Magnet- 
eisens, des  Goldes  etc.  Dasselbe  ist  der  Fall  bei  den  6  Flächen  der  wDrfeUOmiigen 
Kijstalle  des  FlnOspatcs  (Fig.  b),  des  Steinsalzes  etc.  An  den  yon  14  Fl&chen  be- 
grenzten Kristallen  des  FlnQspata  (Fig.  TJ  sind  stets  die  8  dreieckigen  FlSchen 
nnd  ebenso  die  6  viereckigen  Fl&chen  je  nnter  sich  gleich  nnd  von  den  anderen  ver- 
schieden, nnd  ebenso  verhalten  sich  die  in  deraelben  Weise  begrenzten  Krystalle  de« 
Bleiglanzes.    Von  den  Fig.  9  abgebildeten   Krjstallen  des  Kalkspates  sind  immer 


ParallelYerschiebniigf  der  Flächen.  33 

ff, 

die  6  PrismenflSchen  p  untereinander  gleich  nnd  von  den  beiden  ebenfiJls  einander 
gleichen  Pinakoidflächen  b  verschieden  etc. 

Hieraus  in  Verbindnng  mit  (9)  und  (10)  folgt,  dafi  an  den  yer- 
schiedenen  Erystallen  einer  nnd  derselben  Substanz  stets  dieselben 
einfachen  Formen,  aber  allerdings  nicht  immer  in  derselben  Anzahl 
wiederkehren ,  die  jedesmal  von  den  sämtlichen  je  untereinander 
gleichen  Flächen  des  betreffenden  Krystalls  gebildet  werden. 

23.  ParallelTerschiebniig  der  FlScheB.  Nach  (20)  und  (22)  ist 
bei  gleich  begrenzten  Krystallen  derselben  Substanz  die  Flächen- 
gruppierung stets  dieselbe,  und  die  entsprechenden  Flächen  schneiden 
sich  in  gleichliegenden  Kanten  stets  unter  denselben  Winkeln.  Diese 
Verhältnisse  sind  also  konstant  und  daher  für  die  Krystalle  wesentlich 
und  wichtig.  Nicht  konstant  und  an  den  gleichbegrenzten  Krystallen 
derselben  Substanz  verschieden  sind  dagegen  die  Gröfie  und  die 
Gestalt  der  gleichen  Flächen  und  die  Länge  der  gleichen  Kanten 
und  somit  die  geometrische  Form  der  ganzen  Krystalle.  Diese  ist  also, 
weil  wechselnd,  für  die  Krystalle  unwichtig  und  unwesentlich.  Die 
verschieden  gestalteten  von  gleich  vielen  gleichliegenden  Flächen  be- 
grenzten Krystalle  einer  und  derselben  Substanz  lassen  sich  auch  sehr 
leicht  ineinander  überführen,  indem  man  die  Flächen  in  geeigneter 
Weise  parallel  mit  sich  verschiebt.  Einige  Beispiele  werden  dies 
näher  erläutern. 

Wenn  man  sämtliche  oktaedrischen  Krystalle  von  Magneteisen 
vergleicht,  deren  acht  gleiche  Flächen  sich  unter  dem  stets  wieder- 
kehrenden Winkel  von  109*  28'  (resp.  dessen  Supplement  von  70**  320 
schneiden,  so  haben  sie  z.  T.  die  Form  Fig.  4;  andere  haben  aber 
die  etwas  abweichende  Form  Fig.  19  oder  Fig.  20,  und  noch  viele 
andere  ähnliche  Gestalten  dieser  achtflächig  begrenzten  Krystalle 
kommen  vor.  Sie  alle  müssen  für  krystallographisch  gleich  gehalten 
werden  trotz  ihrer  großen  geometrischen  Verschiedenheit,  denn  in 
jeder  schneidet  sich  eine  gleich  große  Anzahl  (acht)  untereinander 
gleicher  Flächen  in  gleichliegenden  Kanten  unter  gleichen  Winkeln, 
so  daß  sich  alle  diese  Formen  bezüglich  der  Flächengruppierung  und 
4er  Flächenwinkel  vollkommen         yfr—\ 

gleichen  und  sich  nur  durch  die      yj  \\  \  yT'\  \ 

Gestalt^  den  Umfang  und  die  ^:qr::.;h-:f>^\\  y^/  \\'\\ 

Oröße  der  Begrenzungsflächen,  \^s(  /^  >^  ^L..x. — ^.M.  \ 
^so  in  der  geometrischenForm  y  \  /  /  \  \  /  yf  X 
unterscheiden,  welche  ja  aber  \      i/  \\^/V    1/ 

krystallographisch   ganz    un-  Yig,  19.  Fig.  20. 

wesentlich  ist.     Es   ist   nun 

aber  leicht  einzusehen,  daß  man  die  eine  dieser  Formen  z.  B.  Fig.  20 
aus  den  anderen  z.  B.  Fig.  4  dadurch  entstanden  denken  kann,  daß 

Bauer,  Mineralogie.  ^ 


34  Ideale  ErjstaUformen. 

f. 

zwei  Flächen  parallel  mit  sich  selbst  um  einen  entsprechenden  Betrage 
nach  außen  rücken;  dadurch  wird  ja  weder  an  der  physikalischen  Be- 
schaffenheit derselben,  noch  an  den  Flächenwinkeln  das  Mindeste  ge- 
ändert. Umgekehrt  entsteht  die  Form  Fig.  4  aus  der  Fig.  20,  wenn 
man  sich  die  beiden  Flächen  rechts  soweit  nach  links  verschoben 
denkt,  daß  sie  durch  die  beiden  Ecken  oben  und  unten  hindurch- 
gehen. In  Fig.  20  ist  dies  durch  die  gestrichelten  Linien  angedeutet. 
Ebenso  kann  durch  Parallelverschiebung  der  Flächen  die  Form  Fig.  4 
in  die  Form  Fig.  19  übergeführt  werden  und  umgekehrt,  wie  auch 
hier  die  gestrichelten  Linien  zeigen.  Ferner  findet  man  häufig  von 
den  oben  (20)  erwähnten  Flächen  begrenzte  Staurolithkrystalle,  die 
aber  nicht  die  Form  Fig.  17,  sondern  die  Form  Fig.  18  haben.  Beide 
Formen  lassen  sich  ohne  Änderung  der  krystallographisch  allein  in 
Betracht  kommenden  Winkel  und  der  Flächenbeschaffenheit  inein- 
ander überführen,  wenn  man  bei  Fig.  17  die  Flächen  o  parallel  mit 
sich  etwas  nach  innen,  resp.  bei  Fig.  18  nach  außen  schiebt 

Aus  allem  diesem  folgt,  daß  man  sich  die  Erystallflächen  nicht 
als  starr  und  unbeweglich  vorstellen  darf,  wie  die  Begrenzungsebenen 
geometrischer  Körper,  sondern  sie  müssen  parallel  mit  sich  beweglich 
gedacht  werden,  und  man  hat  den  Satz:  Jede  Krystcd/fläche  kann  in 
beliebiger  Weise  parallel  mit  sich  selbst  verschoben  werden,  ohne  daß  an 
der  betr.  Krystallform  dadurch  etwas  Wesentliches  geändert  wird.  Die 
Bichtungen  der  Erystallflächen  können  durch  ihre  Normalen  dargestellt 
werden;  längs  diesen  können  die  Flächen  hin-  und  hergieiten,  ohne 
in  ihrer  Richtung  und  in  ihrer  Beschaffenheit  irgend  eine  Änderung 
zu  erleiden. 

Ans  der  ParaUelverschiebbarkeit  der  Flächen  folgt  anch,  daß  die  Qi^Qe  der 
KrystaUe  eine  nnwesentliche  Sache  sein  mnß.  In  der  Tat  findet  man  auch  von 
derselben  Substanz  Erjstalle  von  krystallographisch  gleicher  Form  in  der  ver- 
schiedensten Größe,  so  z.  B.  QuarzkrystaUe  von  mikroskopischer  Kleinheit  bis  zu 
mehreren  Centnem  Gewicht. 

24.  Ideale  Hrygtallformen.  Denkt  man  sich  sämtliche  Flächen 
eines  Krystalls  parallel  mit  sich  so  verschoben,  daß  je  alle  gleichen 
Flächen  (8)  von  einem  beliebigen  Punkt  im  Innern  des  KrystaUs,  dem 
sog.  Mittelpunkt  desselben  gleich  weit  entfernt  sind,  so  schneiden  sich 
diese  Flächen,  die  nun  gleiche  Centraldistanz  haben,  wegen  ihrer 
regelmäßig  -  symmetrischen  Verteilung  um  den  Krystallmittelpunkt 
(52 ff.)  immer  so,  daß  alle  krystallographisch  gleichen  Flächen  auch 
gleiche  Form  und  Größe  erhalten,  also  kongruent  werden.  Solche  Formen^ 
bei  denen  die  krystallographisch  gleichen  Flächen  gleiche  Central- 
distanz haben  und  daher  auch  geometrisch  gleich  sind,  heißen  idede 
KrystaUformen ,  man  sagt,  ihre  Flächen  seien  im  Glüchgewicht.  Sie 
unterscheiden  sich  aber  krystallographisch  nicht  wesentlich  von  den 


Kantenschnitte.  35 

anderen  FonneD,  bei  welchen  die  gleichen  Flächen  ungleiche  Gestalten 
nnd  Umrisse  haben  und  welche  durch  paralleles  Verschieben  der 
Flächen  aus  ihnen  abgeleitet  werden  können.  Diese  letzteren,  deren 
Flächen  verschiedene  Centraldistanzen  zukommen,  nennt  man  zuweiten 
unzutreffend  vereenrte  Formen  oder  Verzerrungen.  Eine  ideale  Form 
ist  z.  B.  das  in  Fig.  4  dargestellte  Oktaeder;  verzerrte  Oktaeder 
stellen  Fig.  19  und  20  dar.  Ideale  Formen  kommen  in  voUkommener 
Ausbildung  wohl  niemals  in  der  Natur  vor,  stets  sind  die  Krystalle 
mehr  oder  weniger  „verzerrt".  Nicht  selten  geht  die  „Verzerrung" 
so  weit,  daß  von  der  idealen  Gestalt  sehr  bedeutend  abweichende, 
davon  scheinbar  ganz  verschiedene  Formen  entstehen,  welche  auf 
jene  oft  nur  mit  Hilfe  von  Winkelmessungen  zurückgeführt  werden 
können,  indem  man  aus  der  Gleichheit  gewisser  Winkel  in  beiden 
S^rystallen,  umgekehrt  wie  in  (20),  die  respektive  Gleichheit  der  be- 
treffenden, den  Winkel  einschließenden  Flächen  an  denselben  folgert. 

Hätte  man  z.  B.  an  einem  „verzerrten"  StanroUthkrystaU  einen  Winkel  von 
129*^  26'  gemessen,  so  würde  man  daraus  mit  Sicherheit  schließen,  daß  die  be- 
treffenden Flächen  diejenigen  des  Prismas  m  sind  etc. 

Diese  idealen  Formen  werden  gewählt,  wenn  man  die  Krystalle  plastisch  als 
Modelle  darstellen  oder  wenn  man  sie  zeichnen  will.  Man  ersieht  dann  aus  den  Um- 
rissen die  Gleichheit  nnd  Znsammengehörigkeit  der  Flächen,  resp.  die  Verschiedenheit 
derselben.  An  den  idealen  Gestalten  ist  die  Übersicht  tlber  die  einzelnen  Flächen  nnd 
einfachen  Formen  am  leichtesten  nnd  bequemsten.  Daher  wird  nicht  selten  die  ganze 
Krystallographie  auf  denselben  aufgebaut,  was  aber  den  Anfänger  leicht  zu  der 
falschen  Meinung  führen  kann,  als  seien  die  idealen  Formen  etwas  krystallographisch 
Vollkommeneres,  als  die  „Verzerrungen".  Dies  ist  aber  durchaus  nicht  der  FaU,  sie 
sind  im  Gegenteil  Abstraktionen,  welche  in  absoluter  Vollkommenheit  in  der  Natur 
wohl  nie  vorkommen. 

b.  Gesetz  der  rationalen  Kantenschnitte. 

25.  EaBtenschnitte.  Es  seien  XOY,  YOZ,  ZOX  drei  beUebige 
Flächen  eines  Krystalls  (Fig.  21),  welche  sich  in  dem  Punkt  0  und 
in  den  drei  Kanten  OX,  OY,  OZ  schneiden  oder  ge- 
nügend ausgedehnt  schneiden  würden,  wenn  etwa  da- 
zwischenliegende Flächen  wegfallend  gedacht  werden. 
Eine  vierte  Fläche  ABC  treffe  diese  drei  Kanten  in 
A,  jB,  (7,  so  ist  diese  letztere  in  ihrer  Lage  gegen  die 
drei  ersten  Flächen  vollkommen  unzweideutig  bestimmt, 
wenn  man  die  drei  Abschnitte  (Kantenschnitte)  OA, 
OB,  OC  kennt.  Verschiebt  man  nun  die  Fläche  ABC 
parallel  mit  sich  nach  A^B^C\  so  ist  diese  neue  Lage  der  Fläche 
durch    die   Kantenabschnitte  0A\  0B\  OC^  gegeben   und   zwar  ist 

offenbar : 

OA:OA^  =  OB:OB^  =  OC:OC^  oder 

OA :  OB :  OC  =  OA' :  OB^ :  OC^ 

3* 


36  Gesetz  der  rationalen  Eantenschnitte. 

Wenn  also  bei  dieser  Parallelyerschiebnng  auch  die  absoluten 
Werte  der  Kantenschnitte  der  vierten  Fläche  sich  ändern,  so  bleibt 
doch  das  Verhältnis  derselben  stets  das  nämliche.  Da  nun  die  beiden 
parallelen  Flächen  ABC  und  A^  B^  G^  als  krystallographisch  ident, 
als  eine  und  dieselbe  Erystallfläche  zu  betrachten  sind  (23),  so  ist 
diese  Fläche  offenbar  krystallographisch  in  ihrer  Lage  gegen  jene 
drei  Flächen  und  Kanten  yollkommen  bestimmt  durch  das  allen  den 
verschiedenen  Parallellagen  derselben  gemeinsame  Verhältnis  der  Ab- 
schnitte :  OA :  OB :  0(7,  während  die  absolute  Größe  dieser  letzteren 
gleichgültig  ist. 

Setzt  man  nun 

OA^=::r.OA,  so  ist  OB^  =  r.OB',  OC^  =  r.OG, 
da  nur  so  das  Verhältnis  OA :  OB :  OC  erhalten  bleibt.  Man  kann 
daher  auch  sagen:  Die  drei  Ka/rUenschnüte  einer  Fläche  lassen  sich  mit 
emer  helidngen  Zahl  multiplieieren  {oder  dividieren),  ohne  daß  die  durch 
die  neuen  Abschnitte  dargestellte  Fläche  krystallographisch  eine  andere 
wird.  Die  Fläche  mit  den  neuen  Abschnitten  ist  von  der  ersten  krystallo- 
graphisch nicht  verschieden,  sie  ist  durch  Parallelverschiebung  aus 
dieser  entstanden  und  die  Multiplikation  (oder  Division)  ist  der 
algebraische  Ausdruck  der  Parallelverschiebung. 

Ist  die  Fläche  einer  oder  zwei  von  den  drei  Kanten  parallel,  so 
sind  die  auf  diese  Kanten  bezüglichen  Abschnitte  =  oo. 

Das  Verhältnis  der  Eantenabschnitte  OA :  OB :  OC  ergibt  sich  anf  folgende 
Weise :  Aus  den  mit  dem  Goniometer  zn  messenden  V^inkeln,  welche  die  drei  Flächen 
XOY,  YOZ,  ZOX  in  den  drei  Kanten  OX,  OY,  OZ  miteinander  einschließen,  können 
zunächst  die  Neigungen  dieser  drei  Kanten  gegeneinander,  also  die  Winkel  XOY, 
YOZj  ZOX  berechnet  werden.  Aus  zwei  von  den  gleichfalls  mit  dem  Goniometer 
zu  ermittelnden  Winkeln  der  vierten  Fläche  ABC  zu  jenen  drei  ersten  erhält  man 
dann  das  Verhältnis  OA  :  OB :  OC  oder,  wenn  man  einen  dieser  Abschnitte  z.  B. 
OC  =  1  setzt,  die  beiden  anderen,  OA  und  OB^  ausgedrückt  in  OC  als  Einheit. 
Dieses  Verhältnis  ist  nur  abhängig  von  jenen  fünf  Winkeln  und  ändert  sich  mit 
diesen;  ebenso  ist  natürlich  das  Umgekehrte  der  Fall. 

26.  Bationale  KanteBSchnitte.  Wählt  man  unter  den  sämt- 
lichen Begrenzungsflächen  eines  Krystalls  drei  beliebige  XOY,  YOZ, 

ZOX,  welche  sich  in  drei  von  dem  Punkt  0  ausgehen- 
den Kanten  OX,  OY,  OZ  schneiden  (Fig.  22),  so  ist 
irgend  eine  ebenso  beliebige  vierte  Fläche  ABC,  welche 
die  drei  Kanten  in  A,  B,  C  trifft,  durch  das  Ver- 
hältnis der  Abschnitte  OA :  OB  :0C  ^=  a  :  b  :  c  in 
ihrer  Lage,  gegen  die  Kanten  OA,  OB,  OC  und  damit 
auch  in  ihrer  Neigung  gegen  jene  drei  Flächen  krystallo- 
graphisch unzweideutig  gegeben.  Ebenso  ist  dies  der 
Fall  für  eine  beliebige  fünfte  Fläche  MNP  durch 
das  Verhältnis  der  Abschnitte :  OM :  ON :OP=m:n:p.    Bildet  man 


Gesetz  der  rationalen  E^tenschnitte.  37 

nun  die  Quotienten  je  der  auf  dieselbe  Kaute  bezüglichen  beiden 

Abschnitte:  — ,  7-,  — ,  so  kann  man  setzen: 

a'   6'  c' 

:  "tT"  :     — —  ft  i  K  i  V» 
a    0    c 

Nach  einer  bei  allen  bisher  untersuchten  Erystallen  ohne  Aus- 
nahme gemachten  Erfahrung  sind  nun  die  Erystallflächen  stets  so 
gruppiert,  d.  h.  ihre  gegenseitigen  Neigungen,  die  Winkel,  die  sie  mit- 
einander einschließen,  sind  so,  daß  diese  Zahlen  A,  %,  l  rationale^  d.  h. 
durch  ganze  Zahlen  völlig  exakt  ausdrückbare  Größen,  also  entweder 
direkt  ganze  Zahlen  (inkl.  00)  oder  auch  echte  oder  unechte  Brüche  sind, 

m.  a.  W.  jene  drei  Quotienten  — ,  ^,  —  verhalten  sich  stets  wie  ratio- 
nale Größen  (00  eingeschlossen).  Die  Erfahrung  lehrt  gleichzeitig,  daß 
bei  geeigneter  Wahl  der  ersten  vier  Flächen  die  rationalen  Zahlen 
meist  auch  Meine,  einfache  Werte  haben,  die  selten  10  erreichen  oder 
noch  seltener  übersteigen  (ausgenommen  der  Wert  00).  So  findet  man 
also  z.  B.  häufig: 

—  :^:— =1:2:3  oder  =  -^:>,  :-rOder  =  2:3:i^oder  =  oo:l:letc. 
a    h    c  2    3    4  3 

in  welch  letzterem  Falle  die  betreffende  Fläche  mit  der  Kante  OX 
parallel  ist.  Ungewöhnlich,  wenn  schon  nicht  unmöglich,  sind  Ver- 
hältnisse, wie: 

— :  1  :  —  =  9 :  11 :  17  oder  =  tö  ^  t^  •  ^-0  etc. 
a    0     c  13    15    18 

Dagegen  sind  Verhältnisse  wie: 

J:J:^  =  log2:log3:log5  oder  =/2:/3:/5 

als  irrational  durchweg  ausgeschlossen.  Solche  konnten  niemals  fest- 
gestellt werden,  man  muß  sie  daher  nach  allen  unseren  Erfahrungen 
als  krystallographisch  unmöglich  betrachten. 

Da  man  ein  Verhältnis  von  Brüchen  stets  in  ein  solches  von 
ganzen  Zahlen  umwandeln  kann,  also  z.  B. : 

so  kann  man  auch  ebenso  allgemein  sagen,  die  Flächen  aller  Krystalle 
sind  so   gruppiert,  daß  h,  k,  l  stets  ganae  Zahlen  sind,    daß    sich 

also  jene  drei  Quotienten  — ,  -r-,  —  wie  ganze  Zahlen  verhalten.   Dabei 

m    n    p    i^ 

sind  die  Längen  a,  ft,  c ;  m,  n,  p  und  ebenso  die  Quotienten  — ,  -r '  T  ^ 

a    0    c 

sich  betrachtet  im  allgemeinen  irrational,  nur  die  Verhältnisse  der 
letzteren  sind  rational  (ganz). 


38  Gesetz  der  ratiojiale&  Kantenschnitte. 

Wie  die  fünfte  Fläche  MNP  verhält  sich  dann  jede  weitere 
sechste,  siebente  etc.  Fläche.  Dasselbe,  was  für  die  Abschnitte  der 
fünften  Fläche  in  Beziehung  zu  denen  der  vierten  gilt,  gilt  auch 
für  die  Abschnitte  aller  ferneren  Flächen  desselben  Krystalls. 

Dies  ist  das  Gesetz  der  rationalen  Kantenschnitte,  das  wohl  auch 
als  das  Gesetz  der  einfachen  rationalen  Eantenschnitte  bezeichnet  wird. 
Es  kann  unter  Zugrundelegung  der  obigen  Auseinandersetzungen  so 
ausgesprochen  werden:  Die  Flächen  aller  KrystaUe  liegen  so  gegenein- 
ander {schneiden  sich  unter  solchen  Winkeln),  daß  die  drei  Quotienten  je 
der  beiden  Stücke,  welche  moei  beüebige  Flächen  auf  jeder  der  drei  von 
einem  Punkt  ausgehenden  tmd  von  drei  beliebigen  anderen  Flächen  des- 
selben  Krystalls  geinldeten  Kanten  abschneiden,  sich  stets  tvie  rationale 
(ganze)  Zahlen  (oo  eingeschlossen)  verhalten. 

Dieses  Gesetz  der  rationalen  Kantenschnitte  ist  das  Hauptgesetz 
der  Krystallographie,  das  (in  Verbindung  mit  den  unten  zu  betrach- 
tenden Symmetriegesetzen)  die  ganze  Krystallwelt  beherrscht.  Alle 
die  zahllosen  Krystallformen,  die  bisher  untersucht  worden  sind,  folgen 
ihm  und  unterscheiden  sich  dadurch  auf  das  Wesentlichste  von  anderen 
geometrisch  denkbaren  Polyedern,  bei  denen  das  Gesetz  nicht  zutrifft 
und  die  daher  als  krystallographisch  unmöglich  bezeichnet  werden 
müssen,  wie  z.  B.  das  von  regulären  Fünfecken  begrenzte  Dodekaeder 
(Pentagondodekaeder),  das  Ikosaeder  und  andere. 

27.  Andere  Fassung  des  Gesetzes  der  rationalen  Eanten- 
sclmitte.  Das  Gesetz  der  rationalen  Eantenschnitte  läßt  sich  noch 
etwas  anders  fassen.   Wenn 

a     0     c 
ist,  so  kann  man  ganz  allgemein  setzen: 

m  =  ha,  dann  wird :  w  =  ä6  und  p  =  lc 
wo  h,  k,  l  wieder  rationale  (ganze)  Zahlen  sind. 

Die  Abschnitte  m,  n,  p  der  fünften  Fläche  MNP  können  somit  als 
rationale  Vielfache  der  Abschnitte  a,  b,  c  der  vierten  Fläche  ABC  je 
auf  derselben  Kante  dargestellt  werden,  d.  h.  als  solche,  wobei  die 
Koeffizienten  h,  k,  l  von  a,  b,  c  stets  rationale  (ganze)  Zahlen  sind 
(oo  eingeschlossen).  Ebenso  können  die  Abschnitte  m^,  w,,  p^  einer 
sechsten  Fläche  MiN^P^  in  den  Abschnitten  a,  b,  c  ausgedrückt 
werden : 

nii  =  h^a,     Hi  =  kj>,     p^  =  l^c, 
wo  Äj,  kj^,  li  wieder  rationale  (ganze)  Zahlen  sind.    In  gleicher  Weise 
ist  dies  für  jede  andere  Fläche  möglich  und  stets  sind  die  Koeffizienten 
h,  k,  l,  etc.  der  Abschnitte  a,  b,  c  der  vierten  Fläche  rationale  (ganze) 
Zahlen.    Das  Gesetz  der  rationalen  Kantenschnitte  kann  also  auch 


Gesetz  der  rationalen  Eantenschnitte.  S9 

aasgesprochen  werden :  Die  Abst^nMe,  welche  die  Flächen  eines  KrystoRs 
auf  drei  van  drei  anderen  Flächen  desselben  Knystails  gebildeten  Karlen 
machen,  können  als  rationale  (ganee)  Vielfache  der  Abschnitte  ausgedrikM 
werden,  die  eine  beliebige  vierte  Fläche  des  Krystaüs  von  jenen  drei 
Kanten  cibschneidet. 

Femer:  Wenn  eine  Fläche  MiN^P^  anf  den  drei  Kanten  OK, 
OY,  OZ  die  Stücke  m^n^p^  abschneidet  und  wenn  weitere  Flächen 
M^N^P^,  M^N^P^,  .  .  .  durch  die  Abschnitte  m^n^p^,  ^a^sPsy  •  •  •  be- 
stimmt sind,  dann  ist  nach  dem  Vorhergehenden  unter  Benutzung  der 
dortigen  Bezeichnungen: 

m^  =^  h^  a  üj  =  ij  6  p^  =  l^  c 

fitg  «=  Aj  a  n,  =  *2  6  p^  =  ^^  c 

m^  =  h^a  nj  =  ia  6  Ps  =  h  c 

Hieraus  ergeben  sich  ohne  weiteres  die  Verhältnisse : 

fit  t  :  7/ia  :  nt^  :  ■  •  •  •  — —  ri^  :  nq  •  /!»  :  •  •  •  • 

Wi   •   Wo   •   Wo  •    •    •    •    ■    -^—    /vj  •  /va  .  K^  •    «    •    B    « 

Vi    •   Po    •   Pa    «     •     •     •     •     ■  - "     V\     »    (fa    m    va     «     •     .     .     • 

WO  wieder  h^kj^,  etc.  rationale  (ganze)  Zahlen  sind.    Nach  dem  G€set0 
der  rationalen  Kantenschnitte  liegen  also  die  Flächen  der  KrystaUe  so 
gegeneinander,  daß  die  Abschnitte,  die  sie  auf  jeder  der  drei  Kanten 
OX,  OYj  OZ  machen,  in  rationalen  Verhältnissen  zueinander  stehen. 
Diese  letztere  Fassung  läßt  sich  nun  noch  etwas  modifizieren. 

Denkt  man  sich  (Fig.  22)  jene  fünfte  Fläche  MNP,  welche  von 
den  drei  Kanten  OA^  OB,  OC  Stücke  in  dem  Verhältnis :  m:n\p  = 
haiJcbilc  abschneidet ,  parallel  mit  sich  durch  einen  der  drei  Punkte 
A,  B,  (7,  also  hier  z.  B.  durch  C  gelegt,  in  welchem  die  vierte  Fläche 
ABC  die  Kante  OZ  trifft,  so  daß  MNP  nun  die  Lage  WN^C  hat, 
so  schneidet  sie  von  dieser  Kante  ein  Stück  OC  ^=^  c  ab  und  von  den 
Kanten  OX  und  OFdie  Stücke: 

OJir  =  mi=^  =  Äia  und  ON' =n^  =  jb  =  k'b, 

h  k 

wo  &'  =  y  und  k^  =  Y'  Eine  weitere  durch  den  Punkt  (7 gehende  Fläche 

M*N*C  ist  unzweideutig  gegeben  durch  die  Abschnitte :  m*  =  A*a  und 
n^^^k^b  und  so  jede  andere  Fläche  des  Ejystalls,  die  man  durch  C 
hindurchgelegt  denkt.  Die  Abschnitte  dieser  Flächen  auf  den  Kanten 
OX  und  OY  sind  nun: 

m^  =  h^a;  m^  =  h^a\  m^=^h^a; 

es  verhält  sich  daher  wie  vorhin: 

m^ :  m* :  w^ :  .  .  .  .  =  Ä^ :  Ä* :  Ä* :  .  .  .  . 

Da  nun  h,  k,  l  etc.  rationale  (ganze)  Zahlen  sind,  so  müssen  h^,  k^  etc. 


40  Mögliche  Ejrygtallfonnen.    Erystallreihe. 

ebenfalls  rational  sein  nnd  man  kann  das  Gesetz  der  rationalen  Eanten- 

schnitte  anch  so  aussprechen :  Denkt  man  sich  aile  Flächen  eines  Krystalls 

durch  denselben  Punkt  der  einen  der  drei  Kanten  gelegt,  so  schneiden  sie 

auf  jeder  der  beiden  anderen  Ka»Uen  Stücke  ab,  welche  zueinander  in 

rationalen  Verhältnissen  stehen  (vergL  das  Beispiel  (29)). 

Es  läßt  sich  anf  mathematischem  Wege  zeigen,  daß,  wenn  für  eine  Krystallform 
nnter  Zagnmdelegung  von  vier  heliehigen  Flächen  derselhen  das  Gesetz  der  rationalen 
Eantenschnitte  gilt,  es  unter  allen  Umständen  notwendigerweise  auch  unter  Zu- 
grundelegung irgend  heliehiger  Tier  anderer  Flächen  dieser  Form  gelten  muß.  Es 
genügt  also,  die  Bationalität  der  E^tenschnitte  für  eine  einzige  Gruppe  von  vier 
Flächen  nachzuweisen. 

28.  Mogliehe  KrystallflSelieii.  Krystallreihe.  An  jedem  Erystall 
findet  sich  natürlich  nur  eine  bestimmte  endliche  und  zwar  meist 
nicht  sehr  große  Zahl  von  Flächen  ausgebildet,  und  diese  sind  alle 
nach  dem  oben  genannten  Gesetze  gruppiert.  Man  muß  hieraus  schließen, 
daß,  wenn  an  dem  Kr3rstall  (oder  einem  anderen  sonst  ganz  gleichen 
derselben  Substanz)  noch  eine  weitere  Fläche  ausgebildet  wäre,  diese 
ebenfalls  auf  jeder  der  drei  Kanten  Stücke  abschneiden  würde,  welche 
mit  den  anderen  dort  von  den  sonstigen  Flächen  abgeschnittenen 
Stücken  in  rationalen  Verhältnissen  stehen.  Es  ist  kein  Grund  vor- 
handen, warum  irgend  eine  der  durch  dieses  Verhalten  charakterisierten 
Flächen  nicht  sollte  an  einem  Krystall  derselben  Substanz  vorkommen 
können.  In  der  Tat  beobachtet  man  an  neu  aufgefundenen  Erystallen 
der  verschiedenen  Substanzen  tagtäglich  neue  Flächen,  welche  alle 
nach  diesem  Gesetz  angeordnet  und  nach  ihm  mit  den  anderen  schon 
früher  bekannt  gewesenen  Flächen  verbunden  sind.  Man  kann  daher 
sagen :  An  den  KrystaUen  einer  bestimmten  Substanis  können  alle  Flächen 
möglicherweise  vorkommen  {sind  edle  Flächen  möglich),  deren  Abschnitte 
auf  drei  beliMgen  Kanten  in  rationalen  Verhaltnissen  zueinander  stelwn, 
die  also  dem  Gesetz  der  rationalen  Kantenschnitte  folgen. 

Die  Gesamtheit  aller  der  unendlich  vielen  an  einem  Erystall 
möglichen  Flächen,  resp.  die  Gesamtheit  aller  von  diesen  Flächen 
begrenzten  einfachen  Krystallformen  bildet  die  Krystallreihe  oder  Formen- 
reihe  der  beti*eflFenden  Substanz.  Sie  ist  implicite  bekannt,  wenn  man 
nur  vier  beliebige  Flächen  des  letzteren  und  ihre  gegenseitigen  Nei- 
gungen kennt,  wenn  diese  vier  Flächen  so  gegeneinander  liegen, 
wie  die  oben  (26,  27)  betrachteten.  Alle  anderen  lassen  sich  aus  diesen 
vieren  ableiten,  wie  wir  unten  noch  eingehender  sehen  werden.  Es 
ist  dabei  ganz  gleichgültig,  von  welcher  Gruppe  von  vier  solcher 
Flächen  man  ausgeht,  stets  erhält  man  denselben  durch  die  Neigungs- 
winkel charakterisierten  Flächenkomplex,  d.  h.  eben  die  Formenreihe 
der  betreffenden  Substanz. 

Für  unmöglich  an  einem  Erystall  müssen  dagegen  solche  Flächen 
gehalten  werden,  deren  Abschnitte  auf  jeder  der  drei  in  einem  Punkt 


Beispiel. 


41 


sich  schneidenden  Kanten  mit  den  entsprechenden  Abschnitten  der 
anderen  Flächen  nicht  in  rationalen  Verhältnissen  stehen;  solche 
Flächen,  welche  jenem  Gesetz  nicht  folgen,  sind  noch  nie  beobachtet 
worden. 

Welche  von  den  möglichen  Flächen  an  einem  Krystall  tatsächlich  znr  Aos- 
bildnng  gelang  sind,  hängt  von  den  speziellen  Verhältnissen  ab,  unter  denen  dieser 
Krystall  entstanden  ist.  Unter  anderen  Bildnngsbedingangen  entstehende  Krystalle 
derselben  Substanz  umgeben  sich  auch  mit  anderen  Flächen,  die  aber  alle  der  näm- 
lichen Krystallreihe  angehören. 

Mögliche  Kanten  eines  Erystalls  sind  Linien,  in  denen  sich  mögliche 
Flächen  desselben  schneiden. 


29.  BeispieL  An  einem  KrystaU  von  Kiesekinkerz  sind  die  in  Fig.  23  dar- 
gesteUten  Flächen  vorhanden,  welche  sich  unter  den  für  dieses  Mineral  charakteristi- 
schen Winkeln  (21)  schneiden.  Wählt 
man  unter  diesen  Flächen  drei  be- 
liebige z.  B.  a,  b,  c  aus,  so  schneiden 
sie  sich,  gehörig  erweitert,  in  einem 
Punkt  O,  von  dem  die  drei  Kanten 
hjc  =  OXy  cla  =OYxaiäalh  =  OZ 
ausgehen,  wie  dies  in  Fig.  24  be- 
sonders gezeichnet  ist.  Eine  Messung 
der  drei  Winkel  a/6,  6/c,  6/a  er- 
gibt, daß  sie  alle  =  90®  sind. 
Wählt  man  nun  unter  den  übrigen  Flächen  noch  eine  vierte,  z.  B.  z  ganz  be- 
liebig aus,  so  schneidet  diese  die  Kanten  OX,  OY^  OZ  in  A\  B^  C,  und  die 
Winkelmessung  ergibt,  daß:  ^  zja  =  137«  52*  und  ^  zjh  =  106«  46'.  Setzt 
man  OC  =  1,  so  findet  man  aus  den  erwähnten  Winkeln :  OA'  =  0,817 ;  OB'  = 
2,099.  (25,  Schluß).  Nimmt  man  nun  die  Fläche  s,  so  erhält  man  für  diese :  ^Bja  = 
113»  54'  und  ^  ajb  =  129"  7';  und  wenn  8  ebenfalls  durch  C  geht  und  OX  und 
Or  in  ^"  und  B'  schneidet,  so  ist:  OA"  =  1,633  und  OB"  =  1,049.    Die  Verhält- 

OA"       1 633 
nisse  der  auf  denselben  Achsen  OX  resp.  0  Y  abgeschnittenen  Stücke :  -jfp-  =  Jo.«  =2 

1,049 


Fig.  23. 


Fig.  24. 


und: 


OB" 
OB 


orkQQ  =0-  8Üid  dann  in  der  Tat  rational,  wie  es  das  Gresetz  der 

rationalen  Kantenschnitte  verlangt.  In  derselben  Weise  würde  sich  jede  weitere 
Fläche  des  E^rystalls  verhalten,  und  zum  gleichen  Resultat  würde  man  kommen,  wenn 
man  irgend  drei  andere  Flächen  statt  a,  &,  c,  und  eine  andere  statt  z  gewählt  hätte. 
Eine  Fläche,  welche  gegen  a  und  h  unter  Winkeln  =  105<^  53'  und  148^  25'  ge- 
neigt ist,  würde,  wenn  auch  sie  durch  den  Punkt  C  ginge,  auf  OX  und  0  Y  Stücke  ab- 

schneiden:  0^4'"=  0A"= 1,633 und  05"'=0,525unddieVerhältnis3e^;V  =  n  q??-=2 

{JA.  U,ol  I 

^"^^  ~07i'~  "^  2  nqQ  ^^  T  wären  auch  hier  rational.    Man  könnte  erwarten,  daß  eine 

unter  den  angegebenen  Winkeln  gegen  a  und  b  geneigte  Fläche  an  irgend  einem 
anderen  Kieselziukerzkrystall,  als  dem  vorliegenden,  dem  sie  fehlt,  vorkommt.  In 
der  Tat  kennt  man  auch  Krystalle  dieses  Minerals,  an  welchen  sich  eine  Fläche  mit 
solchen  Neigungen  gegen  a  und  b  findet.  Wäre  dies  nicht  der  Fall,  so  müßte  man 
es  doch  für  nicht  ausgeschlossen  halten,  daß  man  noch  einmal  einen  Kieselziukerz- 
krystall mit  einer  solchen  Fläche  fände;  es  wäre  eine  mögliche  Fläche  des  Kiesel- 
zinkerzes, eine  solche,  die  der  Krystallreihe  des  Kieselzinkerzes  augehört. 


42  Achsen. 

Dagegen  mÜOte  man  eine  Fläche,  welche  gegen  a  nnd  b  unter  120^  und  190* 
geneigt  ist  und  also,  darch  C  gebend,  von  OX  und  OY  Stücke  =  1,161  und  0,903 

1 161 
abschneidet,  am  Eieselzinkerz  für  unmöglich  halten,  da  die  Verhältnisse:  ((öyr'^ 

0903 
1,421 . . .  und  ötyqö"  =  0,430  . . .  irrational  sind.    In  der  Tat  ist  auch  eine  Fläche 

mit  solchen  Neigungen  gegen  a  und  b  noch  nie  beobachtet  worden. 

30.  Achsen.  Um  eine  leichte  und  bequeme  Übersicht  über  sämt- 
liche Flächen  eines  Krystalls  zu  erhalten,  bezieht  man  dieselben  in  ganz 
ähnlicher  Weise  auf  Achsen,  wie  dies  in  der  analytischen  Geometrie 
geschieht.  Man  denkt  sich  durch  einen  beliebigen  Punkt  im  Innern 
des  Krystalls,  den  AchsenmittelpunM  oder  Krystallmittelpunkt  drei  nicht 
in  einer  Ebene  liegende  Gerade  OX,  OY,  OZ  als  Achsen  gezogen,  die 
das  Achsensystem  des  Krystalls  bilden  (Fig.  25).    Auf  ihnen  ist  je  ein 

positiver  und  ein  negativer  Ast  zu  unterscheiden.  Sie 
werden  stets  in  ganz  bestimmter  Weise  aufgestellt 
gedacht  und  benannt.  Die  eine  Achse  denkt  man  sich 
aufrecht  stehend;  sie  heißt  die  Vertikalachse  und  wird 
mit  c  bezeichnet ;  der  positive  Ast  +  c  geht  nach  oben, 
der  negative — c  nach  unten.  Die  zweite,  die  Qt^erachse 
ft,  geht  von  rechts  (+  i)  nach  links  ( —  b).  Die  dritte, 
Fig.  25.  die  Längsachse  a,  geht  von  vom  (+  «)  »ach  hinten  (—  a). 

Durch  je  zwei  Achsen,  OX  und  OY,  OY  und  OZ,  OZ 
und  OX,  wird  eine  Ebene,  Achsenebene,  bestimmt.  Die  drei  Achsen- 
ebenen XOY,  YOZ,  ZOX  teilen  den  Baum  in  acht  Eaumabschnitte, 
OUanten.  In  diesen  liegen  die  den  Krystall  begrenzenden  Flächen 
rings  um  den  Achsenmittelpunkt  herum.  Wenn  man  die  Lage  jeder 
einzelnen  Fläche  des  Krystalls  an  den  Achsen  kennt,  so  kennt  man 
auch  die  Lage  sämtlicher  Flächen  desselben  gegeneinander,  ihre  An- 
ordnung in  der  Krystallform,  und  damit  ist  dann  diese  selbst  mathe- 
matisch bestimmt.  Wir  werden  im  folgenden  die  Verwendung  der 
Achsen  zum  Studium  der  Krystalle  speziell  und  eingehend  zu  betrachten 
haben. 

(Chr.  S.  Weiss.  De  indagando  formamm  crystallinamm  cbaractere  geometrico 
principali.    Diss.  Leipzig  1809.) 

31.  Parameter.  FlSehenausdrnck.  Jede  Krystallfläche  z. B.  abc 
(Fig.  26)  ist  in  ihrer  Lage  an  den  Achsen  unzweideutig  gegeben  durch 
die  drei  Stücke  Oa  =  a,  Oft  «=  ft,  Oc  =  c,  die  sie  von  jenen  ab- 
schneidet, und  die  man  die  Parameter  der  Fläche  nennt  Sie  sind  je 
nach  der  Lage  der  Fläche,  je  nachdem  diese  die  Achsen  auf  der 
positiven  oder  negativen  Seite  schneidet,  -\-  oder  — .  Da  die  Flächen 
parallel  mit  sich  beliebig  verschoben  werden  können,  so  kommt  es, 
wie  bei  den  Kantenschnitten  (25),  nicht  auf  die  absoluten  Längen 


Parameter.    Fl&chenaasdrnck.  43 

dieser  Stücke  an;  auch  hier  ist  nnr  ihr  Verhältnis,  das  Parameter- 
Verhältnis  der  Fläche: 

Oa :0b :0c  oder  a:b:c 
maßgebend.  Schon  hierdurch  ist  die  Fläche  in  ihrer  Lage  an  den 
Achsen  (dem  Achsensystem)  unzweidentig  krystallographisch  bestimmt. 
Man  kann  daher  die  drei  Parameter  einer  Fläche  ebenfalls  mit  der- 
selben beliebigen  Zahl  r  multiplizieren  oder  dividieren,  ohne  daß  die 
Fläche  dadurch  eine  andere  krystallographische  Bedeutung  erlangt. 
Das  Verhältnis  a:b:c  geht  dann  über  in : 

,  ^       a      b      c 

ra:rb :  rc  oder  —  :  —  :  — 

r      r      r 

Alle  diese  Verhältnisse  sind  aber  identisch  und  stellen  dieselbe 

Erystallfläche  dar,  nur  in  verschiedenen  Parallellagen  mit  jeweilig 

anderer  Centraldistanz.    Die  Multiplikation  oder  Division  ist,  wie  wir 

ebenfalls  schon  bei  der  Betrachtung  der  Eantenschnitte  gesehen  haben, 

nichts  anderes,  als  der  analytische  Ausdruck  der  Parallelverschiebung : 

bei  der  Multiplikation  nach  außen  (vom  Achsenmittelpunkt  0  weg),  bei 

der  Division  nach  innen  (gegen  den  Achsenmittelpunkt  0  hin). 

Die  Fläche  abc  liegt  in  dem  Oktanten  zwischen  den  drei  positiven 
Achsenästen  und  hat  daher  das  Parameterverhältnis  :  -|-  a  :  +  ^  *  +  ^ 
oder  kurz :  a:b:c.  Läge  sie  in  dem  daran  nach  unten  anstoßenden 
Oktanten,  so  wäre  der  Schnitt  auf  der  Achse  c  negativ  und  das  Para- 
meterverhältnis wäre :  a :  6  :  —  c.  Geht  eine  Fläche  mit  einer  Achse 
z.  B.  der  Achse  OZ  parallel  und  schneidet  sie  auf  den  beiden  Achsen  -f-^ 
und  -|-  r  Stucke  a  und  b  ab,  so  gilt  für  sie  das  Parameterverhältnis : 
a  :  6 :  oo,  resp.  in  den  links  anstoßenden  Oktanten :  a:  —  b  :oo  etc.  Ist 
eine  Fläche  zwei  Achsen,  z.  B.  OX  und  0  F  parallel  und  schneidet  sie 
die  dritte  Achse  OZ  in  der  Entfernung  p  von  0,  so  wäre  für  sie  jenes 
Verhältnis  =  oo  :  oo  :  |)  resp.  c«  :  oo  :  —  p.  Eine  solche  Fläche  würde 
der  Achsenebene  XO  Y  pai*allel  gehen ;  ihr  Parameterverhältnis  könnte 
auch,  nach  Division  aller  drei  Parameter  mit  p,  in  der  Form :  oo :  oo :  1 
resp.  oo:oo:  —  1  geschrieben  werden. 

Das  Verhältnis  der  drei  Parameter  einer  Fläche  unter  Berück- 
sichtigung der  +-  und  — Vorzeichen  der  Achsenschnitte  nennt  man  den 
Ächsenausdruck,  den  Ausdrtk^  oder  das  Symbol  der  Fläche,  kurz  den 
FläehenausdriAcJc,  Das  Symbol,  der  Ausdruck,  der  Fläche  abc  wäre 
danach:  a:b:c,  die  Symbole  der  anderen  oben  erwähnten  Flächen 
wären:  a  :  b  :  —  c;  a  :  6:oo;  a:  —  6  :oo;  oo:  oo:  p  oder  oo:  oo:  1  resp. 
oo  :  oo  :  —  1. 

Für  die  weitere  Fläche  def  (Fig.  25)  mit  den  Achsenschnitten  (Para- 
metern) Od  =  d,  Oc  =  c,  Of  =  f  wäre:  d:e:f  der  Ausdruck  u.  s.  w. 
In  allen  diesen  Symbolen  beziehen  sich  die  drei  Parameter  der  Reihe 
nach  auf  die  drei  Achsen  OX,  OY,  OZ, 


44  Achsenlftngen.    Ableitnngszahlen. 

32.  AchsenlSngeii.  Ableitangszahlen.  Zweckmäßig  ist  es,  wenn 

man  in  den  Flächensymbolen  die  Parameter  nicht 
direkt  dnrch  die  Werte  d,  c,  f  etc.  ausdrückt,  son- 
dern wenn  man  auf  den  drei  Achsen  drei  Stücke  a,  b,  c 
annimmt,  und  sie  als  gemeinsames  Maß  für  die 
Parameter  aller  Flächen  des  Krystalls  je  auf  der  be- 
treffenden Achse  benutzt  (Fig.  26).  Jeder  Parameter 
wird  dann  dadurch  ausgedrückt,  daß  man  angibt, 
wieviel  länger  er  ist,  als  das  betreffende  Stück  a,  b 
oder  c.  Die  Parameter  d,  e,  f  erhalten  dann  die  Form : 
d  =  ma]  e  =  n6;  f  =  pc 
und  ebenso  die  Parameter  anderer  Flächen  d^e^f^,  d^e^f^  etc.: 

dg  =  m^a\  e^  =  n^b\  f^=p^c  etc. 

Die  so  als  gemeinschaftliche  Einheitsmaße  für  die  Parameter 
aller  Flächen  des  Krystalls  auftretenden  Stücke  a,  6,  c,  die  in  gleicher 
Weise  in  den  Parametern  aller  Flächen  wiederkehren,  heißen  die 
Achsenlängen  oder  Achseneinheiten,  Die  von  einer  Fläche  zur  anderen 
wechselnden  Zahlen  w,  w,  p  etc.,  die  angeben,  wieviel  mal  die  Para- 
meter größer  sind  als  die  Achsenlängen,  werden  die  AbleitungsmUen 
der  betreffenden  Fläche  genannt.  Wenn  die  Achsenlängen  in  einem 
Achsensystem  ein  für  allemal  fest  bestimmt  sind,  ist  jede  Fläche  durch 
ihre  drei  Ableitungszahlen  ihrer  Lage  nach  unzweideutig  gegeben.  Die 
Achsenlängen  a,  i,  c  sind  absolute  positive  Werte.  Die  Ableitungszahlen 
sind  je  nach  der  Lage  der  Fläche  +  oder  — ;  eine  von  ihnen  oder 
auch  zwei  können  =  oo  sein,  wenn  die  Fläche  der  einen  Achse  oder 
zweien  derselben  (d.  h.  der  von  ihnen  bestimmten  Achsenebene) 
parallel  ist. 

Sind  die  Parameter  in  den  Achsenlängen  und  den  Ableitungszahlen 
ausgedrückt,  dann  erhalten  wir,  entsprechend  den  Auseinandersetzungen 
des  vorigen  Paragraphen,  Flächensymbole  von  folgender  Form: 

d:  e  :f=^ma\nb  :pc 
d  :  e  :oo  =  ma  :  nh  :  ooc 
d  :  —  e  :  oo  =  ma  :  —  nb  :ooc  etc. 
und  es  sind  m,  n,  p;  m,  w,  oo;  m,  —  w,  oo  etc.  die  Ableitungszahlen 
dieser  Flächen. 

Da  die  Parameter  einer  Fläche  stets  mit  derselben  Zahl  multi- 
pliziert oder  dividiei-t  werden  können,  kann  dies  selbstverständlich 
auch  mit  den  Ableitungszahlen  geschehen.  Es  handelt  sich  eben 
bei  der  Angabe  der  Lage  einer  Fläche  nicht  um  die  absoluten  Werte 
der  Ableitungszahlen  m,  n  und  p;  die  Fläche  ist  schon  dui*ch  das 
Verhältnis  der  Ableitungszahlen  m  :n  :p  krystallographisch  unzwei- 
deutig gegeben. 


Wahl  der  Achsen.    Fnndamentalflächen.  46 

33.  Wahl  der  Achsen.  Im  allgemeinen  ist  es  völlig  gleich- 
gültig, welche  Lage  die  Achsen  in  dem  Erystall  haben,  stets  kann 
man  in  der  angegebenen  Weise  die  Flächen  des  Erystalls  nnd  damit 
den  Erystall  selbst  anf  das  Achsensystem  beziehen.  Man  hat  aber  ge- 
funden, daß  Achsensysteme  von  bestimmter  Beschaffenheit  sich  durch 
besondere  Vorzüge  vor  allen  anderen  auszeichnen.  Diese  sind  es  da- 
her, die  bei  der  Betrachtung  der  Erystalle  benützt  werden.  Achsen- 
systeme dieser  Art  sind  solche,  die  aus  den  Begrenzungselementen 
der  Erystalle  selber  genommen  werden,  bei  denen  die  Achsenebenen  der 
Sichtung  nach  Flächen  (wirklich  vorhandenen  oder  möglichen),  die 
Achsen  selbst  also  Eanten  (wirklich  vorhandenen  oder  möglichen)  des 
Erystalls  entsprechen  (26),  (28). 

Ein  solches  Achsensystem  erhält  man,  wenn  man  drei  (wirklich  vor- 
handene oder  mögliche)  Flächen  des  Erystalls,  die  nicht  alle  drei  einer 
und  derselben  Geraden  parallel  gehen  (nicht  in  einer  Zone  liegen), 
parallel  mit  sich  durch  einen  beliebigen  Punkt  im  Innern  des  Ery- 
stalls verschoben  denkt,  der  dann  den  Erystall-  oder  Achsenmittelpunkt 
darstellt.  Diese  drei  Flächen,  die  die  FundamentalfläcJ^m  genannt 
werden,  haben  (Fig.  26)  die  Lage  XOY,  YOZ,  ZOX.  Sie  bilden  die 
drei  Achsenebenen  und  schneiden  sich  in  den  drei  Achsen  OX,  OY^  OZ. 
Diese  sind,  als  Durchschnittslinien  von  Erystallflächen,  der  Richtung 
nach  Eanten  des  Erystalls,  die  nun  aber  hier  nicht  an  der  äußeren 
Begrenzung  liegen,  sondern  durch  dessen  Mitte  hindurchgehen.  Eben- 
so sind  die  8  Oktanten  nichts  anderes  als  dreikantige  Ecken  des 
Erystalls,  die  jedoch  hier  im  Achsenmittelpunkt  zusammenstoßen. 

Sind  nun  die  so  bestimmten  Achsen  durch  den  Achsenmittelpunkt  0 
hindurchgehende  Eanten,  so  gilt  für  sie  alles,  was  für  Erystallkanten 
überhaupt  gilt.  Namentlich  müssen  nach  dem  Gesetz  der  rationalen 
Eantenschnitte  die  Abschnitte  (Parameter)  der  übrigen  Flächen  des 
Erystalls  auf  jeder  Achse  in  einem  rationalen  Verhältnis  zueinander 
stehen  (26,  27). 

Um  dies  für  den  Gebrauch  der  Achsen  anwendbar  zu  machen,  wählt 
man  irgend  eine  beliebige  weitere  vierte  Fläche  des  Erystalls  z.  B. 
äbc  (Fig.  26),  deren  Lage  an  den  Achsen  durch  das  Verhältnis  der 
Parameter  (den  Flächenausdruck)  a\h:c  gegeben  ist.  Diese  Para- 
meter a,  6,  c  benützt  man  sodann  als  die  Achseneinheiten  oder  die  Achsen- 
längen (32),  um  in  ihnen  die  Parameter  aller  weiteren  Flächen  aus- 
zudrücken. Wegen  der  Parallelverschiebbarkeit  der  vierten  Fläche 
kommt  es  nicht  auf  die  absoluten  Werte  der  Achsenlängen  an,  sondern 
nur  auf  ihr  Verhältnis :  a\h:c^  das  sog.  Achsenverhältnis.  Man  kann 
auch  die  drei  Achsenlängen  mit  jeder  beliebigen  Zahl  multiplizieren 
oder  dividieren. 

Die  vierte  Fläche,  die  auf  den  Achsenrichtungen  die  Achseneinheiten 


46  Eiuheitsfläche.    Gesetz  der  rationalen  Achsenschnitte. 

a,  ft,  c  abschneidet,  wird  die  Einheit^läche  des  Achsensystems  genannt 
Fnndamentalflächen  and  Einheitsfläche  bestimmen  dann  miteinander 
das  Achsensystem.  Sie  werden  wohl  auch  zusammen  als  die  Elementar- 
flachen  des  Krystalls  für  das  betreffende  Achsensystem  bezeichnet 

Schneidet  nun  eine  fünfte  Fläche  von  den  drei  Achsen  die  Para- 
meter d,  e,  f  ab,  so  müssen  nach  dem  Gesetz  der  rationalen  Kanten- 
schnitte  (26,  27)  in  der  Proportion: 

d    e    f 
a    b     c 
m,  n,  p  rationale  (ganze)  Werte  haben.  Man  kann  dann  auch  hier  setzen : 

d  =  ma]  e  =  nb;  f  =  pc 
m,  n  und  p  sind  alsdann  die  Ableitungszahlen  der  fünften  Fläche, 
wenn  deren  Parameter  d,  e,  f  in  den  Achsenlängen  a,  6,  c  (den  Para- 
metern der  vierten  Fläche)  ausgedrückt  werden,  und  diese  Ableitungs- 
zahlen müssen  notwendig  rationale  (ganze)  Zahlen  sein.  Das  Symbol 
der  fünften  Fläche  wird  dann  (32) : 

d  :e  :f  =  ma  :nb  :pc 
nnd  ebenso  würde  man  für  alle  weiteren  Flächen  an  dem  Erystall, 
^1  ^1  /i5  ^«  ^a  /«  ßte.,  mit  den  Parametern  d^,  e^,fi;   d^,  e^,  f^  etc. 
die  in  den  Achseneinheiten  ausgedrückten  Symbole  erhalten  können. 
Es  wäre  dann  das  Symbol  für: 

d^  e^  /*!  d^  :  e^ :  f^  ==  m^a  :  n^b  :  p^c 

dg  e»  /*a  dg  :  Cj  :  /*j  =  m^a  :  n^b  :  p^c  etc. 

wo  wieder  die  Ableitungszahlen  m^,  n^,  Pi;  ^29^1)  P^  etc.  rationale 
(ganze)  Zahlen  wären. 

Indem  man  so  die  Parameter  aller  Flächen  eines  Krystalls  in 
denen  einer  beliebigen  einzigen,  der  Einheitsfläche,  d.  h.  also  in  den 
Achsenlängen  ausdrückt,  ist  die  Lage  jeder  Fläche  durch  einige  meist 
einfache  ganze  oder  gebrochene  rationale  Zahlen,  die  Ableitungszahlen, 
gegeben.  Die  Begrenzung  der  Krystalle  wird  so  in  sehr  einfacher 
und  übersichtlicher  Weise  durch  die  derartig  gestalteten  Flächen- 
symbole bestimmt.  Dies  ist  der  Grund,  warum  man  die  Achsen  stets 
auf  diese  Art  aus  der  Begrenzung  der  Krystalle  wählt  und  warum 
man  die  Flächensymbole  mit  Hilfe  der  Achsenlängen  und  der  Ab- 
leitungszahlen schreibt  Würde  man  die  Parameter  direkt  und  ohne 
Zuhilfenahme  der  Achsenlängen  auszudrücken  versuchen,  oder  würde  man 
als  Elementarflächen  Flächen  wählen,  die  der  Begrenzung  (der  Formen- 
reihe) des  Krystalls  nicht  angehören,  so  würde  dies  auf  komplizierte 
irrationale  Zahlen  und  auf  sehr  wenig  übersichtliche  Flächenausdrücke 
führen,  durch  die  das  Studium  der  Krystalle  sehr  wesentlich  erschwert 
werden  müßte. 

34.  Gesetz  der  rationalen  Achsenschiiitte.  Das  Gesetz  der  ratio- 
nalen Kantenschnitte  kann  nun  nach  dem  Angeführten  auch  das  Ge- 


SpesieUe  Betrachtung:  der  Ableitnngszahlen.  47 

setz  der  raüonalen  Achsenscknitte  {Parameter),  oder  das  Gesetz  der  ratio- 
nalen Ableitungszahlen  genannt  nnd  so  aasgesprochen  werden :  Die  Ab- 
leitungszahien  aller  Flächen  eines  KrystaUs  sind  rational,  aber  nor  anter 
der  Voraassetzangy  daß  die  Achsen  parallel  mit  wirklichen  oder  mög- 
liehen Kanten  des  KrystaUs  sind,  and  daß  die  Achsenlängen  aaf  diesen 
dnrch  eine  Krystallfläche  abgeschnittene  Stücke  sind.  Man  kann 
ferner  sagen :  An  einem  KrystaU  sind  äUe  solche  Flächen  möglich,  welche 
von  derartigen  Achsen  Stücke  mit  rationalen  Ableitimgszählen  abschneiden, 
während  Flächen  mit  irrationalen  Ableitungszahlen  unmöglich  sind. 

Die  Neigang  and  die  Länge  der  Achsen,  sowie  die  Ableitangszahlen, 
welche  an  diesen  Achsen  die  einzelnen  Flächen  eines  KrystaUs  bestimmen, 
haben  stets  andere  Werte,  je  nachdem  man  diese  oder  andere  Flächen 
desselben  als  Einheits-  and  Fandamentalflächen  wählt.  Darch  eine 
geschickte  Wahl  dieser  letzteren  kann  man  bewirken,  daß  die  Ab- 
leitongszahlen  der  Flächen  sehr  kleine  Zahlen  sind,  1,  2,  3,  selten 
mehr,  abgesehen  von  00;  man  spricht  daher  aach  von  dem  Gesetz  der 
einfachen  rationcUen  Ableitungszahlen. 

35.  Spezielle  BetraGhtBngen  der  Ableitungszahlen.  Einige 
spezielle  Verhältnisse  der  Ableitangszahlen  ergeben  sich  nan  aas 
denen  der  Parameter  (31)  von  selbst,  so  daß  sich  das  dort  Angeführte 
in  entsprechender  Abändernng  hier  wiederholt. 

Selbstverständlich  kann  man  wie  die  Parameter  einer  Fläche  so 

auch  deren  Ableitangszahlen  mit  derselben  Zahl  maltiplizieren  oder 

dividieren  (32),  ohne  daß  die  krystallographische  Bedeatang  des  Aasdracks 

irgendwie  geändert  wird.    Es  ist  z.  B.   fftr  die  Fläche  d  e  f  das 

Symbol : 

die  :  f  =  ma  :  nb  :pc  =  r  '  ma  :r  '  nb  :  r  -  pc  =  rm  -  a  :  m  -b  :  rp  -  c 

-  ma  nb  pc        m       n ,     p 

oder  =  —  : —  :^~~  =  — a :  — b :  ~c. 
r     r     r         r        r        r 

Beziehen  sich  die  Achsenabschnitte  einer  Fläche  aaf  einen  positiven 
oder  negativen  Achsenast,  sind  also  ihre  Parameter  positiv  oder  negativ, 
80  wird  dies  dorch  das  +  oder  —  Vorzeichen  der  entsprechenden  Ab- 
leitangszahlen zam  Aasdrack  gebracht,  wobei  aber  +  als  selbstver- 
ständlich gewöhnlich  fortbleibt.  Danach  hat  eine  Fläche  im  oberen, 
vorderen,  rechten  Oktanten,  der  von  den  drei  positiven  Achsenästen 
gebildet  wird ,  im  allgemeinen  den  Aasdrack :  -|-  ma  :  -j-  «*  ■  + 1^ 
oder  karz  ma:nb  :pc  mit  den  Ableitangszahlen :  +  m,  +  w,  +  2>-  Eine 
Fläche  in  dem  nach  nnten  anstoßenden  Oktanten  ist :  mainb  :  —  pc 
mit  den  Ableitangszahlen  +  w,  +  w,  —  p  etc.  Die  Einheitsfläche  würde 
den  Aasdrack :  a:b  :c  mit  den  Ableitangszahlen  1, 1, 1  erhalten.  Geht 
^e  Fläche  einer  Achse  parallel,  ist  also  der  za  dieser  Achse  gehörige 
Parameter  =  00,  so  ist  aach  die  entsprechende  Ableitangszahl  =  00. 
Eine  Fläche  parallel  mit  der  Achse  c  würde  also,  je  nachdem  sie  rechts 


48  Spezielle  Flächenansdrücke.    Achsenelemente. 

oder  links  liegt,  die  Ausdrucke:  mainb  :ooc  oder  ma:  —  nbiooc  er- 
halten. Geht  eine  Fläche  zwei  Achsen  parallel,  sind  also  zwei  Para- 
meter derselben  =  oo,  dann  ist  die  Fläche  eine  Fundamentalfläche. 
Ist  sie  z.  B.  den  Achsen  OX  und  OY  parallel,  dann  hat  sie  ganz  all- 
gemein den  Ausdruck :  oo a :  oob  :pc]  wenn  man  die  drei  Ableitungs- 
zahlen oo,  oo,  p  mitp  dividiert  erhält  man:  ooa  :  006  :  c  als  das  Symbol 
der  Achsenebene  (Fundamentalfläche)  XOY. 

36.  Spezielle  Flftchenaasdrttcke.  Die  an  einem  Achsensystem  anftxetenden 
EryBtallflächen  kennen  in  dreifach  verschiedener  Weise  an  diesem  liegen.  Sie  schneiden 
entweder  alle  drei  Achsen,  oder  sie  schneiden  nnr  zwei  nnd  sind  der  dritten  paraUel, 
oder  endlich  sie  schneiden  nnr  eine  einzige  Achse  nnd  sind  parallel  den  heiden  anderen. 
Flächen  der  ersten  Art,  hei  denen  alle  drei  Ahleitnngszahlen  endliche  Werte  hahen, 
heißen  im  allgemeinen  Oktaid-  oder  Pyramiden0chen;  hierher  gehört  vor  allem 
anch  die  Einheitsfläche.  Flächen  der  zweiten  Art  mit  zwei  endlichen  und  einer  nn- 
endlichen  Ahleitnngszahl  werden  Dodekaid-  oder  Prismen-  resp.  Domenflächen  ge- 
nannt. Flächen  der  dritten  Art  mit  einer  endlichen  Ahleitnngszahl  nnd  zwei  un- 
endlichen hahen  den  Namen  Hexaid-  oder  Pinakoidflächen  erhalten.  Es  sind  ihrer 
drei,  die  wir  schon  als  die  Fnndamentalflächen  mehrfach  kennen  gelernt  haben. 

Beispiele  spezieller  Flächenansdrücke  sind: 

3 
Oktaidflächen:  2a:&:c;  a:-^b:  —  c  nnd  namentlich  die  Einheitsfläche:  a:b:c. 

Dodekaidflächen :  00  a:Sb  :  c;  2  aioob  :  —  Sc;  —  a:&:ooc. 
Hexaidflächen :  ai  00  b  :  00  c\  00  a  :b  :qoc\  ooa:oc&:c,  es  sind  die  drei  Fnnda- 
mentalflächen. 

37.  Parallele  Gegenflftehen.  Eine  Fläche  schneidet  auf  der  einen  Seite  des 
Achsenmittelpnnkts  von  den  Achsen  Stücke  ah,  welche  in  demselben  Verhältnis  stehen, 
wie  die  von  der  parallelen  Gegenfläche  anf  der  anderen  Seite  des  Achsenmittelpnnkts 

abgeschnittenen  Stücke  (Fig.  27).  Aber  die  von  der  einen  Fläche  anf 
der  einen  Seite  abgeschnittenen  Stücke  haben  entgegengesetzte  Vorzeichen 
in  Beziehung  auf  die  von  der  Parallelfläche  auf  der  anderen  Seite 
abgeschnittenen.  Man  erhält  also  den  Ausdruck  der  G^enfläche  zu 
einer  Krystallfläche  mainb  ipc^  wenn  man  deren  Ableitungszahlen 
mit  —  1  multipliziert.  Die  Gegenfläche  ist  also:  —  ma:  —  nb  :  — pc, 
also  z.  B.  —  a  :  —  b  :  —  c  die  Gegenfläche  zu  a:b  :  c;  2a:  —  6:  —  c 
zu  —  2  a:b  :  c  etc. 

38.  Achsensystem.  Ein  Achsen  System  ist  bestimmt,  wenn  man  kennt : 
1.  das  Achsen  Verhältnis  a:b:c\  2.  die  drei  Achsenwinkel,  d.  h.  die  Winkel, 
welche  die  Achsen  miteinander  einschließen:  a  =  blc;  ß^cja;  y  =  ajb 
(Fig.  26).  Das  Achsenverhältnis  und  die  Achsenwinkel  bilden  zusammen 
die  Achsenelemente  (kurz  die  Elemente)  des  betr.  Krystalls.  Da  es  bei 
den  Achseneinheiten  nur  auf  das  Verhältnis,  nicht  auf  die  absoluten 
Längen  ankommt,  kann  man  sie  mit  einer  beliebigen  Zahl  dividieren, 
z.  B.  mit  einer  der  drei  Achsenlängen,  etwa  6.  Man  erhält  dann:  aibic 
=  a/6  : 1  :  c/ä.  Wenn  man  nun  für  aß>  wieder  a,  für  c/6  wieder  c 
setzt,  läßt  sich  das  Achsenverhältnis  ebenso  allgemein  auch  unter  der 
Form :  a  :  1 :  c,  ebenso  aber  auch  unter  der  Form :  1  :b  :  c  oder  a:b:l 
schreiben.    Die  eine  der  drei  Achsen  ist  dann  die  Einheit,  in  der  die 


Achsensystem.  49 

beiden  anderen  aosgedrfickt  sind.  Mit  anderen  Worten :  Man  kann  in 
dem  Achsenyerhältnis  a:b  :c  eine  der  drei  Achsen  =  1  setzen  nnd  die 
beiden  anderen  in  dieser  Einheit  ausdrücken,  d.  h.  angeben,  wieviel 
mal  länger  oder  kftrzer  sie  sind  als  diese.  Die  Achsenelemente  eines 
Erystalls  enthalten  also  nur  5  voneinander  unabhängige  unbekannte 
Stücke :  2  der  Achsen  etwa  a  und  c  (wenn  5  =  1)  (resp.  die  Verhält- 
nisse: -r  ^  -r);  sowie  die  3  Achsenwinkel  a,  ß,  y.  Ihre  Bestimmung  ist 

am  einfachsten,  wenn  die  Winkel  der  drei  Fundamentalflächen  zu- 
einander und  die  der  Einheitsfläche  zu  zwei  Fundamentalflächen  ge^ 
messen  sind.  Man  verfährt  dann  ebenso,  wie  wir  bei  der  Betrachtung 
der  Eantenschnitte  (25)  gesehen  haben.  Die  ersteren  drei  Winkel 
geben  die  Achsenwinkel  a,  ß,  y  und  die  zwei  anderen  die  beiden  Achsen, 
wenn  die  dritte  =  1  gesetzt  wird.  Im  allgemeinsten  Fall  sind  5  von 
einander  ganz  unabhängige  Flächenwinkel  des  ErystaUs  nötig,  wenn 
die  Ausdrücke  sämtlicher  Flächen  an  dem  betreffenden  Achsensystem 
bekannt  sind.  Diese  fünf  Winkel,  aus  denen  man  das  Achsensystem 
berechnet,  werden  dessen  FundamenMimfilcel  genannt.  In  einzelnen 
Spezialfällen,  die  wir  weiter  unten  kennen  lernen  werden,  nehmen  die 
Achsenwinkel  a,  ß^  y  und  das  Achsenverhältnis  a\h\c  besondere  spezielle 
Werte  an,  so  daß  das  Achsensystem  weniger  als  5  voneinander  unab- 
hängige unbekannte  Größen  enthält  Dann  genügen  auch  weniger 
als  fünf  Fundamentalwinkel,  und  zwar  braucht  man  stets  ebensoviele, 
als  unbekannte  Stücke  vorhanden  sind,  zur  Bestimmung  derselben. 
Diese  letztere  bildet  eine  Aufgabe  der  rechnenden  Erystallographie 
und  soll  daher  hier  nicht  weiter  verfolgt  werden. 

•Wie  die  Neigimgswinkel  der  Flächen  für  alle  Erystalle  derselben  Substanz 
cbaraktezistisch  sind  (20,  21),  so  sind  es  demnach  ancb  die  Elemente  der  den  Krystallen 
untergelegten  Achsensysteme,  welche  nnr  von  jenen  Winkeln  abhängen  nnd  aus  ihnen 
berechnet  werden;  nnd  wie  nnr  bei  Krystallen  einer  bestimmten  Substanz  gewisse 
Flächenwinkel  vorkommen,  so  auch  nur  gewisse  Achsenwinkel  und  AchsenverhlütnisBe, 
während  andere  unmöglich  sind.  Allerdings  sind  an  einem  und  demselben  ErystaU 
viele  Achsensysteme  möglich,  da  jede  Gruppe  von  vier  in  der  oben  angegebenen  Weise 
gegeneinander  liegenden  Flächen  desselben  ein  solches  liefern.  Aber  alle  diese  Achsen- 
systeme  sind  aufeinander  zurückführbar  und  können  auseinander  abgeleitet  werden, 
denn  aUe  die  in  Frage  kommenden  Flächen  stehen  ja  nach  dem  Gesetz  der  rationalen 
Kantenschnitte  (oder  nach  dem  Zonengesetze  (44  ff.))  in  einer  bestimmten,  mathe- 
matisch ausdrückbaren  Beziehung  zueinander.  Die  Achsensysteme  von  Krystallen 
verschiedener  Substanzen  lassen  dagegen  keinerlei  gesetzmäßigen  Zusammenhang 
«rkennen  und  können  daher  auch  nicht  auseinander  berechnet  und  ineinander  über- 
geführt werden,  ebensowenig  wie  sich  ein  gesetzmäßiger  Znsammenhang  zwischen 
der  Anordnung  der  Flächen  bei  Krystallen  verschiedener  Substanzen  und  den  Winkeln, 
die  sie  miteinander  machen,  erkennen  läßt. 

Die  Ausdrücke  aller  an  einem  Achsensystem  möglichen  Flächen,  also  die  Krystall- 
reihe  des  betreffenden  Krystalls  (28),  erhält  man,  wenn  man  für  die  Ableitungszahlen 
m,  n,  ^  der  Beihe  nach  alle  möglidien  rationalen  Werte  (inkl.  00)  in  den  allgemeinen 
Bauer,  Mineralogie.  4 


50  Weißsche  FlftchenbezeichnnDg. 

Anedmck :  ma  :nb  :pe  einsetzt.  Alle  die  verschiedenen  an  einem  Erystall  oder  an 
allen  Krystallen  derselben  Substanz  möglichen  Achsensysteme,  die  sich  durch  ihre 
Acfasenwinkel  nnd  Achsenyerhältnisse  voneinander  unterscheiden,  geben  dabei  infolge 
des  erwähnten  gesetzmäßigen  Zusammenhangs  stets  dieselbe  Gruppe  von  Flächen, 
dieselbe  Erystallreihe,  indem  sich  die  Flächen  jedesmal  unter  denselben  Winkeln 
schneiden.  Dagegen  erhält  man  aus  Achsensystemen,  welche  von  Krystallen  ver- 
schiedener Substanzen  abgeleitet  sind,  stets  andere  Erystallreihen  mit  anderen 
Flächenneigungen,  und  zwar  mit  denjenigen,  welche  für  die  betr.  Substanz  charakte- 
ristisch sind  (20,  21).  Durch  die  Achsensysteme  resp.  durch  die  Elemente  derselben 
sind  somit  die  Erystalle  in  ihren  wesentlichen  Gestaltungsverhältnissen  bestimmt. 
Die  Achsen  geben  gewissermaßen  ein  übersichtliches  Bild  der  Erystallisation  der  ver- 
schiedenen Substanzen,  welche  sich  demnach  auch  durch  ihre  Achsenelemente  in 
krystallographischer  Beziehung  charakterisieren  und  voneinander  unterscheiden 
lassen^  ebenso  wie  durch  die  Flächenwinkel,  &ber  weitaus  einfacher  und  übersicht- 
licher, als  durch  diese. 

39.  Weißsche  FMclieiibezeiehnuiig.  Der  Berliner  Mineraloge 
Christian  Samuel  Weiß,  der  zu  Beginn  des  19.  Jahrhunderte  die  Achsen 
in  die  Erystallographie  einführte,  hat  auch  zuerst  die  Flächensymbole 
in  der  Form: 

ma  :  nb  :pc 
geschrieben,  in  der  die  Parameter  durch  MuttipWcatian  der  Achsenlängen 
a,  h,  c  mit  den  Zahlen  m,  n,  p  (den  Ableitungszahlen)  erhsklten  werden. 
Diese  Form  der  Achsenausdrücke  wird  danach  die  Weißsche  Flächen* 
beaeichnung  genannt.  Bei  ihr  wird  mittels  der  AbleitungBzahlen  an- 
gegeben, wieviel  mal  größer  die  Parameter  der  Flächen  sind,  als  die 
Achsenlängen ;  m,n,p  werden  dabei  im  allgemeinen  als  ganze  Zahlen, 
seltener  als  Brüche  angenommen. 

40.  Indices.  Im  Gegensatz  zu  Weiß  kann  man  nun  aber  die 
Flächensymbole  statt  mit  ganzen  Ableitungszahlen  auch  mit  gebrochenen 

schreiben  in  der  Form: 

■ 

1  1,  1  ^  a  b  c 
T^ :  T^ :  -rC  Oder  t-  :  i- :  ^ 
h      k       l  h    Je     l 

wo  h,  k,  l  dann  ebenfalls  rationale  Werte  haben  müssen  und  allge- 
mein als  gange  Zahlen  gedacht  oder  eyentuell  in  solche  umge- 
wandelt werden  können  ((26)  u.  (35)).  Sie  werden  die  Indices  der  Fläche 
genannt.  Durch  diese  Indices  ist  die  Lage  der  Fläche  an  einem 
Achsensystem  ebenso  unzweideutig  gegeben  wie  durch  die  Ableitungs- 
zahlen. Sie  geben  aber  im  Gegensatz  zu  den  letzteren  an,  wieviel 
mal  kleiner  die  Parameter  der  Fläche  sind  als  die  Achsenlängen. 
Man  erhält  die  Parameter,  indem  man  die  Achsenlängen  durch  die  In- 
dices dividiert.  Eine  durch  ihre  Indices  bestimmte  Fläche  liegt  inner- 
halb des  durch  die  Achsenebenen  und  die  Einheitefläche  abgegrenzten 
Baumes,  während  die  in  Ableitungszahlen  ausgedrückte  Fläche,  wenn 
jene  ganze  Zahlen  sind,  außerhalb  dieses  Raumes  liegen  muß.  Wie 
bei  den  Ableitungszahlen  kommt  es  auch  bei  den  Indices  einer  Fläche 


Millersche  Flächenbeseichnimg.  51 

nnr  auf  ihr  Verhältnis,  nicht  anf  ihre  absoluten  Werte  an.  Man 
kann  anch  die  Indices  mit  jeder  beliebigen  Zahl  moltiplizieren  oder 
dividieren,  was  hier  gleichfalls  einer  Parallelverschiebnng  der  Fläche 
entspricht  Wie  die  Ableitongszahlen ,  so  sind  auch  die  Indices  + 
oder  — ,  je  nachdem  sie  sich  anf  einen  positiven  oder  negativen  Achsen- 
zweig beziehen.  Der  Ableitnngszahl  oo  entspricht  selbstverständlich 
der  Index  0;  er  drückt  ans,  daß  die  Fläche  der  betreffenden  Achse 
parallel  ist.  Die  mittels  der  Indices  ausgedrückten  Flächensymbole 
sind  in  der  rechnenden  Krystallographie  und  besonders  auch  bei  der 
Betrachtung  dei*  2iOnenverhältnisse  (44  ff.)  sehr  bequem;  sie  werden 
daher  mit  großer  Vorliebe  benutzt. 

41.  Millersche  Fläehenbezeiehnung.  Der  erste,  der  die  Indices 
in  den  Achsenausdrücken  der  Erystalle  in  ausgedehntem  Maße  ver- 
wendete, war  der  englische  Mineraloge  William  Hälhws  MiUer,  Er 
änderte  aber  die  Symbole  in  ihrer  Form  und  vereinfachte  sie,  indem 
er  die  Achsenlängen  wegließ  und  nt*r  die  Indices  schrieb  und  zwar 
stets  in  der  Form  der  kleinstmöglichen  ganzen  Zahlen  und  in  der 
fieihenfolge,  in  der  sie  sich  auf  die  drei  Achsen  a,  b,  c  beziehen.  Ist 
ein  Index  negativ,  so  wird  ein  —  darüber  gesetzt.  So  sind  also 
ganz  allgemein  nach  Miller: 

Die  OMaidflächen : 

---:--:  —  =  ÄWund — t: — r' — 7-  =  **  l 

oder  speziell: 

J:|-:c=231;;^:6:c  =  311; 

a:h:c^==^  111  (die  Einheitsfläche)  etc. 
Da   dem   Maximalwert  00  hier   der  Minimalwert  0   entspricht, 
so  sind: 

die  Dodekaidflächen: 

a  :oo6  :c  =  a:jr-:  c=101;  o-'h-q  -^^  ==  230  etc. 

die  Heocaidflächm  (Fundamentalflächen): 
a  :  006  :  00c  =  100;  00a  :  h  :  00c  =  010;  00a  :  006  :  c  =  001. 

Die  ifiUersche  Bezeichnniigsweise  aoU  bei  der  Beschreibung  der  Mineralien  in 
diesem  Buche  besonders  angewendet  werden,  daneben  die  iVaumannsche,  die  bei  der 
Betrachtung  der  einzelnen  Erystallsysteme  näher  erläutert  werden  wird.  Letztere 
unterscheidet  sich  von  der  Millerschen  und  der  Weißschen  im  Prinzip  dadurch,  daß 
bei  ihr  nicht  einzelne  Flächen,  sondern  die  ganzen  einfachen  Krystallformen  durch 
besondere  Zeichen  zur  Darstellung  gelangen,  unter  Anwendung  derselben  Achsen  auf 
denen  auch  die  Weißschen  und  die  MiUerschen  Symbole  beruhen. 

42.  Umwandlung  Weißsoher  Symbole  in  Millersohe  und  umgekehrt. 
Hftoiig  kommt  man  in  die  Lage,  WelAsche  Symbole  in  Millersche  zu  verwandeln 

4* 


52  Weißsche  und  Millersche  Symbole. 

und  nmgekehrt  Dies  kann  leicht  durch  Division  der  Ableitnngszahlen,  resp.  dnrch 
Hnltiplikation  der  Indices  mit  einer  geeigneten  Zahl  bewerkstelligt  werden.  Es  ist 
dies  jedesmal  die  kleinste  Zahl,  in  der  die  sämtlidien  Ableitnngszahlen  resp.  Indices 
ohne  Rest  enthalten  sind,  d.  h..der  kleinste  gemeinschaftliche  Faktor  aller  Ableitnngs- 
zahlen  resp.  Indices. 

a)  TTe^sches  Symbol  in  J&fiZ^ersches  verwandelt : 

allgemein : 

,  ma     nb      PC        a     b      c       a    &    c      ,,, 

ma :  nb  :pc= : :  — —  =  — :  —  :---=^:-5-:-=-  =  hkl, 

^       mnp  min^    mnp      np  mp  mn      h    k    l  ' 

speziell  z.  B. : 

6a:46:3c  =  ^:32:jg=  2:3:^  =  234, 

b)  MUlerBcheB  ^yiubol  in  TTts^ches  umgewandelt: 
allgemein: 

,,,       a    b    c       hkl      hM,    hJd        1.      ».r   «.7  r 

h    k     l        h         k         l  "^  ' 

speziell  z.  B.: 

312  =  |:5:~  =  -g-a:66:-2-c  =  2a:65:3c 

3  2 

(ev.  auch:  a  : 3 6 : -5- c  oder  -^a:2b:c  etc.) 

021  = -TT-: -5-  •  c  =  -Tc-fl:  -g-  :2c  =  ooa:b:2c  etc. 

48.  Beispiel.  In  dem  oben  (29)  erwähnten  Erystall  von  Kieselzinkerz  seien 
a,  5,  c  als  Fundamentalflftchen  (Achsenebenen)  gewählt.  Sie  schneiden  sich  unter  90®, 
also  machen  auch  die  von  ihnen  gebildeten  Achsen  rechte  Winkel  miteinander. 
Wählt  man  noch  beliebig  eine  vierte  Fläche  als  Einheitsfläche  z.  B.  z^  so  ist  für 
diese  Annahme  das  Achsensystem  des  Eieselzinkerzes  bekannt  Die  drei  Achsenwinkel 
sind:  a  =  y^  =  y  =  90**;  das  Achsenverhältnis  ist :  a:  6  :c=0,817: 2,099:1.  Der  Aus- 
druck der  Einheitsfläche  zißt:  z  =  a:b:c  =  111.    Derjenige  der  Fläche  s  wird  dann : 

s  =  2a:^6:c  =  4a:6:2c=:142  und  derjenige  der  Fläche  .4'"  JB'''  C=2a:-rb:c  = 

8a :  5 : 4 c  =  182.  Die  Fundamentalflächen  sind  wie  immer:  a  &=  a :  oo5 : 00c  =  100; 
5  =  ooa :6:00c  =  010;  c  =  ooa:oo6:  c  =  001. 

Hätte  man  dagegen,  ohne  die  Fundamentalflächen  zu  ändern,  8  als  Einheits- 
fläche genommen,  dann  wären  wieder  die  Achsen winkel :  a=/9  =  /  =  90®,  aber  das 
Achsenverhältnis  würde :  a:b:c  =  1,633 : 1,049 : 1.  Jetzt  hätte  nicht  mehr  z^  sondern 
8  den  Ausdruck:  a:&:c  =  lll,  der  sich  nun  aber  auf  das  neue  Achsensystem  be- 
zieht.   Dagegen  hätte  z  in  Beziehung  auf  dieses  neue  Achsensystem  den  Audmck: 

ya:25:c  =  a:46:2c  =  412und  A"*  B**'  C  wäre  jetzt:  a :  y  6:  c=2a :  b :  2c=121. 

Ein  ferneres  Achsenverhältnis  würde  die  letztere  Fläche  geben,  und  ebenso  jede  andere, 
welche  nicht  einer  Achse  parallel  ist.  Ebenso  könnte  man  auch  stets  andere  Flächen 
zu  Fundamentalfiächen  nehmen.  Daß  diese  verschiedenen  Achsensysteme  wirklich  unter- 
einander in  einer  gesetzmäßigen  Beziehung  stehen  und  sich  auseinander  ableiten 

lassen,  sieht  man  hier  leicht,  denn  es  ist :  as:at  =  0,817 : 1,633  =  1 : 2,  d.  h.  a«  =  -^  a« ; 

femer  65 :&«  =  2,099: 1,049  =  2:1,  d.  h.  &«  =  2&<;  c  ist  in  allen  Fällen  =  1  ange- 


Zonen.  53 

nommen  worden.  Komplizierter  nnd  nnr  durch  weitläoflgere  Bechnnng  nachxnweisen 
ist  der  Zusammenhang  derjenigen  Achsensysteme  desselben  Erystalls,  bei  welchen 
auch  die  Fnndamentalflächen  andere  sind. 

Im  vorstehenden  sind  die  allgemeinen  Beziehnngen  der  Achsen  aller  Erystalle 
ohne  Ausnahme  auseinander  gesetzt  Je  nach  den  speziellen  Verhältnissen  (Symme- 
trieverhältnissen)  der  Krystalle  wählt  man  aber  die  als  Achsen  zu  benatzenden 
Kanten  etc.  in  yerschiedenen  Fällen  yerschieden  (82).  Wir  haben  aber  zuerst  noch 
das  Zonengesetz  kennen  zu  lernen,  das  dieselbe  Gesetzmäßigkeit  darstellt,  wie  das 
Gesetz  der  rationalen  Kanten-  oder  Achsenschnittei  nur  in  einer  anderen  Form. 


c.  Das  Zonengesetz. 

(Vergl.  F.  E.  Neumann.  De  lege  zonarum.  Diss.  Berlin  1826;  Beiträge  zur 
Krystallonomie  1823.) 

44.  Zone.  Unter  Zone  versteht  man  nach  dem  Vorgang  von 
Chr.  S.  Weiss  einen  Komplex  von  Flächen,  welche  alle  einer  Geraden 
(Kante),  der  sog.  Zofkenachse^  parallel  sind,  und  welche  sich  somit  alle, 
eventnell  in  der  Erweiterung,  in  Kanten  schneiden,  die  einander  nnd 
der  Zonenachse  parallel  laufen.  Jede  Zonenachse  ist  als  Schnittlinie 
(parallel  der  Schnittlinie)  zweier  Flächen  der  Richtung  nach  eine 
mögliche  Kante  desKrystalls  und  umgekehrt:  jede  Kante  eine  mög- 
liche Zonenrichtung.  Flächen,  die  in  einer  Zone  liegen,  heißen  tauto- 
ecndl;  so  sind  alle  Flächen  jedes  Prismas,  z.  B.  die  Flächen  p  (Fig.  9), 
tautozonal.  Schon  durch  je  zwei  Flächen  einer  Zone  ist  stets  die 
Richtung  der  Zonenachse  (die  Zonenrichtung)  und  damit  im  wesent- 
lichen die  Zone  selbst  bestimmt.  Liegt  eine  Fläche  in  einer  Zone, 
so  liegt  die  parallele  Gegenfläche  selbstverständlich  ebenfalls  darin. 

Ist  einKiystall  auf  einem  Reflexionsgoniometer  befestigt,  so  daß  die  Achse  einer  Zone 
(eine  Kante)  mit  der  Drehachse  parallel  ist  (15),  dann  müssen  die  Reflexe  eines  Licht- 
punkts auf  aUen  Flächen  der  Zone  der  Reihe  nach  auf  dem  gleichen  Wege  durch  das 
Sehfeld  wandern,  wenn  man  den  Krjstall  um  360®  dreht,  und  zwar  müssen  sie  sich  in 
einer  auf  der  Achse  senkrechten  Ebene  bewegen.  Ist  das  Goniometer  mit  einem  Fem- 
rohr yersehen,  so  gehen  die  Reflexe  der  Reihe  nach  durch  dessen  Fadenkreuz.  Daran 
kann  man  erkennen,  ob  eine  Anzahl  von  Flächen  in  einer  Zone  liegt  oder  nicht, 
und  zwar  ist  diese  Probe  sehr  scharf  und  besonders  dann  von  Wert,  wenn  sich  die 
Flächen  entweder  gar  nicht  oder  nur  in  sehr  kurzen  Kanten  schneiden  und  wenn 
die  KrystaUe  sehr  klein  sind. 

45.  Ausdruck  der  Zone.  Sind  an  dem  Achsensystem  OXYZ(¥\g,  28) 

die  beiden  Flächen  .iBC  =  -^:|.:4  =  Ä*?  und  2)£i?'=x-T--f=W, 

h    k     l  h,   Je,    l, 

gegeben,  so  ist  deren  Durchschnitt  GH  die  Achse  der  durch  die  beiden 

Flächen  bestimmten  Zone.   Man  denkt  sich  die  Zonenachse  GH  parallel 

mit  sich  durch  den  Achsenmittelpunkt  0  nach  OK  verlegt  und  das 

ParallelepipedOJfZfJVöPUS  konstruiert,  dessen  Flächen  den  drei  Achsen- 


54  Zonenansdnick. 

ebenen  XOY,  YOZ,  ZOX  parallel  sind,  und  dessen  Diagonale  OS  ist, 

wo  S  ein  ganz  beliebiger  Punkt  der  Geraden 

i  OK;   dann  sind  OM,  ON,  OP  die  Koordinaten 

^^N.  von  S.    Kennt  man   diese,  so  kennt  man  auch 

^   nN.  die  Zonenachse  SO  ihrer  Richtung  nach,  da  diese 

y^j^--^^p^    ja  außer  durch  S  auch  durch  den  Achsenmittel- 

I  punkt  0  gehen  soll.    Die  Kenntnis  des  Punkts 

I  S  resp.  der  Koordinaten  desselben  genügt  also, 

jo^        um  die  Zone  der  Richtung  nach  völlig  zu  be- 

j^LX ^^         stimmen;    ja  schon   das  Verhältnis    der  Koor- 

¥ig.  28.  dinaten  OM:  ON:OP  ist  hinreichend,  da  jeder 

beliebige  Punkt  der  Zonenachse  OK  die  Richtung 
derselben  angibt.    Man  findet  nun  mittels  einiger  ähnlicher  Dreiecke : 
OM:ON:OP  =  {M,  —  lk,)a:([h,~hl,)b:{hk,—  hh,)c 

=  ua:vb:wc. 

Diese  Zahlen  u=^M, —  lh,y  v  =  Vi,  —  hl,;  w=^hk,  —  M,,  welche 
hier  als  Koeffizienten  der  Achsenlängen  a,  2»,  c  auftreten  und  welche  in 
Verbindung  mit  diesen  die  Richtung  der  Zonenachse  bestimmen,  heißen 
die  Indices  der  Zone  (Kante);  in  eine  eckige  Klammer  gefaßt:  {umD\ 
geben  sie  den  Ausdruck  (das  Symbol)  der  Zone  (Kante) ;  als  Differenzen 
von  Produkten  rationaler  (ganzer)  Zahlen  sind  auch  die  Indices  der 
Zonen  (Kanten)  w,  v,  w  stets  rational  (ganz).  Jeder  durch  drei  ratio- 
nale (ganze)  Werte  von  w,  v,  w  dargestellte  Ausdruck  gibt  eine  an 
dem  Krystall  mögliche  Zone  oder  Kantenrichtung.  Zonen  (Kanten- 
richtungen), deren  Indices  irrational  sind,  können  an  einem  Krystall 
nicht  vorkommen. 

u,  Vf  w  lassen  sich  stets  leicht  nach  dem  folgenden  Schema  ermitteln: 

h    k    l    h    k    l 

XXX 

hf  k,   l,  h,   kf  If 

Schreiht  man  die  Indices  der  heiden  Flächen  doppelt  neben-  und  übereinander, 
multipliziert  die  durch  nach  rechts  unten  gehende  Linien  verbundenen  Indices  und 
ebenso  die  durch  nach  links  unten  gehende  Linien  verbundenen  Indices  und  zieht 
die  im  zweiten  Fall  erhaltenen  Produkte  von  den  im  ersten  FaU  erhaltenen  ab,  so 
daß  immer  die  Produkte  von  zwei  sich  schneidenden  Linien  voneinander  subtrahiert 
werden,  dann  ist  die  erste  Differenz^  über  welcher  im  Schema  u  steht,  der  Zonen- 
index u  für  die  Achse  a,  die  zweite  und  dritte  unter  v  und  w  sind  die  Zonenindices 
V  und  u;  für  6  und  c.  Dabei  müssen  die  Vorzeichen  der  Flächenindices  A,  k,  l  und 
h„  k„  l,  streng  beachtet  werden.  Die  Zonenindices  selbst  sind  wie  die  Flächen- 
indices  -f-  oder  —  und  können  wie  die  der  Flächen  alle  mit  einer  und  derselben 
Zahl  multipliziert  oder  dividiert  werden. 

Beispiel.    Gegeben  die  beiden  Flächen: 

ABC  =  212;  DEF ^111,  dann  ist:  [t*tw]  =  [303]  =  [101]  =  [101] ; 
denn  die  Formeln  für  die  Zonenindices  geben  nach  dem  Schema: 


2     1     S     2     1     2 

XXX 
1     1     1     l     1     1 
«  =  1.1  — 2.(— 1)  =  3;  »  =  2.1  —  2.1=0;  «J  =  2.(—l)  — 1.1=  — 3. 

46.  Zonenglelehnng.  H&t  eine  Fläche  den  Ausdrnck  hkl  und 
eine  Zone  den  Ausdnick  [avw],  so  ^t,  wenn  die  Fläche  in  dieser 
Zone  liegt,  die  8(^.  Zonengleichnng:: 

«Ä  +  vi  +  tri  =  0. 

Die  EntwicUnng  dieser  Oleichnng  üt  eine  Aufgabe  der  tachneQden  Kristallo- 
graphie, die  hier  nicht  Torgeuommen  werden  kann.  Sie  wird  eehi  hSnflg  angewendet 
nnd  dient  d.  a.  dain,  zu  nnteraachen,  ob  eine  FlScbe  mit  bestimmtem  Anadmck  in 
einer  dnrch  ihr  Symbol  bekannten  Zone  liegt  oder  nicht.  Dies  ist  der  Fall,  wenn 
die  Indices  der  FIftcbe  nnd  der  Zone  der  Zonengleichang  genSgen  oder  nicht  Ebenso 
l&ßt  sich  mit  Hilfe  dieser  Oletcbnng  in  entsprechender  Weise  ermitteln,  ob  drei  oder 
mehr  Ft&cben  derselben  Zone  ongebSren,  oder  ob  dies  nicht  der  FoU  ist.  Die  folgmden 
Beispiele  werden  das  deutlicher  zeigen. 

Ist  E.  B.  die  Zone  [121)  g^eben,  so  liegt  in  ihr  nach  dieser  Qleicbnng  offtobar 
die  Fläche:  111,  denn  es  ist:  «  =  1,  i>  =  2,  uj  =  l  nnd  Ä  =  — 1,  ft  =  l,  I  =  — 1.  Es 
ist  dann,  also: 

1.(_1}4.2.1  +  1.(—1)  =  — 1  +  2-1=0, 
die  Zonengleichnng  ist  also  etfOllt, 

Dagegen  liegt  in  dieser  Zone  nicht  die  Flfidie:  lOS,  denn  es  ist: 
l.l  +  2.0  +  l.(— 3)  =  1  — S  =  — 2,  also  nicht  =0, 
die  Zonengleichnng  ist  nicht  erfüllt. 

Diese  Fl&cbe  liegt  dagegen  i.  B.  in  der  Zone:  [311],  denn  es  ist,  der  Zonen- 
gleichnng entsprechend: 

3.1  +  {— 1).  0  +  1.  C— 3)  =  3—3-^0. 

Soll  die  ZngehSrigkeit  von  drei  FlSchen  ea  einer  Zone  nntersncht  werden,  so 
verfiUut  man  in  derselben  Weise,  indem  man  ans  iweien  der  Flttchen  das  Zonen- 
s;mbol  bestimmt  (45)  nnd  die  gefnndenen  Indices  mit  denen  der  dritten  Fläche  noch 
der  Zonengleichnng  kombiniert.    Ebenso  bei  jeder  weiteren  Fläche  dieser  Zone. 

17.  Flftehe  In  zwei  Zonen.    Eine  Fläche  eines  Erystalls  liej;^ 
im  aJI^meinen  nicht  nur  in  einer  2k>ne,  sondern  in  mehreren,  in  zwei, 
drei  etc.   gleichzeitig.     Dies  ist  der  Fall  wenn  sie 
gleichzeitig  den  Achsen  aller  dieser  Zonen  parallel  ist. 
So  liegt  z.  B.  in  Fig.  29  die  Fläche  c  gleichzeitig  in 
den  drei  Zonen :  [a'a,],  [«"a,,],  [a"'a„^.    Dies  sieht  man 
an  der  Parallelität  der  Kanten  cja',  a'a,,  ajc;  c/a", 
a"la„,  aJc;  cjtf",  a"'ja„,,  aJc  und  kann  es  eventuell         „.     „ 
mit  Hilfe  des  Goniometers  nachweisen  (44). 

Da  jede  Ebene  durch  zwei  Gerade,  denen  sie  parallel  geht,  der 
Richtung  nach  vOUig  bestimmt  ist,  so  ist  auch  eine  KrTstallfläche 
durch  zwei  Zonen,  in  denen  sie  liegt,  Tfillig  bestimmt,  denn:  eine 
Fläche  liegt  in  zwei  Zonen  heifit  ja  nichts  anderes,  als  sie  geht 
gleichzeitig  den  Achsen  beider  Zonen  parallel. 


56  Deduktion. 

Sind  die  beiden  Zonen,  in  denen  die  Fläche  (JiM)  liegt,  dorch  ihre 
Ausdrücke  [uvw]  und  [M,t;,u;J  gegeben,  so  bestehen  die  beiden  Zonen- 
gleichnngen  (46): 

hu-{-h)-{-lw  =  0  und  hu, -^Jcv,-}- Iw,  =  0. 

Ans  diesen  beiden  Gleichungen  folgt  das  Verhältnis  der  Indices 
hj  k  und  l  ausgedrückt  m  u,v,to  und  u„  v„  w„  und  zwar  erhält  man 
durch  Auflösen  derselben: 

h:Tc:l^=^  wo,  —  wv, :  um,  —  uw, :  uv,  —  vu, 
so  daß  der  Ausdruck  der  gesuchten  Fläche,  die  gleichzeitig  in  beiden 
Zonen  liegt,  wird: 

hkl  =  vw,  —  uw,,  um,  —  uw,,  u/o,  —  vu,. 

Da  u,  V,  w  und  u,,  v,,  w,  stets  rationale  (ganze)  Zahlen  sind,  so 
sind  auch  die  Werte  von  ä,  i,  l  stets  rational  (ganz).  Eine  in  ewei 
(oder  mäir)  Zonen  eines  KrysUüls  liegende  Ebene  ist  demnach  stets  eine 
mögliche  Fläche  des  KrystaUs. 

Liegt  die  Fläche  gleichzeitig  noch  in  einer  dritten  Zone,  dann  erhfilt  man  noch 
eine  dritte  Zonengleichung,  die  mit  je  einer  der  beiden  obigen  dieselben  Werte 
von  h,  kj  l  liefert,  wie  jene  zwei. 

Die  Flftchenindices  h,  k,  l  lassen  sich  genan  nach  demselben  Schema  ans  den 
Indices  der  zwei  Zonen:  u,  v,  to^  u„  v„  to,  unmittelbar  ablesen,  wie  (45)  die  Zonen- 
indices  u,  v,  w  ans  denen  der  beiden  Flächen:  h,  k,  l^  h„  k„  l,. 

h     k     l 

XXX 

worans  man,  wie  oben,  erhält: 

h  =  VW,  —  fvv, ;  k  =  um,  —  uw, ;  l  =  iw,  —  vu,. 

Sind  z.  B.  gegeben  die  Zonen:  [21 IJ  und  [102],  dann  erhält  man  für  die  Indices 
hkl  der  in  beiden  liegenden  Fläche  hkl: 

Ä  =  l.(— 2)  — 1.0  =  — 2;  fe==l^l  — 2.(-2)  =  6;  /  =  2.0  — 1 .1  =  — 1; 

also:  ÄW  =  251  =  — 6a:2ft:— 10c. 
oder  für  die  parallele  Gegenfläche  (37): 

ÄÄ?=  251  =:5a:  — 26:10c. 

48.  Deduktion.  Sind  yier  Flächen  eines  Erystalls  A,  B,  C,  D 
durch  ihre  Ausdrücke  an  einem  Achsensystem  bekannt,  so  ist  es  mög- 
lich, eine  fdnfte  Fläche  x  abzuleiten,  welche  gleichzeitig  in  den  Zonen 
von  je  zweien  derselben  liegt  (45 — 47). 

Istz.B.il  =  302;  JB=111;  C  =  101;  D  =  313,  und  soll  »  =  ÄfcHn  den  beiden 
Zonen  [A,B]  und  [CyD]  liegen,  so  sind  die  beiden  Zonensjmbole : 

[Ä,  B]  =  [uvw]  =  [2l3] ;  [C,  D]  =  [u,v,w,]  =  [101] 
nnd  hieraas  das  gesuchte  Flächensymbol:  ^ 

x  =  hkl  =  {uvWj  u,v,w,)  s=  111  oder  =  111. 

Diese  Flächen  A,  B,  C,  D  müssen  aber,  wenn  dies  möglich  sein 
soll,  eine  ganz  bestimmte  allgemeine  gegenseitige  Lage  haben.  Sie 
dürfen  nicht  alle  vier  in  einer  Zone  liegen,  auch  nicht  drei  in  einer 


ZonengeBets.  57 

Zone  und  die  vierte  außerhalb  derselben,  sondern  es  müssen  immer 
nur  je  zwei  in  einer  Zone  liegen.  Dies  tun  sie  nur,  wenn  sie  mit 
ihren  vier  parallelen  Gegenflächen  liegen  wie  die  Flächen  eines 
Oktaeders  (Fig.  4),  wobei  jedoch  die  Winkel  der  Oktaederflächen  gegen- 
einander gleichgültig  sind.  Dann  aber  bestimmen  solche  vier  Flächen 
nicht  bloß  2,  sondern  6  verschiedene  2iOnen  [A,  B],  [Ä,  C],  [Aj  D], 
[Bj  C],  [By  D],  [C,  D],  ans  welchen  nicht  bloß  eine,  sondern  drei  nene 
Flächen  x  abgeleitet  werden  können.  Diese  drei  Flächen  x  geben 
miteinander  drei  neue  Zonen,  welche  mit  den  ursprünglichen  sechs 
Zonen  [A^  B]  etc.  wieder  neue  Flächen  liefern,  und  so  kann  man 
durch  allmähliches  Fortschreiten  in  dieser  Weise  aus  jenen  vier  Flächen 
unendlich  viele  neue  ableiten,  welche  alle  miteinander  im  Zonen- 
zusammenhang stehen.    Man  nennt  diese  Operation  die  DeduMian. 

Die  Ausdrücke  der  deduzierten  Flächen  für  das  Achsensystem,  auf 
welches  die  Flächen  A  bis  D  bezogen  sind,  folgen  durch  fortgesetzte 
Anwendung  der  Formeln  in  (45)  bis  (47)  aus  den  Ausdrücken  der 
vier  ersten  Flächen.  Die  sämtlichen  abgeleiteten  Indices  sind  da- 
her notwendig  rational,  und  die  deduzierten  Flächen  mögliche 
Erystallflächen.  Die  unendlich  vielen  so  deduzierten  Flächen  mit  ihren 
rationalen  Indices  sind,  wie  sich  auf  mathematischem  Wege  nach- 
weisen läßt,  in  ihrer'  Gesamtheit  nicht  verschieden  von  den  unend- 
lich vielen  Flächen,  deren  Ausdrücke  man  erhält,  wenn  man  direkt 
die  Achsenlängen  jenes  Achsensystems  mit  allen  möglichen  rationalen 
Zahlen  als  Indices  kombiniert.  Man  erhält  somit  genau  denselben 
Flächenkomplex,  wenn  man,  entsprechend  dem  Gesetz  der  rationalen 
Kanten-  oder  Achsenschnitte,  an  ein  Achsensystem  unendlich  vieleFlächen 
mit  rationalen  Indices  legt,  oder  wenn  man  aus  vier  beliebigen  Flächen 
dieses  Komplexes,  welche  die  oben  angegebene  allgemeine  Lage  gegen- 
einander haben,  durch  Deduktion  aus  dem  Zonenzusammenhang  alle 
ferneren  möglichen  Flächen  ableitet.  Dieser  Flächenkomplex,  den 
man  in  übereinstimmender  Weise  auf  beiden  Wegen  erhält,  stellt  die 
Krystallreihe  der  betreffenden  Substanz  dar  (28)  und  die  Indices  bilden 
die  Beihe  der  rationalen  ganzen  Zahlen. 

Leicht  sieht  man  ein,  daß  die  vier  Flächen,  welche  man  der 
Deduktion  zu  Grunde  legen  muß,  dieselbe  allgemeine  Lage  gegen 
einander  haben,  wie  die  vier  Elementarflächen,  welche  die  Achsen- 
elemente bestimmen  (32).  Durch  vier  solche  Flächen  ist  also  mittels 
beider  Methoden  die  Gesamtheit  der  möglichen  Flächen  des  betr. 
Krystalls,  seine  Krystallreihe,  gegeben. 

49.  Zonengesetz.  Man  kann  danach  die  erfahrungsmäßig  fest- 
gestellte, durch  die  Neigungswinkel  charakterisierte  Gruppierung  der 
Flächen  eines  Krystalls  aus  solchen  vier  Flächen  nicht  nur  in  mehr 


58  Zonen^esets. 

algebraischer  Weise  durch  das  Gesetz  der  rationalen  Achsenschnitte 
angeben,  sondern  ganz  ebenso  gut  in  mehr  geometrischer  Weise,  je- 
doch mit  dem  vorigen  vollkommen  gleichbedeutend,  durch  Deduktion 
mit  Hilfe  des  sog.  Zofiengesetaes,  wie  es  zuerst  von  Chr.  8.  Weiss  und 
J^.  E.  Neumann  ausgesprochen  wurde.  Dasselbe  lautet:  AUe  Flädien 
eines  Krystdlls  stehen  untereinander  im  Zoneneusammenha/ng^  d.  h.  man 
kann  stets  je  vier  Flächen  aus  den  sämtlichen  an  einem  Erystall 
möglichen  beliebig  herausgreifen  und  alle  anderen  aus  ihnen  deduzieren, 
wenn  jene  vier  nur  die  Lage  gegeneinander  haben,  wie  in  (48)  an- 
gegeben. Welche  so  gestaltete  Gruppe  von  vier  Flächen  man  aus 
den  Flächen  eines  Krystalls  herausgreifen  mag,  stets  erhält  man  ganz 
genau  dieselbe  Gruppierung  der  deduzierten  Flächen,  d.  h.  dieselbe 
Krystallreihe,  ebenso  wie  man  auch  stets  dieselbe  Krystallreihe  be- 
kommt, gleichgültig  welche  von  den  Flächen  eines  Krystalls  man  als 
Fundamentalflächen  und  als  Einheitsfläche  zur  Bestimmung  eines 
Achsensystems  wählt  (28,  38). 

Dieser  vollkommen  ununterbrochene  Zonenzusammenhang  besteht 
jedoch  mit  Notwendigkeit  nur  für  die  Gesamtheit  aller  der  unendlich 
vielen  möglichen  Flächen  eines  Krystalls.  An  den  in  der  Natur  vor- 
kommenden Krystallen  ist  aber  nur  eine  beschränkte  Zahl  dieser 
Flächen  ausgebildet.  Die  Folge  davon  ist,  daß  man  an  ihnen  keinen 
vollkommen  ununterbrochenen  Zonenzusammenhang  mehr  beobachtet, 
d.  h.  daß  sich  nicht  mehr  aus  vier  ganz  beliebigen  Flächen,  welche 
nur  die  oben  angegebene  allgemeine  Lage  gegeneinander  haben,  alle 
anderen  mittels  der  Zonen  deduzieren  lassen.  Häufig  kann  man  auch 
an  den  Krystallen,  wie  sie  die  Natur  bildet,  alle  Flächen  aus  solchen 
vier  Flächen  deduzieren,  denn  auch  die  tatsächlich  ausgebildeten 
Flächen  der  Krystalle  sind  der  Eegel  nach  in  Zonen  geordnet.  Aber 
man  kann  dies  nur  aus  vier  ganz  bestimmten  Flächen  oder  auch  ans 
mehreren  Gruppen  von  solchen  vier  Flächen,  die  Zahl  dieser  Gruppen 
ist  jedoch  stets  eine  endlich  begrenzta 

Häufig  gibt  es  überhaupt  keine  solche  Gruppe  von  vier  Flächen, 
aus  denen  sich  atte  anderen  tatsächlich  vorhandenen  Flächen  des  betr. 
Krystalls  deduzieren  ließen.  Entweder  kann  man  nur  eine  Anzahl 
dieser  Flächen  aus  den  Zonen  bestimmen,  oder  aber  auch  wohl  in 
seltenen  Fällen  gar  keine.  Ist  der  Zonenzusammenhang  bei  geeigneter 
Wahl  der  vier  zu  Grunde  gelegten  Flächen  ununterbrochen,  so  folgen  die 
Ausdrücke  aller  deduzierten  Flächen  aus  denen  der  letzteren  nach  den 
Formeln  in  (45)  und  (47),  bezogen  auf  dasselbe  Achsensystem,  wie  jene 
vier.  Zur  Bestimmung  der  Ausdrücke  von  Flächen,  die  außer  dem 
Zonenverband  liegen,  ist  das  Messen  von  Flächenwinkeln  und 
Berechnung  nach  den  Methoden  der  rechnenden  Krystallographie 
nötig. 


Zonengeaetz. 


Ö9 


Fig.  90. 


50.  Beispiele«  fiat  man  z.  B.  den  Ejystall  Fig.  30,  bo  lassen  sich  daran 
dnrch  parallele  Kanten  oline  weiteres  die  Zonen:  [djiidiht],  [h^dihid4]^  Uh^Kd^], 
[hgOid^04]j  [d^OihiO^],  [AtOi<^Oi]f  [oJhoA],  [h^Otid^o^]  etc.  je  mit  den  nach  hinten 
liegenden  parallelen  Gegenflächen  erkennen  nnd  die  genauere 
Untersuchong  am  Goniometer  (44)  würde  noch  weitere  Zonen 
leicht  ergeben,  so  namentlich:  [dtdid^]^  [d^dgä^lf  [d^4d^]t  [did^d^] 
etc.  Aber  auch  schon  jene  nnmittelbar  erkennbaren  Zonen  zeigen, 
daß  jede  Fläche  des  ELiystalls  mindestens  in  2  Zonen  liegt,  so  hi 
in  [d^OihiOt]  nnd  [0tAi04(2e];  /'t  in  [^Oa^^Os]  nnd  [htOidiO^]  etc., 
nnd  daß  somit  jede  Fläche  dnrch  Zonen  anderer  Flächen  be^ 
stimmt  ist.  Femer  sieht  man,  daß  man  aus  den  vier  Flächen  o, 
welche  offenbar  die  erforderliche  allgemeine  Lage  zueinander  haben,  alle  an- 
deren Flächen  deduzieren  kann.  Zunächst  ist  Ai  bestimmt  durch  die  Zone  [oiOt] 
und  [0SO4];  h^  durch  [OiOt]  und  [0,04];  h^  durch  [0|0,]  und  [O1O4];  femer  die 
Flächen  d  durch  je  eine  2^ne  [00]  und  [hh],  also  z.  B.  di  durch  [tho^]  und  [AA];  d% 
durch  [o^Ot]  und  [hjit]'t  d<  durch  [01O4]  und  [hih^]  etc. 

Für  die  Flädien  0,  welche  der  Deduktion  zu  Grunde  liegen,  kann  man  beliebige 
Indices  wählen,  wenn  nicht  aus  irgend  welchen  Gründen  der  Symmetrie  etc.  solche 
Ton  Tomherein  gegeben  oder  angedeutet  sind.  Jeder  solchen  Wahl  entspricht  dann 
implidte  ein  ganz  bestimmtes  Achsensystem  für  den  Krystall,  das  für  alle  anderen 
Ausdrücke  jener  Tier  Flächen  0  ein  anderes  wird.  Die  Ausdrücke  (Indices)  der 
Flächen  0  müssen  nur  so  beschaffen  sein,  daß  nach  ihnen  nicht  z.  B.  drei  der  vier 
Flächen  in  einer  Zone  liegen  würden  etc.,  was  mittels  der  Zonengleichung  (46)^  ge- 
prüft wird.  Nimmt  man  z.  B.  an,  daß:  Oi  =  lll,  02  =  111|  Os  =  lll,  04  =  111,  so 
findet  man,  nach  (46—47)  aus  den  angegebenen  Zonen:  Ai  =  100,  ^  =  010  und  h^ 
=  001;  femer:  (2i»101;  ds  =  110;  (ig  =  110  etc.,  welche  Ausdrücke  sich  stets  auf 
dasselbe  Achsensystem  beziehen,  das  auch  den  Ausdrücken  der  Flächen  0  zu  Grunde 
liegt.  Eine  ähnliche  Deduktion  wäre  noch  ans  den  Tier  Flächen  di  d^  d^  d^,  d^d^d^d^ 
etc.  möglich,  nicht  aber  aus  dihiOid^  etc.,  trotzdem  sie  die  erforderliche  allgemeine 
gegenseitige  Lage  (49)  auch  haben,  noch  weniger  aus  d^hid^hg,  Ton  denen  die  drei 
ersten  in  derselben  2^ne  liegen. 

Ein  Flächenkomplex,  wie  der,  welcher  den  Axinitkrystall  Fig.  31  umgrenzt, 
gestattet  überhaupt  keine  ununterbrochene  Deduktion.  Von  den  Tier  Flächen  P^i, 
u,  8  kann  man  nicht  ausgehen,  da  P,  i,  u  in  einer  Zone  liegen,  dagegen  ist  P,  r,  u,  x 
geeignet.  Diese  Tier  Flächen  geben  die  Fläche  s  aus  den  beiden 
Zonen^[r,ii]  und  [P,»],  und  zwar  ist,  wenn  man:  P=  110;  «  =  110; 
r  =  111 ;  x  =  111  annimmt,  s  =  201.  Wenn  man  dagegen  die  Aus- 
drücke annimmt:  P  =  001;  tt  =  lll;  r==lll;  «  =  201,  so  wird 
s  =  101.  Der  Ansdmck  für  i  läßt  sich  nicht  aus  dem  ZoneuTcr- 
band  eimittebi,  denn  für  t  ist  nur^die  eine  Zone  [P,u]  bekannt,  nicht 
aber  eine  zweite.  Wenn  P  »  (HO)  und  u  ^  (110),  ist  der  Ans- 
dmck der  Zone  [P,u]  =  [001];  hat  die  Fläche  i  den  allgemeinen 
Ausdmck:  äW,  dann  müssen  ihre  Indices  der  Zonengleichung:  O.Ä-f-0.fe  +  l  =  0 
genügen  (46),  d.  h.  es  muß  jedenfalls  der  dritte  Index  2  =  0  sein.  Um  den  Ausdruck 
der  Fläche  i  Tollkommen  zu  bestimmen,  d.  h.  auch,  das  Verhältnis  h:h  der  beiden 
anderen  Indices  zu  ermitteln,  ist  es  nun  nötig,  einen  Winkel  zu  messen,  den  i 
mit  einer  anderen  Fläche  macht,  also  etwa  3  i/P  oder  ^  i/s  etc. 

Läge  eine  Fläche  in  gar  keiner  Zone  bekannter  Flächen,  so  müßte  man  zwei 
Winkel  messen  und  die  Bestimmung  des  Ausdmcks  nach  den  hier  nicht  zu  erläutern- 
den Methoden  der  rechnenden  Krystallographie  ausführen. 

51.  Praktiseher  Wert  der  Zonen.  Die  Kenntnis  des  Zonenzusammen- 
hangs der  an  einem  Krystall  Torhandenen  Flächen  ist  für  die  praktische  Unter- 


Fig.  31. 


60  Symmetrie. 

snchnng  nnd  Beschreibung  von  Eiystallen  yon  größter  Wichtigkeit,  da  man,  wie 
schon  oben  erwähnt,  wenn  alle  Flftchen  im  ununterbrochenen  Zonenverbande  stehen, 
die  Ausdrucke  derselben  ohne  jede  Winkelmessung  und  umständliche  Rechnung  nach 
den  Formeln  in  (45 — 47)  sehr  bequem  aus  denen  yon  vier  passend  gelegenen  Flächen 
bestimmen  kann.  Bei  der  Untersuchung  eines  Erystalls  wird  man  also  zweckmäßig 
Tor  allem  die  Zonen  ermitteln,  sei  es  durch  Beobachtung  paralleler  Kanten  oder  auf 
dem  Goniometer  (44).  Man  braucht  dann  schließlich,  wenn  alle  Flächen  im  Zonen- 
zusammenhang stehen,  nur  so  viele  Winkel  zu  messen,  als  nötig  sind,  um  das  Achsen- 
system zu  berechnen,  und  das  sind  im  Maximum  die  fünf  Fundamentalwinkel  (38).  Alle 
anderen  Winkel  lassen  sich  dann  mittels  der  Achsen  und  der  aus  den  Zonen  ermittelten 
Flächenausdrücke  berechnen.  Würde  man  keine  Zone  kennen,  so  müßte  man  ebenfalls 
Ton  Tier  beliebig,  aber  nach  den  obigen  Prinzipien  gelegenen  Flächen  ausgehen.  Man 
könnte  diesen  wieder  beliebige  Ausdrücke  beilegen,  müsste  aber  dann  für  jede  weitere 
zu  bestimmende  Fläche  zwei  Winkel  messen,  die  sie  mit  anderen  Flächen  des  Erystalls 
macht  Dies  wäre  eine  sehr  mühevolle  und  zeitraubende  Arbeit,  welche  außerdem 
vielfach  unsichere  Resultate  geben  würde.  In  vielen  praktischen  Fällen  wird  sich 
zwar  der  Zonenzusammenhang  der  Flächen  eines  Erystalls  nicht  vollkonmien  ununter- 
brochen darstellen  lassen,  und  die  Unterbrechungen  müssen  durch  Winkelmessungen 
ergänzt  und  ausgefüllt  werden,  aber  die  Zahl  der  dazu  nötigen  Winkel  ist  doch 
immer  gering.  So  kann  man  also  meist  mittels  weniger  gemessener  Winkel  aus 
dem  Zonenverbande  die  Ausdrücke  aller  Flächen  eines  Erystalls,  sowie  alle  anderen 
Flächenwinkel  desselben  berechnen,  im  konkreten  Fall  mißt  man  aber  der  Eontrolle 
wegen  immer  eine  größere  Zahl  von  Flächenwiukeln ,  als  die  zur  Rechnung  un- 
mittelbar nötigen  Fundamentalwinkel  und  vergleicht  sie  mit  den  durch  Rechnung 
erhaltenen.  Je  genauer  die  Winkelmessung  möglich,  d.  h.  je  günstiger  die  Be- 
schaffenheit der  Flächen  ist,  desto  größer  wird  im  allgemeinen  ihre  Überein- 
stimmung sein.  Je  größer  die  letztere  ist,  desto  genauer  ist  der  Erystall  in  Be- 
ziehung auf  seine  morphologischen  Verhältnisse  im  allgemeinen  bekannt. 

Mittels  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate  läßt  sich  aus  der  Gesamtheit 
aUer  gemessenen  Winkel  ein  Achsensystem  berechnen,  das  ihnen  allen  gleich  gut  ent- 
spricht. Selten  sind  aber  die  Winkel  der  ErystaUe.so  genau  meßbar,  daß  sich 
diese  umständliche  Rechnung  lohnt.  In  der  überwiegenden  Mehrzahl  der  Fälle  kann 
man  sich  mit  den  Fundamentalwinkeln  begnügen. 

d.  Die  Symmetriererhältiiisse. 

52.  Symmetrie.  Die  oberflächliche  Begrenzung  der  Krystalle 
ist  außer  dem  Gesetz  der  rationalen  Eantenschnitte  (dem  Zonengesetz) 
noch  einer  weiteren  Gesetzmäßigkeit  unterworfen,  die  allerdings  mit 
jenem  im  engsten  Zusammenhang  steht  und  sich  aus  ihm  ableiten 
läßt.  Es  ist  diejenige  Gesetzmäßigkeit,  welche  die  mehr  oder  weniger 
symmetrische  Anordnung  der  Begrenzungselemente  beherrscht,  das 
Symmetriegesetz. 

Wenn  man  die  stets  dem  Zonengesetz  entsprechend  angeordneten 
Flächen  der  Krystalle  nach  ihrer  Gruppierung  näher  untersucht,  so 
findet  man,  daß  sie  nicht  immer  vollkommen  unabhängig  vonein- 
ander auftreten,  sondern  daß  in  den  meisten  Fällen  mehrere  der- 
selben, aber  ebenso  auch  mehrere  Kanten  und  Ecken  von  überein- 
stimmender Beschaffenheit  vorhanden  sind,  die  symmetrisch  zu  einer 


Symmetrieebenen.  gl 

Ebene  (Symmetrieebene),  oder  rings  um  eine  Achse  (Spnmdrieachse)  oder 
gegen  einen  Punkt  (Symmetriecenirum)  liegen.  Diese  zwei,  die  Sym- 
metrieebenen nnd  die  Symmetrieachsen,  die  einzeln  oder  zn  mehreren 
auftreten  können,  bilden  zusammen  mit  dem  stets  nur  einzeln  vor- 
handenen Symmetriecentrum  die  Symmetrieelemente  der  Krystalle.  Wir 
werden  zunächst  diese  Symmetrieelemente  getrennt  betrachten. 

53.  Symmetrieebenen.  Symmetiieebene  eines  Erystalls  ist  eine 
solche  Ebene,  die  ihn  in  zwei  gleiche,  aber  entgegengesetzte  Hälften 
teilt,  sodaB  jede  dieser  Hälften  das  Spiegelbild  der  anderen  ist  Jedem 
Begrenzungselement,  jeder  Fläche,  Kante  und  Ecke  der  einen  Hälfte 
liegt  dann  ein  gleichwertiges  Begrenzungselement,  eine  gleichwertige 
Fläche  (8),  Kante  (18)  und  Ecke  (19)  jenseits  der  Symmetrieebene 
gegenüber  und  zwar  so,  daß  die  sich  symmetrisch  entsprechenden 
gleichwertigen  Flächen  und  Kanten  gleiche  Winkel  mit  der  Sym- 
metrieebene einschlieBen  und  daß  in  den  idealen  Formen  symmetrisch 
zusammengehörige  Ecken  auf  Normalen  zur  Sjrmmetrieebene  und  in 
gleicher  Entfernung  von  diesei*  liegen. 

Eine  Symmetrieebene  liegt  demnach  so,  daß  sie  die  Winkel  der 
zu  ihr  symmetrisch  angeordneten  Flächen-  und  Kantenpaare  halbiert. 
Dies  setzt  voraus,  daß  sie  durch  die  sämtlichen  von  den  zusammen- 
gehörigen Flächenpaaren  direkt  oder  in  ihrer  Erweiterung  gebildeten 
Kanten  hindurch  geht,  d.  h.  mit  allen  Flächenpaaren  je  in  einer  Zone 
liegt  Jede  Sjrmmetrieebene  liegt  also  in  mehreren  Zonen  gleichzeitig 
und  ist  demnach  stets  eine  mögliche  Fläche  des  betreffenden  Krystalls 
(47)  und  sehr  häufig  eine  an  ihm  auch  wirklich  auftretende  Fläche. 
Eine  der  Sjrmmetrieebene  parallele  Krystallfläche  hat  selbstverständ- 
lich keine  andere  symmetrische  Gegenfläche  als  die  ihr  parallele;  sie 
erfallt  die  Symmetrie  in  Verbindung  mit  ihrer  parallelen  G^genfläche. 
Sämtliche  Krystallflächen ,  die  auf  der  Symmetrieebene  senkrecht 
stehen,  genügen  sogar  der  Symmetrie  füi*  sich  allein. 

Eine  Symmetrieebene  wird  an  der  paarweisen  Gleichheit  sämt- 
licher Flächen  und  Kanten  auf  beiden  Seiten  derselben  erkannt.  Da- 
bei ist  an  den  Flächen  die  physikalische  Beschaffenheit  zu  berück- 
sichtigen und  die  Gleichheit  der  Kanten  durch  die  Messung  der  Winkel 
mit  dem  Goniometer  festzustellen.  Die  Verhältnisse  der  Ecken  ergeben 
sich  dann  aus  denen  der  Flächen  und  Kanten  von  selber. 

Schon  wenn  der  Nachweis  geführt  ist,  daß  nur  ein  einziges  Paar 
von  Flächen,  Kanten  oder  Ecken  eines  Krystalls  zu  einer  Ebene 
symmetrisch  liegt,  kann  man  schließen,  daß  diese  letztere  eine 
Symmetrieebene  auch  für  die  anderen  Begrenzungselemente,  also  für 
den  Krystall  selbst  ist 

Zu  beobachten  ist  aber  dabei,  daß  für  jedes  einzelne  Flächen-  (und  z.  T. 
Kanten-)  Paar  durch  die  paraUelen  Gegenflächen  noch  eine  zweite  Symmetrieebene 


32  Symmetrieebenen, 

bestellt,  die  unter  UmBtänden  nur  Symmetrieebeue  für  diesaa  eine  Fläcben-  (event. 
Eanten-]  Paar  ist,  während  die  eratere  Sjmmetrieebene  dieses  FlSchenpaares  auch  die 
anderen  FlSchenpaare  and  tiberbaopt  den  ganzen  KrystaJl  symmetrisch  teilt.  Die 
zweite  Ebene  der  partiellen  Symmetrie  ist  lediglich  eine  Folge  des  Fl&chenparoUelis- 
mns  und  hat  an  sich  mit  der  Symmetrie  des  ErystollB  nichts  za  ton.  Sie  kann 
nnt«t  Umständeu  ebenfalls  Sytcmetrieebene  des  ganzen  Krystalls  sein,  miiQ  es  aber 
nicht.  Welche  Ton  den  beiden  Symmetrieebenen  eines  Fläcbeupaares  ftlr  den  ganzen 
KryBtaU  gilt,  ersieht  man  gegebenenfalls  leicht  ans  der  Flächengmppierang,  oder 
ea  mnß  eventuell  dnrch  eingehendere  üntersnchnng  ermittelt  werden. 

Es  gibt  Erystalle,  die  sich  Dach  gar  keiner  Ebene  symmetrisch 
teilen  lassen,  andere  haben  eine  einzige  und  wieder  andere  mehrere 
Symmetrieebenen.  Im  letzteren  Falle  sind  diese  entweder  alle 
kryatallographisch  gleichwertig  oder  alle  ungleichwertig,  oder  es 
lassen  sich  einzelne  Gruppen  von  je  unter  sich  gleichwertigen  und 
von  den  anderen  verschiedenen  Symmetrieebenen  unterscheiden. 

U.   SyMmctrieebenen.  Beispiele.  Der  Ävffitkryst<^  Fig.  32  hat  eine  einzige 
Symmetrieebene.    Die  beiden  Flächenpaare  «  nnd  ebenso  m  sind,  wie  ihre  physi- 
kalische Beschaffenheit  ergibt,    einander  gleich  (8).      Die  beiden  Flfichen  r  nnd  I 
treten  jede  uar  einzeln  mit  paralleler  Qegenfläche  anf  nnd  stehen, 
wie  man  am  Goniometer  sieht,  aufeinander  senkrecht.    Die  einander 
rechts  und  links  gegenflberliegeadeu  Kanten  mjr  reip.  m/I  haben  äeb 
.  bei  der  Messung  als  gleich  ergeben,  ebenso  die  beiden  Kanten  tfr 
reap.  »fl,  s;m  etc.    Der  Erystall  ist  demnach  offenbar  symmetrisch 
teilbar  nach   einer  Ebene,   die  durch  die  Kante  s>  hindurch  und 
senkrecht  über  die  Fliehe  r  hinweg  geht,  parallel  mit  den  Kanten 
mir,  wie  es  die  dünn  angelegte  Linie  nnd  die  Schrafßemng  zeigt, 
nj     33  Diese  Symmetrieebene  ist  parallel  mit  der  Fläche  I  nnd  liegt,  wie 

man  ans  der  Parallelität  der  Kanten  m/r  und  m/l  sieht,  in  der- 
selben Zone  auch  mit  den  beiden  Fliehen  m,  die  aber  wegen  des  Vorhandenseiiia 
der  Fläche  r  nicht  zum  Schnitt  gelangen  kOnuen.  Wurden  sie  sich,  erweitert  Über 
r  hinweg,  schneiden,  so  müßte  ihre  Schnittlinie  m!m  in  der  Symmetrieebene  liegen. 
DkH  letetere  mit  den  beiden  Flächen  s  in  eine  Zone  föllt,  aeigt  die  Figur  ohne 
weiteres.  Ebenso  wie  der  Aogit  hat  auch  der  Oipskrystall  (Fig.  36)  eine  Symmetrie- 
ebene,  die  durch  die  Kant«n  Iß  und  flf  hindurch  und  der  Fläche  p  parallel  geht. 
Sie  ist  auch  hier  durch  Schrafüernng  kenntlich  gemacht  Eine  Ebene,  die  die  Winkel 
an  den  seitlichen  Kanten  m'_m  Ober  l  hinweg  halbiert,  würde  das  Prisma  m  ebenfalls 
symmetrisch  teilen,  aber  nnr  dieses,  nicht  den  ganzen  Krystalj  [Fig.  32). 

Die  beiden  oben  betrachteten  Krystalle  von  Äugit  nnd  von  Oips  haben  nur  eine 
einzige  Symmetrieebene,  sie  sind  nur  nach  einer  einzigen  Bichtong  symmetrisch 
teilbar.  Ein  Beispiel  eines  Krystalls  mit  mehreren  Symmetrieebenen,  der  sich  also 
nach  mehreren  Richtungen  symmetrisch  teilen  läßt,  ist  der  Würfel,  begrenzt  von 
drei  gleichen  aufeinander  Kenkrechten  Flächenpaaren,  in  der  idealen  Form  von  sechs 
Quadraten  (Fig.  33).  Nach  jeder  seiner  Flächen  kann  der  Würfel  symmetrisch  ge- 
teilt werden.  Ks  sind  somit  zunächst  drei  anfeinsnder  senkrechte  Symmetrieebenen 
zz  und  A  vorhanden,  welche  sich  in  den  drei  strichpunktierten  Iiinien  oa  im 
Innern  des  Krystalls  schneiden.  Diese  stehen  ebenfalls  aufeinander  und  anch  auf 
den  Würfelflächen  senkrecht.  Der  Würfel  ist  aber  auch  nach  den  Diagonal- 
ebenen dd  symmetrisch  teilbar,  die  dnrch  je  zwei  gegenüberliegende  Würfelkanten 
hindnicbgehen  und  den  Winkel  der  beiden  in  dieser  Kante  znsammenstAlIenden 
Flächen  halbieren.    Sie  sind  dnrch  die  gestrichelten  Diagonalen  dd  angegeben.    Je 


STmmetrieachgen. 


63 


Ewei  solch«  diagonalen  Sjmiinetrieebenen  B  schneiden  sich  unter  90*  in  derselben 
Linie  aa,  wie  «wei  Symmetrieebenen  A  der  ersten  Art  nnd  halbieren  deren  Winkel 
Solcher  diagonaler  Symmetdeebeaen  mUsaen  also  sechs  vorhanden  sein.  Nach  anderen 
SJchtnngen  ist  eine  symmetrische  TeUnue:  des  Wörfels  nicht  mtlgUch;  diesem 
kommen  demnach  neun  Symmetrieebenen  zu.  Aber  diese  sind  offenbar  nicht  alle  gleich- 
wertig, wie  obne  weiteres  ans  ihrer  Lage  am  WUrtel  hervorgeht.  Die  drei  auf- 
einander senkrechten  mit  den  Würfelflächen  parallelen  Symmetrieebenen  A  haben 
dieselbe  Lage  gegen  die  Begrenzung  des    Krystalls  nnd  sind  daher  gleichwertig 


Hg.  33. 


Fig.  34. 


oder  kurz  gleich;  es  sind  die  sog.  Sanpttymmetritebenen.  Ebenso  sind  die  sechs 
diagonalen  Symmetrieebenen  B  einander  gleich,  aber  von  jenen  verschieden.  Die 
Gesamtzahl  der  nenn  Symmetrieebenen  des  Würfels  zerfKllt  demnach  in  zwei  Gruppen, 
von  drei  resp.  sechs  solchen;  man  sagt,  der  Würfel  hat  3  -|-  6  Symmetrieebenen. 

QanE  ebenso  wie  beim  WSrfel  verhalten  sich  die  Symmetrieebenen  beim 
Oktaeder  {V\g.  34).  In  beiden  sind  gleich  viele  gleich  Eneinander  liegende  Sym- 
metrieebenen  vorhanden,  die  hier  auch  mit  denselben  Bnchstaben  bezeichnet  sind. 
Die  drei  anfeinander  senkrechten  Hauptsym metrieebenen  A  gehen  beim  Oktaeder  durch 
je  vier  Kanten  hindorch,  die  sechs  daiwischen  liegenden  Nebensymmetrieebeuen  B 
gehen  in  der  Bichtaug  der  Höhenlinien  Ober  die  Flächen  hinweg. 

Der    in    Fig.  35  dargestellte  Enpfervitriolkry stall  läDt 
sich  uaclt  gar  keiner  Richtnng   symmetrisch  teilen.    Eben 
verhalt  sich  der  Aiiaitkryatall  Fig.  31.  \    P 

55.  Symmetrieachsen.  Symmetrieachsen  sind 
Bichtnngen,  um  welche  ein  Krystall  um  einen  be- 
stimmten Brachteil  ron  360**  so  gedreht  werden 
kann,  dafi  sämtliche  Flächen,  Kanten  und  Ecken 
nach  cler  Drehung  mit  gleichwertigen  Flächen, 
Kanten  und  Ecken  zusammen  fallen,  daß  der  Krystall 
also  wieder  mit  sich  selbst  vollkommen  zur  Deckung  „ 

gelangt.    Wenn  dies  bei  einer  Kreisdrehnng  n-mal 
geschieht,  also  jedesmal  nach  Durchmessung  eines  Winkels  Ton  3607», 


64 


SymmetrieachBen. 


so  nennt  man  die  Sjmmetrieaclise  n-zählig,  wo  n  stets  eine  ganze 
Zahl  ist.  Man  spricht  so  von  2-,  3-,  4-,  6-zähligea  SymmetrieachseiL 
Jede  Symmetrieachse  ist  eine  mögliche  Kante  des  Krystalls  nnd 
meist  senkrefM  auf  einer  Symmdriethene,  wenn  diese  nicht  infolge  von 
Hemiedrie  etc.  verschwunden  ist  (63  ff.,  68).  Die  Krystalle  haben  entweder 
gar  keine  oder  eine  oder  auch  in  vielen  F&llen  mehrere  Symmetrie- 
achsen, die  aber  nicht  alle  gleichwertig  nnd  gleichzählig  zn  sein 
brauchen  nnd  die  in  ähnlicher  Weise  in  Gruppen  zerfallen  können, 
wie  wir  es  bei  den  Symmetrieebenen  gesehen  haben.  Steht  eine 
Symmetrieachse  allein  nnd  ist  von  allen  anderen  verschieden,  dann  wird 
sie  eine  singulare  Achse  genannt.  Sind  diese  anderen  neben  ihr  vor- 
handenen nnd  von  ihr  Terschiedenen  gruppenweise  einander  gleich, 
so  heifit  die  singulare  Achse  eine  Haaptachae,  die  anderen  unterein- 
ander gleichen  nennt  man  Ntbenacksen. 

56.  SyraetriewliMa.  Beispiele.  Das  Wesen  einer  SymmetrieachBe  Terdent- 
licht  Tielleicht  am  besten  ein  Bhombns.  Eine  im  DnrchsclmittspuDbt  der  beiden  Diago- 
nalen errichtete  Normale  ist  eine  EweicUiIige  Symmetrieaclue 
deaselben.  Nach  einer  Drehong  am  360*/2  =  180*  kommt 
der  BhomboB  mm  eratenmal,  nach  einer  Drehnng  nm  wei- 
tere 180°  noch  einmal  mit  sich  Belbst  zar  Deckong. 

Sine  EiyataUf  orm  mit  einer  einzigen  Sjmmetrieachfle  ist 
die  de«  Oipte»  (Fig,  36),  begrenzt  Ton  den  gleichen  Flilchen- 
pa&ren  l  nnd  f,  wozn  noch  die  Fificfaen  p  treten,  die  der 
(in  der  Figur  schrafBerteu)  Symmetrieebene  des  Krystalls 
parallel  gehen.    Dann  sind   die  eSmtlicfaen   Kanten  ^p,  so- 
wie die  sämtlichen  Kanten  fjp  einander  gleich.    In  einem 
solchen  Erystoll  steht  eine   zweizShlige  Symmetrieachse  &6 
senkrecht  zn  der  Symmetrieebene  p.  Dreht  man  den  Krystall 
nm  diese  Linie  nra  360  °/2  =i  180°,  dann  fallen  die  vorderen 
Flfichen  f  anf  die  ihnen    parallelen  hinteren,    die    oberen 
Flächen  I  anf   die   unteren  nnd  umgekehrt.    Bntsprediend 
verhalten  sich  alle  gleichnamigen  Kanten  und  Ecken.    Der  Krystall  kommt  somit 
nach  einer  Drehnng  nm  180°  nm  die  Achse  b  wieder  vollkommen  zai  Deckung  mit 
sich  selbst.    Eine  weitere  Symmetrieachse  ist  hier  nicht  vorhanden. 

Betrachten  wir  dagegen  die  schon  oben  beispielsweise  angeführte  Krystallfonn 
des  Kalkspati,  wo  drei  sich  nnter  gleichen  Winkeln  von  120° 
schneidende  gleiche  FlAchenpaare  p  ein  heiagonales  Frisma 
bilden,  das  von  einem  anders  beschaffenen  Flfichenpaar  g  oben 
und  nnten  senkrecht  geschlossen  wird  (Fig.  37).  Wir  haben 
hier  Ennächst  eine  sechazShlige  Symmetrieachse  cc  parallel  mit 
den  Frismenkauten.  Um  diese  am  360°  gedreht  kommt  der 
Krystall  sechsmal  mit  sich  selbst  znr  Deckong.  Die  sechs- 
zählige  Achse  ist  aber  hier  nicht  die  einzige.  Es  sind  aach 
noch  sechs  zweizShlige  Symmetrieachsen  aa  und  bb  vor- 
handen, von  denen  drei  auf  den  FrismenkaJiten  nnd  drei 
aaf  den  Prismenflächen  senkrecht  stehen,  um  eine  Achse  a  ge- 
dreht, kommt  der  Krystall,  wie  man  leicht  sieht,  nach  180' 
mit  sich  selbst  zni  Decknng  nnd  dasselbe  ist  bei  einer  Drehnng  nm  eine  der  Achsen  6 
'  der  Fall.    Es  sind  also  hier  zwei  verschiedenwertige  Qmppen  von  je  drei  gleichen 


Fig.  36. 


Kg.  87. 


Symmetriecentram.  g5 

sweizähligen  Symmetrieachsen  aa  nnd  bb  vorhanden,  außerdem  eine  einzeln  stehende 
sechszählige  c,  die  auf  jenen  sechs  senkrecht  steht.  Auch  sieht  man  leicht,  daß 
jede  Symmetrieachse  zn  je  einer  Symmetrieebene  ab,  ac  nnd  hc  des  Erystalls  normal 
gerichtet  ist.  Die  einzelne  Symmetrieachse  c  ist  eine  singpiläre  Symmetrieachse  nnd 
zwar  eine  Hauptachse,  da  neben  ihr  mehrere  Gruppen  von  (je  drei)  untereinander 
gleichen  yorhanden  sind.    Letztere  sind  Nebenachsen. 

Als  weiteres  Beispiel  sei  der  Wwrfd  (Fig.  33)  erwähnt.  Hier  haben  wir,  wie 
die  Betrachtung  eines  Modells  ohne  Schwierigkeit  zu  erkennen  gestattet,  sechs  gleich» 
wertige  zweizählige,  vier  gleichwertige  dreizählige  und  drei  gleichwertige  yierzählige 
Symmetrieachsen,  die,  der  Beihe  nach,  in  der  Bichtung  zz  senkrecht  durch  zwei  gegen* 
überliegende  Würfelkanten,  in  der  Biditung  M  durch  zwei  gegenüberliegende  Würfel- 
ecken und  in  der  Bichtung  cm  senkrecht  durch  zwei  gegenüberliegende  Würfel* 
flächen  yerlaufen,  und  die  sämtlich  durch  den  ihnen  allen  gemeinsamen  Erystall- 
mittelpunkt  hindurchgehen,  ^e  werden  auch  als  die  digonalen,  trigonalen  und 
tetragonalen  Symmetrieachsen  des  Würfels  bezeichnet. 

Genau  dieselbe  Zahl  yon  Symmetrieachsen  mit  der  gleichen  Lage,  Zähligkeit  und 
Wertigkeit,  wie  beim  Würfel,  treffen  wir  beim  Oktaeder  (Fig.  34).  Die  entsprechen- 
den Achsen  sind  hier  mit  denselben  Buchstaben  bezeichnet,  wie  bei  jenen  in  Fig.  83. 
Sie  gehen  hier  der  Beihe  nach  senkrecht  durch  je  zwei  gegenüberliegende  Kanten 
(die  digonalen  zz\  senkrecht  durch  je  zwei  gegenüberliegende  Flächen  (die  trigo- 
nalen d(2),  und  durch  je  zwei  gegenüberliegende  Ecken  (die  tetragonalen  aa), 

57.  Symmetrieeentnim.  Ein  Centram  der  Symmetrie  ist  dann 
vorhanden,  wenn  man  durch  den  Krystallmittelpnnkt  gerade  Linien 
so  ziehen  kann,  daß  von  ihnen  allen  an  ihren  beiden  Enden  gleich- 
wertige Begrenzungselemente  in  derselben  Weise  getroffen  werden. 
Dies  ist  stets,  aber  auch  nur  dann  mOglich,  wenn  zu  jeder  Fläche  die 
parallele  Gegenfläche  yorhanden  ist  (7).  Es  ist  daher  gleichgültig, 
ob  man  sagt,  ein  Erystall  hat  ein  Symmetriecentrum  oder  er  ist 
parallelflächig  begrenzt.  Selbstverständlich  kann  ein  Erystall  niemals 
mehrere  Symmetriecentren  haben.  Es  ist  aber  möglich,  daß  gar  keines 
vorhanden  ist;  dies  ist  eben  der  FaU,  wenn  die  parallelen  Gegen- 
flächen fehlen. 

Beispiele  für  ErystaUe  mit  Symmetriecentmm  sind  sonach  das  Oktaeder  (Fig.  34), 
der  Würfet  (Fig.  33);  das  sechsseitige  Ftisma  mit  der  gerade  eingesetzten  Endfläche 
(Fig.  37).  Eine  Form  ohne  Symmetriecentram  ist  n.  a.  das  Tetraeder  (Fig.  39,  a  n.  c), 
der  Krystall  des  Kiesetzirikerzes  (Fig.  23)  etc.  Bei  dem  letzteren  treffen  wohl  ein- 
zelne der  dnrch  den  Krystallmittelpnnkt  hindurchgehenden  Geraden  die  Begrenzung 
beiderseitig  an  gleichwertigen  Stellen,  n.  a.  alle  diejenigen,  die  in  einer  zn  den 
Kanten  If/a  nnd  Mlh  senkrechten  Ebene  liegen,  denn  den  Flächen  J&f,  a  nnd  h 
liegen  ja  parallele  Flächen  gegenüber.  Bei  anderen  Flächen  ist  dies  aber  nicht  der 
FaU,  deshalb  Terhalten  sich  anch  andere  Linienrichtnngen  anders,  nnd  es  ist  somit 
doch  kein  Symmetriecentmm  vorhanden. 

58.  Grad  der  Symmetrie.  Jede  Erystallform  ist  in  Beziehung 
auf  ihre  Symmetrie  bestimmt  durch  die  Zahl  ihrer  Symmetrieebenen 
und  Symmetrieachsen,  sowie  durch  das  Auftreten  resp.  Fehlen  eines 
Symmetriecentrums,  wobei  die  krystallographische  Gleich-  oder  Ver- 
schiedenwertigkeit der  Symmetrieebenen  und  -Achsen,  sowie  die  Zählig- 

Bauer,  Mineralogie.  ^ 


66  Grad  der  S3rinmetrie. 

keit  der  letzteren  zu  berücksichtigen  sind.  Auf  der  Anzahl  und  der 
Beschaffenheit  der  Symmetrieelemente  (52)  beruht  der  Grad  oder  das 
Maß  der  Symmetrie  einer  Krystallform.  Zwei  Krystallformen  stimmen 
in  Beziehung  auf  die  Symmetrie  miteinander  vollständig  überein, 
wenn  sie  denselben  Grad  der  Symmetrie  besitzen,  d.  h.  wenn  in  beiden 
dieselbe  Zahl  von.  beziehungsweise  gleichwertigen  Symmetrieebenen 
und  Symmetrieachsen  sich  findet  und  wenn  beide  entweder  ein  Sym- 
metriecentrum  haben  oder  beide  nicht.  Die  entsprechenden  Symmetrie- 
elemente haben  in  allen  Krystallformen  desselben  Symmetriegrades 
dann  auch  stets  dieselbe  Lage  gegeneinander  und  zeigen  nach  ihrer 
Gleich-  oder  Verschiedenwertigkeit,  resp.  -Zähligkeit  dasselbe  Ver- 
halten. Derselbe  Symmetriegrad  liegt  auch  bei  allen  den  Formen  vor, 
denen  sämtliche  Symmetrieelemente  fehlen. 

Beispiele.  Der  Gipshrystaü  (Fig.  36)  hat  ein  Symmetiiecentrom  (parallele  Gegen- 
.  flächen),  eine  Symmetrieehene  paraUel  mit  der  Fläche  p  und  eine  zweizählige  Symme- 
trieachse senkrecht  darauf.  Ebenso  hat  auch  der  Augitkrystall  (Fig.  32)  ein  Symmetrie- 
centram (paraUele  Gegenflächen),  eine  Symmetrieebene  parallel  der  Fläche  l  nnd  eine 
zweizählige  Symmetrieachse  senkrecht  zu  dieser.  Weitere  Symmetrieelemente  sind  in 
beiden  Formen  nicht  vorhanden.  Beide  stimmen  nach  Zahl  nnd  gegenseitiger  Lage  der 
Symmetrieelemente  vollkommen  miteinander  überein,  sie  haben  denselben  Grad  der 
Symmetrie. 

Bei  der  Betrachtung  des  Würfels  (64)  haben  wir  gesehen,  daß  er  9  Symmetrie- 
ebenen besitzt,  die  in  drei  auf  einander  senkrechte  Hauptsymmetrieebenen  A  und  sechs 
unter  45^  zwischen  diesen  liegende  Nebensymmetriebenen  B  zerfallen  (Fig.  33). 
Außerdem  finden  sich  drei  gleiche  vierzählige  Symmetrieachsen  a,  in  denen  sich  je  zwei 
Hauptsymmetrieebenen  Aschneiden,  vier  gleiche  dreizählige  Symmetrieachsen  c2,  in  denen 
sich  je  drei  Nebensymmetrieebenen  B  treffen,  und  sechs  gleiche  zweizählige  Symmetrie- 
achsen Zj  in  denen  je  eine  Hauptsymmetrieebene  A  mit  einer  Nebensymmetrieebene  B 
zusammenstößt.  Endlich  ist  auch  ein  Symmetriecentrum  vorhanden.  Betrachten 
wir  nun  das  Oktaeder  (Fig.  34),  so  haben  wir  bei  ihm  ebenfalls  drei  aufeinander  senk- 
rechte Hauptsymmetrieebenen  A  und  sechs  Nebensymmetrieebenen  5,  die  unter  45® 
gegen  jene  geneigt  sind.  Beide  Gruppen  von  Symmetrieebenen  des  Oktaeders 
entsprechen  also  in  Zahl,  Beschaffenheit  und  gegenseitiger  Lage  genau  den  Sym- 
metrieebenen beim  Würfel.  Ferner  sieht  man  leicht,  daß  beim  Oktaeder  ebenfalls 
drei  aufeinander  senkrechte  gleiche  vierzählige  Symmetrieachsen  a,  vier  gleiche  drei- 
zählige Symmetrieachsen  d  und  sechs  gleiche  zweizählige  Symmetrieachsen  z  vorhanden 
sind,  die  zu  den  Symmetrieebenen  und  also  auch  gegeneinander  genau  ebenso  liegen, 
wie  im  Würfel.  Da  auch  das  Oktaeder  ein  Symmetriecentram  besitzt,  so  stimmt  es 
mit  dem  Würfel  in  Beziehung  auf  die  Symmetrie  in  aUen  Punkten  vollkommen 
überein,  es  hat  denselben  Grad  der  Symmetrie  wie  dieser. 

Li  Beziehung  auf  den  Grad  der  Symmetrie  stimmen  auch  alle  diejenigen  Erystalle 
miteinander  überein,  die  keine  Symmetrieebene  und  keine  Symmetrieachse,  dagegen 
ein  Symmetriecentrum  besitzen,  bei  denen  also  keine  andere  Symmetriebedingung 
zutrifft,  als  daß  zu  jeder  Fläche  die  parallele  Gegenfläche  in  gleicher  Beschaffenheit 
ausgebildet  ist.  Dies  findet  man  z.  B.  bei  dem  ErystaU  von  Axinit  (Fig.  31)  und 
dem  von  Kupfervitriol  (Fig.  35).  Ist  auch  kein  Symmetriecentrum,  also  gar  kein 
Symmetrieelement  mehr  da,  fehlt  also  zu  jeder  Fläche  eine  gleich  beschaffene  Gegeu- 
fläche,  dann  haben  wir,  wie  oben  schon  bemerkt,  gleichfaUs  einen  bestimmten  Symme- 
triegrad.   Beispiele  solcher  ErystaUe  sind  indessen  im  Mineralreich  noch  nicht  ge- 


Erystallklassen.  ffj 

fnnden  worden,  wohl  aber  bei  künstlichen  Snbstanisen  (nnterschwefligBanres  Calcium, 
sanres  rechtweinsanres  Stronünm  etc.)- 

59.  Krystallklassen.  Da  die  Krystallfomien  in  Beziehung  auf 
ihre  Symmetrie  einerseits  vielfach  vollkommene  Übereinstimmung 
(denselben  Symmetriegrad)  zeigen,  anderseits  aber  auch  in  dieser 
Hinsicht  sich  wesentlich  voneinander  untei'scheiden  (verschiedenen 
Symmetriegrad  haben),  so  können  sie  nach  den  Symmetrieverhältnissen 
in  sachgemäßer  und  zweckentsprechender  Weise  in  einzelne  Gruppen 
eingeteilt  werden,  die  man  als  £[rystallklassen  bezeichnet.  Eine 
KrystaUklasse  ist  der  Inbegriff  aller  derjenigen  einfachen  und  zusammen- 
gesetzten Erystallformen,  die  in  Beziehung  auf  die  Symmetrie  mit* 
einander  völlig  übereinstimmen,  die  also  denselben  Grad  dei'  Sym- 
metrie, dieselbe  Zahl  beziehungsweise  gleicher  und  gleichliegender 
Symmetrieelemente  besitzen. 

Beispiele.  Demnach  würden  also  die  Erystalle  Ton  Qips  {Fig.  36)  und  Äugit 
(Fig.  92)  zu  der  nftmlichen  Krystallkiasse  gehGren.  In  einer  anderen  Klasse  wären 
die  nnr  mit  einem  Symmetrieoentmm  yersehenen  ErystaUe  yon  Äxinit  (Fig.  31)  nnd 
Ton  Kupfervitriol  (Fig.  35)  nnterznbringen.  Alle  Erystalle  ohne  jedes  Symmetrie- 
element würden  miteinander  eine  fernere  Klasse  bilden.  Eine  weitere  Klasse  ist 
dnrch  den  Würfel  nnd  das  reguläre  Oktaeder  repräsentiert,  die  ja  ebenfalls  in  der 
Symmetrie  vollkommen  gleich  sind  etc. 

60.  Beziehung  der  Symmetrie  zum  Eantenschnittgesetz.  Wie 

die  Erystallfl&chen  in  ihrer  Anordnung  überhaupt,  so  sind  sie  selbst- 
verständlich auch  in  Beziehung  auf  ihre  symmetrische  Gruppierung 
völlig  dem  Gesetz  der  rationalen  Eantenschnitte  (dem  Zonengesetz) 
unterworfen.  Es  kann  keine  Art  der  Sjrmmetrischen  Anordnung  der 
Flächen,  Eanten  und  Ecken  in  der  Begrenzung  der  Erystalle  vor- 
kommen, die  auf  irrationale  £[antenschnitte  führen  würde,  sonst  könnte 
ja  das  Gesetz  der  rationalen  Eantenschnitte  nicht  allgemein  gültig 
sein.  Polyeder  mit  einer  Anordnung  der  Begrenzungselemente  nach 
einer  dem  Eantenschnittgesetz  nicht  entsprechenden  Symmetrie  sind 
zwar  geometrisch  wohl  denkbar,  aber  kiystallographisch  unmöglich 
und  auch  niemals  an  Erystallen  beobachtet  worden. 

Beispiele  hierfür  sind  das  im  geometrischen  Sinne  regul&re  Dodekaeder  (Pen- 
tagondodekaeder) nnd  das  Ikosaeder,  zwei  yon  den  fünf  platonischen  Körpern,  die 
beide  nach  15  Ebenen  symmetrisch  geteilt  werden  können.  Die  Anordnung  ihrer 
Flächen  führt  anf  irrationale  Eantenschnitte.  Sie  sind  also  krystallographisch  nn- 
möglichy  wie  ans  demselben  Grunde  alle  übrigen  mit  15  Symmetrieebenen  versehenen 
Polyeder.  Formen  genau  wie  jene  beiden  sind  auch  noch  niemals  an  einem  ErystaU 
beobachtet  worden,  wohl  aber  ihnen  sehr  ähnliche,  deren  Eanten  jedoch  nicht  mehr 
alle  einander  gleich  sind.  Es  ist  ein  Pentagondodekaeder  mit  in  der  idealen  Form 
nicht  regulären,  sondern  einseitig  symmetrischen  Fünfecken,  das  sog.  Pyritoeder 
(Fig.  136)  und  ein  Ikosaeder,  von  dessen  20  Flächen  in  der  idealen  Form  nur  8  gleich- 
seitige, die  übrigen  12  jedoch  gleichschenklige  Dreiecke  sind  (Fig.  143).  Bloß  unter 
diesen  Umständen  ist  eine  Anpassung  an  das  krystallographische  Grundgesetz  m6g- 

6* 


68  32  Erystallklassen. 

lieh,  aber  es  wird  auch  gleichzeitig  die  Symmetrie  erheblich  yermindert  nnd  die 
Zahl  der  Symmetrieebenen  anf  drei  reduziert.  Solche  Formen  zeigen  n.  a.  der 
Schwefelkies  nnd  andere  Mineralien. 

61.  Fortsetzung.  Gewisse  Arten  der  symmetrischen  Flächen- 
gruppiemng  sind  also  durch  das  Gesetz  der  rationalen  Eantenschnitte 
unbedingt  bei  Krystallen  ausgeschlossen.  Nur  solche  Formen,  die  in 
Beziehung  auf  die  symmetrische  Anordnung  der  Flächen  (und  der 
anderen  Begrenzungselemente)  diesem  Gesetze  entsprechen,  bleiben 
für  die  Krystalle  übrig.  Man  kann  nun  aus  dem  genannten  Gesetz 
auf  mathematischem  Wege  schliefen,  da£  Flächen  eines  Erystalls 
nur  nach  0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7  oder  9,  nicht  aber  nach  8  oder  nach 
mehr  als  9  Ebenen  symmetrisch  angeordnet  sein  können ;  femer,  daß 
ein  Erystall  ausschließlich  nur  2-,  3-,  4-  und  6-zählige  Symme- 
trieachsen haben  kann,  niemals  aber  solche  von  einer  anderen  Zählig- 
keit;  dass,  wenn  eine  Symmetrieebene  und  eine  2-zählige  Sym- 
metrieachse vorhanden  sind,  diese  notwendig  aufeinander  senkrecht 
stehen  müssen  etc.  Man  kann  weiter  zeigen,  daß  die  Symmetrie- 
elemente nicht  immer  nach  Zahl,  relativer  Beschaffenheit  und  gegen- 
seitiger Lage  unabhängig  voneinander  auftreten  können,  sondern 
daß  z.  B.  eine  gewisse  Anzahl  von  Symmetrieebenen  notwendig  auch 
eine  gewisse  Anzahl  von  Symmetrieachsen  etc.  bedingt. 

So  müssen  z.  B.  neben  den  3  -|-  ^  Symmetrieebenen  des  Würfels  nnd  des 
Oktaeders  notwendig  die  scbon  oben  (56)  besprochenen  3  gleichen  Tierzähligen, 
4  gleichen  dreizähligen  nnd  6  gleichen  zweizähligen  Symmetrieachsen  vorhanden  sein 
nnd  zwar  genan  in  der  dort  mitgeteilten  gegenseitigen  Lage  nnd  ebenso  mnß 
notwendig  ein  Symmetriecentmm  existieren. 

62.  32  KrystallUassen.  Setzt  man  diese  Betrachtungen,  was 
aber  hier  nicht  geschehen  soll,  fort,  indem  man  das  Gesetz  der  ratio- 
nalen Eantenschnitte  einer  geeigneten  mathematischen  Behandlung 
unterwirft,  so  kommt  man  zu  dem  Resultat,  da£  mit  diesem  Gesetz 
32  durch  die  Zahl,  gegenseitige  Lage  und  relative  Beschaffenheit  der 
Symmetrieelemente  charakterisierte  Sjrmmetriegrade  vereinbar  sind,  daB 
also  die  diesem  Gesetz  unterworfenen  und  aus  ihm  ohne  andere  Vor- 
aussetzungen ableitbaren  polyedrischen  Formen  in  32fach  verschiedener 
Weise  symmetrisch  gebaut  sein  können.  Mit  anderen  Worten :  es  sind 
32  KrystaUklassen  möglich,  in  denen  sich  die  sämtlichen  Erystall- 
formen  nach  ihren  Symmetrieverhältnissen  unterbringen  lassen.  Dies 
ist  auch  in  der  Tat  ausnahmslos  der  Fall.  Allerdings  hat  man  für 
einige  wenige  dieser  32  Sjrmmetrieklassen  bisher  noch  keinen  in  der 
Krystallwelt  tatsächlich  vorhandenen  Repräsentanten  kennen  gelernt, 
und  für  mehrere  Klassen  hat  man  speziell  noch  keinen  Vertreter  im 
Mineralreich  aufgefunden.  Es  ist  jedoch  die  Erwartung  berechtigt, 
dass  diese  Lücken  bei  fortschreitendem  Studium  der  künstlichen  und 


Holoedrie.    Meroedrie.    Hemiedrie.  g9 

natürlichen  Erystalle  in  Zukunft  noch  ausgefüllt  werden.  Ander- 
seits hat  man  aber  noch  niemals  einen  Erystall  beobachtet,  der  eine 
andere  Symmetrie  zeigte,  als  es  einer  der  32  aus  dem  Gesetz  der 
rationalen  Eantenschnitte  ableitbaren  Klassen  entspricht. 

Diese  Übereinstimmung  der  in  der  Natur  tatsächlich  beobachteten 
Symmetrieverhältnisse  mit  den  aus  dem  krystallographischen  Grund- 
gesetze abgeleiteten  ist  eine  wichtige  indirekte  Bestätigung  des 
letzteren. 

Eine  Ableitung  der  32  KrystaUklassen  findet  man  n.  a.  in  folgenden  Werken: 

Hewelj  Artikel  „Krystall"  in  Gehler's  physikaliachem  Wörterbnch  Bd.  6 
pag.  1023— 1B40  (1830) ;  separat  1831  unter  dem  Titel:  Erystallometrie  oder  Erystallo- 
nomie  und  Erystallographie ;  anch  Ostwald's  Klassiker  Bd.  88,  89.  Bravais,  Memoire 
snr  les  poly^dres  de  forme  symmStrique.  1849 ;  Ostwald's  Klassiker  Nro.  17.  Etndes 
cristaUographiqnes  1861  nnd  1866;  Oadolin,  Memoire  snr  la  d^dnction  d^nn  senl  prin- 
cipe de  tons  les  systömes  ctistallographiqnes  avec  lenrs  subdivisions.  Acta  soc.  scient. 
fennicae  Bd.  9  pag.  1—71,  1871 ;  Ostwald's  Klassiker  Nro.  75.  P.  Curie,  Bulletin  de 
la  sod^tS  frangaise  de  min6ralogie.  Bd.  7,  1884  pag.  89  n.  418.  Sohnke,  Entwickelnng 
einer  Theorie  der  Krystallstmktnr.  1879.  Minr^igerode,  N.  Jahrb.  für  Mineralogie  etc. 
Beilage-Bd.  V,  1887,  pag.  145—166.  Schönfliess,  Kry Stallsysteme  und  Krystallstruktur. 
1891.  Groth,  Physikalische  Krystallographie.  3.  Aufl.,  1895,  pag.  311  ff.  WiUfing, 
Tabellarische  Uebersicht  der  einfachen  Formen  der  krystallographischen  Symmetrie- 
gmppen.  1895.  Th.  Lidfisch  y  Grundriss  der  physikalischen  Ejrystallographie. 
pag.  34 ff.  Erwähnt  sei  noch:  FcdoroWy  Uebersicht  über  dessen  russisch  geschriebene 
Arbeiten:  N.  Jahrb.  f.  Mineralogie,  1891,  I.  pag.  113—115. 

Ehe  wir  dazu  übergehen,  die  32  KrystaUklassen  eingehend  zu  betrachten,  haben 
wir  noch  eine  Beziehung  zwischen  ihnen  kennen  zu  lernen,  die  es  gestattet,  sie  zu 
einer  Anzahl  von  sechs  größeren  Gruppen,  den  sechs  Krystallsystemen,  zusammen- 
zufassen. 

63.  Holoedrie.  Meroedrie.  Hemiedrie.  Man  macht  bei  dem 
Studium  der  Kry  stallformen  vielfach  die  Beobachtung,  daß  eiuzelne 
Flächen,  die  nach  der  Symmetrie  eigentlich  vorhanden  sein  müßten, 
fehlen.  Dies  sind  Unregelmäßigkeiten  und  UnvoUkommenheiten,  die 
wegen  ihres  gelegentlichen  und  zufälligen  Auftretens  eine  größere 
Bedeutung  nicht  besitzen. 

In  zahlreichen  anderen  Fällen  ist  aber  auch  ein  regelmäßiges, 
ganz  bestimmten  Gesetzen  unterworfenes  Fehlen  von  Flächen  an  ge- 
wissen Formen  zu  konstatieren,  wodurch  neue,  weniger  symmetrische, 
abgeleitete  Formen  ebenfalls  mit  ganz  bestimmten  Symmetrieverhält- 
nissen entstehen.  Diese  Erscheinuug  ist  von  der  größten  Bedeutung, 
und  sie  ist  es,  die  wir  nun  etwas  genauer  kennen  zu  lernen  haben. 

Schon  bei  Beginn  der  Entwicklung  der  wissenschaftlichen  Krystall- 
kunde  am  Anfang  des  19.  Jahrhunderts  wurde  diese  wichtige  Be- 
ziehung zwischen  gewissen  Krystallformen  erkannt,  die  man  als  die 
der  VoUfläcJiigkeit  und  TeilflächigJceit,  der  Holoedrie  und  Meroedrie  zu 
bezeichnen  pflegt.  Diese  besteht  u.  a.  darin,  daß  manche  Krystallformen 


70  Hemiedrie. 

Dur  Ton  der  Hälfte  der  Flftchen  anderer  Formen  begrenzt  sind,  wo- 
bei die  Flächen  der  ersteren  genau  dieselbe  Lage  zueinander  haben, 
wie  die  entsprechende  Hälfte  der  Flächen  der  letzteren.  lUan  kann 
sich  demnach  jene  ans  diesen  durch  Verschwinden  der  anderen  Hälfte 
der  Flächen  entstanden  denken,  indem  sich  gleichzeitig  die  bleiben- 
den Flächen  bis  znm  gegenseitigen  Dorchschnitt  nach  allen  Seiten 
hin  ausdehnen.  Solche  nur  Ton  der  Hälfte  der  Flächen  begrenzte 
Formen  heißen  hemiedrische  oder  hälbftächige  im  Vergleich  mit  denen, 
die  die  volle  Anzahl  der  Flächen  besitzen  und  ans  denen  sie  sich  in 
der  ei-wähnten  Weise  ableiten  lassen.  Diese  letzteren  werden  als 
die  holoedrischen  oder  voVflächigen  Formen  bezeichnet  Die  Erscheinnng 
selbst  wird  Hemiedrie  oder  Halbftäckigheit  genannt;  sie  bildet  einen 
speziellen  Fall  der  Teilflächigkeit  oder  Meroedrie. 

Die  aus  einfachen  vollSächigen  Krystallformen  abgeleiteten  hemi- 
edrischen  sind  ebenfalls  einfache  Krystallformen,  da  ja  auch  sie  von 
lauter  gleichen  Flächen  begrenzt  werden.    Diese  sind  auch  selbstver- 
ständlich in  ihrer  Anordnung  dem  Glesetz  der  rationalen  Kantenschnitte 
Unterworfen.    Das  Verschwinden  der  einen  Hälfte  der  Flächen  ist  ja 
von  keinem  Einfluß  auf  die  bleibenden,  die  nach  wie  vor  alle  ein- 
ander gleich  sein  und  dem  Kantenschnittgesetze  entsprechen  müssen. 
In  diesem  Verhältnis  der  Holoedrie  and  Hemiedrie  Bteben  z.  B.  das  re^olKre 
Oktaeder  und  das  Bteta  von  Tier  g:Ieichaeitigen  Dreiecken  begrenzt«  Tetraeder.    Denkt 
man  sich  im  einem  Oktaeäer  (Fig.  38)  die  vier  abwechselnden  Flächen  (die  Bchrafßrten) 
Terschwnnden  (regp.  von  Anfang  an  nicht  ansgebildet) 
nnd  die  übrigen  vier  Flächen  bis  znm  gegeneeitigeD 
Dnrcbsclinitt  erweitert,  so  entsteht  eine  neue,  dem  voll- 
fl&chigen  Oktaeder  gegenOber  bemiSdrische  Form,  die 
das  regnJäre   Tetraeder  genannt  wird,    DaB  zwisclien 
dem  Oktaeder  und  Tetraeder  wirklich  diese  Beziehung 
besteht,  zeigt  die  in  der  Figor  dargestellte  Grappimug 
der  Fluchen.    Sie  geht  noch  weiter  aas  den  WiiikelTer- 
bältniasen  beider  Formen  hervor.    Das  Oktaeder  ist  von 
acht  gleichen,  in  der  idealen  Form  gleichseitig  dreieckigen 
Fig.  SB.  Flächen  begrenzt,  die  sich  in  lauter  gleichen  Sauten  von 

109 "  28'  schneiden.  Über  die  Ecken  hinweg  atollen  sie 
dann  unter  Winkeln  von  180»— 109"  28'  =  70"  32'  zusammen.  Unter  demselben  Winkel 
von  70'  32 '  müssen  sich  aber  auch,  wie  mau  ans  der  Figur  sieht.  Je  zwei  Tetraeder- 
flächen in  den  Tetraederkanten  treffen,  denn  die  Tetraederflächen  sind  ja  der  Lage 
nach  nichts  anderes,  als  Oktaederflächen,  die  sich  über  die  Oktaederecken  weg 
schneiden.  In  der  Tat  trifft  man  auch  an  zahlreichen  Mineralien  (Fahlerz,  Boracit  etc.) 
tetraSdrische  Fennen,  deren  Flächen  unter  lauter  Winkeln  von  70°  32'  zusammen- 
stoOen,  die  also  reguläre  Tetraeder  sind  und  somit  in  der  erwähnten  Beziehung  zu 
dera  regulären  Oktaeder  stehen  und  ans  ihm  abgeleitet  werden  können. 

64.  Korrelate  hemiSdriBelie  Formed.  Die  voMächigen  Krystall- 
formen geben  selbstverständlich  mit  jeder  ihrer  beiden  Flächenhälften 
einen  zugehörigen  hemiedrischen  KSrper,  also  im  ganzen  zwei  (von 


verschiedener  Stellung).  Die  beiden  aus  demselben  VoUflächuer  abg:e- 
leiteten  HalbflSchner  heißen  korrdat;  jeder  ist  der  Gegenkörper  des 
anderen. 


So  gibt  das  Oktaeder  (Fig.  39  b]  Ewei  korrelate  Tetraeder  (Fig.  39  a  und  c), 
deren  Kanten  sich  nntet  90"  durchschneiden.  Das  eine  Tetraeder  ist  das  (Vt^en- 
tetraeder  des  andereii. 

65.  Charakter  der  Hemiedrle.  Zwei  korrelate  hemiedrische 
Formen,  also  z.  B,  die  beiden  Tetraeder  Fig.  39  a  und  c,  ergänzen 
sich  gegenseitig  geometrisch  zn  der  zugehörigen  Tollflächigen,  also  hier 
dem  Oktaeder  (Fig.  39  b).  Die  Flächen  der  einen  Form  (des  einen  Tetra- 
eders) sind  aber  stets  physikalisch  verschieden  von  denen  der  Gegen- 
form (des  Gegentetraeders).  Zwei  korrelate  Hernieder,  also  die  beiden 
Tetraeder,  bilden  somit  zwei  verschiedene  einfache  Formen,  die  völlig 
unabhängig  voneinander  anitreteo.  Durch  ihr  Zosammenvorkommen 
wird  daher  der  zugehörige  vollflftchige  Körper  nur  der  äußeren  Form 
nach  wiederhergestellt  (Fig.  39  b),  nicht  aber  der  Flächeubeschaffen- 
beit  nach,  da  nun  nicht  mehr  alle  Flächen  einander  gleich  sind, 
sondern  in  zwei  verschiedene  Gruppen  zerfallen.  Man  hat  es  mit  einer 
Kombination  der  beiden  korrelaten  Halbflächner  (der  beiden  Tetraeder) 
zn  ton. 

Danach  ist  es  für  die  Hemiedrie  nicht  unbedingt  erforderlieh, 
daß  die  eine  Hälfte  der  nächen  aus  der  vollflächigen  Form  verschwindet, 
Hemiedrie  ist  schon  vorhanden,  wenn  die  Flächen  der  letzteren  in  zwei 
Gruppen  von  ungleicher  Beschaffenheit  zerfallen,  von  denen  Jede  fttr 
sich  genflgend  erweitert  einen  der  beiden  korrelaten  Halbflächner 
bilden  kann.  Das  völlige  Verschwinden  der  einen  Hälfte  der  Flächen 
stellt  gewissermaßen  den  größtmöglichen  Unterschied  gegen  die 
andere  bleibende  Flächenhälfte  dar  und  liefert  die  zugehörigen  ein- 
fachen hemiedrischen  Formen. 

66.  KoDgraente  und  enantlomorphe  Hernieder.  Die  aus  einer 
vollflächigen  Form  ableitbaren  korrelaten  Hernieder  sind  in  allen 
Fällen  einander  der  Form  nach  gleich  und  nur  in  der  Stellung  von 
einander  verschieden.    Doch  ist  in  dem  gegenseitigen  Verhalten   der 


72  Eemiedrie. 

beiden  korrelaten  Formen  zueinander  eine  Verscliiedenlieit  nnd  zwar 
von  doppelter  Art  zd  erkennen. 

Die  beiden  korrelaten  Formen  sind  entweder  in  der  Weise  ein- 
ander gleich,  daß  jede  darch  eine  g:eeignete  Drehung  mit  der  anderen 
zur  Deckung  gebracht  werden  kann:  sie  sind  hmgrwnt.  Zwei  der- 
artige korrelate  Formen  werden  meist  ihrer  Stellung  nach  als  posiÜT 
und  negati?  (-f-  und  — )  voneinander  anterschieden,  wobei  es  gleich- 
gültig ist,  welche  von  beiden  als  +  angenommen  wird;  die  andere 
ist  dann  eben  — . 

Oder  die  beiden  korrelaten  Hemieder  können  nicht  durch  Drehung 
miteinander  zur  Deckung  gelangen;  sie  sind  nur  spiegelbildlich  gleich. 
Das  eine  ist  das  Spiegelbild  des  anderen,  und  sie  verhalten  sich  zu- 
einander wie  die  rechte  Hand  zur  linken.  Formen  dieser  Art  werden 
enarUiomor'ph  genannt.  Ihre  verschiedene  Stellung  wird  durch  die  Be- 
zeichnung „rechts"  nnd  „links"  zum  Ausdruck  gebracht.  Alle  enan- 
tiomorphen  Hemieder  sind  ohne  Symmetrieebenen  und  ohne  Symmetrie- 
centrum, wahrend  die  kongruenten  beides  besitzen  können. 

Beispiele.  Die  aas  dem  Oktaeder  ableitbaren  beiden  Tetraeder  (Fig.  39)  sind 
kongruent;  die  Kanten  des  einen  Tetraeders  krenzen  die  des  ooderen  rechtwinklig. 
Diebt  man  A»a  erste  nm  eine  der  drei  die  Mitten  zweier  gegentiberliegendet  Eanten 
Terbindende  Linie  nm  90°,  so  kommt  es  mit  dem  Gegentetraeder  vollkommen  zur 
Becknsg,  so  daß  die  FUchen  nnd  Kanten  des  einen  genau  in  die  Flachen  nnd 
Kauten  des  anderen  fallen.    Nennt  man  das  eine  Tetraeder  -{-,  so  ist  das  andere  — . 

Eine  an  zahlreicbea  Krystallen  vorkommende  einfache  vollfichige  Form  ist 
das  Fig.  40b  abgebildet«  Dioklaeder,  begrenzt  Ton  16  gleichen  Flächen,  die  üne 
doppelt  achtieitige  Pyramide  bilden  mit  gemeinsamer  ebener  Onmdfl&che  der  beiden 


Fig.  40. 

Hälft«ii.  Diese  16  FIfichen  gcbiteiden  sich  in  acht  gleichen  Kanten,  die  in  dieser  gemein- 
BchaftUchen  Grtindfliiche  liegen,  nnd  in  je  acht  abwechslnngsweise  gleichen  spitzeren 
resp.  stompferen  Eantenpaaren,  die  von  den  Ecken  der  Grundfläche  nach  den  beiden 
Pyramidenecken  hin  verlaufen.  Wenn  von  den  16  Flächen  des  Dioktaeders  nur  je 
die  acht  abnecbselnden  ausgebildet  sind,  wie  es  die  Schraffierung  in  h  angabt,  dann 
entstehen  zwei  korrelate  hemiedrische  Formen ,  die  man  Trapezoeder  genannt  bat 
(Fig.  40a  und  c).  Ihre  acht  Flächen  bilden  eine  vierseitige  Doppelpjramide,  deren  beide 
HUften  etwas  gegeneinander  verdreht  erscheinen,  so  d&O  in  der  Mitte  acht  abwechselnd 


Tetartoedrie.    Ogdoedrie.    Hemimorphie.  73 

Terschiedene  kürzere  ondlängere  Kanten  zickzackfOrmig  auf-  nnd  absteigen.  Acht  gleiche 
Kanten  gehen  zu  je  vier  von  den  beiden  Pyramidenecken  ans.  Diese  zwei  korrelaten 
Trapezoeder  sind  spiegelbildlich  gleich,  jedem  Begrenznngselement  des  einen  liegt  ein 
gleiches  am  anderen  symmetrisch  gegenüber.  Sie  lassen  sich  dnrch  keine  Drehung  zur 
Deckung  bringen,  sie  sind  enanüomorph -^  das  eine  ist  das  rechte,  das  andere  das 
linke.  Eine  Symmetrieebene  und  ein  Symmetriecentram  sind,  wie  man  sieht,  nicht 
Torhanden. 

67.  Tetartoedrie.  Ogdoedrie.  Nicht  selten  geht  die  Teil- 
fl&chigkeit  noch  weiter.  Von  manchen  (nicht  allen)  Krystallformen,  die 
zu  anderen  im  Verhältnis  der  Hemiedrie  stehen,  kann  man  sich  wieder 
nnr  die  Hälfte  der  Flächen  ausgebildet,  die  andere  Hälfte  verschwunden 
denken,  so  daß  also  von  den  Flächen  der  holoedrischen  Gestalten  nnr 
der  vierte  Teil  vorhanden  ist.  Man  erhält  so  viertelfläehige  oder 
ietartoedrische  Formen,  die  als  Hemieder  von  Hemiedern  aufgefaßt 
werden  können.  Die  Erscheinung  selbst  ist  die  der  Tetartoedrie  oder 
ViertäflächigkeU.  Die  vollflächigen  Formen  können  somit  vier  korre- 
late  tetartoedrische  Formen  geben,  die  hemiedrischen  deren  zwei.  Auch 
die  korrelaten  tetartoedrischen  Formen  sind  entweder  kongruent  oder 
enantiomorph.  Beispiele  dafür  werden  wir  unten  bei  der  Beschreibung 
der  einzelnen  Krystallformen  kennen  lernen. 

Durch  fortgesetztes  Verschwinden  der  Hälfte  der  Flächen  können  wir  ans  ge- 
wissen yiertelflächigen  Formen  achtelflächige  oder  ogdoedriache  Gestalten  ableiten, 
womit  dann  die  Teilflächigkeit  ihr  Ende  erreicht  hat.  Die  Ogdoedrie  oder  Achtd- 
flächigkeit  ist  aber  namentlich  für  Mineralien  von  so  geringer  Bedeutung)  daß  hier 
nur  kurz  darauf  hingewiesen  werden  soll. 

68.  HemlmorpUsmus.  Eine  besondere  Art  der  Hemiedrie  ist 
der  Hemimorphismus  (Hemimorphie).  Von  Hemimorphismus  spricht 
man,  wenn  an  einem  Krystall  an  dem  einen  Ende  einer  nur  einmal 
vorhandenen  (singulären)  Symmetrieachse  (56)  nicht  die  parallelen  Gegen- 
fl&chen  zum  anderen  Ende,  sondern  Flächen  von  abweichender  Lage 
vorhanden,  oder  wenn  die  Flächen  am  einen  Ende  den  etwaigen 
parallelen  am  anderen  nicht  krystallographisch  gleich  sind.  Die  beiden 
Enden  jener  Achse,  der  Achse  des  Hemimorphismus^  sind  demnach  ver- 
schieden ausgebildet,  aber  stets  so,  daß  die  Flächen  auf  beiden  Seiten 
in  derselben  Weise,  d.  h.  nach  den  nämlichen  Ebenen  und  Achsen, 
symmetrisch  angeordnet  sind.  Die  Achse  des  Hemimorphismus  ist  eine 
Symmetrieachse  von  gleicher  Zähligkeit  für  beide  Enden,  sie  zeigt  aber 
eine  ausgesprochene  Zweiseitigkeit,  der  Krystall  eine  bestimmte  Po- 
larität in  der  Richtung  der  Achse,  die  auch  in  einer  physikalischen 
Verschiedenheit  der  beiden  Pole  selbst,  nicht  nur  der  Flächen,  zum 
Ausdruck  kommt  (verschiedenes  pyroelektrisches  Verhalten  der  beiden 
Pole  etc.).  Die  Flächen  von  gleicher  Beschafifenheit  am  einen,  wie  die 
an  dem  entgegengesetzten  Pol,  bilden  je  für  sich  einfache  Formen, 
mit  Ausschluß  aller  gegenüberliegenden.     Sämtliche  einfache  Formen 


74  Symmetrie  hemiedrischer  Fonnen. 

hemimorpher  Krystalle  sind  daher  notwendig  oflfen  und  die  Krystalle 
selbst  müssen  stets  Kombinationen  ohne  Symmetriecentrum  darstellen. 

Hemimorphe  Formen  lassen  sich  aus  sämtlichen  solchen  Formen 
ableiten,  die  mindestens  eine  an  beiden  Enden  gleich  ausgebildete 
singulare  Symmetrieachse  besitzen,  und  nur  aus  solchen.  Auf  dieser 
Symmetrieachse  ist  stets  eine  Symmetrieebene  oder  eine  Anzahl  anderer 
Symmetrieachsen  senkrecht.  Man  denkt  sich  jede  der  vorhandenen  ein- 
fachen Formen  in  zwei  voneinander  unabhängige  (voneinander  ver- 
schiedene) Hälften  zerfallen,  deren  Flächen  je  um  die  beiden  Pole 
herumliegen  und  kann  sich  vorstellen,  daß  die  Flächen  am  einen  Ende 
verschwinden  und  durch  andere  nach  derselben  Sjrmmetrie  angeordnete 
ersetzt  werden.  Dadurch  kommen  dann  auch  die  Symmetrieelemente 
zum  Wegfall,  die  auf  der  zur  Achse  des  Hemimorphismus  gewordenen 
Symmetrieachse  senkrecht  sind  (Symmetrieebene,  resp.  Symmetrieachsen), 
wie  wir  bei  der  speziellen  Betrachtung  der  hemimorphen  Krystalle, 
namentlich  im  hexagonalen  System,  noch  eingehender  sehen  werden. 

Beispiel.  Eine  Anschannng  von  hemimorpher  Anshildnng  gibt  der  ErystaU 
von  Kiesebirikcrz  (Fig.  41).   Die  Achse  des  Hemimorphismus  ist  anfrecht  gestellt.  Es 

ist  eine  für  beide  Enden  zweizählige  Symmetrieachse.  Die  Flächen 
an  beiden  Polen  sind  nach  zwei  aufeinander  senkrechten  Symmetrie- 
ebenen, die  parallel  a  und  b  gehen,  symmetrisch  angeordnet.  Die 
Flächen  p,  m,  o,  r  nnd  c  sind  nur  oben,  die  Flächen  s  nur  unten 
ausgebildet.  Wäre  die  Begrenzung  oben  und  unten  dieselbe,  so  wäre 
noch  eine  horizontale  Symmetrieebene  senkrecht  zur  Achse  des  Hemi- 
morphismus Torhanden,  die  aber  nun  weggefallen  ist,  ebenso  auch 
die  beiden  auf  der  letzteren  und  auf  den  Flächen  a  und  b  senk- 
•^g-  41-  rechten  horizontalen  zweizähligen  Symmetrieachsen.     Zu  keiner  der 

Endflächen  ist  eine  parallele  Gegenfläche  Yorhanden,  wohl  aber  zu 
allen  Flächen,  die  der  Achse  des  Hemimorphismus  parallel  gehen,  zu  a,  &  und  g;  auf 
diese  hat  hier  die  Hemimorphie  keinen  Einfluß. 

69.  Symmetrie  hemiedrischer  Formen.  Durch  das  Verschwinden 
der  einen  Hälfte  der  Flächen  einer  vollflächigen  Krystallform  muß 
selbstverständlich  auch  ein  Teil  der  Symmetrieelemente  dieser 
letzteren  wegfallen.  Damit  wird  die  Symmetrie  der  hemiedrischen 
Formen  niedriger,  als  die  der  zugehörigen  holoedrischen.  Speziell  ist 
mit  der  einen  Hälfte  der  Flächen  auch  ein  Teil  der  Symmetrieebenen 
des  Vollflächners  und  damit  zusammen  meist  notwendig  von  selber 
auch  ein  Teil  der  Symmetrieachsen  verschwunden.  Letztere  brauchen 
daher  nur  in  einzelnen  Fällen  besonders  beiücksichtigt  zu  werden, 
wie  wir  unten  bei  der  genaueren  Betrachtung  der  einzelnen  Hemiedrien 
noch  weiter  sehen  werden.  Ebenso  verhält  es  sich  auch  mit  dem 
Sjnmmetriecentrum.  Geht  das  Symmetriecentrum  verloren,  so  fehlen 
zu  allen  Flächen  die  parallelen  Gregenflächen.  Die  so  entstehenden 
hemiedrischen  Formen  heißen  dann  geneigiflächig.    Im  Gegensatz  dazu 


Symmetrie  hemiedriBcher  Formen.  75 

werden  hemiedrische  Formen,  bei  denen  zu  jeder  Fläche  die  parallele 
Gegenfläche  noch  vorhanden  ist,  parallelflächige  genannt. 

An  sich  wäre  es  nun  wohl  möglich,  d.  h.  es  würde  dem  Gesetze 
der  rationalen  Kantenschnitte  nicht  widersprechen,  wenn  die  Hälfte 
der  Flächen  an  den  holoedrischen  Formen  in  ganz  beliebiger  Weise 
verschwinden  würde.  Bei  genauerer  Untersuchung  findet  man  aber, 
daß  hier  eine  strenge  Gesetzmäßigkeit  herrscht,  die  auf  die  allge- 
meinen Verhältnisse  der  Symmetrie  gegründet  ist 

70.  Hafiysches  Symmetriegesetz.  Diese  Gesetzmäßigkeit  folgt 
aus  einem  umfassenderen  Gesetz,  das  wir  hier  zum  ersten  Male  kennen 
lernen,  dem  wir  aber  später  noch  öfter  begegnen  werden.  Es  ist  zu- 
erst am  Beginn  des  19.  Jahrhunderts  von  dem  Pariser  Mineralogen 
Haüy^  dem  Begründer  der  wissenschaftlichen  Erystallographie  auf- 
gestellt und  danach  das  Haüysche  SymmetriegeseUf  genannt  worden. 
Ganz  allgemein  kann  es  in  folgender  Form  ausgedrückt  werden:  In 
jedem  Krystalle  verhaften  sich  gleichwertige  Stüdce  jedereeit  gleich.  Je 
nachdem  diese  Stücke  Symmetrieelemente  oder  Begrenzungselemente 
sind,  wird  sich  dieses  Gesetz  im  speziellen  auf  verschiedene  Weise 
äußern. 

(Hdüy^  M6moire  snr  nne  loi  de  la  cristallisation  appel^e  loi  de  Symmetrie 
M4m.  du  mos.  d'hist.  nat.  1816.  I.  81.  206.  273.  341.  Uebersetzt  von  Hessel  unter 
dem  Titel:  Haüy's  Ebeumaassgesetz  der  Krystallbildung  1819). 

71.  Symmetrieverliältnisse  der  hemiedrlschen  Formen  nach 
dem  Hafiyschen  Symmetriesatz.  Die  Stücke  der  Krystalle,  um  die 
es  sich  hier  handelt,  sind  die  Symmetrieelemente  derselben,  namentlich 
die  Sjrmmetrieebenen.  Das  Haüysche  Gesetz  würde  also  speziell 
lauten :  Gleichwertige  Symmetrieelemente  (Symmetrieebenen)  ver- 
halten sich  bei  der  Hemiedrie  gleich.  Dieses  gleiche  Verhalten  besteht 
darin:  die  verschwindenden  resp.  bleibenden  und  sich  ausdehnenden 
Flächen  einer  holoedrischen  Form  sind  stets  in  der  Weise  angeordnet, 
daß  Gruppen  gleichwertiger  Symmetrieelemente  (gleichwertige  Sym- 
metrieebenen und  mit  ihnen  oft  auch  gleichwertige  Symmetrieachsen) 
stets  gleichzeitig  verschwinden  und  nur  die  anderen  übrig  bleiben. 
Manchmal  verschwindet  nur  eine  einzige  Gruppe  von  Symmetrieebenen, 
in  anderen  Fällen  mehrere  solche  Gruppen  gleichzeitig.  Durch  die 
übrig  bleibenden  Symmetrieelemente  sind  dann  die  hemiedrischen 
Formen  in  Bezug  auf  ihre  Symmetrie  charakterisiert.  Hat  der  voll- 
flächige Krystall  kein  anderes  Symmetrieelement  als  ein  Symmetrie- 
centrum, so  kann  bei  der  Hemiedrie  auch  dieses  verschwinden,  und 
die  hemiedrischen  Formen  sind  dann  dadurch  ausgezeichnet,  daß  sie 
gar  kein  Symmetrieelement  mehr  besitzen. 

Beispiel.  Das  Tetraeder  (Fig.  38)  ist  eioe  aus  dem  Oktaeder  ableitbare  hemi- 
edrische Form  (63).    Das  letztere  hat,  wie  wir  gesehen  haben  (64),  drei  Haupt-  und 


76  Gesetz  der  Hemiedrie. 

6  Nebensymmetrieebenen.  Fallen  bei  der  Ableitung  des  Tetraeders  die  abwechselnden 
Flächen  (die  schraffierten)  des  Oktaeders  weg,  so  yerschwinden,  wie  die  Fignr  deat- 
lich  zeigt,  die  drei  über  die  Oktaederkanten  hinweggehenden  Hanptsymmetrieebenen. 
Dagegen  bleiben  die  sechs  Nebensymmetrieebenen  in  der  Eichtnng  der  Höhenlinien  der 
Oktaeder-  und  der  Tetraederflächen  (angegeben  durch  die  gestrichelten  Linien)  auch 
bei  dem  Tetraeder  als  Symmetrieebenen  erhalten.  Die  drei  gleichwertigen  Haupt- 
symmetrieebenen sind  also  alle  gleichzeitig  verschwunden,  die  sechs  gleichwertigen 
Nebensymmetrieebenen  aUe  gleichzeitig  erhalten  geblieben.  Ähnlich  ist  es  mit  den 
Symmetrieachsen.  Gleichzeitig  mit  den  drei  Hauptsymmetrieebenen  verschwinden  die 
sechs  gleichwertigen  zweizähligen  Symmetrieachsen  des  Oktaeders,  es  bleiben  aber 
alle  vier  gleichen  dreizähligen  Symmetrieachsen  des  Oktaeders  als  solche  auch  beim 
Tetraeder  und  die  drei  gleichen  vierzähÜgen  Symmetrieachsen  des  Oktaeders  gehen 
in  drei  gleiche  zweizählige  beim  Tetraeder  über. 

72.  Symmetrieyerhältiilsse  der  tetartoedriscilen  Formen.   Wie 

die  hemiedrischen  Formen  weniger  symmetrisch  sind  als  die  zuge- 
hörigen vollflächigen,  so  sind  die  tetartoedrischen  weniger  symmetrisch 
als  die  hemiedrischen,  ans  denen  sie  sich  ableiten  lassen.  Zwischen 
den  beiden  letzteren  herrschen  aber  genau  dieselben  allgemeinen  Ver- 
hältnisse, wie  bei  den  beiden  erstgenannten.  Auch  aus  den  hemiedri- 
schen Formen  verschwinden  •  bei  der  Bildung  von  tetartoedrischen 
gewisse  Gruppen  gleicher  Symmetrieelemente.  Nur  aus  solchen 
hemiedrischen  Formen  können  tetartoedrische  abgeleitet  werden,  die 
noch  gewisse  Symmetrieelemente  besitzen.  Ebenso  verhalten  sich  die 
ogdoedrischen  Formen  zu  den  tetartoedrischen.  Mit  der  Achtelflächig- 
keit  ist  die  äußerste  Grenze  der  Meroedrie  erreicht 

73.  Gesetz  der  Hemiedrie  etc.  Die  Angabe  der  Symmetrie- 
elemente, besonders  der  Symmetrieebenen  einer  vollflächigen  Krystall- 
form,  die  beim  Eintreten  einer  Hemiedrie  verschwinden,  nennt  man 
das  Gesetz  der  Hemiedrie,  In  derselben  Weise  ist  auch  das  Gesetz  der 
Tetartoedrie  etc.  aufzufassen,  wobei  man  sich  die  tetartoedrischen 
Formen  entweder  direkt  aus  den  vollflächigen  oder  auch  aus  den 
hemiedrischen  etc.  abgeleitet  denken  kann.  Aus  diesem  Gesetz  folgt 
dann  die  Anordnung  der  verschwindenden  und  der  bleibenden  Flächen 
von  selbst;  sie  steht  mit  dem  Verschwinden  dieser  oder  jener  Gruppe 
von  Symmetrieebenen  in  engem  und  notwendigem  Zusammenhang. 
Das  Gesetz  der  Hemiedrie  etc.  läßt  sich  daher  auch  ebenso  gut  durch 
Angabe  der  gegenseitigen  Lage  der  verschwindenden  und  bleibenden 
Flächen  des  VoUflächners  bestimmen,  woraus  dann  umgekehrt  folgt, 
welche  Symmetrieelemente  dabei  verschwinden  müssen. 

Beispiel.  Bei  der  Ableitung  des  Tetraeders  aus  dem  Oktaeder  besteht  das 
Gesetz  der  Hemiedrie  darin,  daß  die  drei  Hauptsymmetrieebenen  im  letzteren  ver- 
schwinden. Dies  kann  aber  nur  geschehen,  wenn  von  den  auf  beiden  Seiten  einer 
Oktaederkante  liegenden  Flächen  überaU  eine  wegfällt  und  nur  die  andere  übrig 
bleibt.  Führt  man  dies  in  konsequenter  Weise  rings  um  den  ganzen  ErystaU  herum 
aus,  so  kann  nur  die  in  Fig.  38  oder  39b  durch  Schraffieren  angedeutete  Flächen- 


Geseti  der  Eemiedrie.  77 

(p^ippienmg  heraiukommeii,  bei  der  eine  jede  bleibende  Okt&ederfläcbe  umgeben  iat 
Ton  dnd  TenchwindeDden  tutd  nmgeliehTt.  Die  Qmppiemng  ist  auch  eine  Folge  dea 
Ha&jscben  SjmmetriegesetzeB ,  wonach  gleiche  Kanten  ond  Flächen  ancb  bei  dem 
Eintreten  der  Hemiedrie  sich  gleich  verhalten  mflaaen.  Fflr  die  Eemiedrie  würde 
es  Khon  genügen,  wenn  die  abwechselnden  Oktaederfl&chen  phjaikaliach  verschieden 
würden.  Schon  dadnrch  würde  die  Symmetrie  nach  den  Hanptajmmetrieebenen  dea 
Oktaeders  beim  Tetnieder  anfgehoben  werden,  wUirend  die  nach  den  Nebensjmmetri»- 
ebenen  bleibt. 

Umgekehrt  kannte  man  daher  das  Gesetz  auch  in  der  Weise  aossprechen,  daß 
man  sagt:  beim  Oktaeder  sollen  nur  die  abwechselnden  Flächen  noch  gleich  sein, 
die  anderen  von  diesen  verschieden  werden,  reap.  gam  verschwinden.  Dann  würde 
darans,  wie  dieselbe  Figur  ceigt,  folgen,  daQ  die  drei  Haoptsymmetrieebenen  nicht 
mehr  als  solche  funktionieren.  Je  die  eine  Hilft«  der  Flächen  würde  dann  für  sicli 
allein  beide  Male  ein  Tetraeder  bilden. 

74.  Ableltang  melirerer  hemlediisdier  Formen  aas  derselben 
TOllfläclilgen.  Aus  dem  Vorhergehenden  ist  obae  weiteres  zn  er- 
sehen, daß  aas  zahlreichen  einfachen  Tollflächigen  Formen  mehrere 
Terschieden  gestaltete  bemiedrische  Formenpaare  abgeleitet  werden 
kSnnen,  nämlich  ans  allen  solchen,  die  mehrere  voneinander  unab- 
hängige, d.  h.  nicht  gleichzeitig  miteinander  verschwindende  Gruppen 
gleicher  Synunetrieelemente  besitzen.  Durch  das  Verschwinden  von 
bald  der,  bald  jener  solchen  Gruppe  von  gleichen  Symmetrieelementen, 
oder  auch  von  mehreren  solchen  zusammen,  entsteht  je  ein  Paar  korre- 
later hemiedrischer  Formen,  die  jedesmal  einem  anderen  Gesetz  der 
Hemiedrie,  oder,  wie  man  karz  zu  sagen  flegt,  einer  anderen  Hemiedrie 
entsprechen.  In  ganz  analoger  Weise  verhält  es  sich  mit  den  Tetarto- 
edrien  etc. 

Ein  Beispiel  hierfür  liefert  die  flfichenreichBte  einfache  Erystallform,  die  Über- 
hanpt  mSglich  ist,  der  Achtundvieriigflächner,  auch  HexaJeitoktaeder  genannt  (Fig.  13). 
Er  ist  in  der  idealen  Form  begrenzt  von  48  kongruenten 
nnregebnUJigen  Dreiecken,  die  in  acht  Gruppen  von  je 
sechs  angeordnet  sind  in  der  Weise,  daO  diese  sechs  tn- 
sammen  der  Lage  nach  einer  Oktaederfl&che  entsprechen. 
Hit  dem    Oktaeder    und  mit    dem  Würfel  stimmt  dieser 

EOrper  in  Beziehung  anf  die  Symmetrie  vollkommen  über-    £  i 

ein,  weil  er  dieselbe  Zahl  von  Sjmmetrieelementen  in  der- 
selben Lage  ond  Beschaffenheit  nnd  also  denselben  Grad 
der  Symmetrie  besitzt  wie  sie,  daher  gehört  er  mit 
dieaeu  beiden  in  dieselbe  Klasse.  Drei  gleichwertige  auf- 
einander senkrechte  Hanptsymmetrieebenen  gehen  dnrch  Fig.  42. 
]e   acht   gleiche   Kanten  K  nnd   durch   je    vier  gleiche 

Ecken  E  und  O.  Die  Ewiscbenliegenden  Nebensymmetrieebenen  sind  durch  die 
beziebungsweiae  gleichen  Kanten  M  resp.  L  nnd  durch  die  beziehungsweise  gleichen 
Ecken  E,  O  und  G  bestimmt. 

Fallen  nun  die  drei  Hauptsymmetrieebenen  nnter  Erhaltung  der  sechs  Neben- 
Bjmmetrieebenen  weg,  geht  also  die  Hemiedrie  nach  demselben  Gesetze  vor  sich,  wie 
bei  dei  Ableitung  des  Tetraeders  ans  dem  Oktaeder  {daher  ietraedriidie  Hemiedrie 
genannt),  dann  müssen  die  vier  abwechselnden  Gruppen  von  je  sechs  Flächen  ver- 


78  QesetE  der  Eemiedrie. 

Bchwindeu,  reap-  toh  den  anderen  vier  in  der  vollflKchigen  Form  mit  ihnen  g'Ieich- 
vertigen  Qrappea  verschieden  werden,  wie  es  in  Fig.  43b  die  SchraEfierong  seigt. 


Fig.  43. 
Jede  der  beiden  FIScbenhälften  gibt  dann  einen  von  24  nnregelmäGigen  Dreiecken 
begrenzten  heiniedriBclien  Körper  von  der  allgemeinen  Form  eines  Tetraeder»,  dessen 
Flächen  zu  vier  gleichwertigen  Gruppen  von  je  sectu  angeordnet  sind.  Es  ent- 
stehen ans  dem  Heiakiaoktaeder  die  beiden  korrelaten  SexakUteiraeder  Fig.  43a 
und  c  mit  geaeigtSächiger  Begrenzung,  die  selbstverständlich  mit  den  Tetraedern 
bezüglich  der  Symmetrie  vollstfiudig  übereinstimmen  müssen. 

Nach  einem  zweiten  Gesetze  füllen  die  sechs  Nebenajmmetrieebenen  des  EeiaJda- 
oktaedera  weg,  während  die  drei  Hauptsjmmetrieebenen  als  solcbe  erhalten  bleiben. 
Die  verschwindenden  und  sich  ansdehnenden  Flächen  müssen  dann  wie  in  Fig.  44b 


Fig.  44. 
gegeneinander    gmppiert   sein.     Jede  Hälfte   gibt   als   hemiedriachen   KQrper   ein 
Diploeder.    Es  entstehen  nach  diesem  Gesetz  zwei  korrelat«  Diploeder,  begrenzt  von 
24  nngleicbschenkligen  vierseitigen  Flächen  (Fig.  44a  n.  c).    Es  ist  dies  eine  (parallel- 
flächige,  die  sogenannt«  pyritoeiriiche  Hemiedrie. 

Fallen  endlich,  der  einzigen  noch  Übrigbleibenden  HSglichkeit  entsprechend,  alle 
3  -|-  6  Sjmmetrieebenen  gleichzeitig  ana,  dann  kSnnen  die  beiden  Flächenhälften 
nnr  so,  wie  es  in  Fig.  45  b  dargestellt  ist,  angeordnet  sein.  Das  Heiakisoktaeder 
liefert  dann,  wenn  je  die  eine  Hälfte  der  Flächen  verschwindet,  die  dieser  Hemiedrie 
entsprechenden  beiden  korrelaten  Halbfläcbner,  die  man  als  Qyrotder  oder  Plagitder 


Fig.  46. 
bezeichnet  (Fig.  46  a  n.  c).    Es  liegt  die  gyrofdrisehe  oder  plagiedri$che  Hemiedrie 
vor,  die  wie  die  tetraedrische  geneigtflficbig  ist. 


Hemiedrie  ohne  Formyeränderang.  79 

Die  Mdglichkeit  weiterer  Hemiedrieen  ist  damit  erschöpft,  da  kein  anderes  gleich- 
^tiges  Wegfallen  von  gleichwertigen  Symmetrieebenen  mehr  denkbar  ist  Es  kann 
nnn  aber  an  diesen  hemiedrischen  Formen  wieder  die  Hälfte  der  Flächen  in  Wegfall 
kommen,  so  daß  tetartoedrische  Formen  entstehen.  Wir  wollen  hier  aber  diese  Be- 
tiachtnngen  nicht  weiter  fortsetzen,  sondern  sie  bis  zur  eingehenden  Beschreibung 
der  einzelnen  Ejrystallklassen  verschieben. 

75.  Hemiedrie  ohne  FormTerSnderung.  Bemerkenswert  ist  es, 
daß  manche  einfache  Krystallformen  durch  Eintritt  einer  Hemiedrie 
keine  Veränderung  erleiden.  Dies  ist  immer  dann  der  Fall,  wenn  die 
Flächen  dieser  Form  senkrecht  über  diejenigen  Symmetrieebenen  hin- 
weg gehen,  die  bei  der  betreffenden  Hemiedrie  in  Fortfall  kommen. 

Ein  Beispiel  hierfttr  Uefert  das  Rhonibendodekaeder  (Fig.  46),  begrenzt  in  der 
idealen  Form  von  zwölf  gleichen  Bhomben,  die  sich  in  den  Kanten  unter  120^,  über 
die  Tierflächigen  Ecken  hinweg  unter  rechten  Winkeln  schnei- 
den. Eine  solche  Form  gehört  ebenfalls  derselben  Krystall- 
klasse  an,  wie  das  Oktaeder  und  der  Würfel  und  hat  wie  sie 
drei  aufeinander  senkrechte  Hauptsymmetrieebenen,  die  in  der 
Richtung  der  großen  Diagonalen  über  die  Flächen  hinweg 
verlaufen  und  sechs  zwischenliegende  Nebensymmetrieebenen, 
die  durch  die  kleinen  Diagonalen  der  Flächen  und  je  vier 
Kanten  bestimmt  werden.  Fallen  nun  nach  dem  Gesetz  der 
t«traedrischen  Hemiedrie  die  drei  Hauptsymmetrieebenen  weg, 
so  werden  alle  Flächen  nach  den  großen  Diagonalen  in  zwei 
voneinander  verschiedene  Hälften  zerfallen  müssen.    Würde  ^^'  ^« 

nun  auch  die  eine  Hälfte  jeder  Fläche  verschwinden,  so  müßte 
sie  sofort  wieder  ersetzt  werden  durch  die  sich   gleichzeitig  ausdehnende  andere 
Flächenhälfte.     Das   Dodekaeder    kann    demnach    seine   äußere   Form    bei    dieser 
Hemiedrie  nicht  ändern  (vergl.  (106),  letzter  Abschnitt). 

76.  Auftreten  derselben  Formen  in  mehreren  Erystallklassen. 

Wir  haben  hier  gleichzeitig  beim  Dodekaeder  ein  Beispiel,  veie  eine 
und  dieselbe  einfache  Form  in  zwei  verschiedenen  Krystallklassen  auf- 
treten kann,  in  der  durch  das  Oktaeder  repräsentierten  vollflächigen  und 
in  der  durch  das  Tetraeder  repräsentierten  hemiedrischen  (tetraedrisch- 
hemiedrischen).  Bei  der  speziellen  Beschreibung  der  einzelnen  Klassen 
werden  wii*  sehen,  daß  dies  auch  in  zahlreichen  anderen  analogen 
Fällen  vorkommt.  Ähnliches  werden  wir  aber  auch  bei  vollflächigen 
einfachen  Formen  kennen  lernen  und  zwar  bei  den  offenen,  bei  manchen 
Prismen  und  den  Pinakoiden.  Der  Grund  liegt  hier  darin,  daß  in- 
folge ihrer  unvollständigen  Eaumabgrenzung  bei  ihnen  bezüglich  ihres 
Symmetriegrades  eine  Unbestimmtheit  bleibt,  so  daß  sie  in  ver- 
schiedenen durch  die  Symmetrie  gegebenen  Abteilungen  möglich 
sind.  Die  Unbestimmtheit  hört  auf,  wenn  durch  Zutreten  anderer 
einfacher  Formen,  offener  oder  geschlossener,  der  Raum  vollständig 
und  allseitig  abgegrenzt  wird. 


gO  Holoedrische  und  hemiedrische  E^stallklassen. 

77.  Holoediisclie  nnd  liemiediisclie  Krystallklassen.  Wir  haben 
im  bisherigen  den  Zusammenhang  einzelner  Erystallformen  in  Be- 
ziehung auf  ihre  Vollflächigkeit  und  Teilflächigkeit  betrachtet  In 
demselben  Zusammenhang  müssen  aber  auch  die  Erystallkiassen  unter- 
einander stehen,  da  ja  sämtliche  zu  einer  Klasse  gehörige  Formen 
hinsichtlich  der  Symmetrie  miteinander  vollkommen  übereinstimmen. 
Wie  es  voUflächige  und  teilflächige  Erystallformen  gibt,  so  gibt  es 
auch  voUflächige  und  teilflächige  Erystallkiassen.  Letztere  sind  der 
Inbegriff  aller  derjenigen  hemiedrischen  etc.  Formen,  die  aus  sämt- 
lichen einfachen  Formen  einer  vollflächigen  Elasse  nach  demselben 
Gesetz  der  Hemiedrie  (73)  abgeleitet  werden  können.  Alle  diese 
letzteren  Formen  haben  dieselbe  Symmetrie,  denn  bei  der  Hemiedrie 
verschwinden  jedesmal  die  nämlichen  Symmetrieelemente.  Diejenigen, 
die  den  entstehenden  hemiedrischen  Formen  schließlich  verbleiben, 
sind  demnach  wieder  bei  allen  dieselben.  Es  ist  also  klar,  daß  alle 
so  erhaltenen  hemiedrischen  Formen  dieselbe  Symmetrie  haben  müssen, 
daß  sie  somit  zusammen  eine  Elasse,  und  zwar  eine  jener  voll- 
flächigen gegenüber  halbflächige,  allgemein  gesagt,  teilflächige,  bilden 
müssen.  Wenn  z.  B.  aus  den  sämtlichen  Formen  mit  3  -f-  6  Sym- 
metrieebenen (54)  die  drei  Hauptsymmetrieebenen  wegfallen,  so  erhält 
man  aus  den  Formen  der  dui'ch  3  +  6  Symmetrieebenen  charakteri- 
sierten Elasse  eine  neue  Elasse  von  Formen,  die  alle  nur  noch  die  sechs 
Nebensymmetrieebenen  haben,  die  Formen  der  tetraedrischen  Hemiedrie 
(Tetraeder,  Hexakistetraeder  (74)  etc.,  aber  auch  das  bei  dieser 
Hemiedrie  seine  Form  nicht  ändernde  Rhombendodekaeder  (75)  etc.) 

Wenn  man  von  diesem  Gesichtspunkte  aus  die  32  Erystallkiassen 
(62)  untersucht,  so  findet  man,  daß  sechs  unter  ihnen  sich  als  vollflächig 
erweisen,  während  die  übrigen  26  alle  je  aus  einer  von  diesen  sechs  als 
hemiedrische,  tetartoedrische  und  ogdoedrische  in  der  oben  ange- 
gebenen Weise  abgeleitet  werden  können,  indem  nach  bestimmten 
Gesetzen  ein  Teil  der  Begrenzungselemente  verschwindet,  womit 
dann  zu  gleicher  Zeit  auch  ein  Teil  der  Symmetrieelemente  in  Weg- 
fall kommt. 

Der  innige  Zusammenhang  zwischen  den  Yollflächigen  nnd  den  zugehörigen 
teilflächigen  Klassen  kann  vollständig  nur  nach  Kenntnisnahme  der  sämtlichen 
zugehörigen  einzelnen  Krystalllormen  verstanden  werden.  Eine  eingehende  Be- 
schreibung der  letzteren  wird  unten  bei  der  spezieUen  Betrachtung  der  einzelnen 
Krystallklassen  gegeben  werden.  Hier  beschränken  wir  uns  zunächst  auf  eine  aU- 
gemeine  Übersicht,  die  der  späteren  genaueren  Darstellung  zur  Grundlage  dienen  soU. 

78.  Krystallsysteme.  Vor  allem  haben  wir  hier  zunächst  noch 
den  Begriff  des  Krystallsystems  kennen  zu  lernen.  Man  faßt  je  eine 
der  sechs  yollflächigen  Klassen  mit  allen  denen,  die  sich  aus  ihr  als 
hemiedrische,  tetartoedrische  und  ogdoedrische  ableiten  lassen,  zu  einer 


Erystallsysteme.  gl 

größeren  Grappe  zusammen  und  nennt  eine  solche  Ornppe  dn 
Kryställsysiem.  Die  einzelnen  Glieder  eines  Erystallsystems  erweisen 
sich  nicht  nur  dnrch  diese  allgemeine  krystallographisehe  Beziehung 
als  zusammengehörig,  sondern  auch  durch  gewisse  physikalische, 
namentlich  optische  Eigenschaften,  die  ihnen  allen  gemeinsam  sind. 

Unter  den  Klassen  eines  und  desselben  Erystallsystems  hat  selbst- 
yerständlich  die  yollflächige  die  höchste  Symmetrie,  die  meisten  Sym- 
metrieelemente. Jeder  teilflächigen  Klasse  entspricht,  wie  wir  wissen 
(77),  ein  besonderes  Gesetz  der  Hemiedrie  etc.,  das  sich  aus  den  in 
jedem  einzelnen  Falle  verschwundenen  resp.  erhalten  gebliebenen  Sym- 
metrieelementen ergibt.  Indem  man  von  der  yollflächigen  Klasse  aus- 
geht und  sich  in  ihr  je  die  zusammengehörigen  gleichwertigen  Sym- 
metrieelemente auf  alle  denkbare  Arten  gruppenweise  wegfallend  denkt, 
erhält  man  die  26  durch  besondere  Symmetriegrade  charakterisierten 
teilflächigen  Abteilungen,  die  mit  den  6  yollflächigen  genau  dieselben 
82  Klassen  ergeben,  welche  sich  direkt  aus  dem  Gesetze  der  ratio- 
nalen Kantenschnitte  ableiten  lassen  (62).  Es  ist  dabei  immer  zu  be- 
achten, daß  nicht  die  sämtlichen  Symmetrieelemente  in  Bezug  auf 
ihr  Wegfallen  und  Erhaltenbleiben  voneinander  unabhängig  sind. 
Mit  dem  Verschwinden  mancher  Symmetrieebenen  verschwinden  oder 
verändern  sich  gleichzeitig  mit  Notwendigkeit  gewisse  Sjrmmetrie- 
achsen  und  eventueU  fällt  auch  das  Symmetriecentrum  von  selber  weg, 
so  daß  nicht  alle  denkbaren  Variationen  des  Wegfallens  von  Sym- 
metrieelementen zu  neuen  abgeleiteten  Klassen  führen. 

79.  Übersicht  ttber  die  Erystallsysteme.  Wie  wir  gesehen 
habeu,  gibt  es  sechs  vollflächige  Krystallklassen,  aus  denen  sich  die  26 
fibrigen  durch  Hemiedrie  etc.  ableiten  lassen.  Somit  gibt  es  auch  sechs 
und  nur  sechs  Krystall^f  steme  in  dem  oben  angegebenen  Sinne.  Diese 
sind  zur  Unterscheidung  mit  besonderen  Namen  belegt  worden.  Jedes 
Krystallsystem  ist  schon  durch  die  zugehörige  vollflächige  Klasse 
vollständig  bestimmt ;  in  ihm  sind  ja  die  zugehörigen  anderen  weniger 
symmetrischen  Klassen  enthalten.  Diese  sechs  vollflächigen  Klassen 
können  somit  als  Eepräsentanten  der  sechs  Krystallsysteme  aufgefaßt 
werden.  Sie  sind  hier  zusammengestellt  unter  Angabe  der  zu  ihrer 
Charakterisierung  zunächst  genügenden  Symmetrieebenen  und  unter 
BeifDgung  eines  speziellen  Beispiels  für  jede  einzelne. 

1.  Beguläres  System.  3  -^  ^  "=  ^  Symmetrieebenen.  Die  drei 
erstgenannten  gleichwertigen  Symmetrieebenen,  die  Hauptsymmetrie- 
ebenen, stehen  aufeinander  senkrecht  und  schneiden  sich  in  drei 
gleichfalls  aufeinander  senkrechten  Geraden.  Die  sechs  anderen 
gleichwertigen  Symmetrieebenen,  die  Nebensymmetrieebenen,  gehen 
zu  je  zweien  gleichfalls  durch  jene  drei  Geraden  und  halbieren  die 

Bftuer,  Mineralogi«.  ^ 


Winkel  zwischen  den  beiden  zngehSrigen  HanptsTmmetrieebenen,  mit 
denen  sie  also  Winkel  tod  45"  einschließen. 

Als  Boapiel  haben  wir  uhoD  oben  (54)  a.  a.  den  WQrfel  kennen  gelernt,  ^er 
mit  Betuen  sämtlichen  Sjmmetrieebeiteii  in  Fig.  33  dargestdlt 
ist.  In  den  Geraden  au,  die  den  Würfelkanten  parallel  sind, 
schneiden  sich  je  swei  Haoptajmmetrieebenen  A  parallel  den 
WarfelflSchen  and  je  swei  diagonal  verlanfende  NebeosTni- 
metrieebenen  B  unter  46'.  Quu  analog  ist  ea  beim  Okta- 
eder (Fig.  34)  (54).  Ein  anderes  Beispiel  eines  ToUfltcliig 
regnlBren  Erystalls  ist  das  von  KwSlf  Bhomben  begrenzte 
Bhombendodekaeder  (OranatMder)  (75),  desBen  Flftchen  Ober 
die  Kanten  unter  ISO',  über  die  Tierkantigen  Sckeit  unter 
Fig.  47.  90"  znsammenstolien  (Fig.  47).    Die  Hanpts}rmmetrieebeaeu  A 

gehen  nach  der  groasen,  die  Nebensymmetrieebenen  S  nach 
der  klänen  Diagonale  über  die  Fl&cben  hinweg.  Der  Würfel,  das  Oktaeder  und  das 
Bhombendodekaeder  lind  alao  ToUflKchige,  regnlin,  einfache  Formen. 

2.  HexagonaUs  System.  3  +  3  -f- 1  =  7  Symmetrieebenen.  Von 
diesen  steht  die  eine,  von  allen  abrigen  verschiedene,  die  Hauptsym- 
metrieebene, anf  den  sechs  anderen,  den  Nebensymmetrieebenen,  senk- 
recht. Letztere  schneiden  sich  unter  30"  in  einer  auf  der  Haupt- 
symmetrieebene  senkrechten  Gieraden.  Die  Nebensymmetrieebenen 
zerfallen  in  zwei  Gruppen;  je  die  drei  abwechselnden  sind  gleich- 
wertig und  von  den  drei  anderen  verschiedeD.  Die  drei  gleich- 
wertigen Nebensymmetrieebenen  jeder  Gruppe  schliessen  Winkel  von 
60"  ein  und  halbieren  die  Winkel  der  anderen  Gruppe. 

In  Fig.  48a  ist  ein  vollflfichig  hexagonaler  EiTStall 
TOD  der  Seite,  in  Fig.  48b  tod  oben  dargestellt.  C  ist 
HauptsymmetrieebeDe,  cc,  in  Fig.  48  b  «tun  Ponkt  ver- 
kürzt, ist  die  auf  C  senkrechte  Qerade,  in  der  sich  die 
sechs  Nebensymmetrieebenen  Bchneiden.  Die  abwechselnd 
gleichen  Nebensymmetrieebenen  sind  A  nnd  B.  Die 
Winkel  folgen  ohne  weiteres  ans  Fig.  48  b,  wo  sich 
alle  Fl&chen  oa  tmter  120*  schneiden.  Ebenso  geht 
ans  der  Fignr  nach  der  Lage  an  der  Begrenzung  des 
SrjstallB    hervor,    daQ    die   Nebensymmetrieebenen  A 

und  B  je  ontereinander  gleichwertig,  aber  voneinander 

nnd  von  der  Haoptajmmetrieebene  C  verschieden  sein 
mässen. 

3.  Quadratisches  System.  2  4-  2  -l-  1  =  5 
Symmetrieebenen.  Ganz  analog  wie  im  hexa- 
gonalen  System  steht  die  eine  Symmetrieebene, 
die  auch  hier  die  Hauptsymmetrieebene  ge- 
nannt wird,  auf  den  vier  anderen  von  ihr  ver- 
schiedenen Tfebensymmetrieebenen  senkrecht. 
I»     .g  Diese  zerfallen  gleichfalls  in  zwei  GmppeD, 

hier  von  je  zweien  zueinander  senkrechten, 
von  denen  die  beiden  der  einen  Gruppe  die  Winkel  der  anderen 


EryBtallijBtemfl.  gS 

Gmppe  halbieren.  Je  zvei  aufeinander  folgende  NebensTnunetrie* 
ebenen  achlieBen  demnach  einen  Winkel  von  46 "  ein  und  alle 
Tier  schneiden  sich'  in  einer  zur  Haaptsjmmetrieebene  senkrechten 
Oeraden. 

Dia  Fig.  49k  tmd  49b  Stelleu 
einen  TolMIftchig  qaadntücben 
KrTStall  von  der  Seite  und  von 
oben  bebachtet  dkr.  C  ist  die 
Hanptsyminetneebene,  A  und  B 
Bind  die  beiden  Omppen  Ton 
Nebensjmmetrieebenea.  Ihre  ffe- 
genseitige  Lage  folgt  atu  den 
Fignren,  ihre  relfttiTe  Beschaffen- 
heit, Oleichheit  reap.  VerscUeden- 
heit,  ans  denselben  Qrilnden,  wie 
l)flim  bexagonalen  System. 

4  Bhombisches  System. 
1 +  14-1  ="3  verschieden- 
wertige  Symmetrieebenen 
A,  B,  C,  die  aofeinander 
senkrecht  stehen, 

Beispiel:  Fig.  50a  von  der 
Seite,  Fig.  60  von  oben.  A,  B,  C 
sind  die  drei  Symmetrieebenen, 
die    lidi    in    drei    aufeinander 


•enkiechteu  Oetttden  c 


e  schneiden. 


Flg.  51. 


5.  Monokiinea  System.    1  Symme- 
trieebene. 

Beispiel:  Angit:  Fig.  61.     (Aach  Oips, 
Fig.  86.) 

6.  Trü^mes  System.   0  Symmetrie- 


(Anch  Kapfer- 


Beispiel :  Axinit  (Fig  6! 
Titriol  Fig.  36.) 


Fig.  6S. 


80.  6reBiforHea<  Zuweilen  findet  man,  daO  Formen,  denen  faktisch  eine  niedere 
Symmetrie  ankommt,  sich  in  der  allgemeinen  FlScheuanordniuig  und  in  den  Winkelver- 
bUtmasen  so  sehr  einer  Form  mit  höherer  Symmetrie  nUem,  daB  ihnen  olme  die 
genanest«  Untersnchnng  Jene  hOhere  Symmetrie  rageschrieben  werden  mOQte.  So 
bratallisiert  der  LeucU  in  Formen,  die  derart  einem  soj:-  regnlftren  Ikositetra- 
eder  (Fig.  M  (102))  gleichen,  dafi  man  du  Hiner^l  frflher  für  regnl&r  gehalten 
nnd  solche  regnIKre  Farmen  Leucitoedar  genannt  hat.  Tatsloblich  sind  aber 
die  Formen  des  Lencit«  quadratisch  nnd  twar  Kombinationen  eines  Oktaeders  mit 
einem  Dioktaeder  (183,  134).  Erystallformen  dieser  Art  nennt  man  Orenzformen, 
die  gaose  Erscheinung  Paeado^i/mmetrie.  Der  Leudt  wäre  demnach  pieudoregtUar. 
Der  Camaäit  bildet  rhombische  Krjstalle,  die  sich  in  hohem  Qrade  gewissen  bexa- 
gonalen Formen  nlhem.  Es  sind  sechsseitige  Prismen,  die,  wenn  sie  wirklich  bexft- 
goual  wlren,  lanter  Kanten  von  120°  haben  mflQten,    In  Wirklichkeit  sind  aber  diese 


g4  ErystaUklaasen.    Übersicht. 

]S^9]iteii  nur  sehr  nahezu  120®  und  zwar  amd  zwei  =  118®  36',  die  yier  anderen 
s=s  120®  42'.  Anch  die  Endbegrenzimg  hat  scheinbar  und  sehr  nahe  die  Symmetrie 
hexagonaler  Erystalle.  Der  Camallit  kann  also  als  pseudokeaxigonal  bezeichnet 
werden.  Andere  rhombische  Erystalle  bilden  Formen,  die  solchen  des  quadratischen 
Systems  sehr  ähnlich  sind.  Dies  ist  z.  B.  der  Fall  bei  dem  KaücurangUmmer 
(Autunit),  der  danach  paeudoqwtdratisek  wftre.  Manche  Erystalle  des  monoklinen 
Biotit  sind  pseudorhomhoedrUch  etc.  Ähnliche  Pseudosymmetrieen  können  auch 
durch  Zwillingsbildung  zu  stände  kommen  (Himesie),  wovon  unten  noch  weiter  die 
Bede  sein  wird  (171). 

81.  Übersicht  über  die  82  Krystallklaggen«  In  der  folgenden  Tabelle  sind 
die  32  möglichen  Erystallklassen  mit  ihren  Symmetrieelementen  übersichtlich  zu- 
sammengestellt; eine  genauere  Beschreibung  wird  unten  bei  der  Schilderung  der 
einzelnen  Erystallsysteme  (D.  ErystaUsysteme)  erfolgen.  Die  Elassen  sind  nach  den 
Ejrystallsystemen  geordnet,  und  bei  jedem  ist  das  kiystallographische  Achsenschema, 
wie  wir  es  unten  (84,  85)  näher  kennen  lernen  werden,  beigelegt.  In  jedem  Erystall- 
system  ist  die  yoUflächige  Elasse  mit  ihren  Symmetrieelementen  vorangestellt.  Aus 
ihr  sind  dann  zunächst  die  hemiedrischen,  und  aus  diesen  weiterhin  die  tetarto- 
edrischen  etc.  Elassen  durch  Wegfallen  der  entsprechenden  Symmetrieelemente,  in 
erster  Linie  der  Symmetrieebenen  abgeleitet.  Die  Symmetrieelemente  sind  nach 
ihrer  Wertigkeit  gruppiert,  wobei  z.  B.  die  Bezeichnung  „2  -{-  2  -f- 1  Symmetrieebenen*' 
bedeutet,  daß  zwei  Gruppen  von  je  zwei  gleichen  Symmetrieebenen  vorhanden  sind, 
dazu  noch  eine  einzelne  von  allen  anderen  verschiedene.  Die  beim  Eintreten  der 
Hemiedrien  weggefallenen  Symmetrieelemente  werden  dann  mit  0  bezeichnet,  so  dass 
in  dem  vorigen  Beispiel  hinter  der  vollflächigen  Elasse  mit  „2  -f-  2  -f-  ^  Symmetrie- 
ebenen^  das  Schema  „2  -{-  2  +  0  Symmetrieebenen*',  das  Wegfallen  der  einen  einzelnen 
Symmetrieebene  bei  gleichzeitiger  Erhaltung  aller  übrigen  bedeuten  würde.  Die 
Tetartoedrien  lassen  sich  aus  den  Hemiedrien  meist  in  verschiedener  Weise  ableiten, 
wie  sich  durch  Vergleichnng  der  einzelnen  Schemata  meist  ohne  Schwierigkeit  er- 
gibt. Im  quadratischen  System  führen  einige  an  sich  mögliche  Gruppierungen  von 
Symmetrieelementen  nicht  zu  teilflächigen  Elassen,  da  die  aus  ihnen  hervorgehenden 
Flächenanordnungen  der  Symmetrie  des  quadratischen  Systems  widersprechen.  So 
ist  eine  quadratische  Hemiedrie  mit  2  -f-  0  -f- 1  Symmetrieebenen  aus  diesem  Grunde 
unmöglich.  Für  jede  Elasse  ist  ein  Beispiel  aus  dem  Mineralrdch,  in  Ermangelung 
dessen  aus  der  Reihe  der  künstlichen  Erystalle  (dann  in())  angeführt  Für  ein- 
zelne Elassen  ist  bisher  überhaupt  noch  kein  Repräsentant  gefunden  worden,  was  in 
der  Tabelle  durch  „fehlf  vermerkt  ist. 

Wie  schon  erwähnt,  handelt  es  sich  hier  zunächst  nur  um  eine  vorläufige 
Übersicht  Eine  genauere  Erläuterung  der  in  der  Tabelle  dargestellten  Verhältnisse, 
namentlich  eine  Beschreibung  der  zu  den  einzelnen  Elassen  gehörigen  Erystall- 
formen,  wird  in  den  folgenden  Paragraphen  und  Abschnitten  gegeben  werden.  Yergl. 
auch  (79). 


Kryatallklanen.    Übersicht. 


85 


Krystallsysteme 

und 
Krystallklasden. 

Symmetrie- 
ebenen. 

Symmetrieachsen. 

Symme- 

trie- 
centmm. 

Beispiele. 

1.  Reguläres  System. 

a:a:a;  a/a==90®. 

1.  YoOfiächige  Klasu. 

3+6  =  9 

3  4-zählige  tetra- 
gonale. 

4  3-z&hlige  trigo- 
nale. 

6  2-zfthlige   digo- 
nale. 

vor- 
handen. 

Flußspat, 
Bleiglanz. 

Hemiedrien. 

i 

2.   Tetraedrisch-hemiedri- 
sehe  Klasse. 

0  +  6  =  6 

8  2-zfthlige   ||  den 
tetragonalen. 

4  3-zahlige    trigo- 
nale. 

0  2-z&hlige   digo- 
nale. 

fehlt. 

Fahlerz. 

3.  Fyritoedrisch  '  hemi- 
ednseke  Klasse. 

3  +  0  =  3 

3  2-zählige  ||  den 
tetragonalen. 

4  3-zfthlige   trigo- 
nale. 

0  2-zählige   digo- 
nale. 

vor- 
handen. 

Schwefelkies. 

4.   Oyroedrischrkemiedri- 
sche  Klasse. 

0  +  0  —  0 

3  4-zählige    tetra- 
gonale. 

4  3-zählige    trigo- 
nale. 

6  2-zählige    digo- 
nale. 

fehlt. 

Salmiak. 

Tetartoedrie» 

5.   Tetartoedrische  Klasse. 

0  +  0  =  0 

3  2-zählige  j    den 
tetragonalen. 

4  3-zählige    trigo- 
nale. 

0  2-zählige    digo- 
nale. 

fehlt. 

üllmannit. 

86 


Erystallklassen.    Übersicht 


KrystallBysteme 

und 
Krystallklassen. 


II.  HexagonalesSystem. 

a:a:a:c;  a/a=:60®, 
a/c  =  90». 

6.  VoUflächige  Klane, 

HeniieärieiU 

7.  Trigonal'hemiedrische 
Klasse, 


8.  Pyramidal  -  hemiedri' 
sehe  Klasse. 


9.  Voüftächig-hemimorfhe 
Klasse, 


10.  KhomboeäHsch'hemi' 
edrisehe  Klasse. 


11.  Trajpezoedriseh'hemi- 
ednsche  Klasse. 


Tetartoedrien. 

12.  Trigonal  -  Utartoedrir 
sehe  Klasse. 


13.  Ehamboedrisch-hemi- 
morphe  Klasse, 


14.  Bhofnhoedrisdi'tetart<h 
edrisehe  Klasse. 


16.  Trapezoedrisch-teUurto- 
edrtsche  Klasse. 


16. 


J^/ramidal-hemifnorphe 
JSlasse, 


Ogdoeärie. 

17.  JJemimor;»^  -  ^etor^ 
edrisehe  KlasH. 


Symmetrie- 
ebenen. 


3+3+1=7 


3+0+1  =  4 


0+0+1=1 


3+3+0=6 


3+0+0=3 


0+0+0=0 


0+0+1=1 


3+0+0=3 


0+0+0=0 


0+0+0=0 


Symmetrieachsen. 


1  6-SB&hlige  Hanpt- 
symmetrieachse. 

3+3  2-2&hligeNe- 
ben8ym.acäen. 

1  3-zählige  Hanpt- 
symmetrieachse. 

3-^0  2-zähligeNe- 
Den8ym.acluen. 

1  6-E&hlige  Hanpt- 
symmetrieachse. 

0+0  2.z&hÜgeNe- 
Densym.afchsen. 

1  6-z&hlige  Haapt- 
symmetrieachse. 

0+0  2-zähligeNe- 
Den8ym.ach8en. 

1  3-zähIige  Haupt- 
Symmetrieachse. 

3+0  2-zähligeNe- 
bensym-achsen. 

1  6-Eählige  Haupt- 
symmetrieachse. 

34-3  2-zähligeNe- 
Densym.acäen. 


1  3-zählige  Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0  2-zShligeNe- 
Densym.acäen. 

1  3-zählige  Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0  2-zähligeNe- 
bensym.achBen. 

1  3-z&hlige  Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0  2-zähligeNe- 
bensym.ac]uen. 

1  3-zahlige  Hauptr 
Symmetrieachse. 

3-1-0  2-zählifi:e  Ne- 
bensym.achsen. 

0+0+0=0  1  6-zählige  Haupt- 
symmetrieachse. 
04-0  2-zähligeNe- 
Densym.acäen. 


0+0+0=0 


1  3-z&hlige  Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0  2-zahligeNe- 
bensym.acäen. 


Symme- 

trie- 
centnun. 


vor- 
handen. 


vor- 
handen. 


vor- 
handen. 


fehlt. 


vor- 
handen. 


fehlt. 


fehlt. 


fehlt 


vor- 
handen. 


fehlt 


fehlt 


fehlt 


Beispiele. 


Beryll. 


fehlt 


Apatit 


Jodsilber. 


Kalkspat 


(Doppelsalsv. 
reäitswein- 
sauremAnti- 
monyl-Banr- 
um  u.  Kau- 
umnitrat) 
fehlt 


Turmalin. 


Dioptas. 


Quan. 


Nephelin. 


(Überjodsau- 
res  Natrium.) 


Krystallklassen.    Übersicht 


87 


Krystallsysteme 

und 
Krystallklassen. 


III.  Quadratisches 
System. 

a:a:c;a/a=90»;a/c=90*. 
18.  VoUflächige  Klasse. 


Hemiedrien» 

19.  Pyramidal  -  hemiedri- 
sehe  Klasse. 


20.  VoUflächig-hmir 
morphe  Klasse. 


21.  Teiraedrisch'hemiedri' 
sehe  Klasse. 


22.  Trapezoedriseh'hemi' 
edrisehe  Klasse. 


TetartoedHen* 

23.  Pfframidal'hemp' 
morphe  Klasse. 


24.  Tetraedrisch  '  teiarUh 
edrisehe  Klasse. 


Syminetrie- 
ebenen. 


2+2+1=6 


0+0+1=1 


2+2+0=4 


2+0+0=2 


0+0+0=0 


0+0+0=0 


0+0+0=0 


Symmetrieachsen. 


1  4-Eählige  Hanpt- 
symmetrieachse. 

2+2  2-2&hlige  Ne- 
bensymmetrie- 
achsen. 


1  4-sfthlige  Haupt- 
Symmetrieachse. 

0+0  2-2&hligeNe- 
bensymmetrie- 
achsen. 

1  4-2&hl]ge  Hanpt- 
symm  etrieachse. 

0+0  2-zfthlige  Ne- 
bensymmetrie- 
achsen. 

1  2-zählige  Haaptr 
symmetrieachse. 

2+0  2-sfthlige  Ne- 
bensymmetrie- 
achsen. 

1  4-zählige  Haupt- 
Symmetrieachse. 

2+2  2-2&hligeNe- 
bensymmetrie- 
achsen. 


1  4-zählige  Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0  2.ssahlige  Ne- 
bensymmetrie- 
achsen. 

1  2-9sählige  Haupt- 
symmetrieachse. 

0+0  2.KfthligeNe- 
bensymmetrie- 
achsen. 


Symme- 
trie- 
centrum. 


vor- 
handen. 


Tor- 
handen. 


fehlt. 


fehlt 


fehlt 


fehlt 


fehlt 


Beispiele. 


Yesuyian. 


Scheelit. 


(Succii^od- 
imid.) 


Kupferkies. 


(Schwefel- 
saures 
Strychnin. 


Gelbbleien? 


fehlt 


88 


Krystallklassen.    Übersicht. 


KrystallBysteme 

und 
Erystallklassen. 


IV.  Rhombisches 
System. 

a :  ö :  c  j  ajb  ^hjc  =  clas 
90« 

25.  Voüflächige  Klasse, 

Hemiedrien. 

26.  Semimarphe  KUuae. 

27.  Tetraedrisch  -  hemu 
edrisehe  Klane, 


V.  Monokiines  System. 

a\h',c;  alb  =  blc  =  90^; 

ajc  =  ß, 

28.  Voüflächige  Klasse. 

Hemiedrie* 

29.  Hemiedrische  Klasse. 

30.  Hemimorphe  Klasse, 


VI.  Triklines  System. 

alh  =  y, 

31.  Voüflächige  Klasse. 

S[&ntiedTi€* 

32.  Hemiedrische  Klasse. 


Symmetrie- 
ebenen. 


1+1+1=3 


1+1-1-0=2 
0+0+0=0 


0 


Symmetrieachsen. 


Symme- 

trie- 
centnun. 


1+1+1  2-zählige 


1+0+0  2-ztthHge 
1+1+1  2-z&hlige 


1  2-zählige 


0  2-z&hlige 


1  2-cählige 


0 


0 


vor- 
huiden. 


fehlt 


fehlt 


vor- 
handen. 


fehlt 


fehlt 


vor- 
handen. 


fehlt 


Beispiele. 


Schwerspat. 


Eieselsink- 
ers. 

(Bittersals.) 


Gips. 


(Tetrathion- 
saores  £a- 
linm.) 

(Bohrzncker.) 


Axinit 


(Unterschwe- 
fliesanres 
Calciam.) 


Krystallographische  Achgen.  89 

82.  Krystallograplilsclie  Achsen.  Nachdem  wir  nunmehr  die 
Symmetrieverhältnisse  der  Erystalle  eingehend  kennen  gelernt  haben^ 
müssen  wir  noch  einmal  anf  die  Achsen  zurückkommen,  die  man  ihnen 
nun  Zweck  einer  genaueren  Untersuchung  unterzulegen  pflegt.  Wir 
haben  oben  (30ff.)  die  allgemeinen  Verhältnisse  der  Erystallachsen  kennen 
gelernt  und  gesehen,  daß  man  auf  jedes  Achsensystem,  das  von  mög- 
lichen Kanten  eines  Erystalls  gebildet  wird,  die  Flächen  mit  rationalen 
Ableitungszahlen  (Indices)  beziehen  kann.  Solcher  Achsensysteme  sind 
f&r  jeden  Erystall  unendlich  viele  möglich,  man  pflegt  aber  stets 
unter  den  möglichen  fdr  den  praktischen  Gebraach  eines  auszuwählen, 
dessen  Achsen  nach  Richtung  und  Größe  so  beschaffen  sind,  daß  seine 
Symmetrie  dieselbe  ist,  wie  die  des  Erystalls  selbst,  sowohl  was  die 
Zahl,  als  was  die  gegenseitige  Lage  der  Symmetrieebenen  anbelangt,  und 
zwar  so,  daß  zu  gleicher  Zeit  jede  Symmetrieebene  des  Achsensystems 
mit  einer  entsprechenden  des  Erystalls  zusammen^lt.  Aus  der  Üb^- 
einstimmung  der  Symmetrieebenen  folgt  dann  von  selbst  eine  ebenso 
vollkommene  Übereinstimmung  der  S]rmmetrieachsen  im  Erystall  und  im 
Achsensystem,  Man  kann  diese  Übereinstimmung  der  Symmetrie  in 
allen  Fällen  bewerkstelligen,  indem  man  zweckmäßig  gelegene  Sym- 
metrieebenen  der  Erystalle,  welche  ja  stets  möglichen  Flächen  parallel 
gehen  (53),  als  Achsenebenen  wählte  wobei  stets  einander  gleiche  Sym- 
metrieebenen auch  in  gleicher  Weise  zur  Verwendung  gelangen. 
Andere  passend  gelegene  Flächen  werden  als  Einheitsflächen  ge- 
nommen. Wenn  die  Symmetrieebenen  nicht  ausreichen,  wie  im  mo- 
noklinen  und  triklinen  System,  nimmt  man  noch  andere  Erystallflächen 
dazu,  und  man  findet  leicht  solche,  welche  die  Anforderung  erfBUen, 
daß  die  von  ihnen  gebildeten  Eanten  ein  mit  dem  Erystall  in  der 
Symmetrie  übereinstimmendes  Achsensystem  geben. 

In  den  meisten  Fällen  hat  man  sogar  die  Auswahl  zwischen 
mehreren  Achsensystemen,  welche  den  Anforderungen  der  Symmetrie  in 
gleich  vollkommener  Weise  genflgen.  Nur  im  regulären  System  ist  die 
Lage  der  Achsenebenen  und  die  der  Einheitsfläche  durch  die  Symmetrie 
ein  f&r  allemal  fest  bestimmt.  Bei  allen  Erystallsystemen  kann  man 
ein  ihren  Symmetrieverhältnissen  entsprechendes  Achsensystem  mittels 
drei  Achsen  darstellen,  nur  im  hexagonalen  System  sind  deren  vier 
erforderlich 

Ein  nach  obigen  Grundsätzen  gewähltes  Achsensystem,  welches 
mit  den  darauf  bezogenen  Erystallen  in  Betreff  der  Symmetrie  voll- 
kommen übereinstimmt,  heißt  ein  trjfgtallographisches  Achsensysiem. 

Bei  den  krystallographischen  Achsensystemen  genfigt  es,  sich  auf 
die  sechs  vollflächigen  Elassen  zu  beschränken.  Die  Flächen  der 
teilflächigen  Formen  liegen  ja  ganz  ebenso  gegeneinander,  wie  die 
der  holoedrischen,  aus  denen  sie  durch  Wegfallen  eines  Teils  der 


90  Erjstallographische  Achsen. 

Flächen  abgeleitet  werden  können.  Die  hemiedrischen  etc.  Formen 
lassen  sich  also  anf  dieselben  Achsen  beziehen,  wie  die  entsprechenden 
holoedrischen.  In  der  Tat  pflegt  man  anch  in  der  Praxis  fflr  die 
sämtlichen  Klassen  eines  nnd  desselben  Erystallsystems  die  Achsen 
ganz  übereinstimmend  zu  wählen  nnd  zwar  so,  daß  das  Achsensystem 
dieselbe  Symmetrie  hat,  wie  die  am  höchsten  symmetrische,  die  voll- 
flächige  Klasse  (Ausnahme  zuweilen  bei  der  rhomboedrisch-hemiedrischen 
Klasse  des  hexagonalen  Systems  (124) ).  Bei  den  zugehörigen  hemiedri- 
schen Krystallen  ist  dann  natürlich  die  Symmetrie  niedriger,  als  bei 
dem  Achsensystem,  da  ihnen  ja  ein  Teil  der  Symmetrieelemente  der 
zugehörigen  holoedrischen  fehlt ;  namentlich  treten  bei  ihnen  meistens 
die  Achsenebenen  nicht  mehr  oder  doch  nicht  mehr  alle  als  Symmetrie- 
ebenen auf. 

Nach  dem  Vorhergehenden  können  alle  demselben  Krystallsystem 
angehörigen  voUflächigen  nnd  teilflächigen  Formen,  auf  dasselbe 
krystallographische  Achsensystem,  d.  h.  Achsensystem  mit  denselben 
Symmetrieverhältnissen,  bezogen  werden,  während  den  Formen  anderer 
Krystallsysteme  Achsen  mit  anderer  Symmetrie  untergelegt  werden 
müssen.  Man  kann  danach  auch  umgekehrt  sagen :  Ein  KrystaUsj/stem 
ist  der  Inbegriff  aller  derjenigen  voUflächigen  und  teüflächigen  Formen^ 
die  sich  auf  krystallographische  Achsensysteme  mit  derselben  Symmetrie 
beliehen  lassen. 

88.   Toll-  und  teilflächige  Krystallformeii   an  den  Aehsen. 

Treten  an  einem  krystallographischen  Achsensystem  die  sämtlichen 
durch  dessen  Symmetrie  erforderten  und  nach  der  Symmetrie  zu- 
sammengehörigen Flächen  in  gleicher  Beschaffenheit  auf,  so  erhält 
man  einfache  Formen  von  der  höchsten  in  dem  betreffenden  Falle  an 
dem  Achsensystem  überhaupt  denkbaren  Symmetrie.  Es  sind  die  ein- 
fachen Formen  der  holoedrischen  Klasse  des  durch  das  Achsenkreuz  dar- 
gestellten Krystallsystems.  Hemiedrische  einfache  Formen  entstehen, 
wenn  solche  Flächen  an  demselben  Achsensystem  nur  in  den  abwechseln- 
den Raumabschnitten,  also  nur  in  der  Hälfte  der  Oktanten  oder  Dode- 
kanten  auftreten,  oder  wenn  dies  in  jedem  einzelnen  Eaumabschnitt 
nur  mit  der  Hälfte  der  durch  die  Symmetrie  gegebenen  Flächen  der 
Fall  ist.  Diese  können  in  den  einzelnen  Oktanten  etc.  wieder  auf 
verschiedene  Art  angeordnet  sein,  so  daß  bald  die  eine,  bald  die 
andere  Gruppe  der  Symmetrieelemente  der  Achsen  an  dem  Flächen- 
komplex nicht  zur  Ausbildung  gelangt.  Dadurch  erhält  man  die  ver- 
schiedenen Hemiedrieen  und  die  verschiedenen  Gesetze  der  Hemiedrie 
in  der  Weise,  wie  oben  besprochen  worden  ist  (70  ff).  Ganz  analog  sind  die 
hemimorphen,  tetartoedrischen  und  ogdoedrischen  Formen  in  ihrem 
Auftreten  an  den  Achsen  zu  beurteilen.    Bei  der  Betrachtung  der 


Krystallographische  Achsen.  91 

Erystallsysteme  mit   ihren  verschiedenen  Klassen  werden  wir   das 
Nähere  hierüber  kennen  lernen. 

8i«  Ableitung  der  krystallograplüsoheB  Aohsensysteaie.  Bei  regulärm 
KrystaUen  mnß  man  die  drei  aufeinander  senkrechten  Hanptsymmetrieebenen  A  (79) 
als  Achsenebenen  (Fnndamentalflächen)  nehmen.  Diese  schneiden  sich  in  drei  gleichen 
aufeinander  senkrechten  Linien,  den  Achsen.  Da  alle  drei  Achsenebenen  und  Achsen  ein- 
ander gleich  sind,  so  gibt  es  jedenfalls  der  Symmetrie  gemäß  nach  dem  Haüyschen 
Symmetriesatz  (70)  eine  FlSchei  welche  sie  alle  drei  gleich,  d.  h.  so  schneidet,  daß 
sie  die  drei  Achsenebenen  unter  gleichen  Winkeln  trifft,  und  daß  sie  infolgedessen 
Ton  den  Achsen  gleiche  Stücke  a  abschneidet.  Diese  Fläche  muß  als  Einheitsfläche 
gewählt  werden.  Das  krystallographische  Achsensystem  der  regulären  Erystalle  be- 
steht dann  aus  drei  aufeinander  senkrechten  und  gleichlangen  Achsen  a,  a,  a.  Daß 
ein  solches  Achsensystem  in  der  Tat  die  Symmetrie  der  regulären  ErystaUe  besitst, 
ist  leicht  einzusehen. 

Ln  gmdrcUiachen  System  wählt  man  zwei  aufeinander  senkrechte  und  gleiche 
Nebensymmetrieebenen  A  oder  B  (79)  und  dazu  noch  die  auf  jenen  beiden  senkrechte 
und  Ton  ihnen  yerschiedene  Hauptsymmetrieebene  C  als  Acbsenebenen.  Sowohl  die 
zwei  Flächen  ii,  als  die  zwei  Flächen  B  geben  je  mit  C  drei  aufeinander  senk- 
rechte Kanten  als  Achsen,  Ton  welchen  die  beiden  AlC  =  a  (resp.  BJC  =  b)  gleich- 
wertig und  von  der  dritten  AjA  (oder,  was  dasselbe  ist,  BjB)  =  c  yerschieden  sind. 
Solche  einzig  dastehenden  Achsen  c,  welche  von  mehreren  anderen  unter  sich  gleich- 
wertigen a  resp.  b  yerschieden  sind,  nennt  man  allgemein  ^auptocAsen,  jene  gleich- 
wertigen Achsen  a  resp.  b  Nebenacksen.  Im  quadratischen  System  hat  man  also  die 
Wahl  zwischen  zwei  Achsensystemen  a^  a,  c  und  b,  6,  c,  welchen  beiden  die  Haupt- 
achse c  gemeinsam  ist»  während  die  Nebenachsen  a  und  b  fttr  beide  Achsensysteme  in 
einer  zu  c  senkrechten  Ebene  liegen  und  sich  in  dieser  wie  die  Nebensymmetrie- 
ebenen  unter  46®  schneiden.  Was  die  Längen  der  Achsen  a  resp.  b  und  c  betrifft,  so 
muß,  es  mögen  die  Flächen  A  oder  B  neben  C  als  Achsenebenen  gewählt  sein,  die 
Symmetrie  Flächen  zulassen,  welche  von  den  beiden  gleichen  Nebenachsen  a,  resp.  b 
gleiche  Stücke  a,  resp.  b  abschneiden,  von  der  Hauptachse  dagegen,  welche  von  jenen 
Terschieden  ist,  ein  anderes  Stück  c;  irgend  eine  solche  Fläche  wählt  man  als  Einheits- 
fläche. Man  erhält  dann  als  quadratisches  Achsensystem  zwei  gleichlange  und  auf- 
einander senkrechte  Nebenachsen  a,  resp.  &,  und  eine  davon  verschiedene  auf  den 
Achsen  a  und  b  senkrechte  Hauptachse  c.  Ein  solches  Achsensystem  hat  wieder 
genau  dieselbe  Symmetrie,  wie  die  quadratischen  ErystaUe  selbst. 

Ganz  analog  hat  man  bei  der  Wahl  der  Achsen  hexagtmdUr  ErystaUe  zu  ver- 
fahren. Hier  müssen  aber  die  drei  gleichwertigen  Nebensymmetrieebenen  A,  resp.  B 
neben  der  Hauptsymmetrieebene  C  genommen  werden.  Mui  erhält  dann  drei  gleich- 
wertige Nebenachsen  a,  resp.  5,  die  sich  in  einer  mit  C  parallelen  Ebene  unter  60® 
schneiden,  und  eine  darauf  senkrechte  Hauptachse  c,  durch  die  die  sämtlichen  Neben- 
symmetrieebenen A  und  B  hindurchgehen.  Mittels  dreier  Achsen  läßt  sich  die 
Symmetrie  der  vollflächigen  hexagonalen  Erystalle  nicht  darstellen.  Statt  eines 
trimttn»chen  Achsenkreuzes,  wie  bei  den  anderen  ErystaUsystemen,  ist  hier  ein  aus 
vier  Achsen  bestehendes  tetramdrisches  erforderlich. 

In  rhombischen  ErystaUen  geben  die  Durchschnitte  der  drei  aufeinander  senk- 
rechten ungleichen  Symmetrieebenen  A,  B  und  C,  die  drei  aufeinander  senkrechten, 
aber  voneinander  verschiedenen  Achsen  BjC  =  a,  C/A  =  b  und  A/B  =  c  der 
Richtung  nach  (79).  Jede  beliebige,  diese  drei  Achsen  im  Endlichen  schneidende 
Fläche  des  Erystalls  kann  als  Einheitsfläche  dienen;  sie  schneidet,  der  Symmetrie 
entsprechend,  von  den  Aohsoi  die  drei  ungleichen  Stücke  a,  b  und  c  ab. 

In  monoMinen  Erystallen  ist  stets  die  Symmetrieebene  die  eine  der  drei  Achsen- 


92 


Erystallographische  Achsen. 


ebenen.  Dazu  wtthlt  man  noch  zwei  beliebige  aaf  ihr  senkrechte  Krystallflftchen  als 
Achsenebenen  nnd  erhält  dann  drei  voneinander  yerschiedene  Achsen  a,  6,  c,  von 
welchen  zwei  in  der  Symmetrieebene  liegen  nnd  sich  unter  einem  schiefen  Winkel  ß 
schneiden,  während  die  dritte  der  Symmetrieachse  parallel  ist  nnd  auf  jenen  beiden 
senkrecht  steht.  Jede  beliebige  Fläche,  welche  alle  drei  Achsen  schneidet  kann  als 
Einheitsfläche  genommen  werden. 

Bei  iriiJidi'Mn  Erystallen  geben  drei  beliebige  nur  in  einem  Punkt  sich  schneidende 
Flächen  die  drei  ungleichen  und  zueinander  schiefwinkligen  Achsen  a,  6,  c\  jede 
beliebige  diese  drei  Achsen  schneidende  Fläche  kann  als  Einheitsfläche  auftreten. 

85.  Krystallograpliiselie  Aehsen  für  die  einzelnen  Krystall- 
systeme.  Darnach  sind  die  fiir  die  einzelnen  Erystallsysteme  zu 
wählenden  natürlichen  Achsensjrsteme  die  folgenden : 

1,  Reguiäres  System.  Drei  gleiche  Achsen  a,  a^  a  stehen  aufein- 
ander senkrecht  (Fig.  53).    Achsenschema:  a:a:a;  a/a  =  90^. 

I 


-«^8/ 


in. 

Fig.  63. 


r- 


r" 


.^a 


j£ 

Fig.  55. 


2.  Hexagonales  System.    Drei  gleiche  Nebenachsen  a,  a,  a  liegen  in 

einer  Ebene  und  schneiden  sich  unter  je  60^;  die  Hauptachse  c  steht  auf 

ihnen  senkrecht  (Fig.  54).  Achsenschema :  a :  a :  a :  c ;  a/a  =  60® ;  a/c = 90®- 

Für  die  Krystalle  der  rhomhoedrisch-hemiedrischen  Klasse  werden  nicht  selten 
besondere  Achsen  benützt,  von  denen  bei  der  speziellen  Beschreibung  des  hexagonalen 
Systems  unten  noch  weiter  die  Bede  sein  wird  (124). 

3.  Quad/ratisches  System.  Zwei  gleiche  Nebenachsen  a,  a  und  die 
davon  verschiedene  Hauptachse  c  stehen  aufeinander  senkrecht  (Fig.  55). 
Achsenschema:  a:a\c\  ala  =  alc  =  90^. 

4.  Bhombisches  System.  Drei  voneinander  verschiedene  Achsen  a,  6,  c 
stehen  aufeinander  senkrecht  (Fig.  56).  Achsenschema :  a:i:c]  afb==^ 
ft/c  =  cja  =  90^. 


^"T 


.^8/ 


V — ^^ 

t 


Fig.  66. 


>a 


Fig.  57. 


ir^''^^ 


Je 
Fig.  58. 


5.  MoMklines  System.  Von  den  drei  ungleichen  Achsen  a,  h^  c  machen 
a  und  e  einen  schiefen  Winkel  ajc  —  ß  miteinahder,  die  dritte  b  steht 


Krystallographische  Achsen.  93 

senkrecht  auf  a  und  c  (Fig.  57).  Achsenschema :  a :  & :  c ;  o/i = c/& = 90^ ; 

alc  =  ß. 

6,  Trääines  System,  Die  drei  ungleichen  Achsen  a,  b^  c  machen  die 
schiefen  Winkel  bjc  — =  a;  cja  =^  ß;  a/ft  =  y  miteinander  (Fig.  68). 
Achsenschema:  a:b:c;  blc  =  a;  cja  =  ß',  a(b=^y. 


86«  AekseneleaieBte.  Im  re^ftren  System  sind'  das  Verhältnis  der  Achsen 
a',a\a  nnd  die  Achsenwinkel  (=  90®),  also  die  Achsenelemente  (38),  ein  fUr  allemal 
fest  bestimmt  nnd  für  alle  Substanzen  konstant.  Die  einselnen  regulären  Erystall- 
formen  werden  daher  bei  gleichen  Ableitnngszahlen  (Indices)  an  allen  regulär 
krystallisierten  Substanzen  stets  mit  denselben  Winkeln  und  flberhaupt  genau  in  der- 
selben Qestalt  wiederkehren  müssen.  Bei  aUen  anderen  Kristallsystemen  sind  die 
Achsenelemente  für  die  verschiedenen  Substanzen  wechselnd  je  nach  der  Wahl  der 
Fundamental-  resp.  Einheitsflächen.  Für  eine  bestimmte  Wahl  dieser  letzteren 
hängen  die  Achsenelemente  auch  hier  nur  von  den  Flächenwinkeln  der  Erystalle  der 
betreffenden  Substanz  ab  und  werden  in  derselben  Weise,  wie  wir  es  oben  (38)  ge- 
sehen haben,  aus  diesen  berechnet.  Sie  sind  daher  auch  in  einem  solchen  krystallo- 
graphischen  Achsensystem  für  die  Substanz  charakteristisch  (38).  Ein  solches  krystaUo- 
graphisches  Achsensystem  gibt  aber  in  noch  h(}herem  Maße  ein  übersichtliches  Bild 
der  Krystallisation  einer  Substanz,  als  ein  von  beliebigen  Kanten  gebildetes,  weil 
durch  ein  solches  auch  die  Symmetrieverhältnisse  der  Krystalle  dargestellt  werden. 

87.  Oktanten^  Dodekanten.  Die  in  diesen  Achsensystemen  vor- 
handenen, von  je  drei  aneinander  stoßenden  Achsenebenen  gebildeten 
Baunabschnitte  (Oktanten,  im  hexagonalen  System  Dodekanten)  mttssen 
Ecken  des  Erystalls  entsprechen,  denn  die  Achsenebenen  sind  Flächen, 
die  Achsen  selbst  Kanten  desselben  parallel.  Alles,  was  für  Ecken  gilt, 
gilt  somit  anch  ffir  die  Eanmabschnitte.  Diese  sind  alle  von  der  Beihe 
nach  gleichen  Flächen  gebildet,  nämlich  von  den  drei  (resp.  vier)  Achsen- 
ebenen. Diese  schneiden  sich  in  den  Kanten  (Achsen)  entweder  nnter 
lanter  in  allen  Oktanten  der  Eeihe  nach  gleichen  Winkeln,  wie  in 
den  vier  ersten  Systemen,  dann  sind  die  sämtlichen  ßanmabschnitte 
einander  gleich ;  oder  die  Winkel  von  je  vier  Oktanten  sind  einander 
gleich  nnd  von  den  vier  anderen  verschieden,  wie  im  monoklinen 
System;  oder  aber  es  sind  nnr  je  zwei  diametral  gegenüberliegende 
Banmabschnitte,  welche  nur  im  Achsenmittelpnnkt  aneinander  stoßen, 
einander  gleich,  wie  im  triklinen  System. 

88.  Gruppierung  der  Fläehen  um  die  Achsen.  Ist  das  Achsen- 
system der  Symmetrie  entsprechend  in  der  angedeuteten  Weise  ge- 
wählt^ so  sind  die  Flächen  der  holoedrischen  Krystalle  um  dasselbe 
durchaus  symmetrisch  angeordnet,  da  ja  die  Krystalle  und  die  krystallo- 
graphischen  Achsensysteme,  auf  welche  sie  bezogen  werden,  in  dem 
Orad  der  Symmetrie  vollständig  miteinander  übereinstimmen  (82) 
und  die  Symmetrieebenen  des  Krystalls  mit  den  entsprechenden  Sym- 
metrieebenen des  Achsensystems  zusammenfallen.    Dies  ist  aber  nur 


94  KrTBtallographische  Aduen. 

möglich,  wenn  1q  allen  gleictLen  ßanmabscbnitteii  (Oktanten  oder  Dode- 
kanten)  der  krystallographischen  Achsenaysteme  gleich  viele  gleich- 
liegende  Flächen  Torhanden  sind,  dorch  welche  alle  gleichen  Achsen 
gleich,  d.  b.  in  den  gleichen  B^tfernnngen  vom  Achsenmittelpuakt,  also 
mit  gleichen  Ableitnngszahlen  oder  Indices  geschnitten  werden,  nnd 
wenn  ferner  alle  Flächen,  die  von  gleichen  Achsen  gleiche  Stttcke  ab- 
schneiden, in  allen  Raamabschnltten  einander  gleich  (8)  nnd  von  allen 
anderen  Flächen  verschieden  sind. 

Umgekehrt  haben  die  krjstallographischen  Achsensysteme  die 
Eigenschaft,  dafi  an  ihnen  sämtliche  gleiche  Flächen  bezit^angsweise 
gleiche  StUcke  abschneiden,  sonst  wäi-e  ja  die  Übereinstimmong  der 
Spnmetrie  gestQrt  Alle  Flächen  einer  einfachen  Form  erhalten  dem- 
nach dieselben  Ableitungszahlen  (Indices),  d.  h.  denselben  Achsenaos- 
drnck.  Dies  gilt  sowohl  für  die  holoedrischen  Formen  wie  für  die 
hemiedrischen.  Biese  letzteren  entstehen  ja  ans  jenen  dadurch,  daB 
ein  Teil  ihrer  Flächen  wegftUt,  wodurch  die  Achsenschnitte  (die  Sym- 
bole) der  bleibenden  nicht  geändert  werden. 

Beispiel.     Wir   hatten    schon   oben   (66)    du    Dioktatder    als    eine   einfache 
Eryatallform  kennen  gelernt    In  Fig.  59  ist  es  pergpektiyiach  von  der  Seite,  in 
Fig.  61  Tim  oben  gesehen  in  der  Horizontalprojektian  abgebildet.    Die  Beschreibung 
nnd  die  Abbildungen  lassen  erkennen,  daH  es  eise  vollflächige  Form  des  quadra- 
tischen Systems  mit  6  ^  2  -\-  2  -\-  1  Sjmmetrieebenen  ist     Die  Banptsjmmetrie- 
ebene   ist   die   gemeinsame   Onind- 
flftche  der   beiden    nach    oben    nnd 
nach  unten  gerichteten  Pyramiden, 
die  das  Dioktaeder  Easammenaetzen. 
Die  beiden   Gruppen  Ton    je    zwei 
Nebeusymmetrieebenen    sind    dnrch 
die  beiden  Kichtnngen  Oa,  resp.  Ob 
bestimmt,  die  nach  den  in  der  Hanpt- 
symmetrieebene  liegenden    abwech- 
selnd gleichen  Ecken  verlanfen.  Sie 
schneiden   sich    in  der  zur  Hanpt- 
symmetrieebene  senkrechten  Geraden 
ee  unter  4ö"  und  sind  ebenfalls  ab- 
wechselnd einander  gleich.   Die  Sjm- 
uietrieTerhältniase  entsprechen  also 
Fig.  69.  völlig  denen  der  Tollflächigeii  Formen 

des  quadratischen  Systems. 
Wenn  man  nun  dem  Dioktaeder  an  krystollographisches  Achsenaystem  unterlegen 
will,  so  muß  die  Hauptachse  jedenfalls  die  Gerade  cOc  sein,  in  der  sich  die  vier 
Nebeosymmetrieebenen  schndden.  Als  Nebenachsen  stehen  je  die  beiden  auf  dieser 
nnd  aufeinander  senkrechten  Richtiuigen  aOa,  resp.  bOb  lur  VerfOgong.  Wir 
w&blen  davon  die  beiden  Richtungen  aOa  und  unterscheiden  sie,  unbeschadet  ihrer 
krystallographiscben  Gleichwertigkeit,  der  Richtnng  nach  als  Oa  und  Da',  indem 
wir  gleichceitig  die  -|-  und  —  Äste  in  der  Weise  annehmen,  wie  es  ans  den  Figuren 
EU  ersehen  ist.  An  einem  solchen  Achsensystem  schneidet  jede  Fl&che  des  Diokta- 
eders,  von  sSmtlichen  Achsen  ungleiche  StDcke  ab.    Der  allgemeine  Flachenausdruck 


Erystallographische  Achsen.  96 

ist  demnach:  x  *  T '  T'  ^^  ^  ^™^  ^  ^^  ^^  ^^  ~l~  ^^^  —  ^^  ^^'  Nebenachsen 

Oa  nnd  Oa*,  l  sich  ebenso  anf  die  Hauptachse  Oc  bezieht 

Für  dieses  Achsensystem  sind  die  Symmetrieebenen  des  Krystalls  ebenfalls 
Symmetrieebenen;  der  Erystall  und  die  Achsen  stimmen  in  Beziehung  auf  die  Sym- 
metrie vollkommen  überein.    Schneidet  nun  eine  Mäche,  z.  B.  3,  auf  der  Achse  -|-  ^ 

em  Stück  -r-»  ^^  ^^  Achse  +  a'  ein  Stück  -^  ab|  so  kann  die  Symmetrie  nach  Ob** 

nur  bestehen,  wenn  die  Fläche  4  auf  -|-  Oa  ein  Stück -r-,  auf  +  a*  ein  Stück  j- 

c 
abschneidet,  wobei  beide  Flächen  durch  den  Punkt  der  Hauptachse  -y  gehen  müssen. 

Dadurch  sind  dann  die  gleichen  Achsen  a  und  a*  zunächst  in  dem  einen  Oktanten 

["h  ^  4~  ^'i  +  ^]  gi^ch»  jede  mit  den  beiden  Indices  h  und  k  geschnitten.    Da  auch 

Oa  und  Oa',  sowie  ab  Symmetrieebenen  sind,  so  muß  in  jedem  anderen  Oktanten 

ebenfalls  eine  solche  Gruppe  tou  zwei  Flächen  auftreten,  die  überall  von  den  Achsen 

a  a 

a  die  beiden  Stücke  -r-  und  -j-  abschneiden  und  die  die  Achse  c  oben  oder  unten  in 

e 
der  Entfernung  -j  treffen.    Alle  diese  Flächen  müssen  auch  der  Symmetrie  wegen 

notwendig  einander  gleich  sein.  Die  Übereinstimmung  von  Erystall  und  Achsen- 
system hat  also  in  der  Tat  zur  Folge,  daß  von  den  Flächen  des  ersteren  gleiche 
Achsen  gleich  (d.  h.  mit  gleichen  Indices  oder  Ableitnngszahlen)  geschnitten  werden, 
daß  in  gleichen  Baumabschnitten  (Oktanten)  gleich  viele  gleich  liegende  Flächen 
vorhanden  sind  und  daß  die,  gleiche  Achsen  in  gleicherweise  schneidenden  Flächen 
einander  gleich  sein  müssen.  Das  Achsensystem  hat  die  Eigenschaft,  daß  alle  Flächen 
des  Dioktaeders,  wenn  man  von  den  Vorzeichen  der  Achsenäste  absieht,  dasselbe  Symbol : 

Wir  haben  hier  den  einfachsten  Fall,  den  einer  einfachen  vollflächigen  Erystall- 
form  als  Beispiel  zu  Grunde  gelegt.  Der  kompliziertere  Fall  der  hemiedrischen 
Formen  und  femer  der  Kombinationen  ergibt  sich  hieraus  dann  von  selbst. 

89.  Ableitnng  der  elnfaehen  Formen  aus  den  krystallo- 
gTaphisehen  Aehsen.  Danach  kann  man  die  sämtlichen  an  einem 
beliebigen  krystallographischen  Achsensystem  möglichen  einfachen  voll- 
flächigen  Fonnen  (und  durch  deren  Vereinigung  alle  denkbaren  Kom- 
binationen) a  priori  ableiten,  indem  man  sich  zunächst  eine  Fläche  in 
sämtlichen  überhaupt  möglichen  Lagen  an  den  Achsen  auftretend  denkt 
und  jedesmal  alle  anderen  Flächen  dazu  konstruiert,  die  nach  der 
Symmetrie  daneben  noch  weiter  auftreten  mfissen.  Diese  entsprechen 
dann  den  obigen  Bedingungen  für  die  symmetrische  Gruppierung  yon 
Flächen  um  den  Achsenmittelpunkt:  1.  In  jedem  einzelnen  Raumab- 
schnitt müssen  auf  allen  gleichen  Achsen  von  den  auftretenden  Flächen 
gleiche  Stücke  abgeschnitten  werden.  2.  In  allen  gleichen  Raumab- 
schnitten müssen  gleich  viele  solcher  Flächen  vorhanden  sein.  3.  Alle 
in  dieser  Weise  zusammengehörenden  Flächen  müssen  einander  gleich 
sein.  Die  vielfachen  so  abgeleiteten  Formen  stimmen  mit  den  an  den 
natürlichen  Erystallen  direkt  oder  in  Kombinationen  beobachteten  auf 


96  ErjatallograpliiBche  Achoen. 

das  TollfitäiidJg:ste  fibereia.  Dabei  kann  man  sich  auf  die  Ableitung 
der  Tollfiächigen  Formen  beschränken.  Ans  diesen  ergeben  sich  die 
teilflächigen,  indem  man  eine  Anzahl  von  Flächen  nach  den  rer- 
schiedenen  Gesetzen  der  Hemiedrie  et«,  verscbwundea  denkt. 

90.   Beispiele.    Hat  man  z.  B.  ein  rliombiacheB  Achseiujitein,  gebildet  von  den 

diei  nogleichen  aoIelnaitdeT  senkrechten  Achsen  a,  h,  e  (Fi^.  60),  nnd  wird  dieses  von  einer 

Fläche  so  getroffen,   daß  diese  von  Allen  drei  Achsen 

ungleiche    endliche  Stticka   abschneidet,  dum  hat  sie 

im  Oktanten  [-|- a,-\-h,-\-c\  im  allgemeinen  den  Ans- 

dnick:  -r— F^ -T— i- :-r   !■    Dadurch  wird  die  Symmetrie 

+  A   +fc   +1 

in  diesem  einen  Oktanten  Tollst&ndig  erfilllt,  and  da 

alle  drei  Achsen  nngleich  sind,  so  kOnnen  von  ihnen  anch 

ganz  beliebige  ungleiche  Stficke  abgeschnitten  werden. 

p.     gQ  bi  demselben  Oktanten  ist  also  keine  weitere  Flfiche 

durch  die  STmmetrie  erfordert,  dagegen  muO,  da  hier 

alle  Oktanten  einander  gleich  sind,  eine  solche  Fläche,  welche  von  den  Achsen  a,h,e 

9tBcke  im  Verhälbus  "T"  '  T  '  T  "^^Bchneidet,  in  jedem  der  sieben  anderen  Oktanten 

auftreten.    Diese  befriedigen  dann  mit  jener  ersten  die  Symmetrie  vollständig  und 

alle  acht  Eusammen  begrensen  ein  sog.  rhotnbitcke»  Oktaeder,  wie  es  als  einfache 

Erystallfonn  an  rhombischen  Erystallen  häufig  vorkommt.    Die  acht  Flfichen  eines 

solchen  Oktaeders  haben  unter  Berücksichtigung  der  Yoreeicben  der  Acbsenabschnitte 

folgende  Ausdrücke: 


+h-  +  k-  +  i     "**  +h+k 

+  A-  — ft-  +  J  +h'  —  k 


-h—k 


-h-  +  k-  +  l  — A'  +  k 


=  hia 


Hat  man  dagegen  ein  quadratiseha  Achsensystem  mit  drei  rechtwinklig  sich 
schneidenden  Achsen,  von  denen  swei  einander  gleich,  a  und  a,  und  die  dritte  e 
davon  verschieden  (Fig.  6],  auf  die  Ebene  der  Neben- 
achsen projiziert,  so  daß  die  Achse  c  auf  dem  Papier 
senkrecht  steht)  und  tritt  daran  eine  Fliehe 
-T- : -^ : -T- auf ,  so  erfordert  hier  die  Symmetrie 
nach  bb,  die  im  rhombischen  System  nicht  vor- 
handen ist,  zQuächst,  daQ  in  demselben  Oktanten, 
wo  die  genannte  Fläche  sich  befindet,  noch  eine 
Eweite  durch -T-  gehende  Fläche    auftritt,   welche 

die  erst  in  -^  geschnittene  Achse  nun  in  -r-  schneidet 

_.     g.  und  umgekehrt.    Dann  ist  in  diesem  Oktanten  wieder 

V'      '  alles  symmetrisch,  danon  die  beiden  gleichen  Achsena 

anch  in  gleicher  Weise,    beide  sowohl  in  -r-,  als  in  ■?- geschnitten  werden.   Unter- 


Ableitung:  einfacher  Krystallfonnen  ans  den  Achsen.  97 

Bcbeidet  man  wieder,  um  iuizweident%  featmatellen,  zn  welcher  Achse  a  die  Indicea 
gehören,  die  von  rechts  nach  links  gebende  als  a'  von  der  Ton  vom  noch  hinten 

gehenden  a,  dann  sind  diese  swei  Fl&chen:  X'  "fc"  'T^^^  ""^"iT'X  '  'T^^^ 
(wenn  man  bei  der  Hillerschen  BeEeichnnngsweiae  Btet«  die  anl  a  bezfl^chen  In- 
dicea BD  erster,  die  auf  a'  beiflglichen  an  cweit«r  Stelle  schreibt).  Da  nnn  die  ait- 
deren  neben  Oktanten  dem  hier  betrachteten  gleich  sind,  so  mnß  in  jedem  derselben 
eine  soldie  G^ppe  von  xwei  FUchen  liegen,  welche  von  den  Achsen  a  Stücke  -^ 
und  -r-  nnd  von  e  das  Stück  -j-  abschndden,  and  man  erhSlt  die  schon  mehrfach 

betrachtete  16  flächige  Doppelp^ramide,  welche  als  Dioktaeder  bei  quadratischen 
Kristallen  als  einfache  Erjstallform  Torkommt  (Fig.  40  o.  &9}.  Die  Adsdrtkcke 
der  Fischen  derselben  sind  mit  BerQcksichtignng  der  Torceichen; 


+  k-  +  h-  +  l- 
+k'-—h'-+T  = 


=  kU 


+  h-  +  k 
+  k'  +  h 


-A'-f  ft 


WOxde  an  dem  quadratischen  Acbsensystem  eine  Flfiche  auftreten,  die  von  den 
beiden  Nebenachsen  gleiche  Studie  abschneidet,  nnd  also  den  Ansdmck :  x  ■  X '  T  ^  **' 
hat,  so  wVrde  sie  in  dem  betreffenden  Oktanten  die  Symmetrie  für  sich  allein  Toll- 
stSadig  erftUlen.  In  Jedem  Oktanten  müHte  eine  solche  Fltlche  liegen,  und  man 
wfirde  anch  hier  einen  oktaedrischen  KOrper  aber  von  etwas  anderer  Art,  als  an 
einem  rhombischen  Achsensj^tem,  ein  quadratische»  Oktaeder,  erhalten.  Nach  dem 
obigen  würden  die  Symbole  der  acht  Flächen  sich  ohne  Schwierigkeit  ergeben. 

In  einem  monoMinen  Achsensystem  sind  nnr  je  Ewei 
in  der  Symmetrieri)ene  (oc)  aneinanderstoliende  Oktanten 
nnd  die  iwei  diametral  gegenQberliegenden,  also  je 
vier  und  vier  einander  gleich  [Fig.  62),  und  Ewar  die 
vier,  in  welchen  der  Winkel  aje  =  fi,  dann  die  vier,  in 
welchen  der  Nebenwinkel  a/c  =  180*  — ;fl  ist.    Tritt  in 


Q  Oktant«n  eine  Flfiche  - 


r  auf,  so  er- 


fUlt  diese  in  demselben  wegen  der  Ungleichheit  der 
drei  Achsen  die  Symmetrie  gani.  Dagegen  ist  noch  je 
eine  Flfiche  in  dem  symmetrisch  anstoBenden  Oktanten 
nnd  in  den  ewei  diametral  gegenüberliegenden  Oktanten 
erforderiich,  nnd  es  entsteht  ein  tehiefes  Pritma  mit  rhom- 
Baaai,  HinanJoiti«. 


98  Gleichliegende,  gleichnamige  Flächen. 

biaehem   Quer9chniit,    wie  es   bei  monoklinen   Krystallen   sehr  häufig  vorkommt 
Dessen  Flächen  haben  die  Ansdrücke: 


^h'  +  k'  +  l  —h'  +  k'-^l 


91.  CHdeUiegende^  glelehnamige  FlSclieii.  Die  nach  der  Sym- 
metrie zu  einer  einfachen  Krystallform  gehörigen  Flächen  haben,  wie 
diese  Beispiele  zeigen,  alle  gegen  das  krystallographische  Achsensystem 
genan  dieselbe  Lage,  man  nennt  sie  daher  anch  gleichliegende  Flächen. 
Außerdem  sieht  man,  wenn  man  die  Ausdrücke  der  sämtlichen 
Flächen  der  angeführten  einfachen  Krystallformen  miteinander  ver- 
gleicht, daß  sie  vollkommen  übereinstimmen,  wenn  man  von  dem  Unter- 
schied der  +  und  —  Richtung  der  Achsen  absieht  und  wenn  man 
gleichermaßen  absieht  von  einer  Unterscheidung  der  gleichwertigen 
Achsen  a  und  af  in  Bezug  auf  ihre  Richtung.   Dann  erhält  man  für  alle 

Flächen  des  rhombischen  Oktaeders  (90)  den  Ausdruck  •  r  •  x  •  T  ~  (^^• 

An  den  Ausdrücken  für  die  Flächen  des  Dioktaeders  (90)  kann  man 
die  auf  beide  Nebenachsen  a  und  a'  bezüglichen  Indices  wegen  der 
Gleichheit  von  a  und  a'  vertauschen.   Auch  sie  stellen  sich  dann  alle  dar 

unter  der  Form :  t  •  T  •  T  "^  (*^^'  ^^  ^^^^  ^^^  ^^  ®^^^  ^^^^  andere 

Bedeutung  hat  wie  oben,  da  sich  die  Indices  hier  nicht  auf  ein  rhom- 
bisches, sondern  auf  ein  quadratisches  Achsensystem  beziehen.  Die 
Flächen  des  schiefen  rhombischen  Prismas  erhalten  an  dem  monoklinen 

Achsensystem  ebenfalls  alle  den  Ausdruck:^:  x  •  y  ^*  (^*0j  wo  natürlich 

(Jüe[)  wieder  eine  andere  Bedeutung  hat  wie  oben.  So  kann  man  alle 
Flächen  einer  jeden  einfachen  Krystallform  ausnahmslos  an  einem 
krystallographischen  Achsensystem  auf  denselben  Ausdruck  bringen,  der 
zugleich  von  den  Ausdrücken  aller  anderen  einfachen  Formen  ver- 
schieden ist.  Daher  nennt  man  die  Flächen  der  einfachen  Krystall- 
formen auch  gleichnamige  oder  isoparametrische  Flächen.  Man  kann 
dann  eine  jede  einfache  Krystallform  mit  Beziehung  auf  ein  in  der 
Symmetrie  mit  ihr  übereinstimmendes  Achsensystem  auch  definieren  als 
eine  Krystallform,  welche  von  lauter  gleichliegenden  und  daher  gleich- 
namigen (isoparametrischen)  Flächen  begrenzt  ist.  Diese  Definition  gilt 
aber  nur  für  ein  solches  krystallographisches  Achsensystem. 

Man  kann  dann  auch  jede  einfache  Krystallform  mit  dem  Aus- 
druck einer  ihrer  Flächen  bezeichnen,  welchen  man  zu  diesem  Zweck 
in  eine  runde  Klammer  schließt,  wenn  man  ihn  in  Millerscher  Weise 
schreibt ;  dadurch  erhält  man  den  Ausdruck  (das  Symbol)  dieser  Krystall- 


Kombinationen.    Modifikationen  der  Kanten  und  Ecken. 


99 


form.  So  ist :  t-  •  x  •  t  =  (*^  ^^^  Ausdruck  des  rhombischen  Oktaeders 
oder  des  schiefen  rhombischen  Prismas,  je  nachdem  sich  derselbe  auf 
ein  rhombisches  oder  monoklines  Achsensystem  bezieht ;  x  -  T  -  y  =  (^ 

ist  der  Ausdruck  des  Dioktaeders,  und  jr  •  t"  *  T  "^  (**^^  ^^^  Ausdruck 

eines  quadratischen  Oktaeders  an  einem  quadratischen  Achsensytem  etc. 
Fflr  das  Symbol  der  ganzen  Erystallform  pflegt  man  die  Fläche  zu 
wählen,  bei  der  ä  >  *,  resp.  im  regulären  System  ä  >  ä  >  t 

92.  Kombinationen.  Im  bisherigen  haben  wir  kennen  gelernt, 
wie  sich  mit  Hilfe  der  krystallographischen  Achsen  alle  einzelnen  ein- 
fachen Formen  jedes  Erystallsystems,  voUflächige  sowohl  wie  teil- 
flächige, ableiten  lassen.  Nunmehr  müssen  wir  sehen,  wie  sich  diese 
einfachen  Formen  miteinander  zu  Kombinationen  (9)  vereinigen.  Man 
kann  sich  dies  ganz  allgemein  geometrisch  so  vorstellen  —  in  der 
Natur  ist  der  Vorgang  natürlich  ein  ganz  anderer  — ,  daß  zwei  ein* 
fache  Formen  (und  weiterhin  auch  jede  beliebige  größere  Zahl) 
sich  gegenseitig  durchdringen.  Dabei  müssen  dann  die  Flächen 
der  einen  Form  an  den  Kanten  und  Ecken  der  anderen  mehr  oder 
weniger  große  Stücke  abschneiden.  Dieses  Abschneiden  geschieht  in 
verschiedener  Weise,  je  nach  der  Gestalt  der  beiden  kombinierten 
Formen.  Man  bezeichnet  es  als  die  Modifikation  der  Kanten  und 
Ecken.  Wir  haben  zuerst  diese  Modifikationen  genauer  kennen  zu 
lernen  und  die  bei  der  Krystallbeschreibung  allgemein  benützten  Be- 
nennungen, die  ihnen  beigelegt  worden  sind,  zu  erläutern,  und  schließen 
daran  die  Betrachtung  der  strengen  Gesetzmäßigkeiten  an,  welche 
die  Kombinationsbildung,  d.  L  die  Ableitung  der  Kombination  aus  den 
einzelnen  einfachen  Formen  beherrschen. 


98.  Modifikationen  der  Kanten  nnd  Ecken.  Eine  Kante  a(b 
heißt  abgestumpft  durch  die  Fläche  c,  wenn  diese  die  zwei  Flächen  a 
und  6  in  parallelen  Kanten  schneidet 
<mit  a  und  h  in  einer  Zone  liegt) 
(Fig.  63);  c  heißt  Abstumpfungs- 
fläche. Ist  ^  alc  =  -^  hjcy  so  ist 
die  Abstumpfung  gerade^  im  anderen 
Falle  schief,  Ist  neben  der  Fläche 
c  noch  eine  weitere  d  in  der  Zone 
[ab]  vorhanden,  die  die  Flächen  h 
und  c  in  parallelen  Kanten  schneidet 
(Fig.  64),  so  sagt  man,  die  Kante  afb  ist  durch  die  Flächen  c  und  d 


Fig.  63.. 


Fig.  64. 


7» 


100 


Kombinationsbildimg. 


eugeschäfft    Auch  hier  kann  die  Znschärfong  eine  gerade  oder  schiefe 
sein,  je  nachdem  ^  ajc  =  -^  6/rf  oder  nicht. 

Ist  eine  Ecke  (abc)  dnrch  eine  Fläche  d  ersetzt,  so  sagt  man,  die 
Fläche  stumpft  die  Ecke  ab  (Fig.  65),  nnd  zwar  wieder  entweder  ge- 
rade oder  schief,  je  nachdem  die  Abstompfnngsfläche  d  gleiche  oder 


Fig.  66. 


Fig.  66. 


Fig.  67. 


ungleiche  Winkel  mit  den  die  Ecke  bildenden  Flächen  a,  6,  c  macht 
Treten  statt  der  Ecke  mehrere  Flächen  auf,  so  heißt  die  Ecke  guge- 
spittft,  und  zwar  von  den  Flächen  ans  (Fig.  66)  oder  von  den  Kanten 
ans  (Fig.  67).  Die  Fläche  a  (Fig.  67)  heißt  auf  die  Kante  min  auf- 
gesetzt,  und  zwar  gerade,  wenn  -=5  alm  =  -4  ajn,  sonst  schief.  In  Fig.  66 
ist  die  Fläche  a  auf  die  Fläche  m  aufgesetzt 

94.  Gesetze  der  KombinatioiisMldiiiig.  Aus  einer  jeden  Kom- 
bination kann  man  die  in  ihr  vereinigten  einfachen  Formen  ableiten 
in  derselben  Weise,  wie  es  oben  (9)  in  der  Kombination  des  Würfels 
und  des  Oktaeders  geschehen  ist,  indem  man  je  alle  gleichen  Flächen 
zusammen  sich  ausgedehnt  denkt  bis  zum  gegenseitigen  Schnitt  der 
unmittelbar  benachbarten,  unter  gleichzeitigem  Verschwinden  aller 
übrigen.  Führt  man  dies  bei  einer  möglichst  großen  Zahl  von 
Krystallen  aus  und  untersucht  die  Kombinationen  selbst  sowie  die 
aus  ihnen  in  dieser  Weise  ableitbaren  einfachen  Formen  in  Bezug 
auf  ihre  Symmetrie,  so  findet  man  das  ganz  allgemein  gültige  Gesetz. 

Die  sämtlichen  in  einer  Kombination  vereinigten  einfachen  Krystattformen 
haben  stets  genau  die  gleiche  Symmetrie  (denselben  Symmetriegrad) j  und  die 
von  ihnen  gebildete  Kombination  stimmt  mit  ihnen  hinsichtlich  der  Symr 
metrie  ebenfciUs  vollkommen  überein  oder  mit  anderen  Worten:  -4.Zfe  0U 
einer  Kombination  verbundenen  einfachen  Formen  gehören  der  nämlichen 
KrystaHMasse  an,  und  zu  derselben  Klasse  gehört  auch  die  von  ihnen  ge- 
bildete Kombination, 

Es  kombinieren  sich  beispielsweise  nur  yollflächig-regnlSre,  oder  nur  tetraedrisch- 
oder  nur  pyritoedrisch-reguläre  einfache  Formen  je  miteinander,  und  die  entstandenen 
Kombinationen  sind  ebenfaUs  vollflächig-regulär,  resp.  tetraedrisch  oder  pjrritoedriscL 
Es  kombinieren  sich  jedoch  niemals  regulär-pyritoedrische  mit  tetraedrischen,  qua- 
dratische mit  hexagonalen  einfachen  Formen  etc.  Dabei  ist  aber  stets  zu  berück- 
sichtigen, daß,  wie  oben  schon  (76)  angedeutet  wurde  und  wie  wir  noch  weiter 
sehen  werden,  einzelne  einfache  Formen  mehreren  Krystallklassen  und  auch  mehreren 
Krystallsystemen  gleichzeitig  angehören  können. 


Kombinatio&Bbildaiig.  101 

Ein  Beispiel  für  die  erwähnte  Gesetzmäßigkeit  gibt  die  oben  (9)  besprochene 
Kombination  von  Oktaeder  o  nnd  Würfel  h  (Fig.  7),  in  der  stets  die  sämtlichen 
Kombinationskanten  o/A  einander  genan  gleich  sind.  Würfel  sowohl  wie  Oktaeder 
haben  3  -f-  ^  Symmetrieebenen  nnd  gehören  also  der  voUflächig-regnlären  Klasse  an. 
Dieselbe  Zahl  von  3  -f-  6  Symmetrieebenen  (nnd  sonstigen  Symmetrieelementen)  findet 
man  ebenfalls  ia  der  Fig.  71  abgebildeten  Kombination  beider,  nnd  zwar  anch  genau 
in  der  gleichen  Anordnung,  wie  in  den  beiden  einfachen  Formen.  Die  drei  Hanpt- 
symmetrieebenen  ziehen  in  der  Richtung  der  Diagonalen  der  Würfelflächen  h  und 
die  sechs  Nebensymmetrieebenen  in  der  Richtung  der  Höhenlinien  der  Oktaederflächen  o 
und  auf  den  Würfelflächen  h  parallel  mit  den  gleichen  Kanten  hfo.  Die  Kombination 
ist  somit  ebenfalls  der  yoUflächig-regulären  Krystallklasse  zuzurechnen.  Ähnliche 
Beispiele  werden  wir  im  Laufe  unserer  Betrachtungen  noch  in  großer  Zahl  kennen 
leinen. 

95.  SymmetrleyerliSltiiisse  der  Eombinationeii.  Wenn  diese 
völlige  Übereinstimmung  in  der  Symmetrie  zwischen  den  einfachen 
Erystallformen  nnd  den  von  ihnen  gebildeten  Kombinationen  möglich 
sein  soll,  dann  müssen,  wie  eine  einfache  Betrachtung  lehrt,  die  kom- 
binierten Formen  nicht  nur  gleiche  Symmetriegrade  besitzen,  sondern 
es  müssen  auch  in  der  Kombination  die  sämtlichen  Symmetrieebenen 
und  -achsen  der  einen  Form  parallel  mit  den  entsprechenden  Stücken  der 
anderen  sein,  da  eine  Abweichung  in  der  Symmetrie  der  Kombination 
von  der  der  einfachen  Formen  nur  dann  vermieden  werden  kann, 
wenn  sich  diese  mit  parallelen  Symmetrieelementen,  vor  allem  mit 
parallelen  Symmetrieebenen,  miteinander  vereinigen  und  gegenseitig 
durchdringen.  Durchdringen  sich  zwei  einfache  Formen,  die  in  der 
Symmetrie  miteinander  übereinstimmen,  so  daß  ihre  entsprechenden 
Symmetrieelemente  einander  nicht  beziehungsweise  parallel  sind,  dann 
kann  die  Kombination  unmöglich  dieselbe  Symmetrie  besitzen. 

96.  Bildung  der  Kombinationen.  Unter  Berücksichtigung  dieses 
Verhaltens  lassen  sich  alle  überhaupt  möglichen  Kombinationen  einer 
Krystallklasse  ohne  Schwierigkeit  konstruieren,  wenn  man  nur  die 
sämmtlichen  dazu  gehörigen  einfachen  Formen  kennt.  Die  Kom- 
bination zweier  einfacher  Formen  entsteht,  wenn  man  sie  mü  paräl- 
lehn  Symnietried>enen  ineinander  stellt.  Sie  durchdringen  sich  dann 
gegenseitig  und  die  Flächen  der  einen  modifizieren  die  Kanten  und 
Ecken  der  anderen  je  nach  den  speziellen  Verhältnissen  iu  verschie- 
dener Weise. 

Dasselbe  Eesultat  erhält  man  aber  auch,  indem  man  beide  ein- 
fache Formen  parallel  nebeneinander  aufstellt  und  sodann  die  Flächen 
der  einen  parallel  mit  sich  an  die  andere  hin  verschoben  denkt,  so 
daß  sie  ebenfalls  die  Kanten  und  Ecken  der  letzteren  modifizieren 
müssen. 

Infolge  der  gleichen  Symmetrie,  die  sich  ja  nicht  bloß  auf  die 
Flächen,  sondern  ebenso  auch  auf  die  Kanten  und  Ecken,  bezieht, 


102 


EombinEitioiubUdniig'. 


mfisaen  stete  Qmppen  gleicher  Kanten  and  Ecken  der  einen  einfachen 
Form  ebensovielen  glelclien  Flächen  oder  Flfichengrnppen  der  anderen 
der  Lage  nach  entsprechen.  Bei  der  Vereinigang  beider  einfachen 
Formen  auf  diese  oder  jene  Art  werden  dann  die  gleichen  Flächen 
oder  Fläcbengruppen  der  einen  einfachen  Form  jene  gleichen  Kanten 
ond  Elcken  der  anderen  alle  in  derselben  Weise  abstumpfen,  znschirfen 
oder  zuspitzen. 

97.  KoMbinatlOBsblldiuff.  Beispiele,  Einig«  Beispiele  werden  dlei  nSher 
erUntern. 

Die  beiden  einfachen  Fonnen  der  ToMächig-regnUren  ElasBe,  du  Oktaeder  o 
nnd  der  Würfel  h,  gind  in  Fig.  68  und  69  in  paralleler  Stellnng  dargestellt,  was  man 
danin  erkennt,  daü  in  beiden  die  drei  aofeinender  Benkrechten  DarchsdmittBlinien 
der  drei  Hanptsjmmetrieebenen,  m.  a.  W. :  die  drei  Achsen  (86),  (strichpunktiert  ge- 
zeichnet) miteinander  beiiehangaweise  parallel  laufen.  Die  sechs  gleichen  Fl&chen 
dea  WUrfeU  befinden  sich  dann  in  derselben  gegenseitigen  Lage,  wie  die  sechs 
gleichen  Ecken  dea  Oktaeders.  Jeder  Ecke  des  Oktaeden  entspricht  der  Lage  nach 
eine  der  Fl&chen  des  Warfels. 


Li 1 

^ 

h 

r 

Kg.  71. 


Denkt  man  sich  nun  die  briden  in  paralleler  Stellung  ineinander  geschoben, 
wie  es  Fig.  70  eeigt,  dann  stampft  jede  Wtkrfelfiache  die  entsprechend  liegende 
Oktaederecke  mehr  oder  weniger  stark  ab  ond  man  erhUt  als  gemeinschaftlichen 
Kern  beider  Körper  ihre  Kombisation,  die  in  Fig.  71  noch  einmal  büonders  abgebildet 
ist  Diese  nämliche  Kombination  müQte  man  aber  anch  erhalten,  wenn  man, 
Oktaeder  nnd  Würfel  parallel  nebeneinander  gestellt  gedacht,  jede  der  sechs 
FlBchen  des  letzteren  parallel  mit  sich  an  das  Oktaeder  hin  Terschieben  würde.  Sie 
müßten  dann  je  die  der  Lage  nach  entsprechenden  Oktaederecke  abstumpfen,  deren 


EoubinatioTubildnng,  103 

jft  gldchfftllfl  sechs  TorhEuiden  eind.  Aach  rnnll  die  Äbstumpfang'  der  Ecken  eilw 
f^rade  sein,  denn  die  Symmetrie  verlangt,  AtÜ  alle  Kombiiuttionskaiiten  h/o  ein* 
ander  gleich  sind. 

DiDgekehrt  liegen  aber  auch  die  acht  gleichwertigen  Eclien  des  WOrfelg,  wie 
die  acht  ebenfalls  gleichen  Fl&chen  des  Oktaeders.  Venchiebt  man  letztere  parallel 
mit  sich  an  den  WUrfel,  bo  wird  von  dessen  Ecken  jede  dnrch  die  entsprechend  liegende 
Oktaederfläche  abgettmapft  nnd  swar  wieder  der  Symmetrie 
entsprechend  gerade,  so  daü  alle  Eombinatiooskanten  Ojoo  Ooo 
einander  gleich  sind.  Hau  eihttlt  dann  eine  Kombination,  wie 
sie  in  Fig.  12  abgebildet  ist,  wo  die  OktoederflBohen  wieder 
mit  0,  die  Würtelflttcben  aber  mit  ooO  oo  beieichnet  und.  Diese 
Form  bt  kry stallographisch  ident  mit  der  obigen  (Fig  70),  beide 
sind  Eombinatiouen  von  Wflrfel  nnd  Oktaeder.  Sie  nnterscheiden 
■ich  nnr  doich  die  verschiedene  Audehnnng  der  beiden  einfachen 
KSTper.  In  Fig.  71  ist  das  Oktaeder  groG,  der  Wflrf el  klein,  in 
Fig.  72  findet  das  umgekehrte  statt.  Dort  ist  du  Oktaeder,  hier  der  Wttrfel  der  Tilger 
der  EomhinatiDn.  Wieder  dieselbe  Kombination  stellt  die  schon  oben  eingebend  be- 
trachtete Fig.  7  dar,  in  der  das  Oktaeder  nnd  der  WOifel  ziemlich  gleichmtOig 
ausgedehnt,  oder,  wie  man  zn  sagen  pflegt,  mittlnander  im  Gleichgewicht  sind. 
%e  steht  in  der  Mitte  zwischen  den  beiden  in  Fig.  71  nnd  72  abgebildeten  Kom- 
binationen, daher  der  Name  Hittelkrystall  (auch  Cnbooktaeder). 

Wir  hoben  schon  oben  (79)  als  Beispiel  der  regnlfir-voUUchigen  Klasse  das 
Shombmdodekatder  (Qranatoeder)  kennen  gelernt.  Es  ist  in  Fig.  76  in  paralleler  SteUung 
mit  dem  Würfel  (Fig.  73)  dargestellt.  Jede  der  xvHÜ  Granatoederfi&cheu  entspricht 
dann  der  Loge  nach  einer  der  xwOlf  gleichwertigen  Kant«n  des  Würfels.  Denkt 
man  sich  nnn  die  Oranatoederflächen  il  parallel  mit  sich  an  den  Würfel  verlegt,  so 
stumpft  jede  von  ihnen  die  entsprechende  WUrfelkante  ab  nnd  zwar,  der  Symmetrie 


Fig.  72. 


h 


Fig.  73. 


Fig.  74. 

nfolge,  gerade.  Es  entsteht  dann  die  in  Fig.  74  abgebildete  Kombination  beider 
Formen.  DaO  die  Fl&chen  d  in  dieser  Figur  in  der  Tat  die  eines  Granatoeders 
nnd,  teigen  die  geetrichelten  Linien,  die  den  letzteren  KOrper  als  Erweitemng  der 
FUt^KD  d  bis  zum  gegenseitigen  Durchschnitt  darstellen. 

Wir  bedachten  nnn  die  Kombination  des  Öranatotdar»  und  des  Oktaedert,  die 
in  Fig.  76  nnd  77  in  paralleler  Stdlnng  abgebildet  sind.  Ans  diesen  Figuren  er- 
sehen wir,  daO  die  acht  Fl&chen  des  Oktaeders  nach  derselben  Bichtnng  hin  gelegen 
sind,  wie  die  acht  gleichwertigen  dreikantigen  Ecken  des  Granato«deTs.  Yerschiebtti 
wir  nnn  die  OktaederflOchen  parallel  mit  sich  an  das  Dodekaeder,  so  mnß  jede  von 
ihnen  eine  der  dreikantigen  Ecken  des  letzteren,  and  zwar  der  Symmetrie  ent- 
sprechend gerade,  abstumpfen,  wodnrch  die  Kombination  Fig.  79  entsteht  Die  zwOlf 
gleichen  Konten  des  Oktaeders  liegen  aber  auch  ebenso  wie  die  iwOU  Flächen  des 
Dodekaeders;  die  vier  in  den  Haaptsymmetrieebenen  liegenden  Oktoederkantes 
schneiden  sich  nnter  rechten  Winkeln,  wie  die  vier  entsprechenden  DodekoederflXcbeti, 


104  Kombinatioiiabildniig. 

deren  lange  Diagonalen  also  mit  den  Oktaederkanten  in  der  Lage  Tollkommeii  Überein- 
stimmen, Denkt  man  flieh  die  zwölf  Dodekaederfl&chen  parallel  mit  sicli  an  das  Oktaeder 


Fig.  76,  Fig.  78. 

hin  Terscboben,  so  Htnmpft  jede  von  ihnen  eine  der  xwOlf  Oktaederkanten  ab,  nnd 
zwar  wieder  der  SymmeMe  zafolge  gerade.  Wir  erhalten  daim  die  in  Fig.  ^8 
dargeBtellte  Kombination.  Anch  diene  beiden  letzteren  Kombinationen  sind  krjstallo- 
giAphisch  dasselbe,  der  Unterschied  liegt  auch  hier  wieder  nnr  in  der  verschiedenen 
Anedehnnng  der  beiden  kombinierten  einfachen  Formen. 

Eine  weitere  einfache  voUä&chig-regulftre  Fonn  ist  der  in  Fig.  80  abgebildete, 
von  24  gleichen  Fl&chen,  in  der  idealen  Form  gleichschenkligen  Dreiecken,  begrenEte 
Pyramidenwürfel  (TetrakishexaedeT).  Ea  ist  gewisaermalten  ein  Würfet,  Über  dessen 
qnadratischen  Flä<^en  sich  niedrige  vierseitige  Pyramiden  erheben.  Er  befindet  sich 
in  Parallelatellnng  mit  dem  Würfel  (Fig.  81).    Die  sechs  gleichen  Flächen  des  letzteren 


Fig.  80. 


Fig.  ( 


Fig.  81. 


liegen  wie  die  sechs  gleichwertigen  Pin'amidenecken  w  des  Pjramidenwilrfels.  Sie 
müssen  daher,  parallel  mit  sich  verschoben,  diese  Ecken  abstumpfen  nnd  zwar  nach 
der  Symmetrie  gerade.  Es  entsteht  dann  die  in  Fig.  82  dargestellte  Kombination. 
Umgekehrt  haben,  da,  der  Symmetrie  entsprechend,  die  Fl&chen  beider  KQrper  den 
drei  strichpunktierten  Achsen  parallel  gehen,  die  Kanten  des  WUrfels  dieselbe  Lage, 
wie  je  zwei  Fl&chen  des  PyramidenwQrfels.  Je  zwei  der  letzteren  müssen  daher 
bei  der  Vereinigung  beider  Formen  die  WQrtelkanten  znichärfen  und  zwar  gerade. 
Jeder  der  zwölf  WflrfeUcanten  entspricht  dabei  je  eine  der  zwölf  Qmppen  von  je  zwei 
Fl&chen  des  PyramidenwQrfels,  welche  notwendig  alle  Würfelflächen  nnter  gleichen 
Winkeln  treffen.  Man  erhält  dann  dieselbe  Kombination,  wie  im  ersten  Fall,  wo 
die  Würfelflächen  die  Pyramiden wUrf decken  abstumpften.  Die  Gestalt  der  Kom- 
bination kann  dabei  im  einzelnen  etwae  wechseln,  je  nach  der  relativen  GrCQe  der 
beiden  kombinierten  KOrper. 

Als  letztes  Beispiel  wählen  wir  die  Kombination  des  (^faederi  (Fig.  83)  mit 
dem  gleichfalls  regnlär-voUflächigen  IkosUetraeder  (Fig.  84),  das  von  24  symmetri- 
schen Tierecken  (Deltoiden)  begrenzt  ist.  Seine  Symmetrie  verhältniese  ergeben  sich 
ans  der  Figur,    Je  vier  FIftchen  der  letzter«)  Form  liegen  wie  eine  Ecke  des  Okta- 


KombinationBbildnDg.  105 

eden.  Deren  aind  es  sech«,  ebenso  auch  sMha  solche  Omppen  ron  je  Tier  Flachen 
des  Ikoütetraeders.  Jede  dieser  FlSchengTnppen  mnQ  <Jso  je  eine  der  sechs  Okta- 
ederechen  zuspitzen  nnd  twax  von  den  FUchen  au.  Es  entsteht  dann  die  Korn- 
bination  Fig.  85,  bei  der  die  Symmetrie  des  regnlären  SjBteros  die  Gleichheit  aller 
Kombinationskanten  zwischen  den  Oktaeder-  nnd  Ikositetraederflächen  erfordert. 


Fig.  83.  Fig.  86.  Fig.  84. 

98.  HaQyschfis  Symmetriegesetz  bei  der  KomblnatiooBbUdang. 

Ans  dem  Gesetz  der  Kombinationsbilduag,  wonach  die  sich  kombinieren- 
den einfachen  Formen  mitereinander  nnd  mit  der  von  ihnen  gebil- 
deten Kombination  in  Beziehung  aaf  die  Symmetiie  yollständig  Über- 
einstimmen, ergibt  sich  auch  für  die  Kombinationen  die  Gültigkeit 
der  Regel,  die  wir  schon  oben  (70)  als  den  Haflyschen  Symmetriesatz 
kennen  gelernt  haben,  nach  welcher  sich  gleichwertige  Stücke  eines 
Krystalls  durchaus  gleich,  ungleichwertige  verschieden  verhalten. 
Er  kann  für  den  hier  vorliegenden  Fall  in  folgender  Form  ausge- 
sprochen werden: 

Sei  äntrdender  Kombinationsbädung  werden  gleiche  SegrewmngS' 
demente  einer  Krgstailform  von  den  Flächen  einer  hinsnttretenden  wmieren 
einfachen  ErystaUform  stets  gleich,  ungleiche  im  allgemeinen  tmghich 
geschnitten.  Dies  gilt  allerdings  ganz  uneingeschränkt  nur  für  voU- 
flachige  Krystalle,  bei  teilflächigen  treten  infolge  des  Wegfalls  ge- 
wisser Flächen  maDchmal  Modifikationen  ein,  die  sich  in  jedem  ein- 
zelnen FaUe  von  selbst  ergeben. 

Im  einzelnen  kommt  der  Haüysche  Symmetriesatz  in  folgender 
Weise  znr  Oeltang:  Die  gleichen  Flächen  einer  einfachen  Krystallform 
werden  von  hinzutretenden  Flächen  einer  anderen  stets  gleich  d.  h. 
onter  gleichen  Winkeln  geschnitten.  Wird  eine  Kante  von  zwei  an- 
gleichen Flächen  gebildet  (was  natürlich  nur  bei  einer  Kombination 
mftglich  ist),  dann  werden  sie  von  einer  dazu  tretenden  weiteren 
Fläche  ungleich  d.  h.  unter  verschiedenen  Winkeln  getrofifen.  Es  wird 
also  eine  von  zwei  gleichen  Flächen  gebildete  Kante  gerade,  eine  von 
zwei  ungleichen  Flächen  gebildete  Kante  schief  abgestumpft.  Zwei 
ungleiche  Flächen  können  nnr  dann  von  einer  dritten  Fläche  unter 
gleichen  Winkeln  geschnitten  werden,  wenn  diese  Rechte  sind,  also 
die  dritte  Fläche  auf  jenen  beiden  senkrecht  steht. 


106  Kombinationsbildiiug 

Werden  zwei  gleiche  Flächen  von  einer  dritten  ungleich  ge^ 
schnitten,  d.  h.  wird  ihre  Kante  schief  abgestumpft,  so  muß  an  der- 
selben Kante  noch  eine  zweite  Abstumpfungsfläche  auftreten,  die 
die  beiden  gleichen  Flächen  in  entgegengesetzt  schiefer  Richtung 
schneidet  und  so  mit  der  ersten  Abstumpfungsfläche  eine  gerade  Zu- 
schärfung  der  Kante  bewirkt.  Ganz  analog  sind  die  Verhältnisse  bei 
Abstumpfung  resp.  Zuspitzung  einer  Ecke.  Ist  diese  gleichflächig 
und  -kantig,  so  kann  sie  nur  gerade  abgestumpft  werden,  und  wenn 
sie  zugespitzt  wird,  kann  es  nur  so  geschehen,  daß  die  Zuspitzuugs- 
flächen  in  ganz  gleicher  Weise  auf  die  Kanten  und  Flächen  ausge- 
setzt sind,  die  die  Ecke  bilden.  Sind  die  Flächen  und  Kanten  an 
einer  Ecke  nur  zum  Teil  gleich,  dann  werden  diese  gleichen  Stücke 
von  den  Abstumpfungs-  und  Zuspitzungsflächen  gleich  und  anders 
getroffen,  als  die  übrigen  Begrenzungselemente  dieser  Ecken.  Endlich 
müssen  notwendig  alle  gleichen  Kanten  und  Ecken  einer  einfachen 
Form  in  derselben  Weise  modifiziert,  also  abgestumpft  oder  zuge- 
schärft oder  zugespitzt  werden,  jederzeit  der  Symmetrie  an  den  einzelnen 
Kanten  oder  Ecken  entsprechend.  Vorausgesetzt  ist  dabei,  wie  schon 
erwähnt,  überall,  daß  man  es  mit  vollflächigen  Formen  zu  tun  hat^ 
und  daß  nicht  infolge  von  Hemiedrie  etc.  eine  Anzahl  von  Flächen, 
resp.  Symmetrieebenen,  in  Wegfall  gekommen  ist.  Die  besonderen 
Verhältnisse  der  Kombinationen  hemiedrischer  etc.  Formen  werden  wir 
bei  der  speziellen  Betrachtung  der  teilflächigen  Krystallklassen  kennen 
zu  lernen  haben. 

Der  Haüysche  Symmetriesatz  verlangt  endlich,  daß  Flächen,  durch 
todche  gleiche  Stücke  einer  einfachen  Farm  in  derselben  Weise  getroffen 
werden,  einander  gleich  sind.  Auch  dies  ist  eine  notwendige  Folge  der 
Symmetrie;  diese  Flächen  bilden  zusammen  die  Begrenzung  einer 
einfachen  Krystallform. 

99.  Beispiele.  Daß  diese  Haüyschen  Gesetze  mit  Notwendigkeit  aus  dem 
Gesetz  der  Eombinationsbildnng  folgen,  geht  schon  ans  den  oben  (97)  betrachteten 
Beispielen  hervor.  Hier  sollen  nur  noch  einmal  einige  derselben  mit  besonderer 
Besiehnng  daranf  knrz  betrachtet  werden. 

Wenn  eine  Fläche  des  Granatoeders  eine  Würfelkante  abstumpft  (Fig.  74), 
so  verlangt  die  Symmetrie  nach  den  Nebensymmetrieebenen ,  daß  dies  gerade  ge- 
schieht; die  zwei  gleichen  Würfelflächen  werden  also  von  der  hinzutretenden 
Granatoederfläche  gleich,  d.  h.  unter  gleichen  Winkehi  geschnitten.  Femer  müssen 
aUe  gleichen  Würfelkanten  ohne  Ausnahme  in  derselben  Weise  gerade  abgestumpft 
werden,  und  die  Abstumpfnngsflächen  müssen  alle  einander  gleich  sein,  da  sonst  die 
Symmetrie  nach  den  Hauptsymmetrieebenen  gestOrt  wäre.  Die  Kombination  von 
Würfel  und  Granatoeder  entspricht  somit  vollkommen  dem  Haüyschen  Symmetrie 
gesetz.  Ganz  entsprechend  ist  es,  wenn  man  die  Kombination  des  Oktaeders  mit  dem 
Granatoeder  betrachtet  (Fig.  78). 

Bei  der  Kombination  des  Pyramiden  würfeis  mit  dem  Würfel  (Fig.  82)  folgt  aus  der 
Symmetrie,  daß  jede  der  beiden  Würfelflächen  von  den  beiden  anstoßenden  Pyra* 


Eombinationsbildnng.  107 

midenwttrfelfläclien  gleich  getroffen  werden,  und  daß  jede  Kante  in  derselben  Weise, 
d.  h.  nnter  denselben  Winkeln  gerade  zngescbärft  werden  mnß  nnd  zwar  durch 
lanter  gleiche  Flächen,  welche  eben  die  des  Pyramidenwtlrfels  sind. 

Die  vierkantigen  Ecken  des  Granatoeders  können  nach  der  S3rmmetrie  nur 
gerade  abgestumpft  sein  (Fig.  102),  nicht  schief;  die  vier  gleichen  Flächen  an 
einer  Ecke  des  Qranatoeders  werden  von  der  hinzutretenden  Abstumpfungsfläche 
gleich  geschnitten,  und  wenn  eine  dieser  Ecken  abgestumpft  ist,  so  müssen  es  alle 
anderen  ihr  gleichen  vierkantigen  Ecken  ebenfalls  in  derselben  Weise  sein,  und 
zwar  von  lauter  der  ersten  gleichen  Flächen.  Entsprechend  ist  es  bei  den  drei- 
kantigen Ecken  (Fig.  104);  diese  werden  ebenfalls  alle  gerade  abgestumpft,  die  Ab- 
stumpfnngsflächen  schneiden  die  Granatoederflächen  gleich  und  sind  untereinander 
gleichwertig.  Wenn  die  vierkantigen  Ecken  abgestumpft  sind,  so  verlangt  die 
Symmetrie  nicht,  daß  die  von  ihnen  verschiedenen  dreikantigen  Ecken  gleichfalls 
abgestumpft  sind.  Wenn  sie  beide  gleichzeitig  abgestumpft  sind  (Fig.  105),  so  sind 
die  zu  beiden  gehörigen  Abstumpfungsflächen  jedenfalls  voneinander  verschieden. 
Unter  allen  umständen  verhalten  sich  die  verschiedenwertigen  Ecken  des  Granato- 
eders bei  der  Eombinationsbildung  verschieden. 

Eine  Zuspitzungsfläche  einer  Oktaederecke  bei  der  Kombination  des  Oktaeders  mit 
dem  Ikoeitetraeder  (Fig.  85)  muß  nach  der  Symmetrie  auf  die  Oktaederfläche  notwendig 
gerade  aufgesetzt  sein  und  zwar  auf  jede  Fläche  an  dieser  Ecke  in  derselben  Weise 
(unter  demselben  Winkel) ;  auch  müssen  alle  Oktaederecken  in  derselben  Weise  viel- 
flächig zugespitzt  sein,  so  daß  wieder  alle  gleichen  Begrenzungselemente  des  Okta- 
eders von  den  zutretenden  Flächen  des  Ikositetraeders  gleich  geschnitten  werden 
und  zwar  ebenfalls  von  lauter  untereinander  gleichen  Flächen. 

100.  Ableitnng  der  Kombinationeii  nach  dem  Haflyschen  Sym- 
metriegesetz.  Nach  unseren  bisherigen  Betrachtungen  haben  wir  die 
Kombinationen  angesehen  als  entstanden  durch  die  Vereinigung  der 
einfachen  Formen  (96)..  Als  notwendige  Eonsequenz  ihrer  symmetri- 
schen Durchdringung  ergaben  sich  dann  die  Haüyschen  Symmetrie- 
sätze. Wir  können  aber  auch  umgekehrt  diese  letzteren  durch  direkte 
Beobachtung  an  den  Erystallen  empirisch  feststellen  und  vermittels 
ihrer  die  an  jeder  einfachen  Erystallform  möglichen  Kombinationen 
ableiten.  Man  denkt  sich  zu  diesem  Zweck  an  den  Kanten  und  Ecken 
dieser  einfachen  Form  zunächst  eine  Fläche  in  irgend  einer  Lage  als 
Abstumpfung  auftretend,  und  konstruiert  alle  nach  den  Symmetriesätzen 
(oder  kurz,  nach  der  Symmetrie)  noch  weiter  erforderlichen  Flächen 
dazu.  Diese  müssen  dann  jener  ersten  gleich  sein,  und  sie  alle  zu- 
sammen begrenzen  bis  zum  gegenseitigen  Schnitt  ausgedehnt,  die  neue 
einfache  Form,  die  nun  mit  der  ersten  in  Combination  getreten  ist. 
Indem  man  die  Lage  der  ersten  Fläche  auf  alle  denkbaren  Arten 
ändert,  erhält  man  alle  überhaupt  möglichen  Fälle  der  Kombination 
jener  ersten  Form  mit  einer  zweiten.  Daß  diese  letzteren  alle  die- 
selbe Symmetrie  haben  müssen,  wie  die  erste  Form,  von  der  wir  aus- 
gegangen sind,  folgt  nach  dem  früheren  von  selbst;  die  Symmetrie- 
ebenen bleiben  ja  beim  Zutreten  der  neuen  Flächen  ganz  unverändert 
erhalten.    Es  ergibt  sich  daraus  dann  das  Gesetz  der  Kombinations- 


108 


Eombinatioiisbildang'. 


bildung,  daß  nur  einfache  Formen  derselben  Symmetrieklasse  sich  zu 
Kombinationen  vereinigen,  indem  sie  sich  in  paralleler  Stellung  d.  h. 
mit  parallelen  Achsen  durchdringen. 

Beispiele.  An  der  Ecke  eines  Oktaeders  trete  eine  einzige  Flftche  anf.  Dann 
muß  sie  diese  notwendig  gerade  abstumpfen,  da  nur  so  die  Erfordernisse  der 
Symmetrie  durch  diese  eine  Fläche  erfüUt  werden  kGnnen.  Die  Fläche  muß  alle  an 
der  Ecke  liegenden  Flächen  und  Kanten  gleich  treffen,  da  sie  ja  aUe  je  unterein- 
ander gleich  sind.  Da  alle  sechs  Oktaederecken  gleich  sind,  so  müssen  auch  alle 
anderen  in  derselben  Weise  gerade  abgestumpft  sein,  wenn  es  die  erste  ist  (Fig.  71). 
Die  sechs  Abstumpfungsflächen  sind  notwendig  einander  gleich  und  begrenzen  ge- 
hörig ausgedehnt  einen  sechsflächigen  Körper  von  derselben  Symmetrie  wie  das 
Oktaeder,  einen  Würfel.  Es  ist  ganz  gleichgültig,  ob  man  einen  KrystaU  beschreibt 
als  Kombination  von  Oktaeder  und  Würfel,  oder  als  Oktaeder  mit  abgestumpften 
Ecken;  beides  bedeutet  dasselbe. 

Liegt  eine  Fläche  an  der  Oktaederecke,  auf  eine  Oktaederfläche  aufgesetzt,  so 
kann  sie  nur  gerade  auf  diese  aufgesetzt  sein,  und  somit  die  beiden  seitlich  anstossen- 
den  Oktaederflächen  unter  gleichen  Winkeln  schneiden,  da  sonst  die  Symmetrie  ge- 
stört wäre  (Fig.  85).  Oder  aber  es  müßte,  wenn  die  Fläche  schief  auf  eine  Okta- 
ederfläche aufgesetzt  wäre,  an  dieser  letzteren  noch  eine  zweite  Fläche  in  entgegen- 
gesetzt schiefer  Stellung  auftreten.  Auf  jeder  anderen 
Oktaederfläche  an  derselben  Ecke  müsste  dann  noch 
eine  Fläche  gerade,  resp.  zwei  Flächen  schief  in  der- 
selben Weise  aufgesetzt  sein  und  die  Ecke  wäre  dann 
yierflächig  resp.  achtflächig  zugespitzt  (Fig.  85  und  86). 
Wenn  nun  alle  übrigen  Oktaederecken  in  derselben 
Weise  modifiziert  werden,  sind  die  Erfordernisse  der 
Symmetrie  erfüllt,  und  das  Symmetriegesetz  ist  befrie^ 
digt.  Die  Zuspitzungsflächen  sind  in  beiden  Fällen  in 
derselben  Weise  symmetrisch  angeordnet  wie  die  Flächen 
des  Oktaeders,  sie  liefern  alle  bei  gehöriger  Ausdehnung 
ebenfalls  reguläre  Formen.  Von  ihnen  haben  wir  die 
eine  (Fig.  85)  oben  schon  (97)  als  Ikositetraeder  kennen 
gelernt;  die  anderen  (Fig.  86)  werden  wir  unter  dem  Namen  des  Hexakiaoktaeders 
(Achtundyierzigflächners)  unten  noch  betrachten. 

Ganz  analog  sind  die  Verhältnisse  bei  der  Modifikation  der  Kanten,  so  daß 
keine  weiteren  Beispiele  erforderlich  sind,  die  sich  übrigens  auch  aus  dem  früheren 
und  dem  nachfolgenden  yon  selbst  ergeben. 

101.     rmkehrung    des    Haüyschen    Symmetrlesatzes.     Aus 

den  Symmetrieverhältnissen  ergibt  sich,  daß  das  Hattysche  Sym- 
metriegesetz auch  einer  Umkehrung  fähig  ist,  welche  lautet:  Wenn 
Begrenzungselemente  einer  KrystaUform  von  hinzutretenden  Flächen  in 
gleicher  Weise  geschnitten  werden,  so  sind  sie  ebenfalls  untereinander 
gleich,  Begrenzungselemente,  die  sich  in  dieser  Hinsicht  verschieden  ver- 
halten, sind  einander  im  allgemeinen  nicht  gleich. 

Wenn  z.  B.  in  dem  vierseitigen  Prisma  MM  (Fig.  87)  eine  Kante  durch  die 
Fläche  A  gerade  abgestumpft  wird,  dann  müssen  notwendig  die  beiden  Flächen  M 
einander  gleich  sein ;  denn  die  Gleichheit  der  beiden  Kanten  a  bedingt  eine  zwischen 
ihnen  hindurch  gehende  Symmetrieebene.   Wird  aber,  wie  in  Fig.  88,  die  Kante  MN 


Fig.  86. 


i 


Be^&rea  Sjstein. 


durch  die  Fläche  A  schief  abge- 
stumpft, dum  sind  jedenfalls  die 
beiden  PrismenflSaben  M  und  JV  von- 
einander Terschieden. 

Wir  haben  bieris  also  ein  Mittel, 
am  nnter  Umständen,  eventuell  mit- 
tels des  Goniometers,  die  Qleichheit 
oder  Ungleichheit  von  Flächen  fest- 
Eustellen,  was  manchmal  auf  Omnd 
ihrer  phrnkalischen    Beschaffenheit 


Fig.  87. 


Fig.  88. 


Bchvierig  nnd  in  vielen  Fällen  mit  voller  Beitimmtheit  Qberhanpt  nicht  möglich  ist. 

Wenn  t.  B.  an  einem  Oktaeder  eine  Fläche  eine  £ante  gerade  abstompft,  so 
mOssen  notwendig  die  beiden  Oht&edetfl&chen  einander  gleich  sein.  Wenn  an 
demselben  Oktaeder  nur  acht  von  den  EwOlf  Kanten  abgestumpft 
■ind,  die  vier  anderen  nicht  (Fig.  89),  dann  sind  jedenfalls  dieae 
vier  von  jenen  acht  verschieden  und  das  Oktaeder  kann  unmög- 
lich ein  reguläres  sein.  Ob  die  letctAren  acht  Kanten  alle  unter- 
einander gleich  sind  oder  nicht,  kann  nach  dem  Vorhandensein 
der  Abatnmptogen  allein  nicht  entschieden  werden.  Dam  ist 
ea  nOtig,  die  Winkel  an  ollen  Oktaederkanten  m  messen. 

Anch  hier  macht  indessen  der  rechte  Winkel  eine  Ausnahme. 
Wenn  mehrere  Flächen  eines  Erystalls  von  einer  Fläche  senk- 
recht geschnitten  werden,  sind  sie  troti  der  gleichen  Schnittwinkel  "^-  ™' 
nicht  notwendig  einander  gleich.    So  sind  in  den  (20)  erwähnten  Stamolitbkrystallen 
die  Flächen  m  und  o  nicht  einander  gleich,  obwohl  sie  von  p  nnter  gleichen  Winkeln 
geschnitten  werden ;  diese  gleichen  Winkel  sind  hier  rechte  (Fig.  17). 


D.    Die  Krystallsysteme. 
1.  Re^lres  System. 

(Tesserales,  laometrischeB,  knbisches  System.) 

Das  reguläre  Krystallsystem  nmfaßt  alle  Ei'yst&Uklafisen,  die  aof 
drei  gleiche  zueinander  aenkrecbte  Achsen  bezogen  werden  kSnnen. 
Das  reguläre  Ächsenschema  ist  daher: 

o:a:a;-4a/a  =  90". 
In  demselben  ist  kein  unbekanntes  StUck  vorhanden.  Es  ist  also 
dnrch  die  Symmetrie  allein  ohne  Winkelmessung  bekannt,  somit  in 
allen  regolären  Erystallen  dasselbe  and  von  der  Substanz  unabhängig. 
Alle  regulären  Formen  mit  demselben  Achsensusdmck  mUssen  daher 
genau  dieselbe  Gestalt  (dieselben  Flftcbenwinkel)  haben.  Auch  sie 
sind  durch  die  Symmetrie  allein  gegeben  nnd  werden  von  der  Za- 
sammensetzang  der  Erystalle  nicht  beeinfinfit.  Bei  der  gewShnlicfaen 
An&tellong  ist  eine  der  drei  Achsen  vertikal,  die  zweite  geht  tod  vom 


110  BegoUi^TolUScIuge  ElsMe. 

nach  binten,  die  dritte  liegt  qaer  von  rechts  nach  links.  Die  drei 
AchBenebenen  teilen  den  Ranni  in  acht  gleiche  Oktanten.  Die  Achsen 
Bind  in  den  folgenden  Figoren  dnrch  die  strichpanktierten  Linien  und 
an  ihnen  die  Flächen  in  ihrer  spezielten  Lage  durch  die  Lidices  an- 


Regulär-üollfläehige  (hexakiBoktaedrisohe)  Klasse. 
3  -|~  6  =  9  Symmetrieebenen ;  davon  drei  Hau/ptsymmetrie^enen 
parallel  den  drei  Achsenebenen  aa  and  sechs  N^)ensyminetrieehenen,  die 
dnrch  eine  Achse  a  gehen  und  den  Winkel  der  beiden  anderen  Achsen  a 
halbiren.  3  +  4  +  6  —  13  Symmetrieachsen,  davon:  drei  vierzählige 
parallel  den  krystallographischen  Achsen  a  (tetragonale  Achsen),  vier  drei 
zählige  za  je  drei  Achsen  a  gleich  geneigt  (trigonale  Achsen)  nnd  sechs 
zweizählige  in  den  Achsenebenen  aa,  die  Winkel  je  zweier  Achsen  a 
halbierend  (digonale  Achsen).  Symmetriecentram  vorhanden.  Die  drü 
Hauptsymmetrieebenen  sind  die  Fundamentalflächen  des  Achaensystems. 

102.    fünfkche  Formell.     1.  OTdaeder.     Die  Flächen  schneiden 

von  den  drei  Achsen  gleiche  Stücke  ab,  also  solche, 

die  sich  verhalten  wie:  a-.a-.a;  der  Ausdruck  des 

Oktaeders  ist  demnach :  {a-.a-.a)^  (111).    In  jedem 

Oktanten  liegt  somit  eine  Fläche,  also  sind  im  ganzen 

acht  vorhanden,  welche  sich  in  den  Kanten  unter 

Winkeln  von  109"  28'  16",  ober  die  Ecken  unter 

70"  31'  44"  treffen.   In  der  idealen  Form  sind  die  Be- 

Fig.  90.  grenzongsflächen  acht  gleichseitige  Dreiecke,  welche 

sich  in  zwßlf  gleichen,  zq  je  vieren  in  den  Achsenebenen  senkrecht 

zueinander   liegenden   Kanten    und   in    sechs    gleichen    vierflächigen 

Ecken,  durch  welche  die  Achsen  hindurchgehen,  schneiden  (Fig.  90). 

„Verzerrte"  Oktaeder  vgl.  Fig.  19  und  20. 

Di«  Oktaederflache  iit  die  Einheitsflftclie  des  res^iläreii  Systems. 
2.  Hexaeäer  (Würfel).   Drei  Flächenpaare  stehen  je  auf  einer  Achse 
senkrecht,  gehen  also  je  den  beiden  anderen  Achsen  parallel  (Fig.  91). 
Der  Ausdruck  ist  daher:  (a  :  oo  o  :  oo  a)  =  (100)  nnd 
die  sechs  Flächen  schneiden  sich  unter  90".    In  der 
idealen  Gestalt  sind  die  Flächen  Quadrate.    Jeder 
Krystall,  der  von  drei  aufeinander  senkrechten  glei- 
chen Fläcbenpaaren  begrenzt  wird,  ist  aber  krystallo- 
graphisch  ein  Wtlrfel,  auch  wenn  er  z.  B.  die  Form 
eines  in  die  Länge  gezogenen  Prismas  oder  die  einer 
~°    "  dünnen  Platte  etc.  besitzt.  Die  zwölf  Kiinten  and  die 

acht  Ekdcen  sind  je  alle  gleich.    Je  vier  Kanten  sind  einer  der  drei 
Achsen  parallel.    Diese  stehen  senkrecht  auf  je  zwei  gegenüberliegen- 


Einfiidie  Formen.  lU 

dm  Flächen  und  gehen  dnrch  die  Mitten  von  je  zwei  gegfenüber- 
liegenden  Flächeu  der  Idealform. 

Die  WUrfelflOcbeu  und  die  FnndamentaMllcheii  (AdiBenebenen)  des  regnlSren 
Systems;  Bie  sind  paiaUel  den  drei  Eanptsymmetrieebenen  A  (Fig.  33  und  47).  Die 
Achsen  entsprechen  der  Bichtnng  nach  den  WUrfelkanten. 

3.  Öranatoeder  (Ehombendodekaeder).  Die  Flächen  schneiden  zwei 
Achsen  gleich,  die  dritte  im  Unendlichen,  der  Äusdnick  ist  also :  (a :  a :  oo  a) 
=  (110).  Die  zwölf  Flächen  bilden  in  der  idealen 

Gestalt  Bhomben,  welche  sich  in  24   gleichen 

Kanten    Ton    120  *  schneiden.     Außerdem    sind 

sechs  gleiche  vierkantige  and  acht  gleiche  drei- 

bmtige  Ecken  vorhanden  (S  und  0)  (Fig.  92). 

Über  die  vierkantigen  Ecken  H  weg  schneiden 

sich  je  zwei  Flächen  unter  90".  Die  Achsen  gehen 

dnrcb   je   zwei   gegenüberliegende    vierkantige 

¥>^en  H  nnd  sind  den  kurzen  Diagonalen  der  fjg  gg 

Flächen  parallel 

Die  FUchen  dieees  EOrpers  sind  den  sechs  Neben^ymmetrieebenen  B  piirallel 

Cie- «). 

Oktaeder,  Hexaeder  nnd  Dodekaeder  kann  es  nach  der  Lage  der  Flächen  an 
den  Achsen  im  regnlftren  System  nnr  je  eines  gehen,  d.  h.  alle  Oktaeder,  alle 
W&rfel  etc,  sind  je  unter  einander  in  jeder  Beziehung,  besonders  betreib  der 
Flächen  Winkel,  gleich.  Dies  sieht  man  anch  ans  den  Ausdrücken,  in  denen  nnr  kon- 
Btante  Ableitangszahlen  1  und  oo  (Indices  1  und  0)  vorkommen.  In  den  Anadrüoken 
der  nächstfolgenden  Körper  kommen  variable  Ableitungsiahlen  (Indices)  vor,  für  die 
man  beliebige  rationale  Zahlen  einsetzen  kann.  Jeder  anderen  solchen  Zahl  ent- 
spricht eine  in  der  allgemeinen  Gestalt  den  anderen  analoge,  in  den  WinkelTOrhält^ 
Bissen  aber  Teischiedene  Form. 

4.  TetraJäshexaeder  (Pyramidenwfirfel).  Die  Flächen  gehen  einer 
Achse  parallel  und  schneiden  von  den  beiden  anderen  Achsen  ungleiche 
Stficke   ab.     Dies    entspricht    dem    Flächenausdruck :  (a  :  nta :  oo  a) 

=  {-la-.ooa)  =  (mlO)    oder  allgemein:    (äSO),  z.  B.  (210),  (310) 

(320)  etc.  Die  24  von  der  Symmetrie  geforderten  Flächen  sind  in  der 
Idealform  gleichschenklige  Dreiecke.  Sie  sind  so  gruppiert,  daß  sie  zu 
je  vieren  niedere  Pyramiden  Über  den  Flächen 
eines  Würfels  machen,  den  man  sich  einbe- 
Bchrieben  denken  kann  (Fig.  93).  Zwölf  gleiche 
längere  Kanten  H  sind  den  Achsen  parallel  und 
liegen  genau  so  gegeneinander,  wie  die  zw5U 
Kanten  eines  Würfels  (Fig.  91).  24  andere  gleiche 
kürzere  Kanten  P  bilden  die  vierseitigen  Pyra- 
miden über  den  Würfelflächen.  Acht  gleiche 
3-1-  3  kantige  Ecken  E  liegen  wie  die  Würfel-  p-    gg 

ecken ;  sechs  gleiche  vierkantige  Ecken  W  bilden 


X12  Be^nl&r-vollflSchige  Elaue. 

die  Spitzen  der  Pyramiden  und  liegen  wie  die  OktaedereckeD;  dnrclt 
sie  geben  die  drei  Achsen  a. 

Die  Neigungswinkel  der  FlSchen  in  den  Kanten  H  und  P  hingen  von  der 

QiOQe  von  ffi  (resp.  von  h  and  k)  ab,  und  nmgekebrt;  m  (resp.  -^)  bann  ans  einem 
in  S  oder  P  gemessenen  FlKcbeawinkel  berechnet  werden.  Fflr  alle  Werte  Ton  m 
(resp.  -j-)  bleibt  die  allgemeine  Gestalt  des  ECrpen  dieselbe,  nur  die  relative  Habe 
der  Pyramiden  &ndert  eich  entsprechend  den  FlBcbenwinkeln. 

5.  Xkosüetraeäer.  Die  Flächen  schneiden  eine  Achse  in  kleinerer, 
die  beiden  anderen  in  gröSerer,  aber  gleicher  Entfernung,  der  Ans- 

drudt  ist  also:  (a:ma:  mä)  (m  >■  1)  oder  -=  (—  :  o  :  a)  ^  (m  11)  oder 

allgemein  (AÄfc)  ft  >  ft,  z.  B.  (211),  (311),  (322)  etc.  Die  Symmetrie  ver- 
langt 24  Flächen  von  dieser  Lage  an  den  Achsen.  In  der  idealen  Qe- 
stalt  bilden  sie  symmetrische  Vierecke  (Deltoide),  welche  zu  dreien  in 
den  einzelnen  Oktanten  liegen.  Sie  schneiden  sich  in  24  in  den 
Achsenebcnen  gelegenen  längeren  Eanten  0,  den  sog.  gebrochenen 
Ottaederkanten  (Fig.  94)  und  in  24  kürzeren  Kanten  P,  den  sog.  ge- 
brochenen Wtirfelkanten.  Die  Ecken  sind  dreierlei:  acht  dreikantige 
Ecken  A  liegen  wie  die  Würfelecken  in  der  Mitte  der  Oktanten; 
sechs  Tierkantige  Ecken  B  liegen  wie  die  Oktaederecken  auf  den 
Achsen,  und  zwölf  2  +  2  kantige  Ecken  C  liegen  in  den  Achsenebenen 
in  der  Mitte  zwischen  je  zwei  Ecken  B.    Durch  B  gehen  die  Achsen. 

Mit  der  Zahl  m  resp.  mit  -r-  findem    eich   die  Flächenwinkel   und   damit  in 

etwas  die  Gestalt.  Die  Fig.  94  entspricht  dem  Anednick  (211);  Fig.  9ö  dem  Ana- 
drick  (311). 

Eine  gaoE  ftboUche  Form  wie 
-■>•  Fig.  94  findet  man  beim  Leucit 

{Fig.  211],  wo  man  es  aber  mit 
einer  pseudoregulären  Combina- 
tion  des  qnadratiachen  Systems 
zu  tun  hat.  Diese  Fonn  wnrde 
früher  für  ein  wirkliches  regnl&rea 
Ikositetraeder  gehalten,  welche 
Form  darnach  Lettcifoeder  ge- 
nannt wnrde  (80,  134). 
Fig.  94.  Fig.  95. 

6.  Triakisoktaeder  (Pyramidenoktaeder).  Jede  der  Flächen  schneidet 
zwei  Achsen  gleich,  die  dritte  in  größerer  Entfernung,  der  Ansdmck 
ist  also:  (a  :  a  :  mä),  wo  w  >■  1  oder:  (m  m  1)  oder  allgemein  (hhk), 
A>  Ä,  also  z.  B.  (221),  (331),  (332)  etc.  In  äer  idealen  Form  (Fig.  96) 
sind  die  Flächen,  von  denen  aach  hier  der  Symmetrie  nach  24  vor- 
handen sein  mflssen,  gleichschenklige  Dreiecke,  welche  dreiseitige 
niedere  Pyramiden  über  den  Flächen  des  Oktaeders  bilden,  das  man 


VolUftchige  Kluae.  1]3 

sich  einbeschriebeD  denken  kann.    Zwölf  läng^ere  b 

Kanten  0  entsprechen  in  ihrer  Lage  dorchaus 

den  zwölf  Kanten  und  sechs  4  +  4kantige  Ecken 

E  den  Ecken  den  Oktaeders.     AuSerdem    sind 

noch  24  gleiche  kürzere  Pyramidenkanten  P  nnd 

acht  3  kantige  Pyramidenecken  J  von  der  Lage 

der  Wörfelecken  vorhanden.    Die  Achsen  gehen 

durch  die  Ecken  E. 

Di«  Hüben  der  PyruniaeD  (d.  h.  die  Fl&cheDwinkel  ^S-  ^' 

in  P  und  0)  ändern  sich  mit  der  Zahl  m  (resp.  -r-),  welche  nun  aas  Jenen  Winkeln 
berechnen  kann,  nnd  omgekehrt. 

7.  BexdkiaoUaeder  (Achtundvierzigflächner).  Die  Flächen  schneiden 
alle  Achsen  ungleich,  der  Ausdruck  ist  also :  {ma  :na:pa)  oder  =  ( r '  y '  T^ 
=  (hkl),  wo  A  >  i  >  I,  z.  B.  (321),  (421)  etc.  Die  Flächen,  48  an  der 
Zahl,  bilden  ungleichseitige  Dreiecke  (Fig.  97),  ,„„ 

welche  sich  in  24  gleichen  Kanten  K  in  den 
Achsenebenen  (gebrochene  Oktaederkanten)  nnd  in 
je  24  Kanten  L  und  M  schneiden.  In  der  idealen 
Form  sind  die  Kanten  M  die  längsten,  L  die 
kilrzesten.  An  Ecken  sind  rorbanden :  sechs 
4  4-4kantige  sog.  Oktaederecken  E,  durch  welche 
die  Achsen  gehen,  acht  3  -|-  3kantige  0  in  der 
Mitte    der    Oktanten    (Wttrfelecken)    und  zwölf  Fig.  97. 

2  -}-  2kantige  G  in  den  Achsenebenen. 

Die  Fl&chenwinkel  in  £,  L  nnd  M  ändern  sich  mit  m  nnd  n,  reep.  mit  -j- 
nnd  y.    Hanchmal  nnd  die  Flächen  bo  grappiert,  daO  sie   en  je  vieren  niedere 

Pyramiden  anf  den  Flächen  eine«  Oranatoedars  bilden,  mit  deaeen  Kanten  ImI 
manchen  Werten  von  m  nnd  n  (resp.  h,  k,  l)  die  Kanten  M  EOBammenf allen ;  dies 
sind  die  sog.  Pyramidengranafoeder.  Die  Bedingung  luerfflr  ist;  h^=k-{-l,  %.  B. 
{321},  (431),  (632)  etc. 

Andere  einfache  KOrper  als  diese  sieben  sind  in  der  Tollflächigen  Klasse  des 
regulären  Syatema  nicht  mOglich.  Weder  lassen  sich  andere  Lagen  der  FlKchen  gegen 
die  Achsen  angeben,  als  jene  sieben,  noch  andere  FlächenansdrQcke,  welche  von  jenen 
sieben  wesentlich  verschieden  wären  nnd  nicht  durch  Mnltiplihation  oder  Division 
der  Indicee  mit  einer  geeigneten  Zahl  anf  sie  EtuttckgefUhrt  weiden  könnten.  £la 
kann  also  keinen  anders  gestalteten  einfachen  EOrper  mit  den  nenn  Symmetrieebenen 
der  genannten  Klasse  geben.  Alle  diese  sieben  KGrper  sind  anch,  teils  selbständig, 
teils  in  Kombinationen  voTkommeud,  an  Krystallen  tats&chlich  beobachtet  worden. 

Das  Eexakisoktaeder  ist  der  flBchenreichste  einfache  regnläre  KOrper  nnd  auch 

der  aUgemeisste,  als  dessen  spezielle  Fälle  die  anderen  angesehen  werden  künnen. 

So  kann  man  sich  e.  B.  ein  Ikoaitetraeder  als  ein  Hexakisoktaeder  vorstellen,  in 

dessen  Kanten  M  die  anstoßenden  Flächen  einen  Winkel  von  180"  machen,  d.  h. 

Baasr,  KioeraloclB.  8 


114  Beguläres  Erystallsystem. 

in  eine  Ebene  zusammen  fallen ;  beim  Pyramidenoktaeder  fallen  die  in  den  Kanten  L 
zusammenstoßenden  Flächen  in  eine  zusammen ;  beim  Oktaeder  alle  nm  eine  Ecke  0 
hemmliegenden  Flächen  etc.  Diesen  Änderungen  entsprechend  ändert  sich  selbst- 
verständlich jedesmal  der  Ausdruck  des  Hexakisoktaeders  und  geht  in  leicht  yer- 
ständlicher  Weise  in  den  des  betreffenden  speziellen  Körpers  über.  Diese  Auffassung 
des  Zusammenhangs  sämtlicher  yollflächig-regulärer  Formen  ist  namentlich  bei  der 
Ableitung  der  hemiedrischen  Formen  aus  jenen  oft  von  Wichtigkeit. 

103.  Naumannsclie  Bezeicliiinng  und  Übersicht.  Nach  der 
Naumannschen  Bezeichnungsweise  werden  nicht  einzelne  Flächen  einer 
einfachen  Erystallform,  sondern  die  ganzen  Foimen  in  den  Zeichen 
(Symbolen)  dargestellt  Man  geht  dabei  von  dem  Oktaeder  aus.  Eine 
Oktaederfläche  wird  im  Endpunkt  einer  Achse  a  festgehalten  und  so 
nach  außen  gedreht,  daß  sie  entweder  von  einer  oder  von  beiden 
anderen  Achsen  größere  Stücke  abschneidet,  als  von  der  ersten.  Auf 
diese  Weise  kann  man  offenbar  jede  überhaupt  mögliche  Lage  der 
Fläche,  also  die  Lage  der  Flächen  für  alle  oben  betrachteten  Körper 
erhalten.  Jedesmal  trifft  die  Fläche  die  eine  Achse,  in  deren  Ende  sie 
festgehalten  wird,  in  der  Entfernung  a,  die  beiden  anderen  Achsen  in 
je  nach  der  speziellen  Lage  der  Fläche  verschiedenen  Entfernungen 
gleich  oder  größer  als  a.  Naumann  bezeichnet  nun  das  Oktaeder  mit  0 
und  alle  anderen  regulären  einfachen  Formen  dadurch  mit  Hilfe  des 
Buchstabens  0,  daß  er  die  auf  die  zwei  letztgenannten  Achsen  bezüg- 
lichen Ableitungszahlen  vor  und  hinter  0  setzt  Eine  etwaige  Ab- 
leitungszahl 1  wird  dabei  fortgelassen.  Die  dritte  Ableitungszahl, 
welche  nach  dem  Obigen  stets  =  1  ist,  braucht  als  selbstverständlich 
nicht  geschrieben  zu  werden.  Danach  ist  allgemein :  mOn  =  a:ma:nay 
wo  m  >>  n  >>  1  sei;  und  speziell  z.  B.  SOf  =  a  :  3a  :  fa;  202  = 
a  :  2a  :  2a;  30  =  a  :  3a  :  a  oder  a:a:  3a;  oo02  =  a  :  ooa  :  2a  oder 
a  :  2a  :  oo  a  etc.  und  entsprechend :  0  =  a:l.a:l.a  =  a:a:a. 

Im  folgenden  ist  eine  Übersicht  über  jene  sieben  einfachen 
Körper  des  regulären  Systems  je  mit  der  betreffenden  Bezeichnung 
nach  Miller  und  Naumann  gegeben  : 

1.  Oktaeder:  0  —  a:a:a  =  (111). 

2.  Würfel:  ooOoo  =  a  :  oo  a  :  oo  a  =  (100). 

3.  Granatoeder :  ooO  =  a  :  a  :  ooa  «=  (HO). 

4.  Tetrakishexaeder :  oo  On  =  a  :na  :  ooa  oder  (ääO) 

z.  B.:  oo02  =  a  :  2a  :  ooa  =  (210). 

5.  Ikositetraeder :  mOm  =^  aima:  ma  oder  (hJck)  h^k 

z.  B.:  3 03  =  a  :  3a  :  3a  =  (311). 

6.  Triakisoktaeder :  mO  =  a:a:ma  oder  =  {hhk) h'^k 

z.  B.:  iO  =  a  :  a  :  |a  =  (332). 

7.  Hexakisoktaeder :  fnOn=^a  imaina  oder  (hM)  ä  >>  i  >  Z 

z.  B.:  3 0|  =  a  :  |a  :  3a  =  (321). 


Tollflftchige  Kluge. 


115 


104.  Komblnatloiieii.  Das  allgemeine  Über  die  Kombinationen 
ist  schon  oben  (92 S.)  gesagt,  wo  aach  bereits  einige  regulär-Toll- 
fi&chige  Kombinationen  speziell  besclirieben  worden  sind.  Danach 
wird  das  folgende  leicht  vei'Ständlich  sein.  Die  jo  den  folgenden 
Kombinationen  vorkommenden  einfachen  Formen  sind  anf  den  Abbil- 
dungen mit  Naumanngchen  Zeichen  angegeben  (vergl.  auch  (97)). 

Das  Oktaeder  in  Kombination  mit  dem  Würfel  stampft  dessen 
Ecken  ab  (Fig.  100)  and  ebenso  amgekehrt  (Fig.  98).    Beide  Formen 


Fig.  98. 


Fig.  99. 


Fig.  100. 


bilden  dieselbe  Kombination,  bei  Fig.  98  ist  das  Oktaeder,  bei  Fig.  100 
ist  der  Würfel  groß  und  der  Träger  der  Kombination ;  zwischen  beiden 
steht  die  in  Fig.  99  abgebildete  Form  dieser  selben  Kombination, 
der  sog.  Mittelkrystall  oder  das  Knbooktaeder,  in  der  Mitte. 

Das  Granatoeder  stampft  am  Würfel  die  Kanten  gerade  ab  (Fig.  101), 
nmgekehrt  der  Würfel  am  Granatoeder  die  vierkantigen  Ecken  (Fig.  102). 


Fig.  101. 


Fig.  102. 


Fig.  103. 


Fig.  104. 


Änch  diese  beiden  Fignren  stellen  mithin  die  gleiche  Kombination, 
die  des  Würfels  mit  dem  Granatoeder  dar.  Das  Grematoeder  stumpft 
anch  am  Oktaeder  die  Kanten  gerade  ab  (Fig.  103)  und  umgekehrt 
dieses  an  jenem  die  dreikantigen  Ek^ken  (Fig.  104).    Sind  Oktaeder, 


Fig.  106.  Fig.  106,  Fig.  lOJ. 

Wvrfü  und    Qrancdoeder  miteinander  kombiniert,  so   entstehen" die 
Formen,  welche  in  Fig.  105 — 107  dargestellt  sind.    Der  Reihe  nach 


l][g  ItepilBrei  EiystallBystem. 

sind  bei  ihnen  das  Granatoeder,  das  Oktaeder,  der  Wtlrfel  die  Träger 
der  Eombination. 

Die  Fig.  108  zeigt  den  Pyramidetucürfel  in  Kombination  mit  dem 
Würfel  Ersterer  schärft  die  Kanten  des  letzteren  zu,  letzterer  stampft 
die  Tierkantigen  Ecken  des  ersteren  ab.    In  Fig.  109  ist  die  Kom- 


Kg.  108.  Fig.  109.  Fig.  110. 


bination  des  Würfels,  des  Oktaeders,  des  Granatoeders  und  eines  ^a- 
midenoktaeders,  etwa  20  (221)  dargestellt.  Die  gegenseitige  Lage  der 
erstgenannten  drei  Körper  ist  aus  Fig.  106  bekannt;  das  Pyramiden- 
oktaeder  scbfirfl  im  allgemeinen  die  Oktaederkanten  zu,  hier  stumpft 
es  dementsprechend  die  Kombinationskanten  zwischen  Oktaeder  und 
Granatoeder  ab  und  zwar  notwendig  schief  (98).  Fig,  110  stellt  die 
Kombination  eines  Ikosüetraeders  mit  dem  Würfel  dar.  Die  Ecken 
des  letzteren  werden  von  den  Flächen  des  ersteren  von  den  Flächen  aus 
zugespitzt.      Fig.  111  gibt    das    Granatoeder,   dessen    Kanten   durch 


Fig.  111.  Fig.  112.  Fig.  113. 

das  Ikositetraeder  202  (211)  gerade  abgestumpft  werden.  Das  Hexa- 
kisoktaeder  30^(321)  schärft  die  Oranaloederkanten  zu  nnd  stumpft 
die  aus  Fig.  111  bekannten  Kombinationskanten  zwischen  den  Flächen 
von  ooO  und  202  schief  ab  (Fig.  112).  Die  Würfelechen  werden  von 
den  AcMundmereigflächnem,  z.  B.  402  (421),  sechsflächig  zugespitzt 
(Fig.  113).  Schon  oben  wurde  die  Kombination  des  Oktaeders  mit 
dem  Ikositetraeder  (Fig.  85)  und  mit  dem  Eexakisoktaeder  (Fig.  86) 
beschrieben. 

104a.  Kombinationen  (FortMtiniig).  Qrappieren  wir  die  EombinfttioDen  nach 
den  TrSgern  -derselben,  ao  erhalten  wir  das  folgende:  Der  Würfel  mit  abgeatiunpfl«n 
Ecken  (Fig.  100)  ist  die  Kombination  mit  dem  Oktaedecj  mit  abgestumpften  Kanten 
(Fig.  101)  die  mit  dem  Granatoeder;  mit  abgestampften  Kanten  und  Ecken  die  mit 
dem  Oktaeder  und  dem  Granatneder  (Fig.  107);  mit  sngeachärften  Kanten  die  mit 


Yoim&chige  Klasse.  117 

eiBem  Pyramidenwürfel  (Fig.  108) ;  mit  von  den  Flächen  aus  dreiflächig  mgespiteten 
Ecken  (Fig.  110)  die  mit  einem  Ikositetraeder ;  mit  sechsflächig  zugespitzten  Ecken 
die  mit  einem  Hexakisoktaeder  (Fig.  113)  etc. 

Das  Oktaeder  mit  abgestumpften  Ecken  (Fig.  98)  ist  kombiniert  mit  dem  Würfel ; 
das  mit  abgestumpften  Kanten  (Fig.  103)  mit  dem  Granatoeder ;  das  mit  abgestumpften 
Kanten  und  Ecken  (Fig.  106)  mit  dem  Würfel  und  dem  Granatoeder;  das  mit  vier- 
flächig von  den  Flächen  aus  zugespitzten  Ecken  (Fig.  85)  mit  einem  IkositetraSder; 
das  mit  achtflächig  zugespitzten  Ecken  mit  einem  Hexakisoktaeder  (Fig.  86)  etc. 

Am  Oranottoeder  bewirkt  der  Würfel  die  Abstumpfung  der  vierkantigen  Ecken 
(Fig.  102);  das  Oktaeder  die  der  dreikantigen  Ecken  (Fig.  104);  die  der  drei-  und 
der  vierkantigen  Ecken  gleichzeitig  der  Würfel  mit  dem  Oktaeder  (Fig.  105);  die 
Abstumpfung  der  Kanten  stellt  die  Kombination  mit  dem  Ikositetraeder  202  (211) 
dar  (Fig.  111)  und,  wenn  noch  die  Kanten  zwischen  den  Flächen  des  Granatoeders 
und  dieses  Ikositetraeders  abgestumpft  sind  (Fig.  112),  dann  tritt  zu  diesen  beiden 
noch  ein  Achtundvierzigflächner  und  zwar  ein  solcher  aus  der  Gruppe  der  Pjramiden- 
granatoeder.  Diese  letztere  Kombination  ist  oft  am  Granat  zu  beobachten,  wo  dieser 
Achtundvierzigflächner  den  Ausdruck:  30%  (321)  zu  haben  pflegt. 

Für  die  übrigen  einfachen  regulären  Formen  ergeben  sich  nach  dem  Obigen 
die  Verhältnisse  leicht  von  selbst. 

104  b.  Entwieklung  regalirer  Komblnatioiieii.  Die  regulären 
Eombinationen  sind  leicht  zn  entwickeln,  d.  h.  die  daran  beteiligten 
einfachen  Formen  sind  leicht  zn  bestimmen,  wenn  deren  Anzahl  nicht 
zu  groß  ist.  Manchmal  sind  die  Erystalle  aber  sehr  kompliziert,  so- 
fern sich  oft  nicht  nur  alle  oder  doch  die  meisten  der  sieben  ein- 
fachen Formen  im  allgemeinen  miteinander  vereinigen,  sondern  auch 
von  denen  mit  veränderlichen  Ableitungszahlen  m  resp.  n  mehrere 
mit  verschiedenem  Ausdruck  also  z.  B.  mehrere  Ikositetraeder,  mehrere 
Pyramidenwürfel  etc.  nebeneinander  vorhanden  sind.  Dann  ist  die 
Bestimmung  der  einzelnen  Formen  unter  Umständen  schwierig,  nament- 
lich wenn  noch  starke  Verzerrung  dazu  tritt.  Die  Symbole  aller 
Formen  lassen  sich  dann  nicht  ohne  eingehende  Beobachtung  der 
Zonen  am  Goniometer  und  ev.  umfangreiche  Winkelmessung  und  Be- 
rechnung ermitteln.  Handelt  es  sich  aber  nur  darum,  die  Zugehörig- 
keit der  einzelnen  Flächen  zu  der  oder  jener  der  einfachen  Formen 
im  allgemeinen  aufzusuchen  ohne  auf  die  speziellen  Werte  der  Ab- 
leitungszahlen m  und  n  einzugehen,  dann  fuhrt  auch  in  komplizierten 
Fällen  die  Zonenbeobachtung  mit  bloßem  Auge  unter  Berück- 
sichtigung der  Symmetrieverhältnisse  häufig  zum  Ziel.  Die"  Flächen 
des  Würfels,  des  Oktaeders  und  auch  des  Granatoeders  lassen  sich, 
wenn  sie  vorhanden  sind,  meist  unschwer  an  ihrer  Zahl  und  Anord- 
nung erkennen,  und  man  kann  auch  gewöhnlich,  selbst  wenn  sie  nicht 
zur  Ausbildung  gelangt  sind,  was  aber  bei  flächenreichen  Krystallen 
fast  nie  der  Fall  ist,  ihre  eventuelle  Lage  angeben.  Dann  sind 
aber  auch  die  drei  Achsen  bestimmt  und  aus  ihnen  folgen  die  Symbole 
der  anderen  Flächen  nach  den  Symmetrieverhältnissen.  Bei  solchen 
Untersuchungen  kann  man  auch  von  den  folgenden  leicht  verstand- 


118  Regnläres  Erystallsystem. 

liehen  Regeln  vorteilhaften  Gebrauch  machen:  Die  Ikositetraeder- 
flächen  liegen  zwischen  den  Flächen  des  Oktaeders  und  Würfels  und 
mit  ihnen  in  derselben  Zone.  Die  Flächen  der  Pyramidenoktaeder 
liegen  in  derselben  Zone,  aber  zwischen  denen  des  Oktaeders  und 
Granatoeders.  Die  Flächen  der  Pyramidenwürfel  liegen  zwischen 
denen  des  Würfels  und  des  Granatoeders.  Die  Flächen  der  Hexa- 
kisoktaMer  liegen  in  keiner  dieser  Zonen.  Diese  Beziehungen  der 
einfachen  vollflächig-regulären  Formen  zueinander  werden  durch  das 
folgende  Schema  übersichtlich  dargestellt: 

fnO\         ymOm 

I  \ 

ooO cxDÖn ooOoo 

Aus  der  Lage  der  Flächen  sieht  man  auch  häufig  ohne  weiteres, 
wie  viele  von  derselben  Art  vorhanden  sein  müssen,  was  die  weitere 
Bestimmung  erleichtert,  wenn  dadurch  nicht  schon  allein  die  Ent- 
scheidung gegeben  ist. 

Ganz  analoge  Betrachtungen  führen  bei  der  Entwicklung  regulär- 
hemiedrischer  Kombinationen  und  solcher  anderer  Erystallsysteme  zum 
Ziel.  Es  soll  daher  bei  ihnen  nicht  mehr  ausführlich  darauf  einge- 
gangen werden. 

Beispiele:  In  der  regulären  Kombination  des  Bleiglanzes  (Fig.  109)  sieht  man 
ohne  weiteres,  daß  die  Flächen  0  dem  Oktaeder,  cxsOoo  dem  Würfel  nnd  ooO 
dem  Granatoeder  angehören.  Nach  den  zuletzt  erwähnten  Eegeln  ist  2  0  ein  Pyra- 
midenoktaeder,  denn  die  Flächen  liegen  zwischen  denen  des  Oktaeders  nnd  Granatoeders 
in  der  Zone  derselben,  was  aus  den  paraUelen  Kanten  hervorgeht.  Der  allgemeine 
Ansdmck  der  Flächen  2  0  ergibt  sich  auch  ans  folgender  Betrachtung.  Die  Achsen 
stehen  senkrecht  auf  den  Wüifelflächen  oo  0  oo.  Von  zweien  dieser  Achsen  muß  jede 
der  Flächen  2  0  gleiche  Stücke  abschneiden,  da  sonst  die  Symmetrie  nach  den  Neben« 
symmetrieebenen  gestört  wäre.  Von  der  dritten  Axe  muss  dieselbe  Fläche  ihrer 
Lage  nach  ein  größeres  Stück  abschneiden,  als  auf  den  beiden  anderen,  da  sie  sonst 
mit  der  anstoßenden  Oktaederfläche  zusammenfaUen  oder  mit  ihr  einen  einspringen- 
den Winkel  machen  würde.  Der  Ausdruck  der  Fläche  2  0  ist  danach  im  allgemeinen: 
a:a:ma  (m}>l),  also  der  eines  Pyramidenoktaeders.  Der  spezielle  Wert  der  Ab- 
leitungszahl m  folgt  durch  Bechnung  aus  dem  Winkel,  den  eine  Fläche  2  0  mit 
einer  bekannten  Fläche  des  Krystalls,  also  etwa  mit  einer  Oktaederfläche  macht. 
Daß  die  Flächen  2  0  in  der  Zahl  von  24  vorhanden  sein  müssen,  geht  aus  ihrer 
Anordnung  hervor:  um  jede  der  acht  Oktaederflächen  liegen  ihrer  3;  an  jeder  der 
sechs  Würfelflächen  liegen  acht,  wobei  aber  zu  bedenken  ist,  daß  jede  Fläche  20 
gleichzeitig  an  zwei  Würfelflächen  angrenzt. 

In  Fig.  113  a  ist  ein  flächenreicher  Krystall  von  Rotkupfererz  abgebildet. 
Auf  den  ersten  Blick  lassen  sich  die  Flächen  p  als  die  des  Oktaeders,  femer  a  als 
die  des  Würfels,  somit  m  als  die  des  Granatoeders  erkennen.  Daß  n  ein  Pyramiden- 
oktaeder ist,  folgt  aus  dem  eben  betrachteten  einfacheren  Beispiele.  Von  den  Flächen 
b  schneidet  jede  der  Symmetrie  zufolge  auf  zwei  der  zu  den  Flächen  a  senkrechten 
Achsen  gleiche  Stücke  ab  und  zwar  größere  als  auf  der  dritten.    So  schneidet  z.  B. 


Tetnedrieohe  Hetniedrie.  HQ 

die  aber  p  liegende  FlSche  b  von  den  beiden  bomontftlen  Achnen  gleiche  Stflcke  ab, 

die  Dotbwendig  grOOer  sein  nttUseu,  als  das  aof  det  Tertikalen  Achse  abgeschnittene. 

b  hat  daher  des  Ansdmck :  ma :  ma :  a,  m  ^  1,  ei 

ist    also    ein    Ikositetraeder.     Dies    ergibt    sich 

auch  dsTSDi,   daß  die  FUchen  b  zwischen  den 

Wflrfeiatchen  a  und  den  OktaederflAchen  p  in 

deren  Zone  liegen.    6'  mni)  einem  iweiten  stnmp- 

feren  Ikositetraeder  angehSren,    etwa  mit  dem 

Aosdrack:  303,   wenn  6   den  Aasdmck    202 

hatte.     Ähnliche  Betracht nngeo    xeigen,    daß  e  ' 

die   Flfichen    eines   PyrsmidenwUrfels    dnd:    sie 

liegen  zwischen  den  Flachen  des  Wflrfels  a  and 

des  Qranaloeders  m  in  deren  Zone,  de  gehen 

ihrer  Lage  nach  einer  Achse  parallel  und  schneiden 

Ton  den  beiden  anderen  Achsen  ungleiche  Stücke 

ab,  was  den  Ansdrack ;  a :  ma :  oo  a  ergeben  wttrde. 

Die  Flachen  n,  b,  b'  und  e  mOssen  in  der  Zahl  £^.  113a. 

von  24  vorhanden  sein.    Die  Flachen  «  liegen  in 

keiner  der  oben  betrachteten  Zone,    de  sind  4Sn]al  vorhanden  and  begrenzen  ein 

Hexakisobtaeder. 

Hemiedrische  Klassen. 

Es  sind  dreierlei  H^niedrien  des  regulären  Systems  mOglich  und  bekannt,  die 
durch  Verschwinden  je  einer  Gruppe  von  S^metrieebenen  oder  beider  Gmppen 
glrichzeitig  ans  der  voltfl&chigen  Klasse  abgeleitet  werden  können. 

1.  Tetraedrische  Heniiedrie,  die  drei  Eanptsjmmetrieebenen  verschwinden. 

2.  Pjritoedrische  Hemiedrie,  die  sechs  Nehensymmetrieebenen  verschwinden. 

3.  G;roedriache  Heniiedrie,  alle  Symmetrieebenen  verschwinden  gleichcdtig. 
Nnr   die  beiden    erstgenannten  flemledrien    sind  verbreitet  nnd  h&nfig;    sie 

sollen  dahn  hier  allein  ebgehender  betrachtet  werden. 


Tetraedriaefi-hemledrisehe  (hexakistetraedrische,  tetraedrische,  geneigt- 
fläohig-fiemiedrischej  Klasse. 

Die  drei  Hauptsymmetrieebenen  sind  verschwunden,  mit  ihnen 
die  sechs  zweiz&hligen  (digonalen)  Symmetrieachsen  nnd  das  Symmetrie- 
centrnm.  Gfeblieben  sind  die  sechs  Nebensymmetrieebenen,  nnd  die 
vier  dreizfthligen  (trigonalen)  Symmetrieachsen,  sowie  die  drei  Symme- 
Irieaxen  parallel  den  drei  krystallographischen  Achsen  a;  diese  sind 
nun  aber  nicht  mehr  vlerzählig,  sondern  sie  sind  zweiz&hlig  geworden. 

105.  Gesetz  der  tetraedrlschen  Heniiedrie.  Nach  dem  Gesetz 
der  tetraedrischen  Hemiedrie  verhalten  sich  die  sämtlichen  P^lächen 
eines  nnd  desselben  Oktauten  gleich  and  die  in  den  abwechselnden 
Oktanten  verschieden,  wie  die  Schraffierung  an  dem  Hexakisoktaeder 
(Fig.  114)  zeigt  Uan  sieht  hieraus  ohne  weiteres,  dafi  die  drei  die 
Oktanten  scheidenden  Hanptsynunetrieebenen  hier  nicht  mehr  als 
solche  fon  gieren,  daffegen  bleiben  die  sechs  tlber  die  Oktanten  hinweg- 


X30  Begnllres  ErjttallsfBtem. 

geheoden  nad  sie  symmetrisch  teilenden  NebensymmetrieebeDen  aach 
hier  noch  Symmetrieebenen. 
Eine  sofort  erkennbare  Folge 
dieses  Gesetzes  ist  auch,  daß 
alle  drei  vierzähligen  Symme- 
trieachsen nnn  zweizählig  ge- 
worden nnd  die  sechs  zweizäh- 
UgenSymmetrieachsenvollkom- 
pj    1^4  pig  115  men  weggefallen  sind,  während 

die  vier  dreizähligen  Symme- 
trieachsen auch  hier  existieren.  Endlich  mnß  das  Symmetriecentmm 
verschwinden,  da  zu  jeder  Elächengmppe  die  parallele  in  dem  diame- 
tral gegenßberliegenden  Oktanten  verloren  geht;  die  tetraedrische 
Hemiedrie  ist  eine  geneigtflächige. 

106.  Elnfaelie  Formen  der  tetrsedTlBch-hemiedrlschen  Klasse. 

Jede  Hälfte  der  Flächen  einer  einfachen  vollflächigen  Form  gibt  im 
allgemeinen  eine  neae  halbflächige.  Die  beiden  korrelaten  hemi- 
edrischen  Formen  sind  stets  kongruent  nnd  lassen  sich  durch  Drehung 
nm  jede  der  drei  Achsen  nm  90^  znr  Deckung  bringen. 

Aus  jedem  HexakisoUaeder  entstehen  zwei  correlate  Hexahstetra- 
eder  (Fig.  116),  die  man  als  -|-  und  —  ant«rscheidet    Dire  Fonn   ist 


Figr.  116. 

die  eines  Tetraeders,  Über  dessen  vier  Flächen  sich  Pyramiden  von  je 
sechs,  nämlich  den  in  den  abwechselnden  Oktanten  erhalten  ge- 
bliebenen  Flächen,  erheben.  Diese  schneiden  sich  in  den  abwechselnd 
kOrzeren  nnd  längei-en  Kanten  M  und  L,  die  den  erhalten  gebliebenen 
Kanten  entsprechen  (Fig.  116,  wo  das  von  den  schraffierten  Flächen 
in  Fig.  114  begrenzte  Heiakistetraeder  besonders  abgebildet  ist).  Ton 
jeder  der  beziehungsweise  gleichen  Kanten  M  nnd  L  sind  in  jedem 
der  abwechselnden  Oktanten  drei,  im  ganzen  also  zwölf  vorhanden. 
AuBerdem  finden  sich  noch  zwOlf  gleiche  Kanten  N,  in  denen  sich 
die  vorhandenen  Flächen  aber  die  verschwundenen  hinweg  schneiden. 
Die  vier  3  +  3kantigen  Ecken  0  sind  die  bestehen  gebliebenen  Aber 
den  Mitten  der  abwechselnden  Oktanten.    Die  sechs  Ecken  E  an  den 


Tetnedrische  Hemiedrie.  121 

Enden  der  Achsen  siad  nun  2  -|-  2kantig  geworden.  Änßerdem  sind  vier 
3  4-  Skantige  Ecken  R  über  den  Oktanten  mit  den  Terschwnndenen 
Flächen  nea  entstanden.  Die  sechs  2 -|- 2  kantigen  Ecken  E  tut- 
sprechen  in  der  Lage  genau  den  sechs  4  -j-  4  kantigen  Ecken  (Fig.  97) 
des  Hexakisoktaeders.  Wie  durch  die  letzteren  die  Achsen  hindurch 
geheu,  so  gehen  sie  auch  beim  Hexakistetraeder  durch  je  zwei  gegen- 
flberliegeude  Ecken  E.  Das  Symbol  der  beiden  ans  dem  Hezakisokta- 
eder  mOn  oder  {hkl)  nach  obigem  Gesetz  abgeleiteten  Hexakistetraeder 

ist:  -| — s—  und jj—  oder:  +  "(ä^)  nnd  —  x(ßl)  .  x  dient  nur  zur 

Andeutung  der  Hemiedrie;  wo  diese  anderweitig  unzweifelhaft  ange- 
dentet  ist,  kann  x  auch  wegbleiben.  Die  Indices  der  einzelnen  Flächen 
der  beiden  korrelaten  Hexakistetraeder  im  Vergleich  mit  dem  Hexa- 
kisoktaeder  ergeben  sich  aus  Fig.  114  und  115. 

Ans  den  Terhältnissen  des  Hexakisoktaeders  folgen  die  Flächen- 
Terteilnng  and  die  Bezeichnung  der  tetraedrisch  -  hemiedrischen 
Körper,  die  aus  den  anderen  regnlären  Holoedern  sich  ableiten  lassen, 
von  selbst 

Das  Oktaeder  0  (lll)  gibt  zwei  korrelate  Tetraeder  +  -gUnd — -5- 

oder  -\-  x(lll)  und  —  "(^ll)'  welche  stets  von  yier  gleichseitigen  Drei- 
ecken begrenzt  werden.  Diese  schneiden  sich  in  den  sechs  gleichen 
Kanten  unter  Winkeln  Ton  70"  32'  (den  Winkeln,  unter  denen  sich 
zwei  Flächen  des  Oktaeders  Über  eine  Ecke  hinweg  schneiden)  und 
bilden  vier  gleiche  Ecken.  Die  Achsen  gehen  durch  die  Mitten  Ton  je 
zwei  gegenüberliegenden  Kanten,  welche  sich  unter  90 <>  kreuzen 
(Fig.  117 — 119).    Die  Kauten  des  einen  Tetraeders  schneiden  in  der 


Pig.  117.  Fig.  118.  Fig.  119. 

NormalstelluDg  die  Kanten  des  korrelaten  an  den  Enden  der  Achsen 
rechtwinklig. 

Jedes  Jkosiietraeder  mOm  {hkk)  gibt  zwei  TrvUäd^raeder  (Pyra- 
midentetraeder): -i-~!  oder  +  x(Wvt)  z.  B.  +^  =  -f  x(211)  und 

die  entsprechenden  negativen  Formen  der  anderen  Stellung: 5— 


122  Begiil&rea  RrjBtdlijsttiii. 

oifsc  ~K(kU);z.B.—  ~  =  —  x{2h)  (Fig.  120).     Daneben  giebt 


Fig.  120. 

Fig.121  die  Indices  der  einzelnen  Flächen  des  sclirafflei-ten  Triakistetni- 
eders  nnd  im  Vergleich  mit  Fig.  94  anch  die  des  korrelaten.   Die  Triakis- 
^  tetraeder  haben  die  Gestalt  eines  Tetraeders,  Ober 

3       '  i    dessen   Flächen  sich  niedrige  dreiseitige  Pyra- 

miden   erheben.     Die    sechs  langen  Kanten  Q 
liegen  genan  wie  die  Kanten  eines  Tetraeders 
nnd  je  zwei  gegenKber  liegende  kreozen  sich  wie 
dort  rechtwinklig.  Sie  entstehen  dnrch  den  Schnitt 
zweier  an  den  Enden  der  Achsen  in  einer  Tierkan- 
tigen Ecke  gegenüberliegenden  Flächen  des  Diosi- 
tetraeders,  wenn  die  beiden  anderen  in  dieser  Ecke 
zusammenstellenden  Flächen  bei  der  Hemiedrie  wegfallen.    Die  Uitten 
der  Kanten  Q  entsprechen  somit  den  vierkantigen  Ecken  des  Ikositetra- 
eders;  durch  sie  gehen  die  Achsen  hindurch.    Die  zwölf  gleichen  Pjra- 
midenkanten  P  sind  die  Kanten,  in  denen  sich  die  bei  der  Hemiedrie 
bleibenden   IkositetraederflELchen    schneiden.      Diese  bilden   die  vier 
gleichen  dreikantigen  Ecken  Ä,  während  in  den  vier  gleichen  3  ■}-  3kan- 
tigen  Ecken  S  sechs  Flächen  ober  den  verschwindenden  Oktanten  zn- 
sammenstofien. 

Jedes  Tridkiadktaeder  mO{hh]t)  giebt  zwei  DeMoeder  (Deltoiddode- 

kaeder) :  -| — g-  oder  +  ><äAä)  nnd g-  oder  —  xQM) ; 


Fig.  121. 


+  x(221)und- 


;  1!.  B.  -i-  - 


Fig.  122. 

-x(221)  (Fig.  122).    Diese  Figuren  in  Verbin- 


Tetnedriach«  Eemiediie. 


123 


Fig.  123. 


dnng  mit  der  Fig.  123,  in  der  eines  der  Deltoiddodekaeder  mit  den 

IndiceB  der  Flächen,  sowie  mit  der  Bezeiclinniig 

gleicher  Kanten  ond  Ekkeu  besonders  dargesteUt 

ist  geben  unter  BerückBichtigung  des  Torstehenden 

die  Verhältnisse  der  Deltoiddodekaeder  ohne  weitere 

Beschreibung. 

Die  übrigen  holoedrischen  Körper,  der  Wörfel, 
das  Granatoeder  und  die  Pyramidenwürfel,  werden 
nach  dem  Gesetz  der  tetraedrischen  Hemiedrie  nicht 
verändert    Da  jede  ihrer  Flächen  in  zwei  Oktanten 
zugleich  liegt,  so  müßte,  wenn  die  in  dem  einen  Oktanten  liegende 
Flficbenhälfte  aach  Terschwinden  würde,  sie  doch  durch  die  sich  ans- 
dehnende  andere  Hälfte  derselben  Fläche  in  dem  anstoßenden  Oktanten 
wieder  ersetzt  werden,  wie  das  z.  R  Fig.  124  am  Granatoeder  zeigt  (75). 
Diese  Körper  treten  also  bei  den  tetraedrischen 
Kombinationen  mit  ihrer  ganzen  Flächenzahl  auf. 
Es  besteht  aber  auf  diesen  Flächen  keine  Symme- 
trie mehr  nach  den  verloren  g^angenen  Symme- 
trieebenen, beim  Granatoeder  in  der  Richtung  der 
großen  Diagonalen,  wie  es  z.  B.  die   Ätzflgnren 
(200)  zeigen.     Analog    ist    es  beim   Würfel    und 
Pyramidenwürfel.  Fig.  124. 

I(y7.  Tetraedrische  Kombinationen.  Nar  Formen  der  tetra- 
edrisch-hemiedrischen  Klasse  vereinigen  sich  zu  solchen  Kombinationen. 
Hierher  gehört  aber,  anSer  dem  Tetraeder,  Pyramidentetraeder,  Del- 
toiddodekaeder und  Hexakistetraeder  auch  der  Würfel,  das  Granato- 
eder und  der  Pyramidenwürfel,  die  ihre  Gestalt  beibehalten  und  daher 
gleichzeitig  der  holoedrischen  und  der  tetraedrisch  -  hemiedrischen 
Klasse  angehören.  Kombinationen  entstehen  hier  wie  bei  vollflächigen 
Krystallen :  die  Achsen  der  zusammentretenden  einfachen  Gestalten  sind 
parallel.  Doch  hat  man  hier  die  Formen  der  Stellung  nach  zu  unter- 
scheiden, da  z.  B.  das  Tetraeder  der  einen  Stellung  von  dem  der  an- 
deren Stellung  wesentlich  verschieden  ist,  wie  sie  aach  bei  gleich- 
zeitigem Auftreten  an  demselben  KrystaU  von  physikalisch  ver- 
schiedenen Flächen  begrenzt  sind. 

Die  beiden  Tetraeder  stump- 
fen aneinander  die  Ecken  ab  (Fig. 
125).  Wenn  beide  ins  Gleichge- 
wicht treten,  so  ist  ihre  Kombina- 
tion geometrisch  identisch  mit  dem 
Oktaeder;  der  wesentliche  Unter- 
schied ist  aber  der,  daß  beim 
Oktaeder  0  alle  Flächen  einander 


124 


Regnläres  ErTitallsratem 


gleich,  bei  der  Kombination:  +  -ö -  — -ö  ^^^'^  ^^^  Flachen  +  g-  tob 
den  Flächen  —  -^  verBchieden  sind  (Fig.  126). 

Der  Würfel  stumpft  die 
Tetraederkanten  ab  (Fig.  127), 
umgekehrt  ein  Tetraeder  die 
abwechselnden  Würfelecken 
(Fig.  128).  Das  Granatoeder 
spitzt  die  Tetraedereeken  von 
den  Flachen  aus  zu  (Fig.  129), 
nnd  umgekehrt  stumpft  das 
Tetraeder  die  abwechselnden 
dreikantigen  Ecken  des  Gra- 
natoedera  ab  (Fig.  130). 

Das  Tetraeder  stumpft  am 
Pyramidentetraeder  der  glei- 
chen Stellang  die  Pyramiden- 
ecken  ab  und omgekehrt  schärft 
das  letztere  die  Kanten  des 
ersterenzu(Fig.l31).  Dagegen 
stumpft  das  Tetraederder  einen 
Stellung  die  3  -|-  3  kantigen 
Ecken  des  Pyramidentetra- 
eders der  anderen  Stellung  ab 
(Fig.  132).  (Weitere  Kombina- 
tionen siehe  bei  Blende,  Fahl- 
erz und  Boracit) 


Pyritoedrisefie  (pentagonal-hemiedrisohe,  parallel  flächig  -  hemiedrmhe, 
dyakiadodekaedriacfie)  Klasse. 
Die  sechs  Nebensymmetrieebenen  und  die  sechs  zweizähligea 
(digonalen)  Symmetrieachsen  sind  verschwunden.  Die  drei  Hauptsym- 
metrieebenen,  femer  die  vier  dreizähligen  (trigonalen)  Symmetrieachsen 
nebst  dem  Symmetriecentrum  sind  vorbanden  ebenso  die  drei  den 
tetragonalen  der  Tollflächigen  Formen  parallelen  Symmetrieachsen,  die 
aber  hier  zweizählig  geworden  sind. 

108.  Gesetz  der  pyrltoedrlschen  Hemiedrie.  Nach  dem  Gesetz 
der  pyritoedrischen  Hemiedrie  verhalten  sich  in  jedem  der  acht  durch 
die  Achsenebenen  (Hauptsymmetrieebenen)  bestimmten  Oktanten  die 
Flächen  abwechselnd  gleich  und  an  der  Grenze  zweier  Oktanten  stoßen 
sich  gleich  verhaltende  Flächen    der  beiden  letzteren  zusammen,  wie 


Pyritoedrwclie  Hemiedrie.  126 

es  in  Fijr.  133  fUr  das  Hexakisoktaeder  durch  die  schraffierten  and  nicht 

schraMerten  Flächen  dargestellt  ist.  Die  Folge  dieser  Flächengruppie- 

ning:  ist,  dafi  die  drei  Hanpt- 

gymmetrieefaenen    erhalten  n 

bleiben,  während  die  sechs 

Nebensjmmetrieebenen 
vegfallen.    Ebenso  bleiben 
die  vier  dreizähligen  Sym- 
metrieachsen, die  drei  vier- 
zähligen    Symmetrieachsen 

weisen  zweizählig  and  die  ^^  ^^ 

sechs     zweizähl^en     ver- 

schwinden.  Zn  jeder  Fläche  ist  die  parallele  Gtegenfläche,  also  fta 
die  ganze  Form  ein  Symmetriecentrum,  vorhanden;  die  Hemiedrie 
ist  eine  parallelfiächige.  Die  korrelateo  hemiedriscben  Formen  sind 
koDgment  and  können  durch  Drehnng  am  eine  Achse  am  90"  zur 
Deckung  gebracht  werden. 

109.  Einfache  Formen  d«T  pyrltoedrlaeheD  Klasse.  Aas  jedem 
Eexakisoktaeder  mOn  (Mi)  entstehen  zwei  D^loeder  (Dyakisdodekaeder) 
(Fig.  135).    Beide  korrelate  Diploeder  sind  kougraent  und  können 


darch  Drehung  um  eine  Achse  a  um  90"  zur  Deckang  gebracht  werden. 

Sie  werden  als  +   — ö—    nnd —  pö"    oder:  +  Mhkl)  und  —  n{fchl) 

bezeichnet.  In  Figur  134  (in  Yerbindang  mit  Fig.  97)  sind  die  In- 
dices  der  einzelnen  Flächen  der  Diploeder  zu  ersehen  und  ebenso  die 
Verhältnisse  der  Kanten  und  Ecken.  Es  sind  24  gleiche  Kanten  T 
vorhanden,  in  denen  sich  in  jedem  Oktanten  die  bleibenden  Flächen 
aber  die  verschwundenen  hinweg  schneiden  und  die  zu  je  dreien  in 
jedem  Oktanten  liegen;  ferner  zwölf  gleiche  lange  Kanten  K  und 
zwölf  gleiche  kurze  Kanten  Kin  den  Achsenebenen.  Die  sechs  24- ^kan- 
tigen Ecken  E  liegen  auf  den  Achsen;  durch  sie  gehen  die  Achsen  hin- 
darch.  Zwischen  je  zwei  Ecken  E  liegen  in  den  Achsenebenen  die 
2  -j- 1  +  Ikantigen  Ecken  Ü,  nUier  bei  der  einen  Ecke  E  als  bei  der 


^26  Begnlltres  KrjataUiyitem. 

anderen,  nnd  die  acht  dreikantigen  Ecken  0  liegen  mitten  über  den 
Oktanten.  Die  Flächen  sind  in  der  idealen  Fonn  unregelmäßige  Vier- 
ecke mit  zwei  in  einer  Ecke  zusammenstollenden  gleichen  Seiten  T. 
Ans  dem  Pyramidenwätfel  (Fig.  137)  kann  man  zwei  koirelate 
Pyriioeder  (Pentagondodekaeder)  ableiten  (Fig.  136   nnd  138).     Die 


Fig.  136.  Fig.  137.  Pig,  138. 

sechs  gleichen  längeren  Kanten  W  des  einen  Pyritoedei-s  sind  anf 
den  entsprechenden  des  Gegenkörpers  senkrecht.  Anch  die  beiden 
korrelaten  Pyritoeder  können  dnrch  Drehnng  um  eine  Achse  a  zar  Deckung 
gebracht  werden.  Die  zwölf  Fünfecke  sind  nicht  regulär,  sondern 
symmetrisch;  die  24  gleichen  Kanten  X  sind  von  den  sechs  ebenfalls 
gleichen  Kanten  W,  durch  deren  Mitten  die  Achsen  senkrecht  hindurch 
gehen,  Terschieden,  ebenso  die  acht  von  drei  Kanten  X  gebildeten 
Ecken  Q  von  den  zwölf  Ecken  T,  in  denen  je  zwei  Kanten  X  und 
eine  Kante  W  zusammenstoßen.  Das  reguläre  Pentagondodekaeder 
der  Geometrie  entspricht  nicht  dem  Gesetz  der  rationalen  Eanten- 
schnitte,  es  ist  daher  krystallographisch  unmöglich  und  noch  nie  be- 
obachtet worden.    Die  beiden  korrelaten  Pyritoeder  des  Pyramiden- 

würfelsooOnsind: +[^^]    oder    +   «(AAO)   nnd   —   n(*ÄO},  z.   B. 

+  p^|  =+  «:(210)  und  —  nr(120).    Sie  sind  wie  die  Diploeder 

parallelflächig. 

Alle  anderen  einfachen  regulären  Formen  außer  Hexakisoktaeder 

und  Pyramidenwürfel  ändern  ihre  Gestalt  bei  dieser  Hemiedrie  nicht; 
sie  treten  in  Kombinationen  mit  ihrer  vollen 
Flächenzahl  auf.  Ifan  überzengt  sich  davon 
leicht,  wenn  man  die  holoedrischen  Formen  als 
spezielle  Fälle  des  Hexakisoktaeders  auffaßt  (102). 
Beim  Würfel  z.  B.  (Fig.  139)  müßten  die  schraf- 
fierten, bleibenden  Flftchenteile  durch  ihre  Aus- 
dehnung die  heim  Eintritt  der  Hemiedrie  ver- 
p.    jgg  schwundenen    nicht    schraffierten    Flächenteüe 

wieder  ersetzen;  eine  Ändemng  der  ganzen  Form 

könnte  nicht  stattfinden  (75). 


Fyrit4wdriBclie  nnd  g;roedrische  Hemiedrie. 


127 


110.  Fyritoedrische  Eomblnatlonen.  Von  Eombinationen  pyri- 
toedrischer  Körper  sind  einige  besonders  hftnflg.  Die  Pyritoederflächen 
stampfen  am  Würfel  die  Kanten  ab,  aber  wegen  der  Hemiedrie  schief 
(Fi^.  140);  dies  ist  der  Unterschied  tod  der  Kombination  des  Grana- 
toeders  nnd  Wörfels,  wo  die  Abstumpfnng  eine  gerade  ist  (Fig.  101). 
Die  Würfelääclien  stumpfen  am  Pyritoeder  die  längeren  Kanten  W 
gerade  ab  (Fig.  141).  Das  Oktaeder  stumpft  am  Pyritoeder  die  drei- 
kantigen Ecken  Q  ab  (Fig.  142).  Bei  einer  gewissen  Änsdehnnng  der 
Oktaederflächen  bilden  sie  nnd  die  Pyritoederflächen  Dreiecke,  im 
ganzen  20,  von  denen  die  8  von  Ojlgebildeten  gleichseitig,  die  12  von 

\—n~\  gebildeten  gleichschenklig  sind ;  diese  Kombination  ist  das  sog. 

IJcosaeder  (Fig.  143).    Die  Pyritoederflächen  spitzen  am  Oktaeder  die 


Pig.  142. 


Fig.  143. 


Fig.  144. 


Ecken  zweifläclug  von  je  zwei  gegenüberliegenden  Kanten  aus  zu 
(Fig.  144).  Fig.  142—144  stellen  somit  dieselbe  Kombination  dar, 
aber  mit  verschiedener  Ausdehnung  der  beiden  kombinierten  einfachen 
Formen.  Das  Diploeder  spitzt  die  Würfelecken  dreiseitig,  aber  schief 
zu  (Fig.  14Ö)  (Tgl.  Fig.  113).  Einige  andere  Kombinationen  sind  noch 
beim  Schwefelkies  (Pyrit),  dem  fOr  diese  Hemiedrie  typischen  Mineral, 
und  beim  Eobaltglanz  angegeben  nnd  abgebildet 


Qyroedrisohe  (ptagiedrlBohe,  pentagon-ikoaitetraediiBohe)  Klaaae. 

111.  Ojrroelrlsek«  H«ni«dri«.  Bei  der  gTToedrischen  oder  plagiedrischen 
BemiBdrie  TerhaJton  uch  wie  bei  der  pjritoedrischen  in  jedem  Optanten  die  ab- 
wechtelndeu  Fl&cheu  gleich.  Der  Unterschied  besteht  nur  darin,  daG  in  den  OktAnten- 
gienzeu  *ngleiehe  FlSchen  aneinanderatoQen,  nie  es  Fig.  46b  für  das  Hezakisoktaeder 
im  Vergleich  mit  Fig.  44  b  oder  136  b  eeigt.    Infolgedessen  fillen  alle  Symmetrie- 


128  Regoläres  KrjstallBjitein.    Tetartoediie. 

«benen  und  das  Sjmmetriecentnim  weg.  Eh  bleiben  aber  die  drei  Tierz&hlijiren,  di« 
vier  dreizähligen  und  die  aechs  sweiz&hligeii  Sfinmetneachsen  des  Hexakisoktaeden 
erh&lteD.  Atu  dem  letzteren  entstehen  zwei  enontiomorphe  korrelat«  Oyrotder  oder 
Plagieder  [anch  Pentagon-IbOBitetraeder,  Fig.  4Öb  und  c);  olle  anderen  TotlflSchi^en 
regnl&ren  Fonnen  treten  dagegen  mit  ihrer  Tollen  Fttcheniahl  anf. 


Tetartoedriaohe  (tetraedrisoh-pentagondodehaedrisohe)  Klaaae. 

112.  Tetnrtoedrle.  Die  Tetartoedrie  des  regnULren  Sjatema  kann  ans  dor 
tetnedrischen  oder  pjritoedriacben  Hemiedrie  abgeleitet  werden,  indem  man  dnich 
abermaligea  VerBchwinden  der  Hälfte  der  Flachen  die  noch  Torhandenen  aecha  reap. 
drei  Sjmmetrieebenen  fortfallen  läHt.  Die  einfachen  tetartoedriachen  Formen  kann 
man  erhalten,  indem  man  anf  diejenigen  der  tetr»edriecben,  pyritoedrischen  oder 
gyroedrischen  Hemiedrie  daa  Gesetz  je  einer  der  beiden  anderen  Hemiedrien  an- 
wendet.   Jedesmal  ergibt  sich  ganc  genan  dasselbe  Beanltat    In  Fig.  146  iat  c  B. 


Fig.  146. 

anf  ein  Hexakiatetraeder  noch  das  Gesetz  der  pjritoedriBchen  (oder  gproedrischen) 
Hemiedrie  angewendet,  indem  von  den  aecha  in  einem  Oktanten  Torbandenen  Fl&chm 
nnr  je  die  abwechaelnden  erhalten  bleiben,  die  iwischenliegenden  verachwinden. 
Dadurch  fallen  die  sechs  Symmetrieebenen  des  Hexakiatetraeders  ebenfalls  weg  und 
es  iat  gar  keine  mehr  vorbanden.  Jedea  Hexakistetraeder  liefert  so  zwei  enanlio- 
morphe  tetartoedriacbe  Formen,  die  tetraedriaehe  Ptntagondodekaedtr  genannt 
werden.  Die  Hexakisoktaeder  geben  also  deren  Tier,  von  denen  je  zwei  kongruent 
sind.  Die  Pyramidenvrürfel  geben  zwei  Pyritoeder,  das  Oktaeder  Bwei  Tetraeder  etc. 
Bei  tetartoedriachen  Kombinationen  ist  also  eine  Vereinigung  von  Tetraedern  und  Pyri- 
toedem  an  demselben  Erystall  oder  es  ist  ein  getrenntes  Auftreten  Ton  tetraedriachen 
Formen  an  dem  einen  nnd  Ton  pjritoedrischen  Formen  an  einem  anderen  Erjstall 
derselben  Substanz  m^lich,  wie  es  z.  B.  beim  salpeteraanren  Blei  und  Baryum,  an 
Mineralien  beim  Ullmannit  nnd  Langbeinit  vorkommt.  Bei  hemiedriacber  Atu- 
bildnng  wäre  dies  nicht  denkbar. 


3.  Hexagonalea  Syatem. 

(Drei'  nnd  einachsiges,  hexagonalea  nnd  trigonalea,  aechggliedrigea  und  drei- 
gliedriges System.) 

Im  hexagonalen  System  sind  alle  diejenigen  Krystallklassen  ver- 
einigt, deren  Fonnen  sich  anf  drei  gleiche  in  einer  Ebene  nnter  60" 
gegeneinander  geneigte  Nebenachsen  a  nnd  eine  anf  diesen  senkrechte 


Hexagonales  Krystallsystem. 


129 


vierte  von  ihnen  verschiedene  Hauptachse  c  beziehen  lassen.    Das 
Achsenschema  ist  demnach: 

a:a:a:c;  ^a!a  =  m^;  ^a/c  =  90^ 

HS.  Achsen  des  hexagonalen  Systems.  Die  drei  gleichen  Achsen 
a,  welche  sich  unter  60^  schneiden,  liegen  in  einer  Ebene  (Nebenachsen) ; 
die  vierte  davon  verschiedene,  die  Hauptachse  Cj  ist  anf  diesen  senk- 
recht, c^a.  Die  zwölf  von  den  Achsenebenen  gebildeten  Banmab- 
schnitte  (Dodekanten)  sind  alle  einander  gleich.  Die  in  der  Ebene 
der  Nebenachsen  liegenden,  die  Winkel  zwischen  je  zweien  derselben 
halbierenden  Richtungen  h  werden  zuweüen 
als  Hilfslinien  verwendet  (Zwischenachsen) 
(Fig.  147).  Nach  den  Verhältnissen  der 
Symmetrie  kann  man  beliebig  die  Richtungen 
a  oder  b  als  die  der  Nebenachsen  nehmen, 
je  die  anderen  sind  dann  die  Zwischenachsen  ; 
die  Hauptachse  ist  dabei  stets  unveränderlich 
dieselbe.  Sie  wii'd  stets  vertikal  gestellt, 
so  dafi  die  Ebene  der  Neben-  und  Zwischen- 
achsen eine  horizontale  Lage  annimmt.  Aus 
einem  passenden  Flächenwinkel  der  Erystalle 
läßt  sich  das  Achsenverhältniss  a :  c  berechnen,  ^-  ^^''• 

oder,  wenn  man  a  resp.  c  =  1  setzt,  das  Achsenverhältniss  1 :  c  resp.  a :  1 
(38),  d.  h.  je  die  andere  Achse,  c  oder  a.  Alle  Achsen winkel  sind  bekannt. 
Das  Achsensystem  eines  hexagonalen  Erystalls  enthält  somit  nur  ein 
unbekanntes  Stuck  c  resp.  a. 

Jede  Fläche,  welche  an  einem  hexagonalen  Achsensystem  auftritt, 
schneidet  die  drei  Nebenachsen  (z.  T.  im  Unendlichen)  in  drei  auf 
einer  Geraden  liegenden  Punkten.    Schon  durch  zwei  Schnittpunkte, 

z.  B.  y  und  x  ist  aber  diese  Gerade  vollständig  bestimmt,  der  dritte 
Schnittpunkt  y  muß  also  aus  jenen  beiden  sich  ableiten  lassen.  Man 
findet,  daß  stets  für  den  dritten  zwischen  -j-  und  y  liegenden  Schnitt 
y  ist:  l  =  h-\-h,  also;  y  =  ,    ,  ,,  somit  ist  der  vollständige  Ausdruck 


\li*k+l-o 
h*k-4 


a 


a 


a 


einer  beliebigen  Fläche  an  den  hexagonalen  Achsen :  y :  fr-rri.  •  T  •  ~- 

Um  alle  einzelnen  Flächen  eines  Krystalls  in  ihrer  Lage  unzwei- 
deutig angeben  zu  können,  muß  man  die  Achsenrichtungen  wieder  als 
+  und  —  unterscheiden.  Nach  dem  Vorgang  von  Bravais  werden  als 
die  -{-Richtungen  die  um  120*^  gegeneinander  geneigten  Äste  der  Achsen  a 

Bauer,  Mineralogie.  ^ 


130  Hexagonales  Erystallsystem. 

angenommen,  die  zwischenliegenden  Äste  sind  — ,  (Fig.  147),  so  daß 
also  immer  ein + und — Zweig  der  Nebenachsen  miteinander  abwechseln. 
Dann  bezieht  sich  aber  von  den  obigen  Achsenschnitten  einer  Fläche  stets 
der  mittlere  auf  einen  Achsenast,  welcher  den  beiden  anderen  im  Vor- 
zeichen entgegengesetzt  ist;  sein  Index  l  muß  also  negativ  sein,  wenn  die 
beiden  anderen  Indices  h  und  k  positiv  sind,  und  umgekehrt.  In  jedem 
hexagonalen  Achsenausdruck  nach  Bravais  stehen  also  für  die  Neben- 
achsen zwei  positive  und  ein  negativer  oder  zwei  negative  und  ein 
positiver  Index,  und  es  muß  mit  Berücksichtigung  der  Vorzeichen 
sein:  ä-}-ä  =  —  l  oder  h-\-k-\-l  =  Oj  d.  h.  die  Summe  der  auf  die 
drei  Nebenachsen  bezüglichen  Indices  ist  =  0.    Der  Ausdruck  einer 

V  V  V        T71«  i.     •  X    1       "^^   "I"*   +öt    c     ,        a        a        a      c 
beliebigen  Fläche  ist  also :  =t-  :  -f- :  -V-  '  ~  oder  -r-r  :  -1—7  :  =-  :  — 
^  h        k        l       t  -\-h   +i-   ^i     % 

oder  in  Millerscher  Weise:  QJüi)  oder  auch  Qikli),  Es  erübrigt  dann 
nur  noch,  die  Indices  stets  in  derselben  Reihenfolge  auf  die  drei  Neben- 
achsen zu  bezieheu,  welche  man  zu  diesem  Zwecke  bezüglich  ihrer 
Richtung,  unbeschadet  ihrer  Gleichwertigkeit,  wohl  auch  als  a^,  o,,  a^ 
unterscheidet,  wobei  eine  beliebige  als  die  erste,  die  um  120^  davon 
abweichende  als  die  zweite  etc.  angenommen  wird,  so  wie  es  Fig.  147 
zeigt.  Von  den  Indices  in  Millerscher  Schreibweise  bezieht  sich  der 
erste  ä  stets  auf  a^,  der  zweite  k  auf  a^,  der  dritte  l  auf  Og;  der 
vierte  Index  i  bezieht  sich  auf  die  Hauptachse  c.  Zur  Bezeichnung 
der  ganzen  vollflächigen  Eiystallform  mit  dem  Ausdruck  Qtkli) 
pflegt  man  im  allgemeinen  diejenige  Fläche  zu  wählen,  bei  welcher 
Ä  >  Ä  und  l  =  h-\-k  (dem  absoluten  Werte  nach  ohne  Rücksicht  auf 
das_ Vorzeichen),  also  z.  B.  den  Ausdruck:  (2131),  nicht  aber  etwa: 
(1231),  welcher  Ausdruck  eine  Fläche  derselben  einfachen  Form  dar- 
stellt 


Vollfläohig  hexagonale  (dihexagonal-bipyramidale)  Klasse. 

3  +  3  +  1  Symmetrieebenen,  von  denen  die  eine,  die  Hauptsymme- 
tried>ene^  auf  der  Hauptachse  c  senkrecht  steht,  also  der  Ebene  der 
Neben-  und  Zwischenachsen  a  und  b  parallel  ist  Die  3  +  3  anderen 
Symmetrieebenen  gehen  alle  durch  die  Hauptachse  c  und  durch  je  eine 
Nebenachse  a,  resp.  eine  Zwischenachse  h.  Man  kann  sie  danach  als 
Neben-  und  Ztoischensymnietrieebenen  unterscheiden  (Symmetrieebenen 
ac  resp.  bc),  sie  werden  aber  meist  alle  zusammen  Nebensymmetrie- 
ebenen  genannt  3  +  3  +  1  Symmetrieaxen  parallel  den  krystallo- 
graphischen  Achsen,  davon  die  eine  sechszählige  parallel  der  Hauptachse  c, 
die  Hauptsymmetrieaxe ;  die  3  +  3  anderen  Nebensymmetrieaocen  parallel 
den  Nebenachsen  a,  resp.  den  Zwischenachsen  b  sind  zweizählig.  Auch  hier 
kann  man  zwischen  Nd>ensymfnetrieachsen  a  und  Ztvischensymmetrieachsen 


Vollflächige  Klasse.  131 

i  nnterscheiden.  Symmetriecentrum  vorhanden.  Die  Hanptsymmetrie- 
ebene  nnd  drei  gleichwertige  Nebeosymmetrieebenen,  die  sieb  unter 
dO'*  schneiden,  sind  die  Fundamentalflächen  des  Ächsensystems  (Tergl. 
(55)  und  (56)  und  Fig.  37). 

114.  Einfache  Formen.  1.  DiämMoeä«- (dihexagonale  Pyramiden, 
oder  anch  Bipyramiden,  Sechskantner).  Die  Flächen  schneiden  alle 
drei  Nebenschsen  nnglelch  nnd  treffen  die  Hauptachse  ia  einer  beliebigen 

endlichen  Entfemnog.  Der  Änsdntck  ist  also :  x :  -r-  ^  ~i  '■  ~^  =  {^^, 
z.  B.:  ^:  o:— ^  :  c=  (2131).     Die  Symmetrie  erfordert,  damit   alle 

Nebenachsen  von  der  Gesamtheit  der  Flächen  gleich  geschnitten  werden, 
24  Flächen,  welche  so  angeordnet  sind,  daß  sie  eine  auf  der  Ebene 
der  Kebenachsen  nach  oben  and  nuten  errichtete  24  flächige  Doppel- 
pyramide bilden  (Fig.  148).    Dieselbe  hat  zwölf 
gleiche  Seiten-,  Mittel-  oder  Randkanten  S  in 
der  Ebene  der  Nebenachsen,  die  ein  sechsfach 
symmetrisches,  aber  nie  ein  reguläres  Zwölfeck 
bilden;  femer  12 +  12  abwechselnd  gleiche  End- 
oder Polkanten,  V  und  E.    Zwei  End-  oder  Pol- 
edcen  e  liegen  auf  der  Hauptachse.    6  4-6  ab- 
wechselnd gleiche  Seiten-,  Mittel-  oder  Band- 
ecken a  nnd  b  liegen  in  der  Ebene  der  Neben- 
achsen   auf  den   Neben-   und    Zwischenachsen. 
Die    Bichtiing    der    Hauptachse  ist    durch   die  fj~  14g 

Ecken  c  gegeben,   die   Neben-  nnd  Zwischen- 
achsen  durch  die  Ecken  o  und  b,  wobei  man  beliebig  die  Richtungen 
aa  und  bb  als  Nebenachsen  wählen  kann.    In  jeder  Seitenecke  a  oder  b 
stofien  zwei  gleiche  Endkanten  mit  zwei  Seitenkanten  zusammen. 

Bei  den  Terschiedeneu  Körpern  dieser  Art,  die  an  einem  and  demBelbea  Achsen- 
System  Torkommen  kOnnen  und  welche  bald  hoch,  bald  niedrig  sind,  treffen  aich  die 
Flächen  in  den  Kanten  unter  verschiedenen  Winkeln,  und  danach  schneiden  die 
Flächen  die  Achsen  in  Terschiedenen  Verhältnisaen,  d.  h.  mit  verachiedenen  Indices, 
h,  k,  i.    Diese  lassen  sich  ans  jenen  Winkeln  berechnen  nnd  nmgekehrt. 

Didodekaeder,  die  flächenreichsten  einfachen  Formen  des  heiagonalen  Systems, 
sind  bisher  noch  nie  selbständig,  sondern  stets  nur  in  Kombinationen  beobachtet 
worden.  Alle  flächenänneren  Tollflächig-hexagonalen  Formen  kOnnen  als  Spezialfälle 
dee  Didodekaeders  betrachtet  werden. 

3.  IMexc^oruüe  Prismen  (zwölfseitige  Prismen).  Denkt  man  sieh 
alle  Flächen  des  Didodekaeders  aufgerichtet,  bis  sie  der  Hauptachse  c 
parallel  werden,  so  fallen  je  zwei,  welche  sich  in  einer  Seitenkante  S 
(Fig.  148)  schneiden,  in  eine  zusammen,  die  der  Hauptachse  parallel  ist. 
■Man  erhält  dann  ein  zwölfseitiges  Prisma,  dessen  Querschnitt  der  von  den 


132  Heia^nales  KryatallBystem. 

Seitenkanten  8  des  Didodekaeders  gebildeten  Figur  entspricht    Der 
Ausdruck  ist:  j-j-zri'-i  =  (**^°)  (^'^-  ^*^)-     ^'^  Neben-  und 
Zwischenachsen  gehen  durch  die  abwechselnden  Kan- 
ten, die  auf  diesen  senkrecht,  also  der  Hauptachse  c 
parallel,  und  abwechselnd  einander  gleich  sind. 

Die  Winkel  der  PriamenMclieiL  und  damit  die  Form  des 

Qnerachnitts  Hadem  sich  mit  den  ludices  h  und  k.    Am  gleichen 

Axensystem  kfinneu   viele  Eolcher  Prismen  vorhanden  sein,  abei 

Fig.  149.  ^^  keinem  ist  der  Querschnitt  ein  regnlär  iwSlfaeitigper;  dieser 

ist  mit  dem  Gesetz  der  rationaJen  Axeuscbnitte  nicht  vereinbar. 

Dieses  Prisma  ist  ein  Didodekaeder  mit  anendlich  grossem  Schnitt  der  FlKchen 

auf  der  Eanptaxe,  an  denen  daher  die  Kanten  S  =  180"  geworden  sind. 

3.  Dihexaeder  1.  Stellung  (heiagonale  Pyramiden  oder  Bipyramiden 
1.  Stellung,  Protopyramiden).  DiePlächengehen  einer  Nebenachse  parallel 
und  schneiden  die  beiden  anderen  Nebenachsen  gleich;  von  der  Hauptachse 
wird  ein  beliebiges  endliches  Stück  abgeschnitten.    Der  Ausdruck  ist: 

J :  -J  :  ~ :  4-  =  (hOhi) z.B.a: ooa :—aic  =  (lOll).    Es  ist  eine  6  +  6 

flächige  Doppelpyramide  über  der  Ebene  der  Nebenachsen  mit  sechs 
gleichen  Seiten-,  Mittel-,  oder  Randkanten  S,  welche 
ein  reguläres  Sechseck  bilden,  und  zwölf  gleichen 
End-  oder  Polkanten  K,  zwei  gleichen  End-  oder 
Polecken  c,  durch  welche  die  Hauptachse  geht,  and 
sechs  gleichen  Seiten-,  Mittel-,  oder  Eandecken  o, 
welche  die  Nebenachsen  bestimmen  (Fig  150).  Die 
Flächen  sind  in  der  Idealform  gleichschenklige  Drei- 
ecke.  Die  Zwisclienachsen  gehen  durch  die  Mitten 
^'  zweier  gegenüberliegender  Seitenkanten. 

An  jedem  Aiensystem  sind  viele  solche  Diheiaeder  möglich,  die  bald  hoch, 
bald  niedrig  sind  und  sich  dnrch  die  Eantenwinkel  unterscheiden,  von  denen  die 
Indicea  abhängen,  nnd  umgekehrt.  Alle  Dihexaeder  1.  Stellnng  kOnnen  als  Didodeka- 
eder angesehen  werden,  an  denen  die  Endkant«n  K=  160°  (Fig.  148]  sind,  so  dass  also 
zwei  in  K  KosammenstoBsende  Flächen  in  ein  Nivean  fallen. 

4.  Dihexaeder  3.  Stellung  (hexagonale  Pyramiden  oder  Bipyramiden 
2. Stellung, Deuteropyramiden).  Die Fläihen schneiden dieHauptachse;  so- 
dann die  Nebenachsen  so,  daß  von  einer  ein  gewisses  Stück,  von  den  beiden, 
rechts  und  links  unmittelbar  benachbarten  gleiche  Stücke  abgeschnitten 
werden.  Diese  müssen  dann  doppelt  so  groS  sein,  als  das  auf  der 
ersten  Nebenachse  abgeschnittene  Stück.    Der  Ausdruck   ist  daher: 

^:-^:-^:  j{h.hM.i),  z.  B.  a:a: -^;c  =  (U21).  DieSymmetrie 

erfordert  das  gleichzeitige  Auftreten  von  zwölf  solchen  Flächen,  welche 
genau  ebenso  gegeneinander  liegen,  wie  beim  Dihexaeder  1.  Stellang. 


VoMächige  Klaase.  133 

Von  diesen  sind  die  Dibezaeder  2.  Stellung  nicht  in  der  Form, 
sondern  nnr  in  der  Lage  verschieden  (Fig.  151),  indem  nämlich  hier 
die  NebenachseQ  a  durch  die  Hitten  zweier  Seiten- 
kanten, die  ZwischenaebseD  b  dnrcb  zwei  Seitenecken 
gehen.  Ein  Dihexaeder  1.  Stellung  kann  in  ein  solches 
2.  Stellang  an  demselben  Ächsensystem  übergeführt 
werden,  wenn  man  es  nm  die  Hauptachse  am  30<*  dreht.  ' 

Ein  fftr  sich  allein  TorkommeadeB  Dihexneder  ist  an  sich 
weder  erster  noch  «weiter  SteUnng,    Es  erhält  diese   Stellnng 
ent,  wenn  man  die  Nebenachsen  gewählt  hat,  welche  man  sich 
noch  Belieben  durch  die  Seitenecken  oder  die  Mitte  der  Seiten-         ^^-  ^^  ■ 
k)uit«n  legen  kann;    im  ersten  Fall  ist   der  Kürper  1.  Steltnng,  im  cweit«n  Fall 
a.  Stellnng.    Der  Unterschied  wird  erst  wichtig  bei  Kombinationen  (116).    (Vergl. 
qnadr.  System  (132)  Nro.  6).    Die  Dihexaeder  3.  Stellung  sind  Didodekaeder,  wo  die 
Endtanten  P^ISO"  (Fig.  148). 

5.  Hexagoncäes  Prisma  1.  /Teilung  (Protoprisma).  Denkt  man  sich 
die  Flächen  eines  Dihezaeders  1.  Stellung  aufgerichtet,  bis  sie  parallel 
mit  der  Hauptachse  werden,  so  entsteht  ein  sechsseitiges  Prisma,  dessen 
idealer  Querschnitt  ein  regelmflSiges  Sechseck  ist,  wie 
die  Seiteukanten  S  des  ersten  Dihexaeders  (Fig.  150). 
Die  sechs  gleichen  Kanten  sind  =^  120**  und  gehen  der 
Hauptachse  c  parallel;  die  Nebenachsen  a  stehen  auf 
ihnen  senkrecht  (Fig._JÖ2).  Der  Flächenansdmck  ist: 
a :  ooa :  —  a :  MC  =.  (1010).  Fi«-  ^^a. 

6.  Hexagmtües  Prisma  2.  Stellung  (Deuteroprisma).  Eis  steht  in 
derselben  Beziehung  zum  Dihexaeder  2.  Stellung,  wie  das  Prisma 
1.  Stellang  zum  Dihexaeder  1.  Stellang.  Es  ist  mit  dem  yorigen  voll- 
kommen gleichgestaltet,  aber  um  30"  dagegen  um  die  Hauptachse  ge- 
dreht,  so   daß   die  Nebenachsea  a   auf  den  Prismen- 

fiächen  senkrecht  stehen  (Fig.  153).    Achsenausdmck:  pr-"|  ^  '^ 


:ooc  =  a:a:  — ^■.<x>c  =  (1120). 


If*^ 


Für    die    Cnt«rscheidnng   beider    Prismen    gilt   das    bei    den 
Dihezaedem  Gesagte.    Es  sind  Dihexaeder  mit  anendlich  langem       ^       _ 
Schnitt  anf  der  Hanptacbee. 

7.  Die  Basis  (basisches  Pinakoid,  Geradendfläche).  Ein  Parallel- 
flächenpaar  senkrecht  zar  Achse  c  oder  parallel  der  Ebene  der  Neben- 
achsen ;  also :  ooa  :  ooo  ;  ooa  :  c  =  (0001)  (Fig.  9  links). 

Die  Baus  kann  als  eine  der  Pyramiden  betrachtet  werden,  deren  Endkouteu 
alle  =  180°  sind,  so  dali  die  Schnitte  anf  den  Nebenachsen  unendlich  groß  werden. 

Andere  vollflSchig-heisgonale  einfache  Formen  als  diese  sieben  sind  nicht  mög- 
lich (102). 

115.  Nanmaiinsche  Bezeichnung  und  'Übersicht.  Bei  der  Be- 
zeichnung der  vollflächigen  hexagonalen  Formen  nach  der  Methode 


134 


Hezagonales  Krystallsystem. 


von  Nanmann  geht  man  von  demjenigen  Dihexaeder  1.  Stellung  aus, 
welches  von  den  Achsen  die  Einheiten  abschneidet,  das  also  den  Aus- 
druck :  a  :  ooa  :  —  a:  c  =  (1011)  hat.  Dasselbe  wird  Hauptdihexaeder 
(Grundform,  Grundpyramide,  primäre  Pyramide)  genannt  und  mit  P 
bezeichnet.  Alle  anderen  an  dem  durch  P  gegebenen  Achsensystem 
möglichen  Erystallflächen  kann  man  sich  nun  so  entstanden  denken, 
dafi  man  eine  Fläche  von  P  im  Ende  einer  Nebenachse  a  (also  im 
Abstand  a  vom  Achsenmittelpunkt)  festhält  und  sie  sich  um  diesen 
Punkt  in  die  betreffende  Lage  gedreht  denkt,  und  zwar  in  der  Weise, 
daß  von  der  nächstfolgenden  Nebenachse  ebenfalls  ein  Stück  ==  a 
oder  ein  größeres  Stück  als  a,  auf  der  Hauptachse  aber  ein  ganz 
beliebiges  Stück  größer  oder  kleiner  als  c  abgeschnitten  wird. 
Eine  so  gedrehte  Fläche  ist  dann  in  jeder  Lage  vollkommen  be- 
stimmt, wenn  man  noch  die  von  der  nächstfolgenden  Nebenachse 
und  von  der  Hauptachse  abgeschnittenen  Stücke  na  und  mc  kennt, 
denn  der  Schnitt  a  auf  der  einen  Nebenachse  in  der  Entfernung 
a  ist  ja  ein  für  allemal  gegeben.  Die  Bezeichnung  der  betreffenden 
Krystallform,  die  von  dieser  und  allen  anderen  noch  von  der  Sym- 
metrie erforderten  Flächen  begrenzt  wird,  geschieht  nun,  indem  man 
vor  das  Zeichen  P  des  Hauptdihexaeders  die  Ableitungszahl  m  für  c 

und  hinter  P  die  Ableitungs- 
zahl n  für  die  andere  Neben- 
achse a  setzt,  also  mPn  = 
mc  :na:  a.  Dabei  ist  m  >,  = 
oder  <  1,  aber  es  muß  not- 
wendig n  ^  1  und  <  2  sein, 
wie  man  leicht  aus  einer  Pro- 
jektion in  der  Ebene  der  Ne- 
benachsen sieht  (Fig.  154).  Von 
2^  Naumann  sind  dabei  aber  ab- 
weichend von  Bravais  drei  un- 
mittelbar aufeinanderfolgende 
Halbaxen  a  positiv  gedacht 
(Fig.  154). 
Die  verschiedenen  einfachen  Formen  erhalten  danach  die  im 
folgenden  angegebenen  Symbole.    Dabei  ist  nach  den  Formeln  in  (113) 


Fig.  164. 


n 


die  auf  die  dritte  Nebenachse  bezügliche  Ableitungszahl « 
beiden  anderen  =  n  und  =  1  sind,  wie  es  hier  der  Fall  ist 


n — 1 


,  wenn  die 


i.  Bidodekaeder:  mPn  = 


na 
n^ 


a  :  na  :  mc  = 


a      a  m 

n — 1    n  n 

a    a     a 


(Fig.  157,  III)  in  Naumannschen  Achsen  oder:  -r  ^-r  -H;* 


Vollflächige  Klasse.  135 

=  (kkU)  in  Bravaisschen  Achsen ;  z.  B.  3P}  =  So  :  a  :  ^  :  3e 

=  a:-^:-^:ciü Naumannachen Achsen,  oder  =  ^  ;  o  ;  — "^  :  c 

=  (2131)  in  Bravaisschen  Achsen. 
3.  Dihexagonale  IVismen:  ooPn  oder  MIO  z.  B.:  ooPJ  =  (2130). 

3.  Dihexaeder  1.  St. :  mP  = -xa  :  a  :  a  :  mc  (I  in  Fig.  154)  oder  (AOÄi) 

z.  B.:  P  — (1011)  (Haoptdihexaeder);  }P  =  (3032)  etc. 

4.  Bihexaeder^  2.  St. :  mF2  =  2a:a:_2a:  mc  (II  in  Fig.  164)  oder 

(A  -Ä .  2Ä  .  i)  z.  B. :  2P2  =  (1121).  _ 

5.  Hexagonales  Prisma  1.  St.:  «.P  =  (1010). 

6.  Hexagowües  Prisma  2.  Si. :  ooP2  =  (1120). 

7.  Bans:  OP  =- (0001). 

Die  Flachen  des  Prismaa  der  1.  Stellung:  nnd  die  Basis  sind  die  FnadRinenUl- 
flftcben,  eine  FIBche  des  Hanptdihexaeders  (der  Ornndform)  P  —  (1011)  ist  die  Ein- 
heitsfläche  eines  hexagonalen  AchsensTstema. 

116.  Kombinatloneii.  Die  Flächen  p  des  hesagonalen  Prismas 
der  einen  Stellnng  stnmpfeD  die  Kanten  des  Prismas  der  anderen 
Stellung  p*  gerade  ah  {Fig.  155).  Die  Flächen  eioes  dihexagonalen 
Prismas  schärfen  die  Kanten  der  hexagonalen  Prismen  zu  oder  stampfen 
die  KombinatioDskanten  zwischen  den  beiden  hexagonalen  Prismen  p 
und  f*  ab.    Zuweilen  sind  beide  bexagonale  Prismen  mit  mehreren 


Fig.  155.  Fig.  166.  Fig.  1&7. 


dibexagonalen  Prismen  kombiniert,  dann  entstehen  von  so  schmalen 
Facetten  begrenzte  vielseitig  polygonale  Prismen,  daß  sie  auf  den 
erstes  Blick  f&r  walzenfönnig  mnd  gehalten  werden  kSimea  (z.  B. 
beim  Beryll).  Die  Basis  schließt  die  Prismen  oben  und  unten  und 
bildet  mit  ihnen  langsäulenförmige  (Fig.  155)  oder  dtlnnnadelfönnige  and 
haarförmige  Krystalle,  oder  aber  niedere  Tafeln  (Fig.  156)  oder  papier- 
dfinne  Plättchen,  welche  Formen  alle  krystallographisch  nicht  ver- 
schieden sind.  Die  Endecken  der  Pyramiden  werden  durch  die  Basis 
abgestumpft  (Fig.  157).  Die  Flächen  d  eines  stumpferen  Dihexaeders 
(Fig.  158)  spitzen  die  Endecken  eines  steileren  Dihexaeders  D  der- 
selben Stellung  von  den  Flächen  aus  zu,  nnd  umgekehrt:  die  Flächen 
TOD  D  schärfen  die  Seitenkanteo  von  ä  zu,  so  daß  beidemale  die 
Eombinationskaaten  Djd  den  ursprünglichen  Seitenkanten  d;d  nnd  DjD 
parallel  sind.    Die  Flächen  eines  Dihexaeders  d  sind  auf  die  Flächen 


]^36  EeiAgonales  ErjitallayBtem. 

eines  hexagonalen  Prismas  derselben  Stellnsg  p  angesetzt  (Fig.  159); 
die  Flächen  p  des  letzteren  stampfen  die  Seitenkanten  des  ersteren  d 


Fig.  158. 


Flg.  159. 


Fig.  160. 


gerade  ab ;  die  Kanten  djp  stehen  aof  den  Prismenkanten  pjp  senk- 
recht Dagegen  sind  die  Flächen  des  Dihexaeders  der  anderen  Stellung 
d^  anf  die  Kanten  des  Prismas  p  gerade  aufgesetzt,  und  die  Flächen 
des  letzteren  stumpfen  die  Seitenecken  des  ersteren  gerade  ab  (Fig. 
160).  Zwei  Dihexaeder  d  und  d,  von  verschiedener  Stellung  sind  so 
kombiniert,  daß  die  Flächen  des  einen  entweder  die  Endecken  oder 


Fig.  161. 


Fig.  162. 


Fig.  163. 


die  Seitenecken  des  anderen  von  den  Endkanten  ans  zospitzen  oder 
dessen  Endkanten  gerade  abstumpfen  (Fig.  161—163),  je  nachdem 
die  Flächen  des  Dihexaeders  d^  flacher,  oder  steiler  oder  genau  ebenso 
gegen  die  Achse  c  geneigt  liegen,  wie  die  Endkanten  von  d. 

An  dem  in  Fig.  164  dargestellten  Krystall  von  Beryll  sind  zwei 
^^_^_  ^_^  Dihexaeder  p  und  u  der  einen,  sowie  eines  s  der 

anderen  Stellung,  welches  die  Endkanten  von  u 
gerade  abstumpft,  wie  man  aus  der  Parallelität 
der  Kanten  s/u  an  jeder  Fläche  s  sieht;  dazu 
kommt  ein  hexagonales  Prisma  M  von  derselben 
Stellnng  wie  p  und  m,  ein  Didodekaeder  k  und 
die  Basis  m.  Wenn  man  diesen  Kristall  auf 
Achsen  beziehen  will,  so  hat  man  vollkommen 
freie  Wahl,  welches  von  den  Dihexaedem  man  als 
erster  Stellung  ansehen  will;  die  gleichliegenden 
sonstigen  Dihexaeder  (resp.  Prismen)  sind  dann  ebenfalls  erster,  die 
anderen  zweiter  Stellung  und  die  Nebenachsen  liegen  so,  daß  sie  durch 


Fig.  164. 


Hexagonale  und  trigonale  Elasseiu  137 

die  Seitenecken  der  Dihexaeder  erster  Stellung  resp.  durch  die  Kanten 
der  gleichliegenden  Prismen  gehen.  Hat  man  p  die  erste  Stellung 
gegeben,  so  ist  auch  u  und  M  erster,  s  zweiter  Stellung.  Die  Rich- 
tung der  Hauptachse  ist  wie  stets  den  Kanten  MjM  parallel  und  die 
Nebenachsen  schneiden  die  Kanten  MjM  senkrecht.  Hätte  man  umge- 
kehrt, für  8  die  erste  Stellung  angenommen,  so  wären  P,  u  und  M 
zweiter  Stellung  und  die  Nebenachsen  stünden  auf  den  Flächen  M  senk- 
recht Zur  Bestimmung  des  Achsenverhältnisses  kann  man  wieder  ein 
beliebiges  Dihexaeder  erster  Stellung,  z.  B.  p  als  Hauptdihexaeder 
wählen,  das  damit  den  Ausdruck :  a :  ooa :  —  a :  c  =  (1011)  erhält.  Seine 
Flächenwinkel  geben  dann  das  Verhältnis  a :  c.  Aus  den  Neigungen 
der  Flächen  der  anderen  einfachen  Formen  (resp.  dem  Zonenzusammen- 
hang (44 ff.))  folgen  die  Ausdrücke,  welche  diese  an  den  aus  p  be- 
stimmten Achsen  haben.  Ebenso  hätte  man  auch  u,  schließlich  aber 
auch,  bei  einer  anderen  Wahl  der  Nebenachsen,  s  als  Hauptdihexaeder 
wählen  können;  man  hätte  dann  ein  anderes  Achsenyerhältnis  a  :  c  und 
andere  Ausdrücke  für  die  anderen  einfachen  Formen  gefunden  etc. 

Beispiele  ToMftchig-hexagonaler  Erystalle  sind  yiel  seltener,  als  solche  Ton 
hemiedrischen  etc.  Von  Mineralien  ist  kaum  ein  anderes,  als  der  soeben  beispiels- 
weise genannte  Beryll  zu  erwähnen. 

Hemiedrische  und  tetartoedrische  Klassen. 

Hemiedrien  nnd  Tetartoedrien  gibt  es  im  hexagonalen  System  nach  yer- 
schiedenen  Gesetzen.  Sie  sind  z.  T.  viel  wichtiger  als  die  holoedrische  Klasse,  be- 
sonders gilt  dies  von  der  rhomboedrischen  Hemiedrie.  Nur  die,  welche  für  Mineralien 
Ton  einiger  Bedentang  sind,  sollen  hier  betrachtet  werden. 

117.  Hexagonale  und  trigonale  Klassen.  Wie  aus  der  obigen 
Tabelle  (81)  zu  ersehen,  können  die  teilflächigen  hexagonalen  Klassen 
in  zwei  Gruppen  geteilt  werden.  In  der  einen  derselben  ist  wie  in 
der  Yollflächigen  Klasse  eine  sechszählige  Hauptsymmetrieachse  vor- 
handen, in  der  anderen  ist  diese  infolge  der  Teilflächigkeit,  drei- 
zählig  geworden.  Man  hat  diese  beiden  Gruppen  wohl  auch  als  be- 
sondere Krystallsysteme  aufgefaßt  und  neben  dem  hexagonalen  oder 
sechsgliedrigen,  dem  dann  auch  die  yollflächige  Klasse  angehört,  noch 
ein  besonderes  siebentes,  das  trigonale  oder  dreigliedrige  unterschieden. 
Wir  betrachten  aber  alle  diese  Formen  als  Abteilungen  des  hexa- 
gonalen Systems  und  zwar  zunächst  die  sechsgliedrigen  Hemiedrien 
und  Tetartoedrien  mit  einer  sechszähligen  Hauptsymmetrieachse  und 
hierauf  die  dreigliedrigen  Hemiedrien  und  Tetartoedrien  mit  einer 
dreizähligen  Hauptsymmetrieachse.  Hier  würde  sich  dann  auch  die 
ogdoedrische  Klasse  einreihen,  die  aber  ohne  jede  Bedeutung  und  da- 
her hier  übergangen  ist.  Für  uns  würde  nur  in  Betracht  kommen: 
Sechsgliedrig :  Neben  der  schon  betrachteten  vollflächigen  die  voll- 


138  .    Hexagonales  Kryatallsystem. 

flächig-hemimorphe,  die  pyramidal  -  hemiedrische  und  die  pjrramidal* 
hemimorphe  Klasse ;  Dreigliedrig :  die  rhomboedrisch  -  hemiedrische, 
die  rhomboedrisch-hemimorphe,  sowie  die  rhomboedrisch-  und  die  trape- 
zoedrisch-tetartoedrische  Klasse. 


a)  Sechsgliedrige  (hexagonale)  Klassen. 

Die  Hauptachse  ist  eine  sechszählige  Symmetrieachse.  Von  ihnen  kommen  zwar 
drei,  die  vollflächig- hemimorphe,  die  pyramidal -hemiedrische  nnd  die  pyramidal- 
hemimorphe  im  Mineralreich  vor,  aber  nur  die  mittlere  ist  wegen  ihres  Auftretens 
am  Apatit  von  Bedeutung. 


l/ollflächig-hemlmorphe  ßexagonal-hemimorphe,  dibexagonal-pyraigldale) 

Klasse. 

118.  Hemimorphie  der  Tollflllchig-hexagonalen  Krjstalle.  Die  Krystalle 
sind  an  den  beiden  Enden  der  Hauptachse  c  verschieden  ausgebildet,  aber  jedes  Ende 
für  sich  zeigt  die  Symmetrie  der  voUflächig-hexagonalen  ErystaUe.  Die  Hanpt- 
symmetrieebene  ist  also  weggefallen  und  damit  auch  die  sechs  zweizähligen  Symme- 
trieachsen in  der  Ebene  der  Nebenachsen,  sowie  das  Symmetriecentrum.  Geblieben  sind 
dagegen  die  sechs  Nebeusymmetrieebenen  und  die  sechszählige  Symmetrieachse  parallel 
der  Hauptachse  c.  Was  die  einzelnen  einfachen  holoedrischen  Formen  anlangt,  so 
zerfallen  die  Doppelpyramiden  (Bipyramiden)  also  die  Didodekaeder  und  Dihexaeder 
in  je  eine  obere  und  eine  untere  Hälfte  und  es  entstehen  zwölfflächige,  resp.  sechs- 
flächige nach  unten  oder  oben  offene  Pyramiden,  deren  Spitzen  auf  der  Hauptachse 
liegen.  Die  Prismen  behalten  ihre  Gestalt  bei.  Die  Basis  zerföUt  in  die  beiden 
Einzelflächen,  von  denen  die  eine  fehlt  oder  Ton  der  anderen  physikalisch  verschieden 
ist.  Die  Symbole  dieser  hemimorphen  Formen  ergeben  sich  von  selbst  aus  denen  der 
vollflächigen.  Zwei  korrekte  Pyramiden  unterscheiden  sich  durch  den  +  resp.  — 
Schnitt  auf  der  Hauptachse  c.  So  gibt  das  Didodekaeder  mPn  (hkli)  die  beiden  zwölf- 
seitigen Pyramiden: 

0 .  — g —  {hklt)  und  u  .  — q— '  {hkit), 

wo  0  und  u  die  Lage  oben  und  unten  an  der  Hauptachse  andeuten  sollen.  Entsprechend 
ist  es  bei  den  Dihexaedem  und  der  Basis. 

Als  Beispiele  werden  genannt :  Greenockit,  Würtzit,  Zinkoxyd  (Rotzinkerz)  und 
Jodsilber, 


Pyramidal'hemiedrisohe  fhexagonal-bipyramidale)  Klasse. 

119.  Pyramidale  Hemledrie.  Bei  der  pyramidalen  Hemiedrie 
verhalten  sich  ringsum  je  die  zwei  an  einer  Seitenkante  anliegenden 
Flächen  einander  gleich  und  von  den  an  den  anstoßenden  Seitenkanten 
anliegenden  Flächen  verschieden,  wie  es  Fig.  165  für  das  Didode- 
kaeder zeigt.  Die  Folge  dieser  Flächenverteilung  ist,  daß  alle  Nebeu- 
symmetrieebenen verschwinden,  die  Hauptsymmetrieebene  aber  nicht, 
ebenso  fallen  auch  alle  sechs  ^w^eizähligen  Symmetrieachsen  in  der  Rieh- 


pyramidale  Hemiodrie.  139 

tnng  der  Neben-  und  der  Zwischenacbsen  fort,  aber  die  sechszftblige 

Haaptsymmetrieachse  nnd  das   Symmetriecentnim 

bleiben. 

Debnt  sich  nun  je  die  eine  Hälfte  der  Flächen 
des  Didodekaeders  aus  bei  gleichzeitigem  Ver- 
schwinden der  anderen,  wie  es  Fig.  166  in  der 
Projektion  auf  die  Ebene  der  Nebenachsen  zeigt, 
so  entstehen  ans  dem  Didodekaeder  zwei  kongruente 
korrelate  Dihexaeder,  denn  je  zwei  abwechselnde 
Seitenkanten  s  (oder  s^)  mQssen   sich   über    eine  pj^  -^q^ 

zwischenliegende  s^  (oder  s)  stets  unter  Winkeln  von 
120"  schneiden.  Diese  Dihexaeder  unterscheiden 
sich  in  der  allgemeinen  Form  in  nichts  von  den 
beiden  Arten  von  vollflächigen  Dihexaedern,  sie 
sind  aber  weder  erster  noch  zweiter  Stellung.  Die 
Hauptachse  geht  zwar  auch  bei  ihnen  durch  die 
beiden  Endecken,  aber  die  Nebenachsen  gehen 
weder    durch    die    Seitenecken ,    noch    durch    die  pj»  jgg. 

Mitten  der  Seitenkanten  (Dihexaeder  1.  und 
2.  Stellung),  sondern  sie  treffen  die  Seitenkanten  in  irgend  einem 
anderen  Funkt.  Sie  nehmen  daher  eine  intermediäre  Stellung  ein  und 
werden  als  Dihexaeder  (hexagonale  Bipyramiden)  der  ß.  Stellung  oder 
der  Zwischenstellung  oder  auch  als  Tritopyramiden  bezeichnet.  Je  zwei 
korrelate  Tritopyramiden  sind  kongruent  und  werden  als  +  "i^d  — 
von  einander  unterschieden.  Sie  sind  spitzer  oder  stumpfer  je  nach 
der  Gestalt  des  Didodekaeders,  aus  dem  sie  abgeleitet  wurden.  Hat 
letzteres  den  Ausdruck :  mPn  (hMi),  dann  haben  die  zugehörigen  beiden 
Dihexaeder  3.  Stellung  die  Ausdrücke: 


^[^].im)unA-[^p]nimi) 


')■ 

n  ist  nur  das  Zeichen  der  Hemiedrie  und  kann,  wo  kein  MiSverständ- 
nis  möglich  ist,  wegbleiben. 

Betrachtet  man  nun  die  übrigen  vollflächigen  hezagonalen  Ge- 
stalten als  Spezialfälle  des  Didodekaeders  (114),  so  sieht  man  leicht, 
dafi  außer  den  Didodekaedem  nur  die  dihexagonalen  Prismen  noch 
neue  Formen  liefern,  und  zwar  hexagonale  Prismen  der  dritten  oder 
Zwnschenstelhmg  (Tritoprismen),  indem  von  den  Flächen  der  dihexa- 
gonalen Prismen  je  die  abwechselnden  sich  ausdehnen  und  verschwinden 
(Fig.  166,  WD  man  sich  die  Prismenflächen  nach  den  Geraden  s  und 
s,  auf  der  Ebene  der  Nebenachsen  (des  Papiers)  senkrecht,  also  parallel 
mit  der  Hauptachse  zu  denken  bat).  Alle  anderen  holoedrischen  Formen 
ändern  ihre  Gestalt  nach  dem  Gesetz  dieser  Hemiedrie  nicht,  sondern  treten 
in  Kombinationen  dieser  Hemiedrie  mit  ihrer  ganzen  Flächenzahl  auf 


140  Hexagonales  Erystailsystem. 

Das  Haaptbeispiel  fttr  die  pyramidale  Hemiedrie  des  Hexagonalsystems  bildet 
der  Apatit,  Ton  welchem  ein  Krystall  Fig.  167  abgebildet  ists  Zwei  Dihexaeder  der 
einen  Stellung  x  nnd  z  und  zwei  der  anderen  Stellung  a 
und  8  sind  yorbanden,  dazu  ein  Prisma  M  von  der  ersteren 
und  ein  solches  e  von  der  anderen  Stellang.  Die  Kanten 
MJs  sind  durch  u  abgestumpft,  aber  nur  einseitig,  oben  und 
unten  links  von  8 ;  diese  Flächen  u,  von  denen  je  zwei  sich, 
gehörig  erweitert,  in  einer  horizontalen  Seitenkante  schneiden 
würden,  wie  die  Zonen  [ucu]  zeigen,  bilden  miteinander 
ein  Dihexaeder  der  dritten  Stellung.  Die  Flächen  c,  welche 
einseitig  die  Kanten  MJe  abstumpfen,  büden  ein  hexago-  ^^' 

nales  Prisma  der  dritten  Stellung  (vergl.  die  Yollflächige  Kombination  des  Beryll, 
Fig.  164). 


Pyramidal'hemimorphe  (hexagonal-pyramidale)  Klasse. 

120.  Pyramidale  Hemlmorphie.  Bei  der  Hemimorphie  der  pyramidalen 
Hemiedrie  sind  die  Formen  der  letzteren  (119)  in  der  Richtung  der  Hauptachse  c  an 
deren  beiden  Enden  verschieden  geworden.  Infolgedessen  ist  auch  die  Hauptsymmetrie- 
ebene nebst  dem  Symmetriecentrum  verschwunden;  als  einziges  Symmetrieelement 
ist  nur  die  sechszählige  Symmetrieachse  parallel  der  Hauptachse  c  geblieben.  Die 
Doppelpyramiden  (Dihexaeder  1.,  2.  und  3.  Stellung)  teilen  sich  in  je  zwei  korrelate 
einseitig  offene  einfache  Pyramiden,  deren  Spitzen  oben  und  unten  auf  der  Haupt- 
achse liegen  und  deren  Ausdrücke  sich  nur  durch  das  -|~  ^^^  — Vorzeichen  der  Ab- 
leitungszahl i  für  die  Hauptachse  unterscheiden.  Aus  dem  Dihexaeder  1.  Stellung 
(hOhi)  entstehen  also  z.  B.  die  beiden  korrekten  Teilformen  {hOhtj  und  {hOhi)  und 
entsprechend  bei  den  übrigen  Pyramiden.  Die  Basis  zerfällt  in  ihre  beiden  Einzel- 
flächen, nur  die  Prismen  behalten  ihre  Gestalt  und  Stellung  als  solche  1.,  2.  und 
3.  Stellung  bei. 

Geht  man  von  der  vollflächig  hexagonalen  Klasse  aus,  so  hat  man  es  hier  mit 
tetartoedrischen  Formen  zu  tun.  Die  Didodekaeder  mPn  oder  (hJdi)  geben  vier 
einfache  Pyramiden  3.  Stellung,  zunächst  eine  -{-  und  eine  —  Tritopyramide  (119) 
und  aus  beiden  entsteht  je  eine  obere  und  eine  untere  Hälfte.  Danach  erhält  man, 
wenn  o  und  u  oben  und  unten  bedeutet,  die  vier  Ausdrücke: 

0 . -t-  — —    oder  (hkl%)  und  o  .  —   — —    oder  (Mi); 

.   [mPn!     ,       ,  --        ,  rmPn"!     ,      ,_=-=-r. 

1* .  +  — ^ —    oder  (hklt)  und  u .  —   — —    oder  (M*). 

Die  Ausdrücke  für  die  aus  den  Dihexaedem  1.  und  2.  Stellung  und  aus  der 
Basis  abgeleiteten,  einfachen  hemimorphen  Gestalten  ergeben  sich  darnach  von  selbst. 

Dem  physikalischen  Verhalten  (Atzfiguren)  nach  wird  der  Nephelin  hierher 
gerechnet. 

ß)  Dreigliedrige  (trigonale)  Klassen. 

Hauptachse  eine  dreizählige  Symmetrieachse.  An  Mineralien  sind  beobachtet  die 
rhomboedrisch-hemiedrische,  die  rhomboedrisch-hemimorphe,  die  trapezoedrisch-tetar- 
toedrische  und  die  rhomboedrisch-tetartoedrische  Klasse.  Besonders  wichtig  ist  die 
erste  wegen  ihres  Vorkommens  an  dem  Kalkspat  und  die  dritte,  zu  welcher  der 
so  verbreitete  Quarz  gehört. 


Bhomboediische  Hemiedrie.  141 

Rhombaedrisoh-hemiedrisohe  (ditrigonal-skalenoedriache)  Klasse. 

121.  Bhomboediische  Hemiedrie.  Nach  dem  Gesetz  der  rhombo- 
edrischen  Hemiedrie  verhalten  sich  ähnlich  wie  bei  der  tetraedrischen 
Hemiedrie  des  regulären  Systems  (105)  alle  in  einem  Raomabschnitt, 
hier  in  einem  von  der  Hanptachse  c  nnd  zwei  Nebenachsen  a  begrenzten 
Dodekanten,  vorhandenen  Flächen  einander  gleich  nnd  von  denen  der 
umliegenden  Dodekanten  verschieden.  Setzt  man  diese  Flächenver- 
teilung rings  um  den  Ejystall  herum  konsequent  fort,  so  ist  jeder 
Dodekant  von  drei  entgegengesetzt  sich  verhaltenden  Dodekanten  um- 
geben, wie  dies  in  Fig.  169  für  das  Beispiel  des  Didodekaeders  durch 
schraffierte  und  nicht  schraffierte  Flächen  dargestellt  ist.  Jeder 
Dodekant  mit  schraffierten  Flächen  ist  umgeben  von  drei  Dodekanten 
mit  nicht  schraffierten,  und  umgekehrt. 

Die  Folge  dieser  Anordnung  ist,  daß  die  Hauptsymmetrieebene 
der  vollflächigen  Krystalle  als  solche  wegfällt,  und  ebenso  die  drei 
abwechselnden,  durch  die  Nebenachsen  a  gehenden  Nebensjrmmetrie- 
ebenen,  während  die  drei  durch  die  Zwischenachsen  bestimmten  Neben- 
sjnoimetrieebenen  bleiben.  Die  sechszählige  Hauptsymmetrieachse  des 
Didodekaeders  wird  dreizählig,  die  drei  den  Nebenachsen  a  parallelen 
zweizähligen  Symmetrieachsen  ändern  ihren  Charakter  nicht,  aber  die 
drei  den  Zwischenachsen  parallelen  Symmetrieachsen  fallen  weg.  Das 
Symmetriecentrum  bleibt,  die  rhomboedrische  Hemiedrie  ist  eine 
parallelflächige.  Die  Flächenverteilung  läßt  auch  erkennen,  daß  die 
korrelaten  Formen  nicht  enantiomorph,  sondern  kongruent  sind  und 
durch  Drehung  um  die  Hauptachse  c  um  180®  (resp.  auch  um  60®  und 
300®)  zur  Deckung  gebracht  werden  können.  Man  unterscheidet  sie 
als  -j-  ^^d  — . 

Die  rhomboedriach-hemiedrische  Klasse  ist  die  wichtigste  des  hexagonalen 
Systems.  Ihr  gehören  die  allermeisten  nnd  zngleich  mit  die  allerwichtigsten  hexa- 
gonal  krystallisierten  Mineralien  an,  mehr  als  allen  anderen  hexagonalen  Klassen 
zusammen.  Als  Hanptbeispiele  sind  der  Kalkspat  nnd  die  anderen  rhomboedrischen 
Karbonate,  der  Eisenglanz^  Korund  etc.  zn  nennen. 

122.  Einfache  Formen  der  rhomboedrischen  Hemiedrie.  Diese 
entstehen,  wenn  von  den  Flächen  der  holoedrischen  Formen,  die  in 
den  abwechselnden  Dodekanten  liegenden  Flächen  verschwinden  und 
die  übrigen  sich  ausdehnen,  wie  es  die  Flächenschraffierung  in  Fig. 
169  für  das  DidodeJcaeder  zeigt.  Denkt  man  sich  alle  schraffierten 
Flächen  ausgedehnt  und  gleichzeitig  alle  anderen  verschwunden,  und 
umgekehrt,  so  entstehen  aus  diesem  zwei  korrekte  Skdlenoeder  (Fig. 
168  und  170),  begrenzt  von  je  12  unregelmäßigen  Dreiecken,  welche 
sich  in  sechs  zickzackförmig  schief  auf-  und  absteigenden  Seiten-, 
Mittel-  oder  Randkanten  S  (Fig.  168)  und  in  6  +  6  abwechselnd 


142  Hexagonales  KrTatallsystem. 

gleidien  End-  oder  Polkanten  K  nnd  K^    schneiden.    Von  diesen 
stoßen  je  3  +  3  abwechselnd  gleiche  in  jeder  der  zwei  gleichen  End- 
oder Polecken  c  zusammen,  wäh- 
rend  sich   in   jeder   der   sechs 
gleichen   Seiten-,   Mittel-    oder 
Randeckea  e,    die  abwechselnd 
I  höher  nnd  tiefer  liegen,  je  zwei 
gleiche  Seitenkanten  S  nnd  je 
zwei  ungleiche  Endkanten  K  nnd 
K^  treffen.    An  jedem  Skaleno- 
eder  sind  in  der  Normalstellung, 
wie    sie    durch    die    Beziehung 
Fig.  168.        Fig.  169.         Fig.  170.     znm  Didodekaeder  gegeben,  and 
wie  sie  in  den  Fig.  168  und  170  dargestellt  ist,  die  Endkanten  K 
nach  derjenigen  Eichtung  gekehrt,  nach  welcher  die  Endkanten  K^ 
des  Gegenskalenoeders  gehen  Dud  umgekehrt.    Die  Seitenkanten  beider 
dnrchkrenzen  sich  in  den  Enden  der  Nebenachsen  unter  gewissen  Winkeln, 
welche  von  den  Indices  des  Didodekaeders  abhängen.    Beide  Skaleno- 
eder  werden  als  +  nnd  —  Skalenoeder  unterschieden.    Sie  sind  kon- 
gruent ;  das  eine  Skalenoeder  kann  dnrch  eine  Drehung  um  die  Haupt- 
achse um  180°  (resp.  auch  um  60°  und  300°)  in  die  Stellung  des 
anderen,  des  Gegenskalenoeders,  gebracht  werden.    Die  Hauptachse 
geht  bei  allen  Skalenoedern  durch  die  beiden  Endecken  c,   ebenso 
die  Nebenachsen  durch  die  Mitte  zweier  gegenüberliegender  Seiten- 
kanten S,  die  Körper  mögen  -\-  oder  —  sein.    Hier  kann  man  also 
die    Nebenachsen    nicht    beliebig    wählen,    wie    im    vollfiächigen 
System;  sie  sind  hier  ebenso  bestimmt  und  fest  g^eben,  wie   die 
Hanptachsa     Das    eine    Skalenoeder    wird    nach    der   Millerschen 
Methode  mit  dem  Ausdruck  q  QMi)  bezeichnet,  wo  ä  >  li,  das  Gegen- 
skalenoeder  ist  dann  eQchli). 

Nach  demselben  Gesetz  entstehen  aus  dem  Dihexaeder  1.  Stdlung 
(Fig.  172)  zwei  korrelate  Bhomboeder  (Fig.  171  und  173),  und  zwar 


ein  4*  und  ein  —  Bhomboeder,  eines  das  Gegenrhomboeder  des  anderen. 
Sie  sind  in  der  idealen  Gestalt  von  sechs  Rhomben  begrenzt,  welche 


Rhomboedriscbe  Hemiedrie.  143 

sich  in  seclis  gleichen  End-  oder  Poltanten  E,  die  darch  die  beiden 
Endecken  c  gehen,  und  in  sechs  gleichen  zickzackförmig  auf-  und  ab- 
steigenden Seiten-,  Mittel-  oder  Kandkanten  S  schneiden,  welche  dnrch 
di«  sechs  gleichen  Seiten-,  Mittel-  oder  Randecken  e  gehen.  Diese 
Seitenkanten  verlaufen  hier  genau  so  wie  bei  den  Skalenoedem,  auch 
die  Achsen  gehen  genau  so  wie  dort  durch  die  beiden  Endecken  und 
durch  die  Mitten  von  je  zwei  gegenüberliegenden  Seiteukanten.  Die 
Endkanteu  des  einen  Khomboeders  sind  in  der  Normalstellang  nach 
derselben  Seite  bin  gerichtet,  nach  welcher  die  Flächen  des  Oegen- 
rhomboeders  gerichtet  sind.  Die  Seitenkanten  steigen  in  beiden  in 
entgegengesetzten  Eichtungen  auf  und  ab,  wie  bei  den  Skalenoedem. 
Khomboeder  und  Gegenrhomboeder  sind  kongruent  und  können  durch 
Drehung  um  die  Hauptachse  um  180*  (resp.  auch  um  60"  und  300") 
zur  Deckung  gebracht  werden.  Rhomboeder  wie  Skalenoeder  sind 
bald  spitz,  bald  stumpf,  je  nachdem  sie  von  der  Hauptachse  größere 
oder  kleinere  Stücke  abschneiden.  Beide  sind  paraÜelfltLchig.  Der 
Ausdruck  der  beiden  Rhomboeder  nach  Miller  ist:  eQiOhi)  und  g(OJÄi). 
Das  Hauptdihexaeder  (lOU)  zerfällt  in  die  beiden  Rhomboeder  ^(1011) 
und  ^0111),  von  denen  das  eine  das  Rattptrhomboeder  (primäres  Rhombo- 
eder), das  andere  das  Gegenrhomboeder  im  engeren  Sinne  genannt 
wird.  Die  Achsen  werden  so  angenommen,  daß  die  -|-  Rhomboeder 
an  ihnen  den  Ausdruck  (hOkt),  resp.  (lOU)  erhalten. 

Alle  übrigen  hexagonalen  Formen  geben  nach  diesem  Gesetz 
keine  neuen  bemiedrischen  K&rper,  sondern  sie  treten 
in  den  Kombinationen  mit  ihrer  ganzen  Flächenzahl 
auf,  so  namentlich  die  Dihezaeder  2.  Stellung,  die 
sich  dadurch  als  solche  ganz  bestimmt  charakteri- 
sieren und  von  denen  1.  Stellung  unterscheiden ;  ebenso 
die  Prismen  und  die  Basis.  Für  die  Dihezaeder 
2.  Stellung  zeigt  das  die  Fig.  174.  Die  Hälfte  jeder 
Fläche  liegt  in  dem  einen  Dodekanten  und  verschwindet,  « 

die  andere  Hälfte  im  anstoßenden   Dodekanten  und         Fiff- 1'*- 
dehnt  sich  aus,  so  daß  sie  die  verschwundene  Hälfte  sofort  wieder 
ersetzt. 

Bei  der  rhomboedriadieu  Hemiedrie  nnteTscheiden  sich  also  die  beiden  Qmppen 
TOD  Diliexaedeni  außer  durch  ihre  Stellan^  nn  den  Achsen  auch  noch  dadurch  weaeot- 
lieh  voneinander,  daO  bei  der  einen  Ornppe  ein  Zerfallen  in  znei  Eboraboeder  ein- 
tritt, bei  der  anderen  nicht.  Uan  konnte  nnn  beliebig:  der  einen  oder  anderen 
Grnppe  die  erste  Stellnng  geben,  je  die  andere  hätte  dann  die  2.  Stellung. 
Xmem  allgemein  beobachteten  Qebraccb  gemlQ  erbalten  stets  die  in  iwei  Bbombo- 
eder  serfallenden  Dibesaeder  die  1.  Stellnng.  Die  flBcben  aller  Bhonboeder  ohne 
Ausnahme,  seien  sie  -\-  oder  — ,  haben  daher  an  den  Achsen  die  1.  Stellnng,  so  daQ 
sie  Ewei  Nebenachsen  in  gleicher  Entfemong  schneiden  nud  der  dritten  parallel  gehen, 
entsprechend  dem  allgemeinen  Ansdrack  -.  (ÄOÄi)  resp.  (OÄÄi).  Unter  dieser  Vorani- 
setctmg  ist  anch  das  Qeseta  der  rhomboedrischen  Hemiedrie  in  der  obigen  Form 


144  Hexa^onales  KiystoUa^Btem. 

ansgeBprodieii  worden.  Bei  der  entge^engeEetzten  Änntthine,  bei  der  die  in  zwei 
Bhomboeder  zerfallenden  Diheiaeder  die  2.  Stellnng  erhalten  wQrden,  mttßte  die 
FasBnng  dea  GegeUea  etwa«  anders  sein  nnd  g'leichzeitig  würden  eich  anch  die 
fitirigen  YerhUtnisse  entsprechend  ändern.  Eine  BelbstTerständliche  Folge  obiger  An- 
nahme ist  femer,  daü  die  Nebenachsen  nnn  in  ihrer  Lage  fest  beetimmt  sind  und 
nicht  mehr  beliebig  mit  den  Zwiechenachsen  rertaascht  werden  kOnnen,  wie  z.  B.  in 
der  Tollfiächigen  Elaase. 

123.   NanmannB  Bezeichnung;  der  rhomboedrlBehen  Formen. 

Wegen  der  überwiegenden  Wichtigkeit  der  rhomboedriachen  Henüedrie 
im  Mineralreich  und  sonst  (121)  hat  Naumann  die  einfachen  Formen 
derselheo  nicht  wie  gewöhnlich  bei  bemiedriscben  Körpern,  z.  B.  mit 

— g— ,  bezeichnet,  sondern  er  hat  eine  besondere  anf  ihre  speziellen 

Verhältnisse  gegründete  Bezeichnungsweise  eingeführt.  Er  gibt  den 
beiden  von  dem  Dihezaeder  mP  ableitbaren  Bhomboedeni  das  Zeichen 
mB  nnd  unterscheidet  sie  als  -j-  mB  und  —  mB,  also  z.  B.,  Tom 
Hauptdihexaeder  P  abgeleitet,  -|-  R  (Hauptrhomboeder)  und  —  B 
(Gegenrhomboeder),  welche  von  den  Achsen  die  Einheiten  abschneiden. 
Dann  ist: 

4-  »i-B  =  "i  :  «lOg  :  —«3  :  mc  =^  p(fMOml) 

oder  allgemein:  ß(ÄOÄ»)  und  _ 

—  mB  =  — a,  :  ©oa^  :  Og  :  mc  ^  ^{niOml)  oder  auch 

=  coOi  :  Oj  :  — «g  :  me  =  ^(Omml) 
oder  allgemein:  p(ÄOAi)  oder  auch  Q{Ohhi). 
Dabei  dient  q  nur  dazu,  anzudeuten,  daß  rhomboedrische  Gestalten 
vorliegen;  wo  dies  anderweitig  unzweifelhaft  bekannt  ist,  kann  e  *nc^ 
fortbleiben. 

Zur  Bezeichnung  eines  Skalenoeders  denkt  man  sich  in  demselben  ein 
Bhomboeder  einbeschrieben,  indem  man  durch  je  zwei  zusammenstoßende 
Seitenkanten   eine   Ebene  legt  (Fig.  175).    Die  Seitenkanten  dieses 
Ehomboeders    fallen    dann    offenbar    mit   denen    des 
Skalenoeders  zusammen.     Umgekehrt  lassen  sich  an 
einem   Bhomboeder  unendlich  viele  Skalenoeder  an- 
bringen, die  mit  ihm  die  Seiteukanten  gemein  haben, 
indem  man  durch  alle  Seitenkanten  Flächen  legt,  die 
von  der  Hauptachse  größere  Stücke  abschneiden  &]s 
die  Bhomboederflächen.    Jedes  Skalenoeder  läßt  sich 
demnach  aus  dem  eingeschriebenen  Bhomboeder,  das 
mit  ihm  die  Seitenkanten  gemein  hat,  ableiten,  indem 
man  angibt,  ein  wievielmal  größeres  Stück  die  Skaleno- 
^'  ederfläcben  auf  der  Hauptachse  abschneiden  als  die 

Flächen  des  Ehomboeders.  Hat  dieses  den  Ausdruck  +tnB,  so 
schneidet  seine  Flache  das  Stück  mc  von  der  Hauptachse  ab ;  schneiden 


Rhomboedrische  Hemiedrie.  145 

dann  die  Flächen  des  Skalenoeders  ein  »imal  größeres  Stück  ab,  das 
also  =  n{mc)  ist,  wo  n  >  1,  so  schreibt  man  das  Zeichen  des 
Skalenoeders:  +mRn.  Das  Skalenoeder  ist  dadurch  unzweideutig 
gegeben. 

Dieses  Zeichen  ist  nun  ganz  anders  aufzufassen,  als  die  übrigen  Nanmannschen 
Zeichen.  Hier  beziehen  sich  jetzt  beide  Zahlen  m  nnd  n  auf  die  Hauptachse.  Die 
Schnitte  auf  den  Nebenachsen  lassen  sich  nur  durch  Rechnung  aus  m  und  n  ermitteln 
und  umgekehrt.    Man  hat  dazu  folgende  Formeln: 

Soll  ein  nach  Naumann  gegebenes  Skalenoeder:  mRn,  für  das  also  m  und  n 
bekannt  ist,  in  den  Indices  hkli  ausgedrückt  werden,  wo  h'^kf  d.  h.  sollen  aus  m 
und  n  die  Indices  A,  k,  l,  i  bestimmt  werden,  so  erhält  man: 

2 

Ä==n  +  1,  k  =  n  —  1,  i  =  2n,  i=  — »  und  somit : 

2 

mRn  =  (>  {hkli)  =  (>  (n  + 1,  n  —  1,  —  2  n,  — ),  z.  B. 

2E3  =  (>(3  +  1,3-1,  -2.3,  |-)  =(,(4261) 

und  das  Gegenskalenoeder: 

—  2B3  =  (>  (2461)  oder  e  (4261). 

Ist  für  das  Skalenoeder  umgekehrt  der  Ausdruck  ^  {kldi)  gegeben,  wo  A  >>  fc,  und 

wird  m  und  n  aus  h,  äc,  {,  i  gesucht,  so  ist: 

h—k      ,  h+k 

m=  — : —  und  n  =  .      ,,  somit: 
%  h — k 

^{hkli)  =  — :—  B  T^T»  also  z.  B. : 

_        4 2     44-2 

e  (4261)  =*  -^ —  B  -7~^ö  —  ^^-    Ebenso  wäre  das  Gegenskalenoeder : 

e  (2461)  =:  —  2B3. 

124,    Mlllersches    Aohsensystem    für    rhomboedrisohe    Krygtalle«     Die 

rhomboedrischen  ErystaUformen  werden  nach  dem  Vorgang  von  MiUer  nicht  selten 
auf  ein  anderes  Achsensystem  bezogen,  das  ihren  spezieUen  Verhältnissen  angepaßt 
ist  und  das  man  als  das  MiUersche  Achsenaystem  zu  bezeichnen  pflegt.  Es  besteht 
aus  drei  Achsen  und  ist  also  trimetrisch,  dem  aus  vier  Achsen  bestehenden  tetra- 
metrischen Achsenkreuz  der  hexagonalen  Erystalle  gegenüber,  das  wir  oben  in  der 
Weise  von  Bra/oais  benützt  haben.  Die  drei  MiUerschen  Achsen  erhält  man,  indem 
man  von  einem  Bhomboeder,  dem  sog.  Grundrhomboeder,  als  Grundform  ausgeht 
und,  ganz  ähnlich  wie  im  regulären  System  beim  Würfel,  durch  dessen  Mittelpunkt 
drei  Richtungen  legt,  die  den  Kanten  paraUel  gehen.  Die  drei  Flächen  des  Bhombo- 
eders  sind  dann  die  Achsenebenen  oder  Fundamental- 
flächen ;  zu  ihnen  gesellt  sich  als  Einheitsfläche  die  Basis, 
die  Ton  den  drei  Achsenrichtungen  drei  gleiche  Stücke 
abschneidet.  Die  drei  Achsen  sind  also  einander  gleich, 
das  AchsenyerhältniB  ist  wie  im  regulären  System  = 
a:a:  a.  Aber  man  hat  nicht  wie  im  letzteren  drei 
gleiche  rechte,  sondern  drei  gleiche  schiefe  Achsen winkel  ß, 
übereinstimmend  mit  den  Winkeln  der  Kanten  des  Grund- 
rhomboeders.  Die  -|-  Richtungen  der  Achsen  (-f-  a)  ent- 
sprechen denen  von  der  unteren  Endecke  des  Grund- 
rhomboeders  nach  den  drei  umliegenden  Seitenecken,  die 
entgegengesetzten  Richtungen  sind  (—  a)  (Fig.  176).  Fig.  176. 

Bauer,  Mineralogie.  10 


X46  Hezufcouales  Krystallsystem, 

Ein  derartiges  AchsenBystem  besitzt,  wie  die  rhomboedrischen  ErjstaUe,  drei 
sich  iii  der  dreizähligen  Symmetrieachse  unter  60®  schneidende  Symmetrieebenen, 
und  hat  auch  im  übrigen  genan  dieselben  SymmetrieTerhältnisse.  Wenn  an  ihm 
eine  Fläche  in  ganz  beliebiger  Lage  auftritt,  so  daß  sie  yon  allen  drei  Achsen  un- 
gleiche Stücke  abschneidet,  dann  hat  sie  den  allgemeinen  Ausdruck: 

a     a     a        j, 

t     f     9  ^ 

wo  die  drei  Indioes  t^f,g-\-  oder  —  sein  und  bei  besonderen  Lagen  der  Flächen 

spezielle  Werte,  u.  a.  den  Wert  0,  annehmen  kOnnen.  Im  allgemeinsten  Fall  müssen 
der  Symmetrie  entsprechend,  neben  der  ersteren  Fläche  {^fg)  noch  elf  andere  auf- 
treten. Alle  zwölf  zusammen  begrenzen  den  flächenreichsten  rhomboedrisch-hemi« 
edrischen  Körper,  ein  Skalenoeder  (e/^).  Für  das  korrelate  Gegenskalenoeder  gelten 
andere  Lidices  e^figi^  die  mit  jenen  nach  folgenden  Formeln  zusammenhängen: 
e^='-e  +  2f+2g;f,  =  2t-  f+2g',  gt  =  2e  +  2f--g. 

Die  Ausdrücke  der  einfachen  rhomboedrischen  Formen  an  den  Millerschen 
Rhomboederachsen  werden  wir  unten  (126)  kennen  lernen.  Hier  sollen  zunächst  die 
Formeln  angegeben  werden,  mittels  deren  man  den  für  die  Millerschen  Achsen  gül- 
tigen Flächenausdruck  eines  Skalenoeders  (efg)  in  einen  solchen  für  das  Bravaissche 
Achsenkreuz  (hkJ%)j  oder  in  einen  solchen  nach  Naumann,  mRn^  überführen  kann 
und  umgekehrt. 

Es  ist  dabei  immer  vorausgesetzt,  daß  in  allen  Fällen  dasselbe  Bhomboeder 
als  Grundform  gilt. 

1.  Gegeben  der  Flächenausdruck  {efg)  für  Miüersehe  Achsen,  wo  e^f^g. 
Gesucht: 

a)  der  Ausdruck  Qikli)  derselben  Fläche  für  Bravaissche  Achsen. 

Es  ist: 

also: 

m  =  {hld%)={t^f,f--g,g^e,€  +  f  +  g)^ 

z.  B.:  (212)  =  (2—1,  1  +  2,  —2  —  2,  2  +  1  — 2)  =  (1341) 
(310)«(3  — 1,  1  —  0,  0  —  3,  3  +  1  +  0)  =  (2134); 

b)  der  Ausdruck  m£»  derselben  Fläche  nach  Navmofnn,    Man  findet: 


also: 


^  +  f+g'         t^'^+g' 
{efg)=±mBn=^'—^^B      '""^ 


^+f+g       t-2f-^g 
z.  B.:  (212)  =  |^^|  B  ^^'^-^  =  -2B2 

(310)  -  g^iip Q  B  3_2^ö -  4" ^• 
Wenn  das  Skalenoeder  ein  negatives  ist,  werden  die  beiden  Werte  für  m  und  n 
negativ;  vor  den  Ausdruck  wird  dann  —  gesetzt. 

2.  Gegeben  der  Flächenausdruck  (hkli)  för  Bravaissche  Achsen.    Gesucht  der 
Ausdruck  (efg)  derselben  Fläche  für  Millersc?^  Achsen. 
Es  ergibt  sich: 

e=:h  —  i  +  t;  f==1c  —  Ä  +  t;  g  =  l  —  fc  +  »;  also: 
(h]di)  =  (efg)  =  {h^l  +  i,  k^h  +  i,  Z-Ä  +  i) 
z.  B.:  (2131)  =  (2  +  3  + 1,  1  —  2  +  1,  - 3  —  1  + 1)  =  (603)  =  (201) 
(1231)«=(l  +  3  +  l,  2  — 1  +  1,  —3  — 2  +  1)  =  (524). 


Rhomboedriache  Hemiedrie. 


147 


also: 


3.  Gegeben  der  Flächenansdruck  mBn  eines  Skalenoeders  nacb  Naumann.  Qe- 
sncht  der  Ansdmck  (efg)  derselben  Form,  bezogen  auf  MiUersohe  Achsen.  Man  hat 
erhalten : 

a)  für  positive  Skalenoeder  +  mBn : 

e  =  Bmn  +  m  +  2;  /«=— 2(m  — 1);  ^==i  — 3wn  +  m  +  2; 

+  wEn  =  (e/i7)  =  (3mn  +  tn  +  2,  — 2(m  — 1),  — 3mn  +  i»  +  2), 
z.  B.:  |-Ä5  =  (3. |, 5  +  1+2,-2(1— 1),  -3.|-.6  + 1- +  2) 

fi)  für  negctüve  Skalenoeder  —mRn: 

c  =  3mn--w  +  2;  /'=2(m  +  l);  p  =  — 3mn  — w  +  2; 

—  wBn  =  (c/'^)  =  (3wn  — m  +  2,  2(m  +  l),  — 3mn  — m  +  2); 

z.  B.:  — 2B-|-  =  3.a.2— 2  +  2,  2(2  +  1),  -3.2.^  —  2  +  2) 

=  (969)  =  (323). 
(Das  Zeichen  —  vor  mRn  dentet  nnr  die  Gegenstellnng  an.) 

In  der  folgenden  Tabelle  sind  nnter  gleichzeitiger  Berücksichtigong  Ton  (123) 
die  Formeln  fttr  die  Umwandlnng  der  Ausdrücke  der  Skalenoeder  nach  Naumann, 
Bravais  und  Miller  schematisch  zusammengestellt: 


also: 


Naumann 


Bravais 


MiUer 


1. 


-^mRn 


—  mlin 


2. 
3. 


h—k ^ h+k 

: — "-    Ji    T T 

t  h  —  k 

ilZ^+9   R       c  —  9 
e  +  f+9         e-2f+g 


n  + 1,  n  —  1,  —  2n, 
n  —  1,  n  + 1,  —  2», 
hkli 


2_ 
m 

2^ 

m 


e—fj—gyg—e.e+f+g 


3wn+m+2,  — 2(m— 1), 
— 3mw+m+2 

3»in  — w  +  2,  2(in  +  l), 
—  3mn  —  m  +  2 

h  —  l  +  i,k^h  +  i 
l^k  +  i 


Dabei  ist  immer  anf  die  +  oder  —  Stellung  der  Skalenoeder  Bttcksicht  zu  nehmen. 

Bei  den  anderen  einfachen  rhomboedrischen  Formen  geben  die  Nwumannsehen 
Symbole  unmittelbar  die  Achsenschnitte  und  damit  die  Braoaisschen  Ausdrücke,  die 
dann  nach  der  obigen  Formel  in  die  für  die  Millerschen  trimetrischen  Achsen  um- 
gewandelt werden  können.  Bei  der  Überführung  yon  Bravaisschen  Symbolen  in 
Hiliersehe  und  umgekehrt  sind  bei  den  anderen  einfachen  Formen  als  den  Skaleno- 
edem  deren  spezieile  Indioes  in  die  obigen  Formeln  einzuführen. 


125.  tlbersiclit  über  die  einfaclien  rhomboedrischen  Formen. 

Die  eiafachen  Formen  der  rhomboedrischen  Hemiedrie  sind  nun  die 
folgenden : 


10* 


]^48  Hezagonales  Erystallsystem. 

1,  Skcdenoeder: 

a)  positive:  mRn  oder  {hkli),  (ä>ä)  oder  (efg); 

z.  B.:^i?3  =  (2134)  =  (310). 

b)  negative:  — mRn  oder  (ääK),  (ä>ä;)  oder  (e/g^); 

z.  B.:  —2R2  =  (1341)  =  (212). 

2.  Dihexaeder  (2,  Stellung):  mP2  oder  {h.h.2h.i)  oder  (e^gr), 
(2f=e  +  gy, 

z.  B.:  4P2  =  (2241)  =  (715). 

5.  Bhomboeder: 

a)  positive^^  -fmÄ  oder  (hOhi)  oder:  (eyy)  spitzer,  resp.  (egg) 
flacher  als  jB  (lOf  1),  (c  >  flr) ; 

z.  B.:  U  =  (lOll)  =  (100). 

2E  =  (2021)  =  (511);  ^Ii  =  (1012)  =  (411). 

b)  negative:  —mB  oder  (Ohhi)  oder  (c^  spitzer,  resp.  (eeg) 
stumpfer  als  —  -i-  JB  (0112),  (c  >  gr); 

z.  B.:  —  i?  =  (Olli)  =  (22l);  —jR  =  (0112)  =  (HO); 

—  jR  =  (0223)  =  (551) ;  — -^  i?  =  (0115)  =  (221) ; 

4.  Dihexagonales Prisma :  ooP2  oder  (MM))  oder  (efg),  (e-\'f-\-g  =  0). 

z.  B.:  ooPf  =  (2130)  =  (5l4). 

5.  Hexagonales  Prisma  (1.  Stellung):    ooJB  =  (1010)  =  (211). 

6.  Hexagonales  Prisma  (2.  SteUung):  ooP2  =  (1120)  =  (lOl). 

7.  Basis:  OB  =  (0001)  =  (111). 

Aach  hier  lassen  sich  alle  flftchenärmeren  einfachen  Formen  (JS — 7)  als  spezieUe 
Fälle  der  flächenreichsten,  des  Skalenoeders  auffassen.  Das  Dihexaeder  2.  Stellnng 
ist  dann  ein  Skalenoeder  mit  lauter  gleichen  Endkanten,  dessen  Seitenkanten  nun 
aUe  in  einer  Ebene  liegen.  Das  dihexagonale  Prisma  ist  ein  Skalenoeder  mit  nn- 
endlich  großem  Schnitt  auf  der  Hauptachse,  dessen  Flächen  und  Kanten  also  dieser 
parallel  geworden  sind;  je  zwei  in  einer  stumpfen  Kaute  zusammenstoßende  Flächen 
gehören  abwechselnd  zum  oberen  und  zum  unteren  Ende  des  Erystails.  Beim  Rhombo- 
eder  sind  je  zwei  in  einer  stumpfen  Endkante  zusammenstoßende  Flächen  des 
Skalenoeders  in  eine  zusammengefallen,  die  Endkante  ist  =  180®  geworden.  Umge- 
kehrt kann  man  sagen,  das  Skalenoeder  ist  ein  Rhomboeder,  dessen  Flächen  längs 
der  schiefen  Diagonale  gebrochen  sind  und  dadurch  einen  stumpfen  Knick  erhalten 
haben.  Das  hexagonale  Prisma  1.  Stellung  ist  ein  Rhomboeder  (-f-  oder  — )  mit 
unendlich  fernem  Schnitt  auf  der  Hauptachse ;  die  Flächen  gehören  abwechselnd  zum 
oberen  und  zum  unteren  Ende.  Das  hexagonale  Prisma  2.  Stellung  ist  ein  Dihexa- 
eder 2.  Stellung  mit  unendlich  fernem  Schnitt  auf  der  Hauptachse.  Die  Basis 
ist  ein  Skalenoeder  oder  Rhomboeder,  bei  dem  alle  Endkanten  =  180®  und  daher 
alle  um  eine  Endecke  herumliegenden  Flächen  in  eine  Ebene  zusammengefallen  sind. 


Khomboedrische  Hemiedrie. 


149 


126.  Torzelclien  der  Bhomboeder  und  Skalenoeder.  Je  nach- 
dem die  an  einem  Achsensystem  gleichzeitig  auftretenden  Rhomboeder 
und  Skalenoeder  -j-  oder  —  sind,  haben  sie  eine  verschiedene  Stellung 
zueinander,  wie  das  in  der  Hauptsache  schon  ans  den  bisherigen  Be- 
trachtungen hervorgeht  Zwei  Rhomboeder  haben  dasselbe  Vorzeichen 
(sind  beide  +  oder  beide  — ),  wenn  ihre  Flächen,  resp.  ihre  End- 
kanten nach  derselben  Richtung  hin  gekehrt  sind.  Zwei  Skalenoeder 
haben  dasselbe  Vorzeichen,  wenn  sie  je  ihre  stumpfen,  resp.  ihre 
scharfen  Endkanten  nach  derselben  Richtung  kehren;  ihre  Zickzack- 
kanten steigen  dann,  wie  bei  zwei  Rhomboedem  mit  demselben  Vor- 
zeichen in  gleichem  Sinne  auf  und  ab.  Wendet  ein  Rhomboeder  seine 
Endkanten  dahin,  wohin  ein  anderes  seine  Flächen  kehrt,  so  sind  sie 
beide  von  verschiedenem  Vorzeichen.  Dasselbe  ist  der  Fall  bei  zwei 
Skalenoedem,  wenn  die  stumpfen  Endkanten  des  einen  nach  der  Seite 
der  scharfen  Endkanten  des  anderen  liegen.  Die  Seitenkanten  beider 
steigen  dann  in  entgegengesetztem  Sinne  auf  und  ab.  Kehrt  ein 
Skalenoeder  seine  stumpfen  Endkanten  in  die  Richtung  der  Flächen, 
seine  scharfen  Endkanten  in  die  Richtung  der  Endkanten  eines  Rhombo- 
eders,  so  haben  sie  beide  dasselbe  Vorzeichen.  Ist  aber  die  Endkante 
des  Rhomboeders  in  der  Richtung  der  stumpfen  Endkante  des  Skaleno- 
eders,  die  Flächen  des  ersteren  in  der  Richtung  der  scharfen  End- 
kanten des  letzteren  gelegen,  so  sind  beide  Körper  von  verschiedenem 
Vorzeichen.  Das  Verhältnis  der  Seitenkanten  beider  ergibt  sich  aus 
dem  Obigen.  Diese  Beziehungen  gewinnen  erst  Bedeutung  bei  den 
rhomboedrischen  Kombinationen,  die  wir  nun  zu  betrachten  haben. 


127.  Bhomboedrische  Kombinationen.  Die  Basis  h  stumpft  an 
den  Skalenoedem  und  Rhomboedem  die  Endecken  gerade  ab  (Fig.  177, 
wo,  wie  in  Fig.  179,  r^  statt 
r'  zu  lesen  ist)  und  schließt 
die  Prismen  oben  und  unten 
senkrecht  zu  deren  Flächen 
und  Kanten  (Fig.  165  und  156). 
Ein  Rhomboeder  r  spitzt  an 
einem  Rhomboeder  R  mit  dem- 
selben Vorzeichen  die  End- 
ecken von  den  Flächen  aus 
dreiflächig  zu,  wobei  r  we- 
niger steil  ist,  als  R  (Fig. 
178).  Wenn  ein  Rhomboeder 
r^  mit  einem  solchen  r  von  entgegengesetztem  Vorzeichen  in  Kom- 
bination tritt,  li^en  seine  Flächen  an  den  Endkanten  des  letzteren 
und  zwar  ist  das  in  dreierlei  verschiedener  Weise  möglich.    Entweder 


Rg.  177. 


Fig.  178. 


150 


Hesagonales  KrystaUsyetem. 


spitzen  die  Flächen  von  r^  die  Endecken  yon  r  von  den  Endkanten 
aus  dreiflächig  zu  (Fig.  179,  lies  r^  statt  r'),  wenn  die  Flächen  von 
r^  weniger  steil  sind,  als  die  Endkanten  von  r.  Oder  das  hinzu- 
tretende Rhomboeder  stumpft  die  Seitenecken  des  anderen  schief  ab, 
wenn  seine  Flächen  steiler  stehen  als  die  Endkanten  des  letzteren. 
Oder  endlich  die  Flächen  von  r^  stumpfen  die  Endkanten  von  r  ge- 
rade ab,  wenn  sie  ebenso  gegen  die  Hauptachse  geneigt  sind,  wie  die 
Endkanten  von  r  (Fig.  180).  Das  Rhomboeder,  dessen  Flächen  die 
Endkanten  eines  anderen  gerade  abstumpfen,  heißt  das  iMuckste 
stumpfere  zu  diesem ;  umgekehrt  dieses  letztere,  dessen  Endkanten  von 
den  Flächen  des  anderen  gerade  abgestumpft  werden,  das  nächste 
steilere,  spitzere  oder  schärfere;  r^  (Fig.  180)  ist  also  das  nächste  stumpfere 
zu  r,  r  das  nächste  steilere,  schärfere  oder  spitzere  zu  r^.  Das  nächste 
stumpfere  Rhomboeder  schneidet  bei  gleichen  Schnitten  auf  den  Neben- 
achsen von  der  Hauptachse  ein  halb  so  großes,  das  nächste  spitzere 
Rhomboeder  ein  doppelt  so  großes  Stück  ab,  als  das  Rhomboeder,  zu 
dem  sie  gehören.  Beide  müssen  das  diesem  entgegengesetzte  Vor- 
zeichen haben. 


Fig.  179. 


Fig.  180. 


Fig.  181. 


Greht  man  yon  dem  Bhomboeder  -{-  mE  =  (hOhi),  resp.  von  dem  Gegenrhomboeder 
—  fnB  =  {Ohhi)  aus,  dann  ist: 

Das  zugehörige  nächste  stumpfere  Rhomboeder: 


m 


■—  -jc- iJ  oder  0,h.h,2i  (zu  +  mE),  resp. 


m 


+  -g-5  oder  h.0.h,2i  (zu  — mJB). 
Das  zugehörige  nächste  spitzere  Bhomboeder  ist: 

—  2mi2  oder  (O.Ä.Ä.—)  =  (0.2ä.2ä.»)  (zu  +mÄ),  re«p. 


T       t 


+  2mR  oder  (Ä.O.Ä.y)  =  (2Ä.0.2Ä.i)  (zu  — wlB). 

Das  zweite  stumpfere  Rhomboeder  stumpft  die  Endkanten  des 
nächsten  stumpferen  gerade  ab  und  im  gleichen  Sinne  spricht  man 
von  einem  dritten,  vierten  etc.  stumpferen,  und  ebenso  auch  von  einem 
jsweiten,  dritten  etc.  sMrferen  Rhomboeder.  Dabei  ist  jedesmal  das 
nächstfolgende  von  anderem  Vorzeichen  als  das  ih^  vorhergehende, 
während  die  abwechselnden  Glieder  einer  solchen  Reihe  gleiche  Vor- 


Bhomboedrisehe  Hemiedrie. 


161 


zeichen  haben.  So  ist  in  Fig.  181  ^r^  das  nächste  stumpfere,  2r^ 
das  nächste  schärfere  Bhomboeder  zu  r.  Qeht  man  von  2r^  aus,  so 
ist  r  das  nächste,  ^r^  das  zweite  stumpfere  zu  2^1.  Legt  man  |r,  zu 
Grunde,  so  ist  r  das  nächste,  2r^  das  zweite  spitzere  Bhomboeder  zu 
^Tj.  Stets  ist  2ri  und  ^r^  von  gleichem  Vorzeichen,  aber  von  ent- 
gegengesetztem Vorzeichen  wie  r.  Daß  r  das  nächste  stumpfere 
Bhomboeder  zu  2r^  ist,  erkennt  man  daran,  daß  die  zwei  Kanten  rßr^ 
zu  beiden  Seiten  von  r  einander  parallel  sind,  ganz  ebenso  wie  die 
beiden  Kanten  rj^r^^  auf  beiden  Seiten  von  ^r^. 

Nimmt  man  r  als  Grnndfonn  (Hauptrhomboeder)  E  (1011)  so  wird,  entsprechend 
den  oben  angegebenen  Ausdrücken: 

y  n  =  —  y  5  (0112)  nnd :  2ri  =  —  222  (0221). 

Ist  2ri  die  Grundform  (Hauptrhomboeder,  also:  2ri  »»/{(lOll),  so  erhält  man: 

r  =  -|Ä(0li2);  i-n=lB(10U). 

Ist  endlich  — —ri  die  Grundform  und  =22(1011),  so  ist: 

r  =.  —  2iJ  (0221) ;  2ri  =  4B  (4041), 
wobei  selbstrerständlich  das  Achsenverhältnis  jedesmal  ein  anderes  ist.    Derartige 
Reihen  von  spiteeren  und  stumpferen  Rhomboedem  kommen  bei  rhomboedrischen 
Erystallen  nicht  selten  vor. 

Das  erste  hexagonak  Prisma  P^  stumpft  an  jedem  Bhomboeder  r^ 
die  Seitenecken  (Fig.  182),  das  mveUe  hexagonäle  Prisma  p^  an  jedem 
Rhomboeder  die  Seitenkanten  gerade  ab  (Fig.  183  und  184).  Um- 
gekehrt sind  die  Flächen  der 
Rhomboeder  auf  die  Flächen 
des  ersten  Prismas  P^,  resp. 
auf  die  Kanten  des  zweiten 
Prismas  p^  gerade  aufgesetzt 
und  zwar  abwechselnd  nach 
oben  und  nach  unten.  Es  ist 
dabei  ganz  gleichgültig,  ob 
die  Rhomboeder + oder  —  sind, 


Vig.  182. 


Fig.  183. 


Fig.  184. 


da  ja  alle  Rhomboeder  die  1.  Stellung  an  dem  Achsensystem  haben. 
Sind  die  Flächen  des  +Rhomboeders  r  auf  die  Kanten  des  zweiten 
Prismas  abwechselnd  nach  unten  und  nach  oben  aufgesetzt  (Fig.  184), 
so  sind  es  die  Flächen  des  — Rhomboeders  r^  in  entgegengesetzter 
Weise  auf  den  zwischenliegenden  Kanten  desselben  Prismas  {Fig.  183). 
Entsprechend  verhält  es  sich  bei  dem  Prisma  der  1.  Stellung. 

Ganz  analog  ist  die  Kombination  der  beiden  Prismen  mit  den 
Skalenoedem.  Das  erste  Prisma  stumpft  die  Seitenecken,  das  zweite 
Prisma  die  Seitenkanten  der  Skalenoeder  ab,  ganz  gleichgültig,  ob 
diese  -|-,oder  —  sind. 


162 


Eexagonalea  Errstalbyitem. 


Ein  Rbomboeder  r  spitzt  die  Endecken  eines  Skalenoeders  s 
mit  demselben  Vorzeichen  von  den  stumpfen  Endkanten  ans  drei- 
fläcMg  zu.  (Fig.  186).  Wären  die  beiden  Formen  von  entgegen- 
gesetztem Vorzeichen,  dann  wörde  diese  Zuspitzung  von  den  schärferen 
Endkanten  ans  geschehen.  In  anderer  Weise  kombiniert  sich  ein 
Skalenoeder  s  mit  einem  !^omboeder  r,  indem  es  die  Endkanten  des 
letzteren  znschftrft  (Fig.  186).  Liegt  dabei  die  stumpfe  Endkante  s's 
des  Skalenoeders  über  der  Fläche  des  Ehomboeders  r,  wie  es  in  der 
Fignr  angenommen  ist,  so  haben  sie  beide  dasselbe  Vorzeichen.  Läge 
au  dieser  Stelle  die  schärfere  Endkante  sjs,  dann  wären  beide  Körper 
yon  yerschiedenem  Vorzeichen. 


Fig.  186. 


Fig.  186. 


Fig.  187. 


Fig.  188. 


Li  Fig.  187  stumpft  das  Ehomboeder  r^  die  schärfere  Endkante 
des  Skalenoeders  s  ab;  beide  Formen  sind  dann  von  verschiedenem 
Vorzeichen.  Wären  die  stumpferen  Endkanten  des  Skalenoeders  s 
abgestumpft,  so  würden  die  Abstumpfungsflächen  wieder  einem 
Rhomboeder,  aber  einem  solchen  mit  demselben  Vorzeichen  wie  das 
Skalenoeder  angehören.  In  Fig.  188  ist  eine  kompliziertere  rbom- 
boedrische  Kombination  abgebildet  Die  beiden  Khomboeder  R  and  r 
kehren  ihre  Flächen  nach  der  Richtung  der  stumpferen  Endkanten 
der  beiden  Skalenoeder  S  und  s,  alle  vier  haben  also  dasselbe  Vor- 
zeichen; Pj  ist  das  erste  Prisma,  seine  Flächen  stumpfen  die  Seiten- 
ecken des  Skalenoeders  s  ab,  über  den  Flächen  P,  liegen  die  Flächen 
der  Bhomboeder  und  die  Endkanten  der  Skalenoeder.  P^  könnte  der 
allgemeinen  Lage  nach  auch  ein  Rhomboeder  sein;  als  Prisma  er- 
weist es  sich  dadurch,  daß  nach  der  Untersuchung 
auf  dem  Ooniometer  alle  sechs  Flächen  in  einer  Zone 
liegen  und  sich  unter  Winkeln  von  120"  schneiden. 

Ad  dem  Fig.  189  abgebildeten  Erystall  sind  zwei 
Rhomboeder  von  verschiedenem  Vorzeichen  r  und  r^, 
letzteres  das  nächste  stumpfere  zu  ersterem,  wie  man 
daran  sieht,  daß  die  Fläche  r^  von  den  zwei  anliegen- 
den r  in  zwei  parallelen  Kanten  geschnitten  wird ;  ferner 
zwei  Skaienoedervon  verschiedenem  Vorzeichen  sund*i; 
r  und  s  und  ebenso  r^  und  «,  sind  von  demselben  Vorzeichen.    In  einem 


Kg.  189. 


Rhomboedrische  Hemimorphie.  153 

solchen  Erystall  sind  alle  Achsen  der  Richtung  nach  gegeben.  Bei 
der  weiteren  krystallographischen  Betrachtung  pflegt  man  ein  ßhom- 
boeder  als  Hatiptrhomboeder  zu  wählen,  dem  man  damit  den  Ausdruck: 
-f-jB(lOll)  gibt  und  aus  dessen  Flächenwinkeln  man  das  dieser  An- 
nahme entsprechende  Achsenyerhältnis  a :  c  berechnet  Ist  hier  r  als 
Hauptrhomboeder  gewählt,  so  ist  r^  =  —  :^R  (0112)  (127).  Die 
Skalenoederausdrücke  lassen  sich  dann  aus  Zonen  oder  den  Neigungs- 
verhältnissen ihrer  Flächen  berechnen.  Jedenfalls  ist  aber:  s  = 
+  mRn  (hMi)  und  8^=  —  m*Rn'  {ifh'N).  Man  hätte  aber  ganz  ebenso 
r^  als  Hauptrhomboeder  mit  dem  Ausdruck:  i?(1011)  wählen  können, 
dann  wäre  das  Verhältnis  a:c  ein  anderes  als  vorher  geworden ;  es 
wäre  dann  r  das  nächste  schärfere  Rhomboeder  zu  r^  und  r  =  —  2B 
(0221)  und  die  beiden  Skalenoeder  s  und  Sj^  müßten  ihre  Vorzeichen 
vertauschen.  Die  Flächen  p^,  welche  die  Seitenkanten  der  Skalenoeder 
8  und  Sj^  abstumpfen,  gehören  unter  allen  Umständen  dem  Prisma 
2.  Stellung  an. 


Rhomboedmoh'hemimorphe  {ditrigonal-pyramidale,  hemimorph- 

hemiedrische)  Klasse, 

128.  Hemimorphie  der  rhomboedrischen  Hemiedrie.  Manche 
rhomboedrischen  Erystalle  sind  an  den  beiden  Enden  der  Hauptachse 
verschieden  ausgebildet.  Es  ist  Hemimorphismus  eingetreten,  dessen 
Achse  die  Hauptachse  ist  (68).  Am  einen  Ende  der  letzteren  finden 
sich  Flächen  von  anderer  Lage  und  anderem  Ausdruck,  eventuell  von 
anderer  Beschaffenheit,  als  am  anderen.  Die  parallelen  Gfegenflächen 
sind  entweder  weggefallen  und  durch  andere  ersetzt,  oder  von- 
einander verschieden  geworden.  Dadurch  verschwinden  die  drei  zur 
Hauptachse  senkrechten  zweizähligen  Symmetrieachsen  in  der  Rich- 
tung der  Nebenachsen  nebst  dem  Symmetiiecentrum  in  den  rhombo- 
edrischen Erystallen  und  es  bleiben  bei  den  rhomboedrisch-hemi- 
morphen  als  einzige  Symmetrieelemente  die  dreizählige  Hauptsymme- 
trieachse in  der  Eichtung  der  Achse  des  Hemimorphismus  sowie  die 
drei  Nebensymmetrieebenen  parallel  den  Zwischenachsen  übrig. 

Die  einzelnen  einfachen  rhomboedrischen  Formen  verhalten  sich 
dabei  folgendermaßen: 

Aus  den  Skcäenoedem  -f*  niRn  oder  {hJcii)  und  —  mRn  oder  {JMi) 
werden  durch  Wegfallen  der  oberen  resp.  unteren  Hälfte  der  Flächen 
zwei  kongruent«  korrelate  dreifach  symmetrische  sechsseitige  Pyra- 
miden,  deren  Flächen  sich  wie  beim  Skalenoeder  in  3  -|-  3  abwechselnd 
gleichen  spitzeren  und  stumpferen  Endkanten  schneiden.  Sie  sind 
nach  unten  resp.  oben  offen  und  ihre  Spitzen  liegen  auf  dem  oberen 
positiven  resp.  dem  unteren  negativen  Aste  der  Hauptachse  c.    Da- 


154  Hexagonales  ErystallBystem. 

nach  erhalten  sie,  wenn  o  nnd  u  die  Lage  oben  und  unten  an  der 
Hauptachse  andeuten,  die  Ausdrücke: 

0,  -|-  mBn  oder  {Mdi)  und  u.  -|-  mBn  oder  (JMf) 

0.  —  mBn  oder  (Jchli)  und  w.  —  mBn  oder  QikU). 

Ganz  entsprechend  entstehen  aus  jedem  Bihexaeder  2.  Stellung 
mP2  oder  {h.h,2h.i)  zwei  nach  unten  resp.  oben  offene  sechsseitige 
Pyramiden  mit  lauter  gleichen  Endkanten  und  mit  den  Ausdrücken: 

0 . mP2  oder  {h.h.2h.i)  und  u . mP2  oder  {h.h.2h.t). 

Die  Bhomhoeder  -^-mB  oder  (ÄÖÄi)  und  — wiJ  oder  (0/iÄi)  geben 
zwei  korrelate  gleichseitig  -  dreieckige  Pyramiden  mit  drei  gleichen 
Endkanten,  die  ihre  Spitzen  nach  oben  resp.  nach  unten  kehren. 
Ihre  Ausdrücke  sind: 

0.  +  mB  oder  {MM)  und  w.  +  mB  oder  (ÄOä^  und 

0.  —  mB  oder  (OAÄf)  und  u,  —  mB  oder  (OÄÄi). 

Die  Basis  OB  zerfällt  in  zwei  einzelne  Flächen  ö  .  OJB  «  (0001) 
und  w .  022  =  (0001). 

Die  sswolfseitigen  Prismen  ooPn  oder  (AiZO)  sind,  wie  wir  gesehen 
haben,  zu  betrachten  als  Skalenoeder,  deren  Flächen  die  Hauptachse 
im  Unendlichen  schneiden  (125).  Je  zwei  in  einer  stumpferen  Kante 
aneinander  liegende  Flächen  gehören  abwechselnd  zu  dem  einen  und 
dem  anderen  Ende.  Beim  Eintritt  der  Hemimorphie  werden  diese 
beiden  Flächenhälften  verschieden  und  das  zwölfseitige  Prisma  zer- 
fällt in  zwei  korrelate  dreifach  symmetrische  sechsseitige  Prismen  mit 
sechs  abwechselnd  gleichen  schärferen  und  stumpferen  Kanten.  Es 
werden  aus  dem  zwölfseitigen  Prisma  ooPn  oder  (hMO)  zwei  symme- 
trisch'Sechsseitige,  von  denen  das  eine  zu  dem  oberen»  das  andere  zu 
dem  unteren  Ende  zu  rechnen  ist  Beim  Hemimorphismus  ist  meist 
nur  das  eine  ausgebildet,  das  andere  mit  den  zu  dem  einen  Pol  ge- 
hörigen Flächen  verschwunden. 

Ganz  analog  ist  das  hexagonäle  Prisma  1.  Stellung  ooB  ==  (1010) 
als  ein  Bhomboeder  mit  unendlich  langem  Schnitt  auf  der  Hauptachse 
zu  betrachten;  seine  Flächen  gehören  abwechselnd  zu  dem  einen  und 
zu  dem  anderen  Ende.  Das  sechsseitige  Prisma  der  1.  Stellung 
ooB  (1010)  zerfällt  also  bei  der  Hemimorphie  in  zwei  regulär  drei- 
seitige, von  denen  meist  nur  eines  ausgebildet  ist 

Das  hexagonäle  Prisma  2.  Stellung ,  oöP2  oder  (A.Ä.2Ä.0),  das 
als  ein  Dihexaeder  2.  Stellung  mit  unendlich  großem  Schnitt  auf  der 
Hauptachse  anzusehen  ist,  bleibt  allein  in  seiner  Form  erhalten  und 
tritt  mit  seiner  vollen  Flächenzahl  in  die  rhomboedrisch-hemimorphen 
Kombinationen  ein. 

Eine  solche  Kombination  bildet  der  I^^rwaKn-Krystall  (Fig.  190).  Er  ist  an 
beiden  Enden  verschieden,  jedes  Ende  zeigt  für  sich  rhomboedrisch-bemiedriscfae 


Trapezoedrische  Tetartoedrie. 


155 


n 
Fig.  190. 


Ansbildnng.  An  beiden  Enden  ist  dasselbe  Ehomboeder  P,  wie  man  dnrch  die 
Gleichheit  der  Winkel  mittels  des  Goniometers  konstatieren  kann.  Aber  die  Flächen 
P^  oben  sind  anders  beschaffen  als  die  Flächen  Pi  nnten,  es  ist 
in  seine  beiden  Hälften  zerfallen.  Hat  es  den  Ansdruck  12(1011), 
80  sind  die  beiden  Hälften:  P^  (oben):  0.12(1011)  nnd  P^  (nnten): 
ii .  B  (1011). 

Zu  P^  tritt  oben  die  Hälfte  des  nächsten  spitzeren  Bhomboeders- 
0=0.  — 2JS (0221)  nnd  zn  Pi  unten  die  Hälfte  des  nächsten  stump- 
feren Rhomboeders:  n  =  tt. — -^i2(Oll2).  Das  Prisma  der  1.  Stel- 
lung l  =  —  ooB  (1010)  ist  nur  mit  drei  Flächen  vorhanden,  die  ein  re- 
gulär dreiseitiges  Prisma  bilden;  auf  seine  Flächen  und  Kanten  sind 
die  Rhomboederfiächen  nach  oben  und  unten  gerade  aufgesetzt  Das 
Prisma  s,  das  die  Kanten  des  dreiseitigen  Prismas  l  zuschärft,  könnte  der  allgemeinen 
Flächenlage  nach  ein  symmetrisch  sechsseitiges  Prisma,  die  Hälfte  eines  zwölfseitigen, 
sein,  oder  aber  das  Prisma  der  2.  Stellung  ooP2  =  {h.h.2h.O),  Im  ersten  Falle 
wären  nur  die  abwechselnden  Kanten  gleich,  aber  die,  in  denen  die  Flächen  8  direkt 
zusammenstoßen,  verschieden  von  denen,  in  welchen  sie  sich  über  die  Flächen  l 
hinweg  schneiden  w&rden.  Im  zweiten  Falle  wären  alle  diese  sechs  Kanten  einander 
gleich  und  ^=  120^  Die  Messung  mit  dem  Goniometer  zeigt,  daß  das  letztere  zu- 
trifft; 8  ist  also  das  Prisma  der  2.  Stellung,  l  und  8  zusammen  bilden  ein  neun- 
seitiges Prisma,  das  an  vielen  Turmalinkrystallen  zu  beobachten  ist. 

Es  sei  noch  bemerkt,  daß  die  Formen  der  hier  vorliegenden  Klasse  auch  aus 
denen  anderer  hemiedrischen  Klassen  mit  dreizähliger  Hauptsymmetrieachse  abge- 
leitet werden  können,  z.  B.  aus  denen  der  trigonalen  Hemiedrie  (Bl).  Die  Ab- 
leitung aus  der  rhomboednschen  Hemiedrie  erscheint  aber  am  natürlichsten  und 
anschaulichsten. 


Trapezoedriach'tetartoedmche  (trigonal-trapezoedrische)  Klasse. 

129.  Trapezoedrisclie  Tetartoedrie.  Bei  der  trapezoedrischen 
Tetartoedrie  kann  man  von  den  Skalenoedem  ausgehen.  Es  verhalten 
sich  je  zwei  in  einer  Seitenkante  des  Skalenoeders  zusammenstoßende 
Flächen  einander  gleich  und  von  den  in  den  anliegenden  Seitenkanten 
zusammenstoßenden  verschieden,  wie  es  Fig.  191  zeigt.  Infolge  dieser 
Flächengruppierung  geht  das  Symmetriecentrum  des  Skalenoeders  ver- 
loren, da  zu  jeder  Fläche  die  parallele  Gegenfläche  wegfällt.  Ebenso 
verschwinden  die  drei  vertikalen  Symmetrieebenen.  Erhalten  bleiben 
dagegen  die  drei  horizontalen  zweizähligen  Symmetrieachsen  parallel 
den  Nebenachsen  und  die  dreizählige  vertikale  Symmetrieachse  parallel 
der  Hauptachse. 

Aus  jedem  Skalenoeder  entstehen  durch  Verschwinden  der 
Hälfte  der  Flächen  zwei  korrekte  Trapeaoeder,  begrenzt  von 
sechs  ungleichseitigen  Vierecken.  Diese  schneiden  sich  in  sechs 
gleichen  Endkanten  und  in  3  +  3  abwechselnd  gleichen  Seiten- 
kanten, die  bei  beiden  in  entgegengesetzter  Richtung  zickzackformig 
Auf-  und   absteigen.     Die    beiden  von   einem  Skalenoeder  -|-mjBn 


156  Heiagonalea  EryataUfjBteiii. 

(Fig.  191)  abgeleiteten  Trapezoeder  (Fig.  192'  und  192'')  sind  enantio- 
morph,  sie  verhalt«»  sich  wie  die  rechte  nnd  die  linke  Hand  nnd 
werden  daher  als  rechte  nnd  Unke 
(r  nnd  l)  unterschieden.  Das  Gegen- 
skalenoeder  —  mEn  liefert  aber 
ebenfalls  zwei  als  r  und  /  voueiQ' 
ander  zn  unterscheidende  enantio- 
morphe  Trapezoeder,  welche  wie  die 
vorigen  nicht  miteinander  znr 
Decknng  gebracht  werden  können. 
Dagegen  ist  das  rechte  resp.  linke 
Trapezoeder  des  einen  Skaleno- 
eders  kongruent  dem  entsprechenden 
rechten  resp.  linken  des  Gegenskale- 
noeders  und  kann  mit  diesem  durch  eine  Drehung  um  die  Hauptachse  zur 
Decknng  gebracht  werden.  Die  vier  korrelaten  Trapezoeder,  welche 
ein  Didodekaeder  mPn  liefert,  werden  in  folgender  Weise  bezeichnet: 
mPn 

-nff  nv  rnt-yii     ■ 

aus  dem  +  Skalenoeder  +  mSn  ab- 
geleitet (beide  enantiomorph). 


aus  dem  —  Skalenoeder  —  mBn  ab- 
geleitet (beide  enantiomorph). 


Fig.  192a.     Fig.  191.        Fig.  192b. 


1. 

+  ' 

mjrn 

—r 

oder 

f» 

(«fO 

2. 

+  1 

■    4 

oder 

C 

im 

3. 

—  r 

mfl. 
■     4 

oder 

^ 

(im 

4. 

—  l 

mFn 
'    4 

oder 

e* 

(häi) 

1  und  3,  sowie  2  und  4  sind  kongruent  ^  dient  nur  zur  Bezeichnung 
der  Tetartoedrie ;  ist  diese  anderweitig  genügend  angedeutet,  so  kann 
fx  wegbleiben.' 

Die  Dihexaeäer  2.  SteUung  mP2  =  {h.h.2h.t)  z.  B.  2P2  (1121) 
geben  zwei  korrelate  Trigonoeder  (trigonale  Pyramiden)   fPig.  193): 

r^—px  (1121)  und  i.^  —  ^  (1121).     Die,  dihexagondlen  J\ismen 

geben  zwei  symmetrisch  sechsseitige  Prismen  und  die 
hexagonden  Prismen  2.  SteUvng  geben  zwei  reguläre 
dreiseitige  Prismen.  Auch  sie  sind  als  rechts  und  links 
zn  unterscheiden.  Die  speziellen  Verhältnisse  folgen 
leicht  aus  dem  fUr  das  Trapezoeder  and  Trigonoeder 
angeführten,  indem  man  die  Prismen  als  spezielle 
Fälle  der  Skalenoeder  und  ßhomboeder  betrachtet  (128). 
Alle  anderen  rhomboedrischen  Formen,  die  Bhombo- 


Fig.  193. 


eder,  das  Prisma  1.  SieUung  nnd  die  Basis  bleiben  unverändert. 

Das  Hanptbeispiel  für  die  trapezoedriscbe  Tetartoedrie  ist  der  Quarz.    Er  Efiigt 
fast  eteta   (Fig.  194)   ein  Rhomboeder  P  nsd  daa  Gegenrbomboedei  z,  welche  en- 


BhomlioedTisctie  Tetartoedrie. 


157 


Fig.  194. 


1  der  Form  nach  ein  Diheiaeder  1.  Stellnng,  aber  mit  abwechselnd  phyaikaliach 
Terschiedeoen  Flttchen  [DirhomlHieder]  bilden.  Die  Seitenkanten  deaaelben  werden 
dnioh  die  stark  borizontal  gestreiften  Flächen  des  hexagonalen 
PrismaÄ  1.  SteUnng  r  gerade  abgestumpft.  Auf  die  abwech- 
selnden PriBmenkanten  sind  oben  nnd  nnten  die  rhombisch 
gestalteten  Flächen  >  eines  Trigonoeders,  die  sog.  Rhomben- 
flachen,  gerade  aufgesetzt.  Wäre  der  Erystall  rhomboedrisch, 
so  mttssten  die  anderen  drei  Prismenkanten  ebenfalls  oben 
nnd  unten  solche  Flächen  s,  tragen,  wie  die  dQnn  gezeich- 
neten Linien  zeigen ;  diese  würden  die  dick  gezeichneten,  f  ak- 
tJMli  vorhandenen  Flächen  s  zu  einem  Diheiaeder  2.  Stellang 
e^änzen.  So  aber  sind  nnr  die  bei  gebsriger  ErweiUning 
in  einer  horizontalen  Seit«nk&nte  des  Diheiaedera  zn- 
sanunenstoBenden  dickgezeichneten  Flächen  s  vorhanden, 
die  dünngezeichneten,  die  in  den  anliegenden  Seitenkauten 
EDSammenstoBen  wQrden,  fehlen,  entsprechend  dem  Gesetz 
der  trapezoedrischen  Tetartoedrie.  AnQerdem  sind  die  Kanten  sjr  noch  durch  die 
sog.  Trapezflfichen  x  abgestampft,  welche  ebenfalls  nnr  an  den  abwechselnden  Kanten 
des  Prismas  r  oben  sowohl  als  nnten  liegen,  jedoch  oben  nnd  unten  auf  verschiedeueD 
Seiten  der  Kanten  r/r.  Die  Flächen  x  bilden  ein  Trapezoeder,  welches  von  den  au 
den  anderen  Prismenkanten  r/r  dflun  gezeichneten  entsprechend  liegenden  Flächen  Xi 
KU  einem  Skalenoeder  ergänzt  werden  wDrde,  wenn  der  Krjstall  rhomboedrisch  ana- 
gebildet wäre.  Die  Flächen  x,  fehlen  infolge  der  Tetartoedrie,  aber  sie  liegen  offen- 
bar so,  daß  sie  zwei  in  einer  Seitenkante  zusammenstoßende  Skalenoederflächen 
wären,  ebenso  auch  die  beiden  wirklich  Torhaudenen  Flächen  x.  Die  hier  dick  ana- 
gezeichneten Flächen  s  und  x  liegen  am  oberen  Ende  des  Prismas  rechts  von  der 
Prismenfläche  r,  wenn  die  Hanptrbomboederfläche  P  dem  Beschauer  zugekehrt  ist. 
Sie  sind  die  rechten  Trapez-  nnd  Rhorabenflächen  und  begrenzen  ein  rechtes  Trape- 
zoeder resp.  Trigonoeder;  ein  Krygtall,  der  sie  trägt,  heißt  ein  rechter  Eiyatall. 
Wären  autt  der  dick  gezeichneten  die  dQnn  gezeichneten  Flächen  *  und  x  anagebildet, 
so  wäre  der  Erjstall  ein  linker.  Diese  Flächen  liegen  ja  im  QegensatE  zn  den  anderen 
links  und  begrenzen  das  zum  gleichen  Skalenoeder  resp.  Dihexaeder  zweiter  Stellung 
gebsrige  linke  Trapezoeder  reap.  Trigonoeder.  Diese  Flächenlage  steht  mit  der  Er- 
scheinung der  Cirknlorpolarisadon  (247)  im  ZosammeDbaDg :  die  rechten  (linkai) 
Qnarze  drehen  die  FolarisationBebene  atets  nach  rechts  (links). 


RhomboedriBoh-tetartoedriaohe  (rhomboedrisohe)  Klaaae. 

180.  BhoBsboedrisehe  Tetartoedrie.  Auch  hier  kann  man  vom  Skalenoeder 
ausgehen.  An  einem  solchen  werden  die  abwech- 
selnden Flächen  verschieden  in  der  Weise,  daQ  eine 
nach  oben  gerichtete  Mäche  au  einer  Seitenkaute 
sich  mit  der  nach  unten  gerichteten  Fläche  an  der 
nächstfolgenden  Seitenkante  gleich  verhält  ete. 
(Fig.  190).  Dabei  bleibt  die  vertikale  dreizählige 
Symmetrieachse  nnd  das  Symmetriecentrum  erhalten, 
alle  Dbrigen  Symmetrieelemente  des  Skalenoeders 
fallen  weg. 

Verschwindet  je  die  eine  Hälfte  der  Flächen 
des  Sftalenoeders  nnter  gleichzeitiger  Anadehuimg 
der  anderen,  so  entstehen  zwei  korrelate  kongru- 
ente Bhomboeder,  die  in  der  Gestalt  in  nichte  von       Fig.  195.  Fig.  106. 


158  Quadratisches  Erystallsystem. 

den  Rhomboedern  der  rhomboedrischen  Hemiedrie  abweichen.  Die  Nebenachsen 
gehen  hier  aber  nicht  durch  die  Mitten  zweier  gegenüberliegender  Seitenkanten, 
diese  Ehomboeder  haben  also  nicht  die  Stellung  der  -{-  oder  —  Bhomboeder 
der  rhomboedrischen  Hemiedrie,  sondern  sie  nehmen  eine  intermediäre  Lage 
zwischen  beiden  ein  und  werden  als  Rhömboeder  der  3.  Stellung  oder  der  Zwischen- 
steUung  von  jenen  unterschieden.  Aus  dem  Skalenoeder  -f-mEn  oder  {hkli) 
werden  die  beiden  Rhömboeder  der  Zwischenstellung :  {hkli)  und  (Ikhi)  und  aus  —  mBn 
oder  (khli)  die  beiden  Ehomboeder:  (kkli)  und  (iclhi).  Zwei  Bhomboeder  der  zweiten 
Stellung  entstehen  hier  aus  den  Dihexaedern  der  2.  Stellung.  Die  aus  mP2  oder 
{h.h.2h.i)  abgeleiteten  beiden  Bhomboeder  haben  die  Ausdrücke :  {h.h.2hA)  und 
{2h,h.h,i).  Jedes  dihexagonale  Prisma  liefert  zwei  hexagonale  Prismen  der  3.  oder 
Zwischenstellung  zwischen  dem  der  1.  und  der  2.  Stellung,  mit  denen  sie  in  der  Form 
übereinstimmen.  Die  übrigen  Formen  der  rhomboedrischen  Hemiedrie  ändern  ihre 
Gestalt  nicht. 

Ein  Beispiel  dieser  Tetartoedrie  gibt  der  Dioptas  (Fig.  196).  r  bildet  ein 
Bhomboeder,  dessen  Flächen  auf  die  Kanten  des  Prismas  der  2.  Stellung  m  gerade 
aufgesetzt  sind,  wie  die  Messung  der  Winkel  ergibt.  Die  Kanten  mir  sind  nicht 
alle,  sondern  nur  abwechselnd  oben  und  unten  abgestumpft  durch  die  Flächen  8,  die 
entsprechend  dem  Gesetz  der  rhomboedrischen  Tetartoedrie  so  liegen  wie  die  schraf- 
fierten Flächen  in  Fig.  195.  Sie  gehören  also  einem  Bhomboeder  der  Zwischen* 
Stellung  an. 


3.  Quadratisches  System. 

(Viergliedriges  oder  tetragonales  System.) 

Das  quadratische  System  umfaßt  alle  diejenigen  Krystallklassen, 
deren  Formen  sich  auf  drei  zueinander  senkrechte  Achsen  beziehen 
lassen,  von  denen  zwei  (a)  gleich  und  von  der  dritten  (c)  verschieden 
sind.    Man  hat  also  das  Achsenschema: 

a:a:c;  ^ala  =  ^alc  =  90^. 

131.  Achsen  des  quadratischen  Systems.  Die  beiden  gleichen 
Achsen  a  heißen  auch  hier  die  Nebenachsen,  die  von  ihnen  ver- 
schiedene dritte  c  die  Hauptachse,  c  ist  bald  größer,  bald  kleiner 
als  a.  In  dem  Achsensystem  ist  eine  einzige  unbekannte  Größe,  das 
Achsenverhältnis,  a:c  enthalten.  Aus  einem  einzigen  gemessenen 
Flächenwinkel  folgt  die  Achse  c,  wenn  a  =  l  gesetzt  wird  (resp.  a, 
wenn  c  =  1).  Es  ist  eine  große  Ähnlichkeit  mit  dem  hexagonalen 
System  vorhanden,  das  ebenfalls  eine  Hauptachse  hat.  Die  hexagonalen 
Krystalle  zeigen  aber  eine  Anordnung  nach  der  Sechszahl  (resp.  nach 
der  Dreizahl),  die  quadratischen  dagegen  nach  der  Vierzahl.  Auch 
in  dem  quadratischen  System  werden  die  den  Winkel  zwischen  zwei 
Nebenachsen  halbierenden  Eichtungen  b  als  Zwischenachsen  bezeichnet 
Man  kann  hier  gleichfalls  diese  beiden  Kichtungen  vertauschen  und 
die  Zwischenachsen  als  Nebenachsen  wählen.  Nur  werden  dann  das 
Achsenverhältnis  a :  c  und  die  Ausdrücke  der  Flächen  andere.  Durch 
die  di'ei  Achsen  werden  acht  gleiche  Oktanten  bestimmt.    Die  Haupt- 


Vollflächige  Klasse.  159 

achse  c  wird  stets  aufrecht,  eine  der  Nebenaehsen  a  auf  den  Be- 
schauer zulaufend  gedacht.  Die  andere  Nebenachse  geht  dann  quer 
von  rechts  nach  links. 


Quadratisch^uollflächige  (ditetragonal-bipyramidate)  Klasse. 

2  +  2  +  1  Symmetrieebenen.  Die  eine  sog.  Hauptsymmetrieebene 
ist  senkrecht  zur  Hauptachse  c,  also  der  Ebene  der  Nebenachsen  a 
und  der  Zwischenachsen  b  parallel.  Die  anderen,  die  2  +  2  Neben- 
symmetrieelenen  gehen  alle  durch  die  Hauptachse  c  und  durch  je  eine 
Nebenachse  a  resp.  Zwischenachse  h  (Neben-  und  Zwischensymmetrie- 
ebenen).  Von  den  2  +  2  +  1  Symmetrieachsen  ist  eine  vierzählige 
parallel  der  Hauptachse  c  die  Hauj)tsymmärieachse\  die  anderen  2  +  2, 
die  Nebensymmetrieachsen,  sind  sämtlich  zweizählig  und  parallel  den 
Nebenachsen  a  resp.  den  Zwischenachsen  b  (Neben-  und  Zwischen- 
S3^metrieachsen).  Symmetriecentrum  vorhanden.  Die  Hauptsymmetrie- 
ebene und  zwei  zusammengehörige  aufeinander  senkrechte  Neben- 
symmetrieebenen  bilden  die  Fundamentalflächen  des  Achsensystems. 

132.  Einfaclie  Formen.  1.  DioJdaeder  (Vierkantner,  ditetragonale 
Pyramide  oder  Bipyramide).    Die  Flächen  schneiden  die  drei  Achsen 

ungleich  •  t  •  T  •  T  ==  (^'0 ;   ^  jedem  Oktanten  sind  zwei  Flächen, 

also  im  ganzen  16,  welche  eine  doppelt  achtseitige  Pyramide  bilden 
(Fig,  197)  (88,  89,  90).    Durch  die  zwei  Endecken  (Polecken)  c  geht 
die    Hauptachse;    je    die    vier    abwechselnd    einander 
gleichen  Seitenecken  (Mittel-  oder  Randecken)  a  oder  6 
geben    die    Neben-   resp.   Zwischenachsen.     Alle    acht 
Seitenkanten   (Mittelkanten,  Bandkanten)   S  sind  ein- 
ander gleich,  aber  nur  die  abwechselnden  End-  (Pol-) 
kanten  K  und  JP.    Die  Flächen  der  idealen  Form  sind 
unregelmäßige  Dreiecke.     Die  Seitenkanten  bilden  ein 
symmetrisches  Achteck;  ein  reguläres  Achteck  ist  un-      Fig.  197. 
möglich,  da  es  auf  irrationale  Indices  führen  würde. 

Diese  Körper  sind  teils  hoch  nnd  spitz,  teils  niedrig  und  flach;  ihre  Gestalt 
hängt  Yon  den  Flächenwinkeln  ah,  welche  mit  den  Indices  in  mathematischer  Be- 
ziehung stehen  nnd  sich  ans  ihnen  herechnen  lassen,  nnd  umgekehrt. 

Dioktaeder  sind  bisher  nur  in  Kombinationen,  noch  nie  selbständig  beobachtet 
worden.  Die  flächenärmeren  übrigen  Formen  können  als  Spezialfälle  des  Diokta- 
eders  aufgefasst  werden  (vergl.  (102)  und  (114)). 

2.  AchtseUiges  (ditetragonales)  Prisma.  Diese  Prismen  sind  ge- 
wissermaßen Dioktaeder  mit  unendlich  großer  Hauptachse,  deren 
Fl&chen  und  Kanten  also  der  Hauptachse  parallel  gehen  und  von 
den  Nebenachsen  verschieden  große  Stücke  abschneiden.    Sie  haben 


Quadratisches  EirstAlbyBtem. 


somit  den  Ausdruck: 


Ä   "Ä   ■ 


-  (AM)  (Fig.  1 


Die  auf  der  Ebene 


der    Nebenaclisen    senkrechten    Flächen   schneiden    die 
Ebene  der  Nebenachsen  in  derselben  Figur,  welche  die 
>  Seiteukanten  S  des  Dioktaeders  machen,  einem  symme- 
trisehen  Achteck,  dessen  Winkel,  die  Winkel  der  Pris- 
:    menflächeu,  sich  mit  den  Indices  A  und  k  ändern. 
Flg.  198.  gjji   reguläres   Achteck  kann    anch    hier  nie  entstehen,  weil 

ea  gleichfalls  ein  irrationales  Verhältnis  der  Abschnitte  anf  den  beiden  Neben- 
achsen a  ergeben  würde. 

3.  Oktaeder  1.  Stellung  (Protopyramide ,  tetragonale  Bipyramld« 

1.  Stellung).    Die  Flächen  schneiden  beide  Nebenachsea  gleich;  sie 

sind :  -^  :  ^  :  y  =  (AÄZ).    Acht  kongruente,  gleichschenkliche  Dreiecke 

bilden  in  der  Idealform  eine  auf  der  Ebene  der  Kebenachsen  aufge- 
setzte Doppelpyramjde  mit  zwei  Endecken  (Polecken)  c,  durch  welche 
die  Hauptachse  geht,  und  vier  gleichen  Seitenecken  (Mittel-  oder 
Eandecken)  a,  durch  welche  die  Nebenachsen  gehen  (Fig.  199).  Die 
Hauptachse  ist  entweder  länger  oder  kürzer  als  die  Nebenachsen. 
Die  vier  Seitenkanten  (Mittel-  oder  Eandkanten)  aa  sind  alle  gleich, 
ebenso  die  acht  Endkanten  (Polkanten)  ac.  Die  vier  Seitenkanten  aa 
bilden  in  der  idealen  Form  ein  Quadrat 

Alle  Oktaeder  1.  Stellnag  bOnnen  als  Dioktaeder  angesehen  werden,  in  denen 
die  Endkanten  E,  ^  180*  sind,  in  denen  also  je  die  beiden  in  E,  aneinander  stellenden 
FUchen  in  ein  Niveau  fallen.  Analog  ist  es  bei  den  anderen  einfachen  quadratischen 
Formen.  Diesen  Winkeländerangen  entsprechend  ändern  sich  dann  anch  die  Fl&chan- 
ansdrttcke. 

4.  Oktaeder  2.  Stellung  (Deateropyramide,  tetragonale  Bipyramide 

2.  Stellung).     Deren  Flächen   gehen   einer  Nebenachse  paraÜel  und 

haben  daher  den  Ausdruck:  ^:ooo:y=(A07).  Es  entsteht  dadurch 
ein  Körper,  der  in  jeder  Beziehung  dem  vorigen  in  den  allgemeinen 


r*"-  ^;^  5:i^ 


Fig.  199. 


Fig.  200. 


Fig.  202. 


Oestaltungsverhältnissen  gleich  ist,  und  sich  von  ihm  nur  dnrch  die 
Lage  an  den  Achsen  unterscheidet.  Hier  geben  die  Nebenachsea  a 
durch  die  Mitten  zweier  Seitenkanten,  die  Hauptachse  aber  ebenfalls 


VoUflächige  Klasse.  161 

durch  die  beiden  Endecken  c  (Fig.  200).  Durch  Drehung  um  45® 
um  die  Hauptachse  c  wird  ein  Oktaeder  2.  Stellung  in  die  1.  Stellung 
gebracht  und  umgekehrt. 

5.  Quadratisches  Prisma  1.  Stellung  (Protoprisma).  Seine  Flächen 
gehen  der  Achse  c  parallel  und  schneiden  die  beiden  Achsen  a  gleich. 
Der  Ausdruck  ist  also:  a:a:ooc  =  (110).  Es  sind  gewissermaßen 
Quadratoktaeder  1.  Stellung,  deren  Flächen  die  Achse  c  im  Unend- 
lichen schneiden.  Die  auf  der  Ebene  der  Nebenachsen  senkrechten 
Flächen  stehen  auch  senkrecht  aufeinander,  also  ist  der  ideale  Quer- 
schnitt ein  Quadrat  (Fig.  201).  Die  Nebenachsen  a  schneiden  die 
Kanten  senkrecht 

6.  Quadratisches  Prisma  2.  Stellung  (Deuteroprisma).  Ist  der 
Gestalt  nach  gleich  dem  Prisma  1.  Stellung  und  verhält  sich  zum 
Oktaeder  2.  Stellung  wie  das  Prisma  1.  Stellung  zum  Oktaeder 
1.  Stellung.  Die  Flächen  schneiden  eine  Nebenachse  und  sind  der 
anderen  Nebenachse  und  der  Hauptachse  parallel;  der  Ausdruck  ist 
also :  a :  ooa :  ooc  =  (100).  Die  Nebenachsen  a  stehen  auf  den  Flächen 
senkrecht  (Fig.  202). 

Der  Unterschied  zwischen  den  Oktaedern  resp.  Prismen  heider  Stellungen  tritt 
nnr  herror,  wenn  yerschieden  gesteUte  Körper  dieser  Art  am  nftmlichen  ErjstaU 
komhiniert  sind.  Man  hat  die  Wahl,  welche  SteUang  man.  als  die  erste  bezeichnen 
wül;  es  folgt  dann  daraas  die  Lage  der  Neben-  resp.  Zwischenachsen,  welche,,  wenn 
man  die  andere  Stellung  als  die  erste  wählt,  sich  vertauschen.  Sind  an  einem 
Erystall  nur  Formen  einer  Stellung,  so  sind  dieselben  an  sich  weder  erster  noch 
zweiter  SteUung;  sie  werden  es  erst,  wenn  man  die  Nebenachsen  in  der  einen  oder 
anderen  Weise  wählt  Die  Hauptachse  hat  immer  dieselbe  Richtung  und  ist  den 
Prismenkanten  paraUel. 

7.  Basis  (basisches  Pinakoid,  Geradendfläche).  Ein  Flächenpaar 
senkrecht  znr  Hauptachse:  ooa:ooa:c  =  (001);  genau  wie  im  hexa< 
gonalen  System  (Fig.  203  und  210). 

Eine  andere  Lage  und  andere  Ausdrücke  von  Flächen  am  quadratischen  Achsen- 
kreuz, also  andere  einfache  Formen  dieses  Systems  als  obige  7,  sind  nicht  möglich. 
Sie  entsprechen  Nummer  für  Nummer  den  analogen  hexagonalen  Formen  (114)  und  alle 
allgemeinen  Verhältnisse,  welche  dort  auseinandergesetzt  wurden,  gelten  mut.  mut. 
auch  hier. 

133.  Naumannsclie  Bezeichnung  und  Übersicht.  Für  die  Be- 
zeichnung der  Formen  nach  der  Naumannschen  Methode  geht  man 
auch  hier  von  dem  Oktaeder  1.  Stellung  aus,  das  von  allen  Achsen 
die  Achseneinheiten  abschneidet,  dem  Hauptoktaeder  oder  der  Grtmd- 
form  (Grundpyramide  oder  primäre  Pyramide).  Man  kann  dasselbe 
aus  den  sämtlichen  am  ErystaU  möglichen  Oktaedern  beliebig  aus- 
wählen. Dasselbe  hat  den  Ausdruck:  a:a;c  =  (111)  und  wird  mitP 
bezeichnet.  Man  kann  nun  wieder  alle  anderen  quadratischen  Formen 
daraus  ableiten,  indem  man  eine  seiner  Flächen .  im  Endpunkt  einer 

Baner,  Hinenlogie.  ^1 


152  QnadratischM  ErjBtallijitem. 

Nebenacbse  a  festhält,  so  daß  diese  eine  Nebenacbse  stets  in  der  Ent- 
fernang  a  TOm  ]kDtte)pimkt  gracbnitten  wird.  Dann  denkt  man  sich 
die  Fläche  gedreht,  bis  sie  die  gewtknschte  Lage  hat,  in  der  sie  die 
Achse  c  und  die  andere  Achse  a  im  allgemeinen  mit  den  Ableitnngs- 
zahlen  m  (flir  c)  und  h  (für  a)  schneidet,  von  denen  mui  stets  m  vor 
and  n  hinter  P  setzt.  Die  Fläche  begi'eozt  dann  mit  den  nach  der 
Symmetrie  noch  anSerdem  erforderlichen  Flächen  die  einfache  Krystall- 
form  miVi ^-ainaimc,  wo  das  anf  die  zweite  Nebenachse  a  bezägllche 
»  beliebig  groß,  Jedoch  nie  <  1  ist,  m  aber  jeden  beliebigen  rationalen 
Wert  haben  kann.  Danach 'hat  man  folgende  Übersicht  Über  die  ein- 
fachen Formen  des  quadratischen  Systems: 

1.  Dioktaeder:  mPn  =» a : na ; mc  oder:  (AÜ)  A>A, 

z.  B.:  4P3  =  a:3o:4c  =  (312). 

2.  Ditetragonale  Prismen:  ooPn^aina-.aoc  oder  (M)), 

z.  B.:  oaP2  —  a :  2a : a : ooc  —  (210). 

3.  Oktaeder    i.  Stellnng:  mP=a:o:»w  oder:  (ÄW), 

z.  B.:  P=a:a:c  =  (lll)  (Haaptoktaeder) ; 

2P-a:a:2c  =  {221);^P=a:a:^c=(113}. 

4.  Oktaeder    2.    Stellung:  »t Jto  =  o : ooa : mc  oder:  (A04 

z.  B.:  .P»  =  o :  ooo :  c  —  (101). 

5.  Quadratisches  Prisma  l.  Stellung:  ooP=a:a:ooc  =  (llO). 

6.  Qaadratiaches  Prisma  2.  Stellung:  oo2feo  =  a:ooa:ooc=(100). 

7.  Basis:  OP  =  ooa:ooa:c  =  (001). 

Die  FlKchen  des  1.  Prinnaa  und  die  Buie  sind  die  Fondameutalilftcheii,  die  toh 
P  ^e  EinheltBflftchei). 


134.  Kombinationen.  Von  KtmännaMmen  sind  n.  a.  folgende 
wichtig:  das  Prisma  der  einen  Stellang  n  stnmpft  die  Kanten  d^ 
anderen,  m,  gerade  ab  (Fig.  203);    achtseitige  Prismen  schärfen  die 


Fig.  203. 


Fig.  204. 


Fig.  a05. 


Fig.  206. 


Kanten  Ton  quadratischen  zu  oder  stampfen  die  Kombinationskaaten 
mjn  schief  ab.  Treten  mehrere  solche  Prismen  zusammen  aa£  so  ent- 
st^en  auch  hier,  wie  im  hezagonalen  System,  scheinbar  walzenflfrmig 
nmde  Ktystalle  (116).    Die  Basis  schlieSt  die  Prismen  oben  und  onten 


VoDOBchige  Klaue.  168 

wie  z.  B.  iu  Flg.  204,  wo  ein  Prisma  1.  Stellang  m  mit  der  Basis  c 
kombiniert  ist,  nnd  Fig.  203.  Dadurch  eutstehen  je  nach  den  Um- 
stftndeD  zam  Teil  dfinne  Tafeln,  znm  Teil  lange  prismatische,  sowie 
dftnne  nadel-  nnd  haarfOrmige  Erystalle.  Die  Kombination  (Fig.  204) 
ist  oft  wegen  der  aasschließlich  rechten  Winkel  in  der  änSeren  Form 
ganz  dem  Wflrfel  tlhnlich;  aber  hier  sind  die  beiden  Flächen  m  von 
der  Fläche  c  verschieden,  beim  Wariel  sind  alle  Flächen  einander 
gleich  ((102),  Fig.  Ol).  An  allen  quadratischen  Oktaedern  nnd  Diokta- 
edem  stampft  die  Basis  die  Endecken  ab  (Fig.  210).  Prismen  stumpfen 
an  Oktaedern  derselben  Stellnng  die  Seitenkanteu  (Fig.  206),  an 
Oktaedern  der  anderen  Stellung  die  Seitenecken  ab  (Fig.  206).  Treten 
zwei  verschieden  hohe  Oktaeder  0  und  o  derselben  Steltong  (Fig.  207) 
in  Kombination,  so  schärft  das  hßhere  0  die  Seitenkanten  des  niederen  o, 


Fig.  207.  Fig,  206.  Fig.  209.  Fig.  210. 

und  umgekehrt  spitzt  das  niedere  o  die  Endecken  des  höheren  0  von  den 
Flächen  aus  zn.  Bei  der  Kombination  eines  Oktaeders  der  einen  mit 
einem  solchen  der  anderen  Stellung,  o  und  o„  werden  entweder  die 
Seitenecken  des  ersteren  zweiflftchig  (Fig.  208),  oder  seine  Endecken 
vierfl&chig  (Fig.  209),  beidemal  von  den  Kanten  ans  zugespitzt,  je 
nach  der  Neigung  der  Flächen  und  Kanten.  Haben  die  Flächen  des 
einen  Oktaeders  o,  die  gleiche  Neigung  wie  die  Endkanten  des  anderen 
0  (Fig.  210),  so  stumpfen  die  Flächen  von  o,  die  Endkanten  von  o 
gerade  ab.  Das  Oktaeder  o,  heifit  dann  das  nät^iste  stumpfere  zu  o, 
oder  umgekehrt:  o  das  nächste  schärfen  oder  apiteere  zu  o,.  Werden 
die  Endkanten  von  o,  wieder  gerade  abgestumpft,  so  entsteht  das 
zweite  stumpfere  Oktaeder,  ferner  das  dritte  stumpfere  etc.  Umge- 
kehrt gibt  es  aacb  eine  Reibe  der  schärferen  Oktaeder,  das  zwedte, 
dritte  schärfere  etc.  (127).  Ein  niederes  Qnadrat- 
oktaeder  o  spitzt  an  einem  spitzeren  Diofctaeder  i 
die  Endecken  von  den  abwechselnden  Endkanten 
aus  za ,  nnd  es  entsteht  dadurch  zuweilen  eine 
dem  regnlären  Ikositetraeder  sehr  ähnliche  Form 
(Fig.  211,  Tergl.  (80,  102)),  das  sog.  LeucJtoeder.  Figrail. 

Fig.  212  gibt  einen  flächenreichen  quadratischen  Krystall  von 
Vesuvian.  Die  Flächen  a,  m,  f  bilden  lauter  parallele  Kanten;  die 
Flächen  a  und  die  Flächen  m  machen  je  90*  miteinander,  es  sind 

11« 


Ig4  Quadratisches  Krystallsystem. 

also  die  beiden  quadratischen  Prismen,  was  auch  unmittelbar  aus  der 
Lage  der  Symmetrieebenen  an  dem  Krystalle  hervorgeht.    Hieraus 

folgt  auch,  daß  c  die  Basis  sein  muß.  f  ist  ein 
achtseitiges  Prisma.  Über  a  liegen  die  Okta- 
eder u  und  0  und  über  m  liegen  die  Oktaeder 
^>  6j  Py  j«  von  derselben  Stellung  mit  a  und  m. 
Die  Flächen  t,  y,  is,  d  rechts  und  links  von  den 
Oktaederflächen  sind  oben  und  unten  je  acht- 
mal vorhanden,  es  sind  also  Dioktaederflächen. 
Tig,  212.  Will  man  nun  diesem  Krystall  Achsen  unter- 

legen, so  steht  jedenfalls  die  Hauptachse  senk- 
recht zu  c;  die  Nebenachsen  gehen  der  Symmetrie  entsprechend  ganz 
nach  Belieben  entweder  senkrecht  zu  a  oder  zu  m.  Es  ist  dann  ent- 
weder m  oder  a  das  Prisma  1.  Stellung,  und  es  sind  entweder  t,  6,  p 
oder  aber  w,  o  Oktaeder  1.  Stellung.  Jedenfalls  ist  aber  o  das  nächste 
stumpfere  Oktaeder  zu  p,  da  es  dessen  Endkanten  gerade  abstumpft, 
denn  die  Kanten  olp  rechts  und  links  von  o  sind  parallel;  femer  p 
das  nächste  stumpfere  zu  u,  denn  die  Kanten  pji  und  ifu  rechts  und 
links  von  p  sind  parallel;  endlich  u  das  nächste  stumpfere  zu  ft;  also 
in  einer  Eeihe:  u  das  nächste  stumpfere,  p  das  zweite,  o  das  dritte 
stumpfere  zu  6;  oder:  p  das  nächste,  u  das  zweite,  b  das  dritte 
schärfere  zu  o;  oder:  o  das  nächste  stumpfere,  u  das  nächste,  b  das 
zweite  schärfere  Oktaeder  zu  p,  etc.,  alles  ganz  unabhängig  von  der 
Achsenwahl.  Denkt  man  sich  nun  die  Nebenachsen  senkrecht  zu  a, 
m.  a.  W.  denkt  man  sich  m  und  damit  auch  die  Oktaeder  t,  b,  p 
1.  Stellung,  so  sind  a,  u,  o  von  der  2.  Stellung.  Die  Achseneinheiten 
erhält  man  für  diesen  Fall,  wenn  man  beliebig  ein  Oktaeder  1.  Stellung, 
z,  B.  p  als  Hauptoktaeder  annimmt  Ans  seinen  Neigungswinkeln 
folgt  dann  das  Achsenverhältnis  a :  c.  Aus  Zonenverhältnissen  ergeben 
sich  folgende  Ausdrücke  für  die  anderen  einfachen  Formen:  für 
p;=P(lll)  ist:  o  =  Poo(101),  w -=  2P oo (201),  6  =  2P(221)  und  aus 
gemessenen  Winkeln  t  =  SP  (331).  Wählt  man  aber  nun  z.  B.  t  als 
Hauptoktaeder,  dann  ist  ^  =  P(111)  und  das  Achsenverhältnis  a:c  ist 
nun,  den  Winkeln  von  t  entsprechend,  ein  anderes,  als  vorhin;  es 
wird  an  diesem  Achsensystem:  6  =  |P(223)  und  p  =  ^P  (113)  etc. 
In  beiden  Fällen  wird  wesentlich  nur  ausgesagt,  daß  die  Schnitte  auf 
der  Hauptachse  für  die  drei  Oktaeder  p,  6,  t,  gleiche  Schnitte  auf  den 
Nebenachsen  vorausgesetzt,  sich  wie :  1:2:3  verhalten,  und  diese  Be- 
ziehung ist  von  dem  Achsenverhältnis  a :  c  unabhängig.  Auch  b  könnte 
als  Hauptoktaeder  gewählt  werden,  und  wenn  die  Oktaeder  u  und  o 
als  die  der  I.Stellung  (also  die  bisherigen  Zwischenachsen  nun  als  Neben- 
achsen) angenommen  würden,  auch  diese;  jedesmal  würden  die  Achsenver- 
hältnisse und  die  Ausdrücke  der  Oktaeder  und  Dioktaeder  andere  sein. 


Tetraedriscbe  Hemiearie.  155 

Hemieärische  und  Martoedrische  Klassen. 

YdU  heinie4rischeii  Klassen  sind  bei  Mineralien  lianplsBchlicti  twei  beobachtet 
worden,  die  tetraedrische  und  die  pyramidale;  vielleicht  gesellt  sich  daza  nocb  eine 
tettuloedriscbe ,  die  pjrauiidal-heniimorphe.    Nur  diese  sollen  daher  hier  betrachtet 

Tetraedrisch-hemiedrisohe  (sphenoidmh-hemiedrisohe,  aphenoidiaohe, 
tetragonal-shalenoedriache)  Klasse. 

135.  Tetraedrische  Hemledrie.  Diese  entspricht  der  tetra- 
edriechen  Hemiedrie  des  regnläi'en  und  der  rtiomboedrischen  Hemiedrie 
des  hezagonalen  Systems:  Die  sämtlichen  Flächen  in  einem  durch  die 
Ächsenebenen  bestimmten  Raumabschnitt  (Oktanten)  verhalten  sich 
gleich  und  von  denen  der  umliegenden  Raumabschnitte  verschieden, 
wie  es  Fig.  213  für  das  Dioktaeder  zeigt.  Die  Folge  davon  ist,  daß 
die  Eanptsymmetrieebene  und  die  beiden  durch  die  Nebenachsen  a 
gehenden  Nebensymmetrieebenen  verschwinden  nnd  nur  die  beiden 
durch  die  Zwischenachsen  bestimmten  Nebensymmetrieebenen  bleiben. 
Die  vierzählige  Symmetrieachse  parallel  der  Hauptachse  wird  zwei- 
zählig,  die  zweizähligen  Symmetrieachsen  parallel  den  Nebenachsen  a 
bleiben,  diejenigen  parallel  den  Zwischeuacbsen  b  fallen  weg  und 
ebenso  das  Symmetriecentrum.  Zu  jeder  Fläche  verschwindet  die 
parallele  Gegenfläche  j  die  Hemiedrie  ist  eine  geneigtflächige. 


Fig.  213.  Fig.  213a. 

Dehnen  sich  nun  am  Dioktaeder  die  Flächen  je  zor  Hälfte  ans, 
indem  gleichzeitig  die  anderen  verschwinden  (Fig.  213),  dann  erhält 
man  zwei  kongruente,  durch  Drehung  um  90**  um  die  Hauptachse 
zur  Deckung  zu  bringende  quadratisdie  Shaienoeder,  als  -(-  und  — 
unterschieden,  von  denen  das  eine  in  Fig.  213a  abgebildet  ist.  Jedes 
derselben  ist  von  acht  ungleichseitig  dreieckigen  Flächen  begrenzt 
and  bat  je  vier  abwechselnd  gleiche  Kanten,  die  oben  nnd  untea 
durch  das  Ende  der  Hauptachse  e  gehen  (End-  oder  Polkanten)  und 
vier  gleiche  zickzackfBrmig  schief  von  nnten  nach  oben  gehende 
Seiten-,  Mittel-  oder  Kandkanten,  durch  deren  Mitten  die  Nebenachsen 
a  gehen.    Außerdem  sind  zwei  gleiche  2 -|- 2  kantige  End-  oder  Pol- 


Igg  Quadratisches  Krystallsystem. 

ecken  auf  der  Hauptachse  und  vier  gleiche  2  +  14-1  kantige  Seiten-, 
Mittel-  oder  Randecken  abwechselnd  über  und  unter  der  Ebene  der 
Nebenachsen  liegend  vorhanden.    Das  Dioktaeder  mPn  oder  (MZ)  gibt 

diebeidenSkalenoeder:-| — ^  oder  x(ÄiZ)  und ^oäeTxQi^I),{YeTgl. 

fOr  die  Indices  der  einzelnen  Flächen  auch  Fig.  197). 

Das  Oktaeder  1.  Stellung  gibt  zwei  Tetraeder  (Sphenoide)  von 
verschiedener  Ordnung,  ebenfalls  als  -|-  und  —  zu  unterscheiden.  Sie 
haben  zwei  gleiche  Kanten  an  den  beiden  Enden  der  Hauptachse  c, 
senkrecht  zu  dieser  (End-  oder  Polkanten)  und  sich  unter  90®  kreuzend, 
und  vier  gleiche  Kanten  (Seiten-,  Mittel-  oder  Randkanten),  länger 
oder  kürzer  als  die  ersteren,  gehen  durch  die  Enden  der  Nebenachsen 
a  zickzackförmig  auf  und  ab.  In  der  allgemeinen  Gestalt  gleichen 
sie  regulären  Tetraedern  (Fig.  117  und  119);  sie  sind  aber  spitzer 
oder  stumpfer  als  diese  und  die  Kanten  sind  nicht  mehr  alle  einander 
gleich,  sondern  die  beiden  Endkanten  sind  von  den  vier  Seitenkanten 
verschieden  geworden.    Aus  dem  Oktaeder  mP  oder  (hhl)  werden  die 

zwei  Tetraeder :  +  -ö"  °^®^  ^  (**^  ^^^ ' ö~  ^^^^  *  (**^"    ^^^^ 

solche  zwei  koirelate  Tetraeder  sind  durch  Drehung  um  90®  um  c 
zur  Deckung  zu  bringen. 

Alle  anderen  einfachen  holoedrischen  Formen,  besonders  die 
Oktaeder  2.  Stellung,  bleiben  durch  diese  Hemiedrie  unverändert,  und 
es  ist  dadurch,  ganz  analog  wie  für  die  Dihexaeder  bei  der  rhombo- 
edrischen  Hemiedrie  des  hexagonalen  Systems  (122),  für  solche  hemi- 
edrischen  Krystalle  ein  absoluter  Unterschied  zwischen  den  Oktaedern 
der  beiden  Stellungen  gegeben.  Das,  welches  in  zwei  Tetraeder  zer- 
fällt, wird  immer  als  dasjenige  1.  Stellung  angenommen. 

Fig.  214  gibt  einen  Kupferhiesbrystall,  welcher  diese  Hemiedrie 
zeigt,  p  und  p^  sind  zwei  aus  demselben  Oktaeder  abgeleitete  korre- 

late  Tetraeder,  zu  welchem  Oktaeder  das  Oktaeder 
b  das  nächste  stumpfere  bilden  würde.  Infolge  der 
Hemiedrie  sind  die  Flächen  p  und  jp,  voneinander 
verschieden,  alle  acht  Flächen  des  Oktaeders  b  aber 
sind  gleich,  p  und  p^  bilden  also  zusammen  der 
p.    214  Foi-m  nach  ein  Oktaeder  1.,  b  ein  solches  2.  Stel- 

lung, c  ist  ein  Skalenoeder,  dessen  zwei  Flächen 
über  p  stumpfere  Winkel  machen  als  über  p^,  das  also  mit  p 
von  demselben  Vorzeichen  ist.  Wenn  c  ein  Skalenoeder  ist,  sind  die 
beiden  Kanten  cjp  rechte  und  links  von  p  nicht  notwendig  parallel. 
Wären  sie  genau  parallel,  was  in  der  Figur  nur  annähernd  der  Fall  ist, 
so  könnte  c  auch  ein  Oktaeder  2,  Stellung  sein  und  zwar  das  nächste 
schärfere  zu  dem  von  p  und  p^  gebildeten.    Für  die  Vorzeichen  der 


Pyramidale  Hemiedrie.  167 

Tetraeder  and  Skalenoeder  sind  hier  dieselben  Gesichtspunkte  maß- 
gebend, wie  im  hexagonalen  System  bei  den  entsprechenden  Formen, 
den  Bhomboedem  und  Skalenoedem. 


Pyramidal'hemiedrisohe  {tetragonal-bipyramldale,  bipyramidale)  Kiasse, 

136.  Pyramidale  Hemiedrie.  Sie  entspricht  genau  der  gleich- 
benannten Hemiedrie  des  Hexagonalsystems  (119).  Auch  hier  ver- 
halten sich  beim  flächenreichsten  Körper,  dem  Dioktaeder,  die  beiden 
in  einer  Seitenkante  zusammenstoßenden  Flächen  einander  gleich  und 
von  den  in  den  anliegenden  Seitenkanten  zusammenstoßenden  Flächen 
verschieden,  wie  es  in  der  pyramidalen  Hemiedrie  des  hexagonalen 
Systems  bei  dem  Didodekaeder  der  Fall  war  (Fig.  165  u.  166).  Alle  Neben- 
symmetrieebenen  verschwinden  dann,  nur  die  Haupts3rmmetrieebene 
bleibt  bestehen.  Ebenso  bleibt  nur  die  vierzählige  Hauptsymmetrie- 
achse parallel  der  Hauptachse  c,  aber  keine  der  Nebens3rmmetrie- 
achsen.  Zu  jeder  Fläche  ist  die  parallele  Gegenfläche  vorhanden, 
die  Hemiedrie  ist  eine  parallelflächige;  es  ist  ein  Symmetriecentrum 
vorhanden. 

Aus  jedem  Dioktaeder  lassen  sich  zwei  korrelate  Quadratoktaeder 
ableiten,  die  ihrer  Form  nach  mit  den  Quadratoktaedem  1.  und 
2.  Stellung  übereinstimmen,  sich  aber  durch  eine  inter- 
mediäre Lage  von  ihnen  unterscheiden,  so  daß  weder 
die  Neben-,  noch  die  Zwischen  achsen  durch  die  Seiten- 
ecken gehen.  Es  sind  QuadratoJctaeder  von  3.  oder 
Zunschenstellung  oder  Trüopyramiden,  Analog  geben  die 
achtseitigen  Prismen  quadratische  Prismen  von  3.  oder 
Zwischenstellung  oder  Tritoprismen.  Alle  anderen  ein- 
fachen Formen  bleiben  unverändert.  Eine  hierher  ge-  ^-  215. 
hörige  Kombination  gibt  der  ScheelithryäaU  (Fig.  216).  P  Oktaeder 
1.,  e  2.  Stellung,  nächstes  stumpferes  zu  P;  h  und  s  Oktaeder  von 
Zwischenstellung. 

Pyramidai'hemimorphe  (pyramidale,  hemimorph-hemiedrisohe)  Klaaee. 

a 

187.  PjraBldale  HemlBorphle.  Dieser  Klasse  gehört  von  HineraUen  viel- 
leicht das  CMbbleierg  an,  deshalb  soll  hier  knn  darauf  hingewiesen  werden.  In  den 
Formen  der  pyramidalen  Hemiedrie  (136)  fIlUt  anch  die  Hanptsymmetrieebene  nnd 
damit  zugleich  das  Symmetriecentmm  fort  Es  sind  ErystaUe  der  pyramidalen  He- 
miedrie, die  an  beiden  Enden  der  Hauptachse  c  verschieden  ausgebildet  sind.  Ftlr 
beide  Enden  bleibt  aber  die  Hauptachse  c  vierzählige  Symmetrieachse.  Die  quadra- 
tischen  Oktaeder  (Bipyramiden)  zerfallen  in  je  zwei  nach  oben  resp.  unten  offene 
quadratische  Pyramiden,  bei  der  Basis  werden  die  beiden  Flächen  verschieden,  die 
anderen  pyramidal-hemiedrischen  einfachen  Formen  behalten  ihre  Gestalt  bei.  Hieraus 
ergibt  sich  auch  leicht  die  Form  der  Kombinationen. 


168  Bhombisches  Kxystallsystein. 

4.  Bhombisches  System. 

(Zweigliedriges  System). 

Das  rhombische  Krystallsystem  ist  der  Inbegriflf  aller  Krystall- 
klassen,  die  auf  drei  zueinander  senkrechte  ungleiche  Achsen  a  h  c 
bezogen  werden  können.    Das  Achsenschema  ist: 

a:6:c;  ^alb  =  blc==-c!a  =  90^. 

138.  Achsen  des  rhombisehen  Systems.  Eine  der  drei  Achsen^ 
beliebig  welche,  denkt  man  sich  stets  aufrecht;  sie  heißt  die  VertÜKÜ- 
ochse  und  wird  mit  c  oder  c  bezeichnet  Die  größere  der  beiden 
anderen,  die  nun  horizontal  sind,  heißt  die  Makrodiagonale  oder  Makro- 
achse^  die  kleinere  die  BrachydiagonaJe  oder  Brachyachse,  Erstere  denkt 
man  sich  meist  yon  rechts  nach  links  gerichtet;  nur  bei  wenigen 
Mineralien  stellt  man  aus  ganz  speziellen  Gründen  die  ErystaJle  so, 
daß  sie  von  vom  nach  hinten  auf  den  Beschauer  zu  läuft.  Die 
Brachydiagonale  geht  infolgedessen  bei  den  Erystallen  der  meisten 
Mineralien  von  vom  nach  hinten,  nur  in  seltenen  Ausnahmefällen  von 
rechts  nach  links.  Die  von  rechts  nach  links  gehende  Achse,  also  in 
den  allermeisten  Fällen  die  Makrodiagonale,  heißt  die  Querachsey  die 
Yon  Yom  nach  hinten  gehende  die  Längsachse.  Letztere  wird  stets  mit 
a  bezeichnet,  die  Querachse  mit  b  (oder  auch  mit  ä  resp.  h). 

Ein  Achsensystem  ist  durch  das  Achsenyerhältnis :  a:h:c  voll- 
kommen  gegeben,  da  alle  Achsenwinkel  =  90®  sind.  Es  sind  zwei 
unbekannte  Stücke  vorhanden,  etwa  a  und  c,  wenn  6  =  1  gesetzt  ist. 
Zu  ihrer  Berechnung  sind  zwei  voneinander  unabhängige  gemessene 
Winkel  erforderlich.  Die  Achsenebenen  teilen  den  Raum  in  acht 
gleiche  Oktanten. 

Rhomblach'üollfläohige  {bipyramidale,  rhombisch-bipyramidale)   Klasse. 

1  + 1  + 1  ■—  3  Symmetrieebenen  ||  den  drei  Achsenebenen  oft,  bc 
und  ac,  voneinander  verschieden  und  aufeinander  senkrecht.  1  +  1-1-1 
=  3  zweizählige  Symmetrieachsen  ||  den  drei  krystallographischen 
Achsen  a,  6,  r,  ebenfalls  voneinander  verschieden  und  aufeinander 
senkrecht,  sowie  senkrecht  zu  den  drei  Symmetrieebenen.  S3rmmetrie- 
centrum  vorhanden.  Die  Achsenrichtungen  und  Achsenebenen  sind 
durch  die  S3rmmetrie  stets  unzweideutig  gegeben.  Die  drei  Symmetrie- 
ebenen sind  die  Fundamentalflächen. 

139.  Einfache  Formen.  1.  Rhombische  Oktaeder  (Pyramiden; 
Bipyramiden).    Eine  Fläche  schneidet  im  allgemeinen  alle  drei  Achsen 

ungleich,  daher  ist  der  Ausdruck:  -r'-r'-r  =  Q^  (90).     In  jedem 


Vollflächige  Klasse. 


169 


Fig.  216. 


Oktanten  muß  nach  der  Symmetrie  eine  solche  Fläche  liegen.  Diese 
acht  M&chen  bilden  einen  oktaedrisdien  Körper  mit  sechs  Ecken, 
von  welchen  nnr  je  zwei  gegenüberliegende  an  den  l^eiden  Enden 
derselben  Achse  einander  gleich  sind  (Fig.  216).  Von  den  zwölf 
Kanten  sind  je  vier  gleich,  welche  in  einer  der 
drei  Achsenebenen  (Hanptschnitte)  liegen.  Diese 
bilden  in  jeder  der  Achsenebenen  oft,  bc  und  ac 
miteinander  eine  rhombische  Fignr  (einen  rhom- 
bischen Schnitt),  deren  Diagonalen  die  betreffenden 
beiden  Achsen  sind.  Die  Flächen  sind  unregelmäßige 
Dreiecke.  ^Die  Form  des  Körpers  ist  je  nach 
dem  Achsenverhältnisse  a:b:c  und  den  Indices  h,  i,  l  verschieden. 
An  jedem  rhombischen  Achsensystem  können  anendlich  viele  Oktaeder 
vorkommen,  deren  Gestalt  und  Flächenwinkel  sich  mit  den  Indices 
h,  ky  l  ändern. 

2.  Bhombische  Prismen.  Die  Flächen  schneiden  zwei  Achsen  im 
Endlichen,  die  dritte  im  Unendlichen ;  dieser  letzteren  Achse  ist  dann 
das  Prisma  resp.  dessen  Flächen  und  Kanten  parallel.  Prismen  ||  der 
Achse  c  heißen  Vertikalprismen,  Horizontal  liegende  Prismen  ||  den 
Achsen  b  oder  a  werden  im  allgemeinen  Damen  genannt,  und  zwar: 
Makrodamen  oder  Querprismen  |  der  Makrodiagonale  oder  Querachse  b ; 
Brachydamen  oder  Längsprismen  ||  der  Brachydiagonale  oder  Längs- 
achse a.  Alle  diese  Prismen  haben  einen  rhombischen,  von  je  vier 
in  einer  Achsenebene  liegenden  Kanten  gebildeten  Querschnitt^  welcher 
je  einem  der  drei  rhombischen  Hauptschnitte  eines  Oktaeders  entspricht. 
Die  Prismen  können  als  Oktaeder  aufgefaßt  werden,  deren  Flächen 
eine  der  drei  Achsen  im  Unendlichen  schneiden. 

a    b 
a.   VertikaJprismen.    ^  *  T  *  °^  ^  ^^  (hkO).    Die  vier  Kanten  in  der 

Achsenebene  ab  bilden  den  rhombischen  Querschnitt.  An  jedem 
Achsensystem  können  viele  Vertikalprismen  auftreten;  die  Winkel 
derselben  hängen  außer  von  den  Achsen  a  und  b  von  dem  Verhältnis : 
h:k  a.\>  (Fig«  217).  Das  Prisma,  resp.  die  Prismenkanten  sind  der 
Yertlkalachse  c  parallel. 


Pig.  217. 


Fig.  218. 


Fig.  219. 


b.  Querprismen  (Makrodomen),  ^loobij (hOl) ;  |1  Achse  b  (Fig. 218). 


170  Rhombisches  KrystallBystem. 

b     c 
c.  Längsprismen    (Brachydomen) :  °*^^-t'T  (ß^)'^    II   A.clise    a 

(Fig.  219).  . 

Ffir  die  beiden  letzteren  Körper  gilt  alles  für  das  Yertikal- 
prisma  Gesagte,  nur  maß  man  c  mit  b  resp.  a  und  l  mit  k  resp.  h  ver- 
tauschen. 

Diese  drei  Prismen  sind  keine  absolut  verschiedenen  Krystallformen.  Der  Cha- 
rakter derselben  hängt  von  der  Achsenwahl  ab  und  da  man  beliebig  jede  Achse  als 
Vertikalachse  nehmen  kann,  so  kann  man  auch  jedes  Prisma  als  Vertikalprisma  auf- 
fassen; die  Prismen  in  den  beiden  anderen  Bichtangen  sind  dann  Domen. 

3.  PinaJcoide.  Die  Flächen  schneiden  eine  Achse  und  sind  den 
beiden  anderen  Achsen  parallel;  daher  sind  die  Flächen  auf  jener 
ersten  Achse  senkrecht. 

a.  Basis  (basisches  Pinakoid)  _LAchse  Cj  also  ||  a  und  &,  somit: 
ooa:oob:c  =  (001)  (Fig.  220). 


•»pa 


Fig.  220. 

b.  Mdkropinakoid  (Querfläche)  _L Achse  a,  also  ||  b  und  c,  somit: 
a:oo6:ooc  =  (100)  (Fig.  221). 

c  BrachypinaJcoid  (Längsfläche)  _LAchse  b,  also  ||  c  und  a,  somit: 
ooa :  6 :  ooc  =  (010)  (Fig.  222). 

Die  Unterschiede  der  Pinakoide  sind  gleichfaUs  keine  absoluten;  sie  hängen 
ebenso  wie  bei  den*  Prismen  von  der  Achsenwahl  ab.  Jedes  Pinakoid  kann  je  nach 
dieser  Wahl  Basis,  Makro-  oder  Brachypinakoid  werden.  Sie  sind  die  Fundamental- 
flächen des  rhombischen  Systems. 

140.     Namnannsehe   Bezeiclmiing  und   Übersicht.     Bei   der 

Naumannschen  Bezeichnung  der  rhombischen  Formen  geht  man  eben- 
falls von  demjenigen  Oktaeder  (Pyramide  Naumanns)  aus,  dessen  Flächen 
von  den  Achsen  die  Achseneinheiten  a,  b,  c,  abschneiden,  und  die  also 
die  Einheitsflächen  darstellen.  Dieses  Oktaeder  wird  auch  hier  das 
Hauptoktaeder  oder  die  Grundfarm  (primäre  Pyramide,  Grundpyramide 
Naumanns)  genannt  und  mit  dem  Buchstaben  P  bezeichnet;  es  hat 
den  Ausdruck :  P  =  a:b:c=  (111).  Auf  diese  Grundform  werden  die 
anderen  einfachen  rhombischen  Formen  in  ganz  analoger  Weise,  wie 
bei  den  schon  betrachteten  Krystallsystemen  bezogen  (103,  115,  133), 
selbstverständlich  unter  Berücksichtigung  der  speziellen  Verhältnisse 
des  rhombischen  Systems. 

Die  sämtlichen  an  einem  rhombischen  Achsensystem  möglicher- 


VoUfl&chige  Klasse.  171 

weise  auftretenden  Oktaeder  zerfallen  nach  ihren  Schnitten  auf  den 
beiden  horizontalen  Achsen  a  und  b  in  drei  Beihen.   Der  Schnitt  auf 
der  Yertikalachse  c  ist  hierbei  nicht  von  Einfluß,  daher  gelten  die- 
selben drei  Eeihen  auch  für  die  Vertikalprismen, 
bei  denen  der  Schnitt  auf  c  unendlich  groß  ge- 
worden ist.    In  Fig.  223  sind  diese  Schnitte  in 
der  Achsenebene  ab  für  einen  Oktanten  dai^e- 
stellty  die  Flächen  selbst  gehen  an  den  hier  ge- 
zogenen Linien  nach  dem   betreffenden  Punkt 
auf  der  vertikalstehenden  Achse  c.    Diese  drei  Fig.  223. 

Reihen  sind  die  folgenden. 

1.  Hauptreihe.  Beide  horizontale  Achsen  a  und  b  werden  gleich 
d.  h.  mit  gleichen  Ableitungszahlen  geschnitten.  Der  allgemeine  Aus- 
druck der  Flächen  ist  dann :  ea :  e& :  ^rc,  wo  jr  =  1 ,  auch  =  oo  beim 

Vertikalprisma.  Wenn  man  die  Fläche  parallel  mit  sich  nach  den 
Enden  der  Achsen  a  und  b  verschiebt  (I.  Fig.  223)  erhält  man: 

a:b:  —  c  =  a:b: mc,  wo 

m  «==:  —  ^  1,  auch  =oo. 

Die  Pyramiden  der  Hauptreihe  unterscheiden  sich  dann  nur  durch 
die  Größe  der  Ableitungszahl  m^  d.  h.  durch  die  Länge  der  Stücke, 
die  sie  auf  der  Yertikalachse  c  abschneiden.  Sie  sind  in  der  Eichtung 
der  Yertikalachse  mehr  oder  weniger  spitz  oder  stumpf. 

2.  Makrodiagarude  Nebenreü^.  Die  Makrodiagonale  b  wird  von 
den  Flächen  mit  einer  größeren  Ableitungszahl  geschnitten,  als  die 
Brachydiagonale  a.  Der  allgemeine  Ausdruck  der  Flächen  ist  also : 

eaifbigc,  wo  f^e,  ^  =  1,  auch  =  oo. 

Legt  man  die  Flächen  parallel  mit  sich  durch  das  Ende  der  Achse  a 
(II.  Fig.  223),  so  schneiden  sie  auf  der  Makrodiagonale  ein  Stück  >  b 
ab.    Der  Flächenausdruck  geht  dann  über  in: 

a:~b:  — c  =  a:nb: mc,  wo 

n  =  — >1  und  m  =  ~^l,  auch«»c». 

3.  Brachydiagonale  Nfbenreihe,  Die  Brachydiagonale  a  wird  mit 
einer  größeren  Ableitungszahl  von  den  Flächen  geschnitten,  als  die 
Jtfakrodiagonale  b.    Der  allgemeine  Flächenausdruck  ist  wieder: 

eaißigc,  aber  c>/'  und  g^l,  auch  =  cjo. 

Legt  man  diese  Fläche  nun  parallel  mit  sich  durch  das  Ende  der 


172  Bhombisches  Erystallsystem. 

Achse  b  (in.  Fig.  223),  so  schneidet  sie  auf  der  Brachydiagonale  ein 
Stuck  >  a  ab  und  der  Flächenausdruck  geht  über  in : 

-7^  a  :o :  ~  c  =  na  10 :  mc,  wo 

n  =  y>>l  und  m=^^l,  auch  =  oo. 

Wird  in   den  beiden  letzten  Eeihen  n  =  1,  dann  gehen  sie  in  die 
Hauptreihe  über. 

Andere  Oktaeder  (resp.  Yertikalprismen)  als  solche  aus  diesen 
drei  Beihen  kann  es  offenbar  im  rhombischen  System  nicht  geben. 
Es  können  also  auch  keine  anderen  Ausdrücke  als  die  erwähnten 
vorkommen : 

I.  Hauptreihe:  a\h'.mc 

hierher  die  Grundform:  a:6:c, 
n.  Makrodiagonale  Nebenreihe :  ainb:  nie, 

HL  Brachydiagonale  Nebenreihe:  naibimc^ 
in  denen  allen  eine  der  beiden  auf  die  horizontalen  Achsen  a  oder  b 
bezüglichen  Ableitungszahlen  =  1  ist  (in  der  Hauptreihe  beide), 
während  die  andere  n  größer  als  1  (in  der  Hauptreihe  =  1)  sein 
muß.  Die  auf  die  Vertikalachse  c  bezügliche  Ableitungszahl  m  kann 
jeden  beliebigen  Wert  haben;  bei  den  Vertikalprismen  wird  m  =  oo. 

Aus  dem  Ausdruck  P  für  die  Grundfoim :  a:b:c  lassen  sich  nun 
die  Naumannschen  Ausdrücke  aller  übrigen  Oktaeder,  sowie  die  der 
Yertikalprismen  (und  weiterhin  auch  die  aUer  übrigen  einfachen  rhom* 
bischen  Formen)  analog  wie  im  quadratischen  und  hexagonalen  System 
ableiten,  indem  man  die  Ableitungszahl  m  vor,  n  hinter  P  setzt,  so 
daß  der  allgemeine  Naumannsche  Ausdruck  für  ein  rhombisches  Okta- 
eder =  mPn  wäre.  Dieses  Symbol  ist  aber  zweideutig,  denn  n  bezieht 
sich  bald  auf  die  Makrodiagonale  6,  bald  auf  die  Brachydiagonale  a, 
je  nachdem  das  Oktaeder  der  makrodiagonalen  oder  der  brachydiagonalen 
Nebenreihe  angehört.  Diese  beiden  Seihen  werden  dadurch  unterschieden, 
daß  man  über  n  (statt  dessen  manchmal  auch  über  P)  das  Zeichen  der 
Länge,  — ,  resp.  das  Zeichen  der  Kürze,  ^-^,  anbringt,  je  nachdem  sich  die 
Ableitungszahl  n  auf  die  Makro-  oder  auf  die  Brachydiagonale  be-* 
zieht  Es  bedeutet  also  mPn  oder  mPn,  resp.  mPH  oder  mPn  ein 
Oktaeder  der  makrodiagonalen  resp.  der  brachydiagonalen  Nebenreihe. 

Danach  hat  man  nun  fär  die  einfachen  rhombischen  Formen  fol- 
gende Übersicht 

1.  Oktaeder  (Pyramiden,  Bipyramiden) : 
a)  Hauptreihe: 

fnP  =  a:b:mc  oder  (hhl)  {h^T); 

z.  B.  Grundform:  P  =  a :  6 :  c  =  (111) ; 


Vollflächige  Klasse.  173 

2P  — a:6:2c  =  (221); 
iP=a:  6:^0  =  (113). 

b)  Makrodiagonale  Nebenreihe  (Makropyramiden) : 

fnBfl  =  a:nb:mc  oder  =(M?)  (Ä>>t); 
z.  B.  2P5  =  a:36:2c  =  (623); 
P2  =  a:26:   c  =  (212). 

c)  Brachydiagonale  Nebenreihe  (Brachypyramiden) : 

mPn  =  na:b:mc  oder  =  (hkl)  {h < Je)] 

z.  B.  2P3  =  3a :  ft  :  2c  =-  (263); 
iP2  =  2a:&:^c  =  (126). 

2.  Vertikalprismen: 

a)  Hauptreihe:  ooP  =  a:6:ooc==(110). 

b)  Makrodiagonale  Nebenreihe  (Makroprismen); 

ooPn  =  a:nh:occ  oder  (Kkff)  (A>Ä;); 
z.  B.  ooP2  =  a:2b:ooc  =  (210). 

c)  Brachydiagonale  Nebenreihe  (Brachyprismen) : 

ooPfi  =  na:b:ooc  oder  (hJcO)  (A < i) ; 

z.  B.  ocP2  =  2a:6:occ  =  (120). 

Analog  ist  es  bei  allen  fibrigen  einfachen  Formen  des  rhombischen 
Systems,  deren  Flächen  man  sich  gleichfalls  dnrch  die  Enden  einer 
der  horizontalen  Achsen  a  oder  b  parallel  mit  sich  verschoben  denkt: 

3.  Domen: 

a)  Makrodomen :  mPöo  =  a:oob:mc  oder  (hOl) : 

z.  B.  2P^  =  a:oob:2c  oder  =  (201); 
P^  =  a:oob:c  =(101). 

b)  Brachydomen:  mPoo  =  ooa :b:mc  oder  (OW); 

z.  B.  2P5S  =  ooa:6:2c  =  (021); 
lPoo  =  ooa  :b:^c  =  (013). 

4.  Pinakoide: 

a)  Makropinakoid :    ooPoo  =  a :  oo6 :  ooc  =  (100). 

b)  Brachypinakoid :  cjoP5o  =  ooa:6:ooc  =  (010). 

c)  Basisches  Pinakoid  (Basis):  0P=oca:ooJ:c  =  (001). 

Andere  einfache  Fonnen  als  diese  sind  an  einem  rhombischen  Achsensysteme  nn- 
mOglich.  Die  drei  Pinakoide  geben  die  Fnndamentalflächen  der  rhombischen  ErystaUe, 
eine  Fläche  des  Hanptoktaeders  (der  Grandform)  ist  die  Einheitsfläche. 

141.  Kombinatioiieii.  Zwei  Oktaeder  bilden,  je  nachdem  sie  die 
Achsen  schneiden,  verschiedene  Kombinationen.  Sind  die  auf  zwei 
Acbsen  bezüglichen  Indices  (Ableitnngszahlen)  in  beiden  Oktaedern 
einander  gleich,  dann  spitzt  das  eine  Oktaeder  die  auf  der  dritten 
Achse  liegenden  Ecken  des  anderen  so  zu,  daß  die  entstehenden 
Kombinationskanten  mit  den  in  der  Ebene  der  zwei  ersten  Achsen 


174 


Rhombiiches  Crystallayertea 


gelegenen  Oktaederkanten  parallel  sind,  z.  B.  wie  in  Fig.  224  fftr  die 
zwei  Oktaeder:  hJd  nnd  hh,l.  Sind  aber  zwei  oder  alle  drei  Indices 
(Ableitangszablen)  verscliieden,  so  sind  die  Kombinationskanten  schief 
zn  alten  Oktaederkanten  gerichtet  (Fig.  225  fQr  die  Oktaeder:  (hkT) 
und  (hM)- 


Fig.  22Ö. 


Fig.  286. 


Fig.  224. 

Prismen  stumpfen  an  Oktaedern  die  Kanten  ab,  oder  sie  sind 
auf  diejenigen  Kanten  der  Oktaeder  gerade  aufgesetzt,  welche  in  der 
Ebene  der  beiden  vom  Prisma  im  Endlichen  geschnittenen  Achsen  liegen. 
So  stnmpft  das  Prisma  (AÄO)  die  horizontalen  Kanten  des  Oktaeders  {hkt) 
gerade  ab.  Hier  sind  die  beiden  ersten  Indices  f&r  beide  Kßrper 
gleich  (Fig.  226).  Dagegen  sind  die  Flächen  des  Domas  ((ik,l,)  anf  die 
seitlichen  Kanten  des  Oktaeders  (hkl)  gerade  aufgesetzt  (Fig.  226); 


Fig.  227. 


Fig.  228. 


Fig.  229. 


hier  ist  k  nnd  k„  sowie  /  nnd  l,  verschieden.  Prismen  von  derselben 
Lf^e  schärfen  ihre  Kanten  gegenseitig  zu,  wie  die  beiden  Tertikai- 
prismen (hkO)  und  (Ä^O)  (Fig.  227).  Prismen  von  verschiedener  Lage, 
z.  B.  die  beiden  Domen  hOl  nnd  Ok,l,  geben  einen  oktaedrischen  KSrper 
(Fig.  228)  mit  einem  in  der  Ebene  der  beiden  Achsen,  denen  die  Domen 
parallel  gehen,  gelegenen  oblongen  Schnitt,  ein  sog.  Oblongi^taeder,  das 


^ 

-tm 

«F« 

.». 

m 

m. 

"■ 

Fig.  230. 


Fig.  231. 


Fig.  282. 


natfirlich  keine  einfache  Form,  sondern  eine  Kombination  ist.  Pinakoide 
schließen  entweder  Prismen  beiderseitig,  z.  B.  bei  dem  Hakrodoma  mit 
Lftngsflftche  (010)  (Fig.  229)  oder  dem  vertikalen  rhombischen  Prisma 
(AM)  mit  Basis  (001)  (Fig.  230) ;  oder  sie  stampfen  zwei  gegen&bet^ 


Vollflächige  EJMse.  175 

liegende  Kanten  gerade  ab,  wie  die  Längsflftche  (010)  am  Vertikal- 
prisma  (MO)  (Fig.  230).  An  Oktaedern  stampfen  sie  je  zwei  gegen- 
überliegende Ecken  gerade  ab  (Fig.  231).  Alle  drei  Pinakoide  geben 
ein  oblonges  Prisma  mit  Basis  (Fig.  232),  das  sich  vom  quadratischen 
Prisma  mit  Basis  and  vom  Würfel  nur  dadurch  unterscheidet,  daß 
alle  Flächenpaare  verschieden  sind,  während  beim  Würfel  alle  drei 
gleich,  beim  quadratischen  Prisma  zwei  gleich  sind ;  aufeinander  senk- 
recht sind  sie  bei  allen  dreien  (134). 

In  Fig.  233  ist  ein  komplizierterer  rhombischer 
Erystall,  dem  Topas  zugehörig,  abgebildet.  Die  Achsen- 
richtungen sind  durch  die  Symmetrieebenen  gegeben, 
deren  Verlauf  unmittelbar  ins  Auge  f&Ut.  Die  Achse, 
welche  parallel  der  Kante  der  Prismen  M  und  l  ver- 
läuft, soll  die  Yertikalachse  c  sein,  M  und  l  sind  Fig.  23a 
dann  Vertikalprismen  und  P  ist  die  Basis,  n  ist 
ein  Doma,  o,  s  und  x  sind  Oktaeder,  und  zwar  haben  o  und 
8  mit  M  teilweise  gleiche  Indizes,  denn  die  Flächen  M,  o,  s,  P 
liegen  in  einer  Zone  (schneiden  sich  in  parallelen  Kanten).  Ist 
o  =  hkl^  so  ist  8  =  hkl,  und  Jf=A^.  Zur  Bestimmung  des  Achsen- 
verhältnisses wählt  man  eines  der  vorhandenen  Oktaeder  als  Haupt- 
oktaeder, z.  B.  0,  dann  ist  o  =  P  (111),  und  das  Achsenverhältnis 
a:b:c  ergibt  sich  aus  den  Neigungswinkeln  der  Flächen  o;  if  ist 
=  ooP  (110)  und  n  ist  ein  Brachydoma,  denn  das  Prisma  Jfcf  hat  seinen 
stumpfen  Winkel  vom,  auf  seiner  scharfen  seitlichen  Kante  ist  die 
Fläche  n  gerade  aufgesetzt,  also  geht  n  in  der  Tat  der  Brachydiagonale 

parallel,    «ist  =  a :  6 :  y  c  (/  >  1)  und  zwar  =  ^P  =  (112),  und  x  = 

(AM)  und  Z  =  WO  wo  Ä  <  Ar.  Die  Indices  für  die  Flächen :  s,  x^  n  und  l 
folgen  meist  aus  den  Neigungswinkeln,  da  der  Zonenzusammenhang  hier 
vielfach  unterbrochen  ist;  doch  liegt  x  in  der  Zone  [oxn]  und  l  in  der 
Zone  [üäx].  Man  hätte  auch  s  als  Hauptoktaeder  nehmen  können, 
oder  Xy  jedesmal  hätte  sich  ein  anderes  Achsenverhältnis  aibic  und 
damit  andere  Indices  f&r  die  anderen  abgeleiteten  Flächen  ergeben. 
Statt  der  Kante  MjM  hätte  man  aber  auch  eine  andere  Achse  als 
Vertikalachse  wählen  können,  z.  B.  die  Kante  des  Prismas  n  (oder  die 
Kante  Pln\  das  dann  Vertikalprisma  z.  B.  =  oo  P  (HO)  geworden  wäre. 
Da  die  Flächen  n  sich  aber  P  in  einem  stumpfen  Winkel  schneiden, 
so  müßte  P  in  diesem  Fall  Makropinakoid  sein ,  also :  P  «=  oo  P  öo 
(100)  und  M  und  l  wären  Brachydomen;  o,  «,  x  wären  nach  wie  vor 
Oktaeder.  Je  nach  dem  Achsenverhältnis  a:b:c  kann  n  aber  auch 
einen  anderen  Ausdniek  als  (HO)  erhalten,  P  kann  dann  auch  Brachy- 
pinakoid  werden,  und  damit  werden  dann  M  und  l  Makrodomen. 


176  Rhombisches  Erystallsystem.    Hemiedrie. 

Hemiedrische  Klassen. 
Von  solchen  sind  zwei  möglich,  die  auch  beide  im  Mineralreich  vertreten  sind. 

Rhombisch'hemimorphe  (rhombisch-pyramidale)  Klasse. 

142.  Bhombisclie  Hemimorphie.  Die  Erystalle  sind  an  beiden 
Enden  einer  der  drei  krystallographischen  Achsen  verschieden;  sie 
werden  nach  dieser  Achse,  der  Achse  des  Hemimorphismus ,  polar. 
An  jedem  Ende  derselben  herrscht  noch  die  Symmetrie  des  rhombischen 
Systems,  aber  zu  jeder  Fläche  des  einen  Endes  sind  die  parallelen 
Gegenflächen  am  anderen  Ende  weggefallen,  oder  sie  sind  von  jenen 
physikalisch  verschieden  geworden.  Eine  der  drei  Symmetrieebenen, 
und  zwar  diejenige  senkrecht  zur  Achse  des  Hemimorphismus  ist  also 
weggefallen,  die  beiden  anderen,  die  durch  diese  Achse  hindurch  gehen, 
existieren  noch.  Von  den  drei  zweizähligen  Symmetrieachsen  ist  nur 
noch  die  mit  der  Achse  des  Hemimorphismus  parallele  vorhanden. 
Ein  Symmetriecentrum  besteht  nicht  mehr. 

Die  Achse  des  Hemimorphismus  wird  meist  als  Vertikalachse  c  auf- 
recht gestellt,  so  daß  an  den  Krystallen  eine  Verschiedenheit  zwischen 
oben  und  unten  vorhanden  ist.  Aus  den  Oktaedern  werden  dann 
zwei  nach  unten  resp.  nach  oben  offene  rhombische  Pyramiden,  deren 
Spitzen  auf  dem  oberen  (-f)  resp.  unteren  ( — )  Aste  der  Achse  c  liegen, 
und  die  man  wie  diese  als  obere  und  untere  mit  den  Zeichen  o  und  u 
unterscheiden  kann.  Das  Oktaeder  mFn  {hJcl)  gibt  z.  ß.  die  beiden 
hemimorphen  Hälften  o .  mPn  (hkl)  und  u .  mPn  (hU). 

Die  Vertikalprismen  behalten  ihre  Gestalt  bei.  Die  Domen  zer- 
fallen in  eine  obere  positive  und  in  eine  untere  negative  dachförmige 
Hälfte  (Hemidoma),  die  nach  unten  resp.  nach  oben  geöffnet  sind.  Das 
Makrodoma  mPöö  (hOl)  gibt  z.  B.  die  beiden  Hälften  o .  mPöö  (hOl)  und 
u .  mPoö(ÄOQ,  das  Brachydoma  wPoo(OW)  gibt  o .  mPo6  (Ofe?)  und  u .  mPSo 
(0kl).  Das  basische  Pinakoid  OP  (001)  zerfällt  in  die  beiden  Einzel- 
flächen o.OP(OOl)  und  w.0P(001),  während  die  der  Achse  des  Hemi- 
morphismus parallelen  Pinakoide,  das  Makro-  und  das 
Brachypinakoid  unverändert  bleiben. 

Als  Beispiel  des  Hemimorphismus  im  rhombischen  System 
haben  wir  schon  oben  (68)  einen  KrystaJl  von  Kieselzinkerz  kennen 
gelernt.    Ein  anderes  Beispiel  liefert  der  Struvit^  dessen  Formen 
JJig.  ^&k,  ^^y^  Yig^  234  ohne  weiteres  klar  sind. 

Rhombisch'hemiedrische  (rhombisch-bisphenoidische)  Klasse. 

143.  Bhombisehe  Hemiedrie«  Diese  Hemiedrie  des  rhombischen  Systems 
entspricht  ganz  der  tetraedrischen  Hemiedrie  der  quadratischen  und  der  regulären 
Krystalle  und  wird  daher  auch  hier  wohl  die  tetraedrische  Hemiedrie  genannt.  Die 
sämtlichen  in  einem  Oktanten  liegenden  Flächen  jeder  einfachen  Form  verhalten  sich 


Monoklines  Erystallsystem. 


177 


gleich  md  Ton  denen  in  den  umliegenden  Oktanten  verschieden.  Daher  fallen  die 
drei  Symmetrieebenen  nnd  das  Symmetriecentmm  weg,  aber  die  drei  aufeinander 
senkrechten  zweizähligen  Symmetrieachsen  parallel  den  krystallographischen  Achsen 
a,  b  und  c  bleiben  als  die  einzigen  Symmetrieelemente  erhalten.  Aus  jedem  Oktaeder 
werden  zwei  rhombisehe  Tetraeder  oder  Sphenoide  (Fig.  236),  die  von  Tier  nngleich- 
schenkligen  Dreiecken  begrenzt  werden.  Die  beiden 
gegenüberliegenden  Kanten  schneiden  sich  hier  nicht 
mehr  rechtwinklige  sondern  unter  den  schiefen  Win- 
keln der  Oktaederkanten  in  den  drei  Hauptschnitten. 
Korrelate  Tetraeder  können  also  nicht  durch  Drehung 
zur  Deckung  gebracht  werden,  sie  sind  enantiomorph. 
Alle  anderen  einfachen  Formen  außer  den  Oktaedern 
ändern  ihre  Gestalt  nicht. 

Diese  Hemiedrie  trifft  man  u.  a.  beim  Bittersalz 
(Fig.  236),  wo  ein  rhombisches  Yertikalprisma  (110) 
mit  einem  Tetraeder  (111)  kombiniert  ist,  dessen  Fl&chen  auf  die  Prismenflächen 
abwechselnd  nach  oben  und  nach  unten  gerade  angesetzt  sind. 


■J»«?. 

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ita 


Fig.  236. 


Fig.  236. 


Monoklines  System. 

(KlinorhombiBches,  monosymmetrisehes,  zwei-  und  eingliedriges  System). 

Im  monoklinen  System  sind  alle  diejenigen  Erystallklassen  ver- 
einigt, die  sieh  auf  drei  angleiche  Achsen  beziehen  lassen,  welche  sich 
in  zwei  rechten  nnd  einem  schiefen  Winkel  schneiden.  Das  Achsen- 
schema ist: 

a:6:c;  -^a/6  =  J/c  =  90®;  ^alc  =  ß. 

144.  Achsen  des  monoklinen  Systems.  Eine  der  drei  Achsen 
steht  auf  den  beiden  anderen  senkrecht.  Sie  wird  mit  b  bezeichnet 
und  geht  bei  der  gewöhnlichen  Anfstellung  quer  yon  rechts  nach 
links.  Man  nennt  sie  die  Querachse^  die  Orthodiagonale  oder  Orthoachse 
oder  die  Symmetrieachse,  Von  den  beiden  anderen  schief  gegen- 
einander geneigten  wird  die  eine,  beliebig  welche,  aufrecht  gestellt; 
es  ist  die  Vertikalachse  c.  Die  zweite,  a,  geht  dann  schief  von  vom 
nach  hinten;  sie  wird  als  Längsachse,  Klinodiagonale  oder  Klinoachse 
bezeichnet.  Die  Achsenebene  oc,  die  fcLr  das  Achsensystem  Symmetrie- 
ebene ist»  läuft  dann  gerade  auf  den  Beschauer  zu.  Das  Achsen- 
system wird  dabei  in  den  meisten  Fällen  so  orientiert,  daß  der 
stumpfe  Winkel  ajc  =  ß  der  beiden  schiefen  Achsen  a  und  c  nach 
vom  gekehrt  ist  (Fig.  57).  Die  beiden  anderen  Achsenwinkel  a;b  =  y 
und  c:b  ==>  a  sind  Rechte.  Das  Schema  eines  monoklinen  Achsen- 
systems ist  also: 

a:b:c;  -^ a/6  =  J/c  =  90® ;  ^ajc^ß. 

Hierin  sind  die  beiden  Winkel  ajb  und  bic  als  Rechte  bekannt,  es 
bleiben  also  noch  drei  unbekannte  Stücke  übrig :  das  Achsenverhältnis, 
also  z.  B.,  wenn  6  =  1  gesetzt  wird,  a  und  c,  sowie  der  Winkel  ajc  =  ß. 

Bauer,  Mineralogie.  12 


178  Monoklines  Ej^ystallsystem. 

Diese  drei  Unbekannten  können  aus  drei  an  dem  betreffenden  Krystall 
gemessenen  voneinander  unabhängigen  Winkeln  berechnet  werden. 
Achse  a  kann  >6  oder  <ii  sein. 

Die  drei  Achsenebenen  bilden  acht  Oktanten,  die  zu  vier  und  vier 
einander  gleich  sind:  je  zwei  in  der  Achsenebene  ajc  aneinander- 
stoßende und  die  beiden  diametral  gegenüberliegenden.  Die  eine 
Gruppe  von  vier  Oktanten  enthält  den  stumpfen  Winkel  (+  a)lc  =  /?, 
die  andere  den  spitzen  Nebenwinkel  ( —  a)/c  =  ß'  =  180  —  ß  (stumpfe 
und  spitze  Oktanten). 


Monohlin-üollflächige  (prismatische)  Klasse, 

145.  Allgemeine  TerhUtnisse  der  holoedrisehen  Klasse.    Es 

ist  außer  einem  Symmetriecentrum  eine  Symmetrieebene  und  eine  auf 
dieser  senkrechte  zweizählige  Symmetrieachse  vorhanden.  Mit  letzterer 
muß  die  Orthodiagonale,  mit  der  Symmetrieebene  die  Achsenebene  a/c 
parallel  sein.  Bei  der  gewöhnlichen  Aufstellung  der  monoklinen 
Krystalle  ist  es  also  so,  daß  die  Symmetrieebene  auf  den  Beschauer 
zuläuft,  während  die  Symmetrieachse  quer  von  rechts  nach  links  geht. 
Die  voUflächig-monoklinen  Krystalle  sind  dann  rechts  und  links  gleich 
ausgebildet,  aber  nicht  mehr  wie  im  rhombischen  System  auch  vorn 
und  hinten,  da  eine  entsprechende  Symmetrieebene  fehlt. 

Wenn  an  einem  monoklinen  Achsensystem  eine  Fläche  -r-y-T 

=  hJcl  auftritt,  die  von  allen  drei  Achsen  endliche  Werte  abschneidet, 
so  erfordert  die  Symmetrie  nur  noch  das  Auftreten  einer  zweiten 
gleichen  und  gleichliegenden  Fläche  auf  der  anderen  Seite  der 
Symmetrieebene : 

h   — Je    l 

Diese  beiden  Flächen  mit  ihren  parallelen  Gegenflächen  begrenzen 
ein  Prisma  von  rhombischem  Querschnitt,  das  sich  von  einem  Prisma 
des  rhombischen  Systems  in  der  Form  durch  nichts  unterscheidet,  das 
aber  schief  an  den  Achsen  liegt  und  dessen  vier  Flächen  im  all- 
gemeinen in  die  vier  gleichen  stumpfen  resp.  spitzen  Oktanten  fallen. 
Geht  man  von  den  vier  oberen  um  +  c  herumliegenden  Oktanten  aus, 
so  kann  man  diese  beiden  Arten  von  schiefen  Prismen  als  vordere 
und  hintere  unterscheiden.  Sie  sind  charakterisiert  durch  ihren 
Schnitt  auf  den  Achsenästen  4-a  und  —  a,  also  durch  die  Ausdrücke: 

VVl  =  ^f^  und  -^:|:|  =  (ÄAO. 
(yorderes  schiefes  Prisma)      (hinteres  schiefes  Prisma). 

Ein  rhombisches  Prisma  ist  die  flächenreichste  einfache  Form 


Monoklines  Kiystallsystem. 


179 


des  monoklinen  Systems.  Es  kann  verschiedene  besondere  Lagen  an 
den  Achsen  haben,  wodurch  seine  Indices  gewisse  spezieUe  Werte 
erhalten.  Dadurch,  daß  der  vordere  Prismenwinkel  =  180®  wird,  wo- 
mit je  zwei  Flächen  in  ein  Niveau  fallen,  entstehen  aus  den  Prismen 
neue  spezielle  Formen,  die  nur  von  einer  Fläche  und  ihrer  parallelen 
Gegenfläche  begrenzt  sind :  Pinakoide,  die  der  Orthodiagonale  parallel 
laufen.  Wird  die  seitliche  Prismenkante  =  180®,  so  entsteht  jederzeit 
das  Pinakoid  senkrecht  zur  Orthodiagonale  (parallel  mit  der  Symme- 
trieebene). Da  die  einfachen  Formen  des  monoklinen  Systems,  Prismen 
und  Pinakoide,  alle  offen  sind,  so  müssen  sämtliche  monoklinen  Krystalle 
Kombinationen  darstellen. 


146.  Einfache  Formen.  1.  Prismen.  Der  allgemeinste  FaU  ist 
der,  den  wir  schon  betrachtet  haben  (145),  wo  die  Flächen  die  drei 
Achsen  ungleich  und  im  Endlichen  schneiden.  Dies  sind  die  schiefen 
Prismen,  die  auch  nach  ihrem  ausgezeichneten  Vorkommen  am  Augit 
als  augitartige  Paare,  oder,  weil  sie  in  Kombination  mit  einem  zweiten 
Prisma  eine  Pyramide  geben,  Hemipyramiden  genannt  werden.  Eine 
spezielle  Lage  an  dem  Achsensystem  erhalten  die  Prismen,  wenn  sie 
entweder  der  Vertikalachse  c  oder  der  Klinodiagonale  a  parallel 
gehen.  Dies  sind  die  Vertikalprismen  resp.  die  Jlorizontalprismen, 
die  auch  den  Namen  Klinodomen  erhalten  haben.  Danach  können  an 
einem  monoklinen  Achsensystem  folgende  Prismen  auftreten: 

a.  Schiefe  Prismen  (Hemipyramiden,  augitartige  Paare).  Bei  ihnen 
tritt  nach  der  Lage  an  der  Achse  a  der  Unterschied  zwischen  vorn 
und  hinten  ein  (145).  Man  unterscheidet  danach  vordere  und  hintere 
schiefe  Prismen,  von  denen  man,  unnattirlicherweise,  nach  dem  Vor- 
gange von  Naumann  die  ersteren,  die  an  +  «  anliegen,  als  negative, 
die  letzteren  an  —  a  als  positive  Hemipyramiden  zu  bezeichnen  pflegt. 
Danach  hat  man: 

vordere  schief e  Prism/en  (vordere  augitartige  Paare,  — Hemipyramiden): 

|:-|:|  =  (ÄÄZ)  (Fig.  237). 


<fO 


Fig.  238. 


Fig.  239. 


Fig.  240. 


hmtere  schiefe  Prismen  (hintere  augitartige  Paare,  -j-  Hemipyramiden): 

_^:^:|  =  (MZ)  (Fig.  238). 

12* 


180 


Monoklines  EjrystaUBjstem. 


Liegen  die  Prismen  den  Achsen  c  oder  a  parallel,  dann  kann 
lelbstverständlicli  der  Unterschied  zwischen  vom  und  hinten  nicht  zur 
Oeltong  kommen.    Man  hat  dann: 

b.  VerUhalprismen,  parallel  der  Vertikalachse  c  (Fig.  239).  Ihr 
Ausdruck  ist :  ^ :  -r- :  ooc  =  (ÄiO). 

c.  HorizofiMprismen  (Klinodomen),  parallel  zur  Klinodiagonale  a 

b    c 
(Fig.  240)  mit  dem  Ausdruck :  ooa :  -r- :  y  =  (OM). 

Diese  drei  Arten  Yon  Prismen  sind  nicht  absolut  voneinander  yerscMeden ; 
ihr  spezieller  Charakter  hängt  von  der  Wahl  der  Achsen  a  und  c  ab  und  ändert  nch 
mit  dieser.  Ein  Vertikalprisma  wird  zum  Klinodoma,  wenn  man  die  bisher  als 
Vertikalachse  betrachtete  Richtung  als  Elinoachse,  oder  zu  einem  schiefen  Prisma, 
wenn  man  eine  andere  in  der  Symmetrieebene  liegende  Kante  als  Achse  c  annimmt, 
was  man  jederzeit  tan  kann  etc. 

2.  Querpinakoide.  Flächenpaare  parallel  der  Orthodiagonale  b, 
also  senkrecht  zur  Symmetrieebene  (Achsenebene  ac).  Es  sind  ge- 
wissermaßen Prismen,  deren  vorderer  Winkel  =  180®  ist  und  deren 
Flächen  längs  der  vorderen  in  der  Symmetrieebene  liegenden  Kante 
in  eine  zusammengefallen  sind.  In  derselben  Weise  wie  bei  den 
Prismen  kann  man  dann  auch  hier  drei  verschiedene  Lagen  an  den 
Achsen  a  und  c  unterscheiden: 

a.  Schiefendflächen  (Hemidomen,  Orthodomen,  Hemiorthodomen,  da 
zwei  zusammen  eine  domatische  Form  parallel  der  Orthodiagonale 
geben).    Sie  entsprechen  den  schiefen  Prismen  und  haben  den  all- 

gemeinen  Ausdruck '  it-^'t-    J®  nachdem  sie  an  den  Achsen  vom 

oder  hinten  liegen,  zerfallen  sie  in 

vordere  Schiefendflächen  (negative  Hemidomen): 

jioob  :j  =  {m)  (Fig.  241)  und 

hintere  ScMefendflächen  (positive  Hemidomen): 

-^-^:oob:j  =  (hOl)  (Fig.  242). 


UL^m. 


Fig.  242. 


Fig.  243. 


Fig.  244. 


b.  Querfläche  (Orthopinakoid);  den  Achsen  b  und  c  parallel. 
a:oob:ooc  =  (100)  (Fig.  243).    Entspricht  den  Vertikalprismen. 


Monoklines  Krystallsystem.  IgX 

c.  Geradendfläche  (Basis) ;  den  Achsen  a  und  b  parallel,  ooaioohic 
=  (001)  (Fig.  244).    Entspricht  den  Klinodomen. 

Anch  bei  diesen  drei  Formen  h&ngt  wie  bei  den  Prismen  der  spezieUe  Charakter 
Ton  der  Wahl  der  Achsen  a  nnd  c  ab;  ihr  Unterschied  ist  wieder  kein  absoluter. 

5.  ifl^njFs/locÄß(Klinopinakoid);  senkrecht  zur  Achse       ^      «i^«  ^ 

6,  also  der  S.  E.  ac  parallel,  oo  a :  6 :  ooc  =  (010)  (Fig.  ^ 

245).    Entspricht  einem  Prisma,  an  dem  der  seitliche  /itf — 

Winkel  =  180 «ist.  V  **  i 

Dieses  Pinakoid  unterscheidet  sich  absolut  von  den  Qner-  ^^J  a^ 

pinakoiden,  seine  Stellung  ist  von  der  Wahl  der  Achsen  a  und  c 
ganz  unabhängig,  mit  denen  es  parallel  geht,  diese  Achsen  mögen  in  der  S.  E, 
gewählt  sein  wie  sie  wollen.    Das  Elinopinakoid  bleibt  bei  jeder  Achsenwahl  ein 
solches  und  ändert  seinen  Charakter  niemals. 

Andere  einfache  Formen  als  die  genannten  sind  im  monoklinen  System  un- 
möglich. Weder  ist  eine  andere  Flächenlage  denkbar,  als  in  diesen  Formen,  noch 
ein  wesentlich  anderer  Flächenausdruck,  der  sich  nicht  auf  die  obigen  zurückführen  ließe. 

Die  Basis,  die  Längsfiäche  und  die  Querfläche  sind  die  Fundamentalflächen  des 
Achsensystems,  eine  Hemipyramidenfläche  dient  als  Einheitsfläche. 

147.  Namnannsche  Bezeidmnng  und  Übersicht.  Die  Naumann- 
sehe  Bezeichnung  der  monoklinen  Formen  ist  ganz  ähnlich  der  der 
rhombischen ,  nur  hat  man  hier  stets  statt  der  Brachy-  und  Makro- 
diagonale, die  Elino-  und  Orthodiagonale  zu  setzen.  Ganz  ebenso  wie 
im  rhombischen  System  werden  auch  hier  drei  Reihen  der  Pyramiden 
(hier  Hemipyramiden)  und  der  Vertikalpiismen  unterschieden,  die  man 
die  Hauptreihe,  die  orthodiagonale  und  die  klinodiagonale  Nebenreihe 
nennt.  Man  geht  auch  hier  von  denjenigen  Formen  der  Hauptreihe 
aus,  deren  Flächen  von  der  Achse  die  Achseneinheiten  abschneiden. 
Dies  sind  die  beiden  schiefen  Prismen:  das  negative:  -f-a:6:c  und 
das  positive:  —  a:ft:c,  die  zusammen  die  Grundform  (Grundpyramide, 
primäre  Pyramide)  bilden.  Naumann  bezeichnet  nun  das  vordere  schiefe 
Prisma  ( —  Hemipyramide) :  +a:6:c  mit  —  P,  das  hintere  schiefe 
Prisma  (-j-Hemipyramide) :  — a  :h:c  mit  +^-  Alle  Pyramiden  mit  anderen 
Ableitungszahlen  als  1  werden  nun  wieder  in  der  Weise  ausgedrückt, 
daß  man  die  Ableitungszahl  m  für  die  Vertikalachse  c  vor  P,  die  Ab- 
leitungszahl n  5  1  fär  die  Achse  a  oder  b  hinter  P  schreibt.  Je  nach- 
dem sich  n  auf  die  Orthodiagonale  b  oder  die  Klinodiagonale  a  be- 
zieht (orthodiagonale  oder  klinodiagonale  Nebenreihe)  wird  P  gerade 
oder  schief  durchstrichen  oder  auch  wohl  über  das  n  ein  horizontaler 
oder  schiefer  Strich  gesetzt.  Der  allgemeine  Naumannsche  Ausdruck 
einer  beliebigen  Hemipyramide  (eines  beliebigen  schiefen  Prismas)  wäre 
demnach : 

Orthodiagonale  Nel)enreihe:  +wPyi  oder  wPfl  =  +a:«6:mc. 
KÜDodiagonale  Nebenreihe:  +wP»  oder  mPn  =  +na:b:inc. 
In  der  Hasptreihe  ist  n  =  l,  also:  +mP==+a:6:mc. 


182  Monoklines  Erystallsystem. 

Bei  den  Vertikalprismen  hat  man  dieselben  drei  Reihen,  aber  der 
Unterschied  der  negativen  oder  positiven  Formen  fällt  hier  weg,  da 
die  hinteren  Flächen  die  parallelen  Gegenflächen  der  vorderen,  also 
zu  diesen  selbstverständlich  zugehörig  sind. 

Danach  hat  man  die  folgende  Übersicht  über  die  einfachen  mono- 
klinen  holoedrischen  Formen: 

1.  Prismen  und  zwar: 

a.  Schiefe  Prismen  (Hemipyramiden) : 
a,  Hauptreihe: 

vordere  schiefe  Pr.  ( —  Hemipyr.) :  —  mP ^^-^a-.himc  od.  QM). 

hintere  schiefe  Pr.  (-f-  Hemipyr.) :    +  mP  =  —  a:h:mc  od.  (hM). 

hierher  die  Grundform :  —  P='^a:b:c  =  (111)  und  -|-  P  =  —  a.b:c 

=  (111). 
ferner  z.  B.:  — 2P=a:6:2c  =  (221);  + iP=  — a:6:-^c  =  (113). 

ß,  Orthodiagonale  Nebenreihe: 
vord.  schiefe  Pr.  ( —  Hemipyr.):  — »??Pn  =  a:n6:mc  od.  Qikl)h'^k. 
hint.  schiefe  Pr.   (+  Hemipyr.):  -f-wPn  =  —  a:nb:mc  od.  (äAZ)ä>>ä:. 
z.  B.:  — 2P3  =  a:36:2c  =  (623);  +  P2  =  — a:26:c  =  (212). 

y.  KlinodiagoncHe  Nebenreihe: 
vord.  schiefe  Pr.  ( —  Hemipyr.) :  —  mlS!n  =  na :  6 :  mc  od.  (hkl)  h<^k 
hint.  schiefe  Pr.  (+  Hemipyr.):  -^-m^n^i  —  naibimc  od,  (ää?)ä<[ä;. 

b.  Vertikalprismen: 

a.  Hauptreihe:    ooP  =  a:6:ooc  =  (110). 

ß,  OtÜl  N.  E.:  o6Pn  =  a:nb:coc  oder  (ä«))A>ä-. 

z.  B.:  c»P2  =  a : 2ö : ooc  ==  (210). 
y.  Klinod.N.E.:  o6Sn  =  naib:ooc  oder  (hkO)h<:ik 

z.  B.:  ooP^  =  ^:6:ooc  =  (230). 

c.  Klinodomen:       m^oo  =  ooa:b:mc  oder  (OW). 

z.  B.:  2Poo  =  ooa : ft : 2c  =  (021). 
Ä  QuerpincJcoide :  \ 

a.  Schiefendfläehen  (Hemidomen)  und  zwar: 

vordere  Schiefendfl.  ( — Hemid.):  — mPoo  oder  (AO/), 

z.  B.  —  Poo(lOl);  —  ^oo  =  (102);  etc. 
hintere  Schiefendfl.(4- Hemid.) :  +mPoo  oder  (äOQ, 

z.  B.  Poo  =  (101) ;  poo  =  (302) ;  etc. 

b.  Querfläche  (Orthopinakoid) :  c»Poo  =  (100). 

c.  Basis  (Geradendfläche):  0P=(001).  1 

5.  Längsflüche  (Klinopinakoid) :     oo5oo  =  (010).  | 

i 

148.  Kombinationen.  Die  Kombinationen  dieser  einfachen  Formen 
kann  man  sich  leicht  vorstellen.  Ein  vorderes  und  hinteres  schiefes 
Prisma  geben  ein  monoklines  Oktaeder  (Pyramide)  (Fig.  246,  247),  wo 


Monoklines  Erystallsjstem. 


183 


bei  den  idealen  Formen  die  Achse  h  zwar  stets  durch  die  zwei  seit- 
lichen Ecken  gehen  mnß,  die  Achsen  a  und  c  gehen  aber  nicht  not- 


Fig.  246. 


Fig.  247. 


Fig.  248. 


r-m«c 


Fig.  249. 


Fig.  250. 


wendig  durch  die  anderen  Ecken  (Fig.  246).  Eine  Schiefendfläche 
(ÄjO/i)  ist  auf  die  vordere,  in  der  Syrametrieebene  gelegene  Kante  eines 
Prismas,  z.  B.  eines  Vertikalprismas  (^0)  gerade,  aber  schief  zu  den 
Prismenkanten-  und  -flächen  aufgesetzt  (Fig.  248).  Das  Klinopinakoid 
(010)  und  zwei  Querpinakoide  z.  B.  (hOl)  und  (100)  geben  ein  oblonges 
Prisma  mit  schiefer  Endfläche  (Fig.  249).  In  dem  monoklinen  Feldspat- 
IrystaU  (Fig.  250)  geht  die  Symmetrie- 
ebene durch  die  Kanten  T/T  senk- 
recht über  die  Flächen  P,  k,  x,  y  hin- 
weg, und  verläuft  parallel  mit  der 
Fläche  M\  notwendig  müssen  P,  t,  x,  y 
auf  M  senkrecht  sein,  sonst  wäre  ja 
keine  Symmetrie  rechts  und  links  von 
der  mit  -M"  parallelen  Symmetrieebene ;  der  Krystall  wäre  nicht  monoklin. 
Die  Symmetrieachse  h  steht  senkrecht  auf  üf,  M  ist  stets  das  Klinopina- 
koid (Längsfläche)  ooPoo  (010).  Achse  h  ist  mit  den  Flächen  P,  x,  y,  Je, 
also  mit  Kanten  Pjx  etc.  parallel,  die  Flächen  P,  x,  y.  Je  sind  somit 
Querpinakoide.  Die  Flächen  T,  ebenso  n  und  o  bilden  Prismen. 
Wählt  man  nun  T  als  Vertikalprisma  ooP  (110),  dann  wird  die 
Kante  T/T  (||  TjM)  Vertikalachse  c  und  Je  wird  Querfläche  (Orthopinakoid) 
ooPoo(lOO).  Wählt  man  ferner  die  Kantenrichtung  P/n  ( 1 1  Jtf/n)  •  als 
Achse  a,  dann  ist  P  als  Basis  =  OP  (001)  und  n  wird  ein  Klinodoma 
mSoo  oder  (fiJcl)  und  o  ein  hinteres  schiefes  Prisma  oder  eine  -f-Hemi- 
pyramide.  x  und  y  sind  hintere  Schiefendflächen  oder  +Hemidomen: 
+  mPoo  oder  (ÄOf).  Nimmt  man  nun  an,  daß  z.  B.  die  Hemipyramide  o 
einen  bestimmten  Ausdruck,  etwa  (111)  habe  und  zieht  z.  B.  die  drei 
unabhängigen  gemessenen  Flächenwinkel  ojo,  njn  und  P/Ä  in  Betracht, 
so  ergibt  sich  das  Achsenverhältnis  a:h:c  durch  Rechnung.  ^  ß  kann 
dann  als  ^PfJc  direkt  gemessen  werden.  Die  Indices  der  anderen 
Flächen  folgen  ebenfalls  aus  deren  Neigungswinkeln  oder  aus  den 
Zonenverhältnissen.  Würde  man  für  o  oder  T  andere  Ausdrücke  zu 
Grunde  legen,  so  würde  man  andere  Werte  für  das  Achsensystem 
und  auch  fär  die  Indices  der  übrigen  Flächen  finden.    Statt  T  kann 


Xg4  Monoklines  Krystallsystem. 

tnan  aber  auch  n  oder  o  etc.  als  Vertikalprisma  auffassen;  man 
könnte  eine  oder  die  andere  ||  h  verlaufende  Fläche  als  Basis  etc. 
wählen  und  würde  dadurch  wieder  andere  Achsensysteme  erhalten, 
welche  alle  dem  Krystall  im  allgemeinen  gleich  gut  zu  Grunde  gelegt 
werden  können. 

Hemiedrische  Klassen, 

Es  Bind  zwei  hemiedrische  Klassen  möglich,  indem  das  eine  Mal  die  Symmetrie- 
achse, das  andere  Mal  die  Symmetrieebene  nnd  beide  Male  gleichzeitig  das  Symmetrie- 
centnun  verschwindet 

Monoklin-hemiedrisohe  (domatische)  Klasse. 

149«  Monokline  Heniedrie«  An  jedem  Prisma  (schiefen  Prisma,  Vertikalprisma, 
Elinodoma)  bleiben  nnr  die  beiden  in  der  Symmetrieebene  zusammenstoßenden  Flächen 
einander  gleich,  die  beiden  parallelen  Gegenflächen  werden  Ton  diesen  verschieden 
nnd  entsprechend  bei  den  anderen  einfachen  monoklinen  Formen,  die  man  dabei  als 
spezielle  Fälle  der  Prismen  betrachtet.  Die  Symmetrieebene  bleibt  dann  bestehen, 
aber  die  Symmetrieachse  nnd  das  Symmetriecentmm  fallen  weg.  Die  sämtlichen 
Prismen  geben  dann  je  zwei  korrekte  Hemiprismen,  die  sich  durch  eine  Drehnng 
um  180^  nm  die  Orthoachse  znr  Deckung  bringen  lassen  nnd  die  als  vordere  nnd 
hintere  (resp.  obere  nnd  untere)  unterschieden  werden  können.  Die  Pinakoide  parallel 
der  Orthodiagonale  zeriallen  je  in  eine  vordere  und  eine  hintere  (obere  und  untere) 
Einzelfläche.  Das  Elinopinakoid  tritt  stets  mit  seinen  beiden  Flächen  auf.  Der 
Skokzit  ist  ein  Beispiel  dieser  Hemiedrie. 

Mono/ilin-hemimorphe  (monoklin-sphenoidfsche)  Klasse. 

ISO,  MoBokllne  Hemimorphie.  Die  Erystalle  sind  in  der  Bichtung  der  Ortho« 
diagonale  hemimorph  geworden;  diese  ist  Achse  der  Hemimorphie,  an  ihren  beiden 
Enden  ist  die  Ausbildung  verschieden.  Von  jedem  Prisma  sind  die  beiden  am  Ende  der 
Symmetrieachse  zusammenstoßenden  Flächen  einander  gleich  und  von  den  parallelen 
Gegenflächen  am  anderen  Ende  verschieden  und  entsprechend  bei  den  anderen  ein- 
fachen monoklinen  Formen.  Die  Symmetrieebene  ist  weggefaUen  und  damit  gleich- 
zeitig das  Symmetriecentrum ;  die  Symmetrieachse  ist  als  einziges  Symmetrieelement 
erhalten  geblieben.  Die  Prismen  zerfallen  in  je  zwei  rechts  und  links  liegende 
enantiomorphe  Hemiprismen  (Sphenoide)  und  das  Elinopinakoid  in  die  beiden 
Einzelflächen,  während  die  Pinakoide  parallel  der  Orthodiagonale  alle  mit  ihren 
beiden  Flächen  auftreten.  Beispiele:  Milchzucker,  Rohrzucker,  Weinsäure.  Ein 
hierher  gehöriges  Mineral  ist  noch  nicht  bekannt  geworden. 


6.  TriUines  System. 

(Klinorhomboidisches,  asymmetrisches,  eingliedriges  System). 

Es  umfaßt  alle  diejenigen  Erystalle,  die  auf  drei  ungleiche  sich 
anter  drei  verschiedenen  schiefen  Winkeln  schneidende  Achsen  a,  b,  c 
bez(^en  werden  können.    Das  Achsenschema  ist  also: 

a:b:c;  ^  blc  =  a^  c^a  =  /?,  ajb  =  y. 


Trikliues  Erystallsystem.  185 

Wir  haben  hier  den  allgemeinsten  Fall,  daß  fünf  unbekannte 
Größen  in  dem  Achsensystem  vorhanden  sind;  die  drei  Achsenwinkel 
und  zwei  Achsen  (die  dritte  z.  B.  ft  =  1  gesetzt).  Es  sind  also  zur 
Bestimmung  des  Achsensystems  fünf  voneinander  unabhängige  Winkel 
zu  messen  (38). 

151.  Achsen  des  triklinen  Systems.  Die  drei  ungleichen  Achsen 
a,  &,  c  schneiden  sich  unter  den  ungleichen  und  schiefen  Winkeln 
a!b  =  y,  bjc  =  a,  c/a  =  ß.  Sie  bestimmen  acht  Oktanten,  von  welchen 
jeder  nur  dem  diametral  gegenüberliegenden  gleich  ist.  Eine  der 
Achsen  denkt  man  sich  aufrecht  und  nennt  sie  die  Vertikalachse  c^ 
die  beiden  anderen  a  (Brachydiagonale,  Brachyachse  oder  Längsachse, 
von  vom  nach  hinten)  und  b  (Makrodiagonale,  Makroachse  oder  Quer- 
achse, von  rechts  nach  links)  verhalten  sich  wie  im  rhombischen 
System.  Man  stellt  die  Krystalle  gerne  so  auf,  daß  die  Winkel  a,  ß,  y 
im  vorderen,  oberen,  rechten  Oktanten  stumpf  sind. 

Trihlin-uollflächige  (pinakoidale)  Klasse. 

152.  Triklin  -  vollflächige  (pinakoidale)  Klasse.  Keine  Sym- 
metrieebene und  keine  Symmetrieachse,  sondern  nur  noch  ein  Sym- 
metriecentrum. Da  die  Flächen  nicht  mehr  zu  gewissen  Ebenen 
symmetrisch  angeordnet  sind,  so  ist  zu  jeder  nur  ihre  parallele  und 
gleiche  Gegenfläche  mit  Notwendigkeit  vorhanden  und  bildet  mit  dieser 
zusammen  eine  einfache  Krystallform,  die  einzige,  die  es  gibt,  ein 
Flächenpaar.  Der  ganze  Kry stall  wird  umgrenzt  von  solchen 
Flächenpaaren,  welche  nur  dem  Gesetz  der  rationalen  Achsenschnitte 
unterworfen  sind,  er  ist  also  stets  eine  Kombination.  Je  drei  beliebige 
Kantenrichtungen  können,  wenn  sie  nicht  in  einer  Ebene  liegen,  als 
Achsen  angenommen  werden.  An  solchen  haben  dann  die  Krystallflächen 
(Flächenpaare)  eine  bestimmte  Lage,  und  danach  werden  sie  mit  ver- 
schiedenen Namen  belegt  Viertelpyramiden  (Tetartopy ramiden)  schneiden 
alle  drei  Achsen.  Ihrer  vier,  die  in  einer  Ecke  zusammenstoßen, 
geben  eine  vollständige  Pyramide.  Hemiprismen  schneiden  a  und  & 
und  gehen  c  parallel ;  Hemidamen  schneiden  a  und  c,  resp.  b  und  c  und 
gehen  mit  6,  resp.  mit  a  parallel.  Sie  sind  als  Makro-  und  Brachy- 
domen  (Quer-  und  Längsprismen)  zu  unterscheiden.  Je  zwei  solche 
derselben  Achse  parallele  Flächenpaare  geben  ein  Prisma  resp.  ein 
Doma.  Pinakaide  gehen  den  Achsenebenen  parallel  und  bilden  die 
Fundamentalflächen  des  Achsensystems.  Dies  alles  gilt  aber  immer 
nur  für  ein  ganz  bestimmtes  Achsensystem.  Nimmt  man  andere  Kanten 
zu  Achsen,  so  können  die  Flächen  an  dem  neuen  Achsensystem  eine 
ganz  andere  Lage  und  damit  andere  Namen  haben;  die  Hemiprismen 
können  Pinakoide,  die  Viertelpyramiden  Hemidomen  etc.  werden,  so 


186  Triklines  Eürystallsystem. 

daß  also  keinerlei  absoluter  Unterschied  zwischen  diesen  Flächen- 
paaren vorhanden  ist. 

152  a.  Nanmannsclie  Bezeichnung  und  Übersicht.  Nach  der 
Nanmannschen  Methode  wird  eine  Fläche,  welche  von  den  Achsen  die 
Einheiten  abschneidet  (die  Einheitsfläche)  mit  P  bezeichnet.  Dieses 
P  kann  nun  in  irgend  einem  der  vier  vorderen  Oktanten  liegen,  also 
oben  rechts  oder  links,  oder  unten  rechts  oder  links;  die  parallelen 
Gegenflächen  liegen  dann  in  den  vier  hinteren  Oktanten.  Um  die 
Lage  in  einem  der  vorderen  Oktanten  anzudeuten,  wird  an  dem  P  oben 
oder  unten,  rechts  oder  links  ein  Akzent '  angebracht,  so  daß  P'  eine 
Fläche  a:h:c  ist,  welche  in  dem  vorderen  Oktanten  oben  rechts  liegt ; 
also  wenn  der  hintere  Zweig  von  a,  der  linke  von  h  und  d^r  untere  von  c 
negativ  sind  :P=a:6:c  =  (111)  ;,P=a:— 6:  —  c  =  (111)  etc.  Andere 
Achsenschnitte  als  in  der  Einheit  werden  durch  Ableitungszahlen  m 
vor  P  und  n  hinter  P  angegeben,  genau  wie  im  rhombischen  System. 

Erstere,  ml^lj,  beziehen  sich  immer  auf  die  Achse  c,  letztere, « (^  1), 

auf  6  oder  a,  je  nachdem  sie  mit  der  speziellen  Bezeichnung  —  oder 
^-^  versehen  sind  (140).  Dies  entspricht  ganz  einer  makrodiagonalen 
(n)  und  einer  brachydiagonalen  {fi)  Nebenreihe,  die  neben  der  Haupt- 
reihe (n  =  1)  hier  ganz  in  derselben  Weise  bei  den  Pyramiden  und  Ver- 
tikalprismen unterschieden  werden  können,  wie  im  rhombischen  System. 
Die  Flächen  von  Hemiprismen  und  Hemidomen  liegen  gleichzeitig  in 
zwei  vorderen  Oktanten,  die  ebenfalls  durch  Akzente  an  P  in  ent- 
sprechender Weise  bezeichnet  werden.  Bei  den  drei  Pinakoiden,  die 
gleichzeitig  in  vier  Oktanten  liegen,  ist  eine  solche  Unterscheidung 
durch  Akzente  überflüssig ;  hier  ist  das  Naumannsche  Symbol  für  sich 
schon  unzweideutig. 

Demnach  hat  man  über  die  an  triklinen  Krystallen  vorkommen- 
den einfachen  Formen  die  folgende  Übersicht,  wo  a,  b,  c  die  Haupt- 
reihe resp.  die  makro-  und  die  brachydiagonale  Nebenreihe  bezeichnen : 

1.  Viertelpyramiden  (Tetartopyramiden) : 
oben  rechts :  a)  mP*   ^^a.bimc  oder  (hM)  Ih  =  A 

b)  wP'n  =  a:nh:mc oder  (hU)  {h > k). 

c)  mP*n  =na:b:mc oder  (hkl)  {h < Ä). 

oben  links :  a)  niT  =a:  —  b:mc oder  (hhl). 

b)  mTn  =  a:  —  nbimc  oder  (hM)  (h >  Je), 

c)  ni'Pfi  =  na:  —  bimc  oder  {hM)  (ä  <[  Je). 

unten  rechts :  a)  mP,   =a:b:  —  mc  oder  QiJiT), 

b)  mlfn  =  a:nb:  —  mc  oder  (ä/J)  (ä >> Je). 

c)  mP,fi  =  na:b:  —  mc  oder  (Äi/)  (A <  Je). 


Triklines  Krystallsystem.  187 

unten  links :  a)  m,P   =a:  —  h:  —  mc  oder  (IM). 

b)  fn,Pn  =  a:  —  nb:  —  mc  oder  (hkl)  (h  >  Je). 

c)  m^fi  =  i\a:  —  6 :  —  mc  oder  QM)  (h  <[  k). 

z.  B.  3P'  =  (331);  'P=(lll);  2P,2(211);  i,P3  =  (136). 

Die  vier  Flächen  P\  P,  i?,  ,P  begrenzen  miteinander  die  Grund- 
form, der  man  das  Zeichen  /P/  geben  könnte. 

2.  Hemiprismen  und  Hemidomen: 

rechte  Hemiprismen: 
a)  ooi?'  =  (110);  b)  ool^n  oder  (ä*0)  (Ä>i;);  c)  ooP/n  oder  (ääO)  (A<ä) 

linke  Hemiprismen: 
a)  oo,P  =  (110) ;  b)  oo/P/i_oder  (hlO)  (h  >  ä)  ;  c)  oo/Ptt  oder  (AÄO)  (A  <  Je) 

z.  B.  ooij'2  =  (210);   oo/P3  =  (130)  etc. 
obere  Makrodoraen:    mP^  oder  (äOO  z.  B.:  2P'to  =  (201). 
untere  Makrodomen :  m,P^  oder  (fiOT)  z.  B. :   i,i?öö  =  (103). 
rechte  Brachydomen :  m,P*oo  oder  (OiZ)  z.  B. :  2,P'oo  =  (021). 
linke  Brachydomen :    m'^^  oder  (OJcl)  z.  B. :    ^'iJoS  ==  (013). 

3,  PinaJcoide: 

Makropinakoid  (Querfläche):  ooPöo  =  (100). 
Brachypinakoid  (Längsfläche) :  ooPäo  =  (010). 
basisches  Pinakoid  (Basis) :  OP  =  (001). 

Beispiel«    Wählt  man  in  dem  Fig.  251  als  Beispiel  einer  triklinen  Kombina- 
tion dargesteUten  ErystaU  von  Kupfervitriol  die  Kanten   T/n,  TjP  nnd  MjF  als 
Achsen  c,  &,  a,  dann  ist   T,  Mj  F  der  Reihe  nach  Quer-  und         ^^r->,»^ 
Längsfläche  und  Basis  (Fundamentalflächen).    n  ist  ein  linkes,       /x  V^^^X 
r  ein  rechtes  Hemiprisma;  v  ein  rechtes  Brachydoma;  8  ist  eine 
rechte  obere  Hemipyramide ;  tr,  g,  o  sind  rechte  untere,  und  p 
ist  eine  linke  untere  Hemipyramide.     Irgend  eine  der  Viertel- 
Pyramiden  wäre  dabei  die  Einheitsfläche.    Wäre  dagegen  wieder 
Tjn  Vertikalachse,   aber  njF  als  Makro-  und  vjr   als  Brachy- 
diagonale  genommen,  so  wäre  n  die  Quer-  und  r  die  Längs- 
fläche; F  wäre  ein  vorderes  oberes  Makrodoma,  p  die  Basis,  M  pig.  251. 
und   T  zwei  Hemiprismen  etc.,   und  so  wäre  für  jede  andere 
Achsenwahl  die  Bezeichnung  der  Flächen  eine  andere.    Die  Neigungswinkel  der 
Flächen  geben  jedesmal  die  Achsenlängen  und  -Winkel.   Die  Symbole  der  einzelnen 
Flächen,  welche  an  jedem  speziellen  Achsensystem  andere  werden,  folgen  aus  den 
Zonen,  oder  ebenfalls  aus  gemessenen  Winkeln. 


Trihlin-hemiedmohe  (asymmetrische,  hemipinalioidale,  pediale)  Klasse. 

153»  Trikline  Hemiedirie«  Hemiedrie  kommt  im  triklinen  System  an  Mine- 
ralien nach  unseren  bisherigen  Erfahrungen  nicht  vor,  wohl  aber  an  künstlichen 
Krystallen.  Jedes  Flächenpaar  zerfällt  in  zwei  Einzelflächen.  Jede  Fläche  ist  von 
allen  anderen,  auch  von  den  etwa  noch  vorhandenen  parallelen  Gegenflächen,  ver- 
schieden und  bildet  für  sich  allein  eine  einfache  Krystallform.  Da  zu  den  einzelnen 
Flächen  die  parallelen  Gegenflächen  entweder  fehlen  oder  verschieden  geworden  sind, 


Igg  PirallelverwachiDng. 

so  ist  hier  anch  das  letzte  Sjmiinetnedement,  diu  Sjminetriecentmin  yerscbwimden; 
die  Erystftlle  sind  vollkommen  asjmmetrüch. 


E.    aesetsmäTsige  Verwachsung  der  Erystalle. 

Parallel  Terwachsnng. 

154.  FarallelTerwachsnng.  Ki-ystalle  derselben  Snbstanz  findet 
man  znveilen  vollkommen  parallel  miteinander  verwacbsen,  d.  h.  so, 
daß  die  physikalisch  gleichen  Eichtungen  in  beiden  Individuen 
parallel  sind  (5).  Dann  sind  die  Achsen  des  einen  Individuums 
parallel  den  entsprechenden  Achsen  des  anderen  und  damit  auch  die 
Begrenzangselemente  des  einen  parallel  den  entjiprechenden  Begren- 
zungselementen  des  anderen  Individuums.    So  findet  man  z.  B.  häufig 

#  reguläre  Oktaeder  von  Alaun  in  der  Fig.  252  dar- 
gestellten Weise  verwachsen.  Es  entstehen  dabei 
einspringende  Winkel,  die  so  beschaffen  sind,  daS 
je  eine  Fläche  derselben  an  einem  Individuum 
parallel  einer  Fläche  am  anderen  Individuum  ist, 
also  hier  z.  B.  an  dem  einspringenden  Winkel  aJcC^ 
die  Flächen  a,  ||  a\,  a',  ||  o,  etc.  Diese  Art  der 
Parallelverwachsnng  ist  sehr  häufig  und  es  sind 
Fig.  252.  hierauf  sehr  viele  einspringende  Winkel  an  Krystall- 

individuen  zurückzuführen ;  letztere  haben  ja  sonst  lauter  ausspringende 
Winkel  (12).  Durch  solche  Parallelverwachsung  entstehen  zuweilen 
eigentttmliche  Gebilde,  wie  z.  B.  die  sog.  Scepterquarze» 
bei  welchen  auf  einem  langen  dfinnen  Quarzsäulchen  ein 
kurzer  dicker  Qaarzkrystall  aufgesetzt  ist  (Fig.  253)  etc. 
(vei^l.  auch  172). 

Nicht  selten  ist  eine  grofie  Anzahl  einzelner  kleinerer 

Individuen   parallel   verwachsen   und    diese   bilden   dann 

einen  größeren   Krystall,  der  zuweilen  eine  ganz  ander© 

Form    zeigt,    als    die     kleinen    Einzelkrjställchen ,    aus 

^'  welchen   er   aufgebaut  ist,   und  welche   auch   wohl   als 

Subindtviäuen  bezeichnet  werden.    So  findet  man  zuweilen  Oktaeder 

von  Flußspat,  welche  von  lauter  untereinander  parallelen  Würfelchen 

gebildet  sind,  deren  Ecken  alle  im  Niveau  der  Flächen  des  Oktaedere 

liegen,   so  daß  dadurch  die  Gestalt  des  letzteren,  aber  von  lauter 

Schemflächen  begrenzt,  hervorgebracht  wird  (Fig.  254).    Ebenso  findet 

man  vielfach  rhomboedrisch  oder  skalenoedrisch  begrenzte  Ealkspat- 

krystalle,  welche  aus  kleinen  Ehomboederchen,  zuweHen  von  derselben 


Zwil]ing:irerwacb8iuig.  189 

Form  wie  die  von  ihnen  gebildeten  groSen  Rbomboeder,  oder  ans 
andere  gestalteteo  SabindiTiduen  zusammengesetzt  erscheinen.  Man 
bringt  diese  Erscheinungen  in  Znsammenhang  mit  dem  allmählichen 
Wachstam  der  Eiystalle,  das  dnrch  Auflagerung  neuer  Substanz  auf 
der  Oberfläche  der  alten  vor  sich  geht,  und  nennt  sie  Wackslums- 
ersi^nungm.  Auch  bezeichnet  man  wohl  das  ganze  Gebiet  der  hier- 
her gehörigen  Erscheinungen  mit  dem  Namen  Kry^aUcteJctontk,  um  den 
Aufbau  der  Krystalle  aas  den  Snbindividaen  anzudeuten.  Die  Sub- 
individnen  sind  übrigens  nicht  immer  groß  nnd  einzeln  deutlich  er- 
kennbar und  von  den  anderen  deutlich  nnterscheidbar.  Die  durch  ihre 
Verwachsung  gebildeten  größeren  Krystalle  zeigen  häufig  eigentüm- 
liche Oberflächenerscheinimgen  (drusig,  fazettiert,  parkettiert  etc.)  (17ö). 


Fig.  254.  Fig.  266.        (Nach  Q.  Tsctiennak.)       Fig.  256. 

Häufig  kommt  es  vor,  daß  kleine  Eryställcheo,  welche  einen 
.größeren  Erystall  zusammensetzen,  nicht  vollkommen,  sondern  nur 
annähernd  parallel  (hypoparallel)  miteinander  verwachsen.  Dann  sind 
die  Flächen  der  so  gebildeten  größeren  Krystalle  nicht  eben,  sondern 
-mehr  oder  weniger  stark  gekrümmt.  Auf  diese  Weise  entstehen  x.  B. 
die  sattelförmig  gekrümmten  Flächen  der  Ehomboeder  des  Braunspats 
und  anderer  Mineralien  (Fig.  255),  femer  Gruppen,  wie  z.  B.  die  sog. 
garbenftrmigen  Krystalle  des  Desmin  (Fig.  256),  wo  von  der  Mitte 
eine  Anzahl  prismenförmiger  Krystalle  in  nahezu  paralleler  Richtung, 
aber  doch  etwas  divergierend,  nach  oben  und  unten  ausstrahlen,  so 
daß  in  der  Mitte  eine  Einschnürung  entsteht,  und  anderes  ähnliches 
mehr.  Doch  dürfen  nicht  ohne  weiteres  alle  krummen  Flächen  auf 
diese  Weise  erklärt  werden  ((116),  (134)). 

Sadebeck,  Angewandte  Erystallographie.    Berlin  1876  pag.  Iö6ff. 


ZwilllngsverwaehBnng. 

(Yergl.  Sadebeck,  Angewandte  KrystaUottraplüe.  1876.  Tscbennak,  Min.  nnd 
petr.  Hitteilnngen  II,  499.  1879.  BrSgger,  Zeitschr,  £.  Kiyst.  16.  1890.  24.  Klein, 
Über  Zwillingsverbiudnngen  nnd  Verzemuigen,  1868.  Liebiscb,  Zeitschr,  1.  Kryrt. 
2.  1677  pag.  74;  Bd.'  4.  1879  pag.  201). 


190  Zwülingsfläcbe. 

155.  Zwillinge.  Erystallindiyidaen  derselben  Sabstanz  kommen 
nicht  nur  in  paralleler,  sondern  auch  in  nichtparalleler  Stellung,  aber 
in  ganz  bestimmter,  krystallographisch  gesetzmäßiger  Weise  mitein- 
ander verwachsen  vor.  Letztere  Verwachsungen  nennt  man  ZtmUmge. 
Wenige  Fälle  ausgenommen,  besteht  die  Gesetzmäßigkeit  darin,  daß 
die  zwei  Individuen,  welche  den  Zwilling  bilden,  zu  einer  an  beiden 
in  gleicher  Weise  krystallonomisch  deflnierbaren  Ebene  symmetrisch 
(umgekehrt)  liegen.  Diese  Ebene  heißt  die  Zwillingsfläche  (Zw.  FL), 
die  Normale  derselben  die  ZmUingsachse  (Zw.  A.).  Die  Begrenzungs- 
elemente des  ersten  Individuums  auf  der  einen  Seite  der  Zwillings- 
fläche entsprechen  gleichen  Begrenzungselementen  des  zweiten  auf  der 
anderen  Seite.  Die  Zwillingsfläche  halbiert  die  Winkel  der  sich 
symmetrisch  gegenüberliegenden  Flächen  und  Kanten  und  liegt  in 
Zonen,  die  ununterbrochen  über  den  ganzen  Zwilling  hinweg  gehen, 
so  daß  dadurch  ihr  Ausdruck  sich  nicht  selten  ohne  weiteres  ergibt. 
Die  symmetrische  Lage  beider  Individuen  tritt  oft  auf  den  ersten 
Blick  hervor,  ist  aber  auch  häufig  durch  Verzerrung,  durch  die  Art 
ihrer  Ausbildung  und  Verwachsung  etc.  versteckt  und  dann  schwierig 
und  nicht  ohne  sorgfaltiges  Studium  zu  konstatieren.  Dreht  man  das 
eine  Individuum  eines  solchen  Zwillings  um  die  Zwillingsachse  um 
180^  herum,  so  wird  es  dem  anderen  Individuum  parallel,  und  um- 
gekehrt: Sind  beide  Individuen  parallel  und  dreht  man  das  eine  um 
180**  um  die  Zwillingsachse,  so  kommt  es  in  die  Zwillingsstellung 
gegen  das  andere.  In  den  verschwindend  wenigen  Fällen,  in  denen 
die  beiden  Individuen  eines  Zwillings  nicht  gegen  eine  Ebene  sym- 
metrisch liegen  (166),  wo  also  keine  Zwillingsfläche  existiert,  ist 
wenigstens  eine  Linie  vorhanden,  welche  die  angegebene  Eigenschaft 
der  Zwillingsachse  hat,  und  welche  man  daher  auch  hier  als  Zwillings- 
achse bezeichnet. 

Die  Zwillingsfläche  ist  in  den  meisten  Fällen  eine  wirklich  vor- 
handene oder  eine  mögliche  Krystallfläche  beider  Individuen  und  zwar 
ist  es  stets  in  beiden  Individuen  eine  Fläche  derselben  einfachen  Form, 
sie  ist  in  beiden  gleichnamig,  z.  B.  bei  regulären  Krystallen  vielfach 
eine  Oktaederfläche,  bei  Aragonitkrystallen  eine  Fläche  des  Vertikal- 
prismas ooP  (110)  etc.  Ist  die  Zwillingsfläche  als  Krystallfläche  aus- 
gebildet, dann  ist  sie  in  beiden  Individuen  parallel  und  daran  als 
Zwillingsfläche  meist  ohne  weiteres  leicht  erkennbar.  Ist  sie  nicht 
als  Krystallfläche  vorhanden,  so  ist  häufig  eine  eingehende  Unter- 
suchung am  Goniometer  nötig.  Als  Zwillingsfläche  kann  im  all^' 
gemeinen  jede  Fläche  eines  Krystalls  auftreten,  doch  kann  niemals  die 
Zwillingsfläche  einer  Symmetrieebene  desselben  parallel  sein.  Denn, 
wenn  zwei  Individuen  symmetrisch  zu  einer  in  beiden  gleichartigen 
Symmetrieebene  verwachsen  sind,  sind  sie  stets  parallel  und  nicht  in 


Zwillingsgesetz.  IQX 

Zwillingsstellung  gegeneinander.  Wenn  das  eine  Individuum  aus  der 
Parallelstellung  heraus  um  eine  Achse  senkiaBcht  zu  einer  Symmetrie- 
ebene um  180*^  gedreht  wird,  so  ist  es  immer  wieder  dem  anderen 
Individuum  parallel  Für  den  Fall,  daß  die  Zwillingsfläche  parallel 
mit  einer  Krystallfläche  ist,  ist  die  Zwillingsachse  meist  entweder  einer 
wirklich  vorhandenen  oder  einer  möglichen  Krystallkante  parallel  und 
zwar  wieder  derselben  Kante  in  beiden  Individuen.  Die  Richtung  der 
Zw.  A.  entspricht  aber  auch  zuweilen  keiner  möglichen  Kantenrichtung 
in  den  Einzelkrystallen.  Selten,  besonders  bei  den  Zwillingen  trikliner 
Krystalle  vorkommend,  sind  die  Fälle,  in  denen  die  Zwillingsfläche 
keiner  möglichen  Fläche  der  Individuen  parallel  ist  In  diesem  Falle 
ist  dann  entweder  die  Zwülingsachse  wie  vorhin  einer  in  beiden  Indi- 
viduen gleichartigen  Kante  parallel;  oder  auch  sie  ist  einer  Kante 
nicht  parallel,  läßt  sich  aber  kiystallonomisch  so  definieren,  daß  sie 
in  einer  beiden  Individuen  gemeinsamen  Fläche  auf  einer  ebenfalls 
beiden  gemeinsamen  Kante  derselben  Fläche  senkrecht  steht. 

Durch  die  Angabe  der  Zwillingsfläche  oder  -achse  ist  der 
Zwilling  unzweideutig  bestimmt.  Man  nennt  diese  Angabe  das 
Ztvüüngsgesetjs. 

Häufig  sind  die  beiden  Zwillingsindividuen  nach  der  Zwillings- 
fläche miteinander  verwachsen,  in  vielen  Fällen  geschieht  dies  auch 
nach  einer  anderen  Fläche.  Von  der  Zwillingsfläche  ist  also  die 
Verumhsungsfläche  zu  unterscheiden.  Sie  ist  nicht  selten  an  ein- 
springenden Winkeln  zu  erkennen.  Wenn  die  Verwachsungsfläche 
der  Zwillingsfläche  parallel  ist,  ist  das  Zwillingsgesetz  meist  leicht 
zu  erkennen,  indem  rechts  und  links  von  ihr  gleiche  Begrenzungs- 
elemente beider  Individuen  sich  unmittelbar  gegenüberliegen.  Wenn 
beide  Flächen  nicht  miteinander  übereinstimmen,  können  verschiedene 
Verhältnisse  eintreten.  Die  Verwachsungsfläche  ist  dann  oft  auf  der 
Zwillingsfläche  senkrecht;  man  muß  sich  dann  hüten,  sie  für  die  letztere 
zu  nehmen.  In  sehr  vielen  Fällen  ist  sie  aber  auch  anders  gerichtet. 
Sie  ist  dann  entweder  noch  mehr  oder  weniger  eben,  oder  kann 
auch  einen  ganz  unebenen  Verlauf  nehmen;  sie  kann  sehr  stark  ge- 
krümmt sein  und  sogar  aus  mehreren  getrennten  Teilen  bestehen. 
Bei  solch  komplizierter  Verwachsung  ist  das  Zwillingsgesetz  meist 
nicht  mehr  ohne  weiteres  erkennbar  und  es  bedaif  dann  gleichfalls 
einer  eingehenden  gonlometrischen  Untersuchung,  um  zu  flnden,  zu 
welcher  Fläche  oder  zu  welcher  Achse  die  beiden  Individuen  sym- 
metrisch liegen,  d.  h.  welches  die  Zwillingsfläche  oder  die  Zwillings- 
achse isty  mit  anderen  Worten  das  ZwiUingsgesetz  zu  bestimmen. 

Die  in  den  folgenden  Paragraphen  angeführten  Beispiele  werden 
das  Qesagte  und  noch  weitere  Verhältnisse  der  Zwillingskrystalle  er- 
läutern. 


192 


Zwillinge. 


Beispiele.  156.  Ein  einfaches  Beispiel  einer  Zwillingsbildnng 
bietet  der  in  Fig.  257  nnd  258  dargestellte  Augührystall^  bei  dem  der 
Augenschein  lehrt,  daß  er  ans  zwei  monoklinen  Individuen  von  der 
Form  der  Fig.  259  zusammengesetzt  ist,  an  welchen  T  ein  vertikales 
Prisma,  M  die  Längsfläche,  K  die  Querfläche  und  o  ein  schiefes  Prisma 
(augitartiges  Paar)  darstellen.  Die  Grenze  beider  Individuen  wird 
deutlich  markiert  durch  die  einspringenden  Kanten  der  Flächen  o 
und  Q.  Die  nähere  Untersuchung  lehrt,  daß  die  Flächen  K  {K  und  Z)  in 
beiden  Individuen  parallel  sind  und  daß  KooK  in  einer  Zone  liegen, 
da  die  Kanten  Klo  und  Kjo  den  einspringenden  Kanten  ojo  parallel 
laufen.  Somit  ist  die  beiden  Individuen  gemeinsame  Fläche,  die  Zwillings- 
fläche, zu  der  sie  beide  symmetrisch  liegen,  in  diesem  Fall  parallel 
mit  der  Querfläche  K.  Rechts  und  links  von  dieser  in  Fig.  257  auf 
M  gestrichelt  dargestellten  Fläche  ist  alles,  Flächen,  Kanten  und 
Ecken,  in  beiden  Individuen  gleich.  Das  Zwillingsgesetz  würde  also 
hier  lauten:  „Zwillingsfläche  ist  die  Querfläche  Jl^,  oder  man  sagt 
auch:   „Beide  Individuen  haben  die  Querfläche  K  gemein  und  liegen 


Fig.  258. 


Fig.  269. 


Fig.  260. 


umgekehrt  (d.  h.  zu  Z^  symmetrisch)".    Die  Zwillingsfläche  ist  hier 
auch  zugleich  die  Verwachsungsfläche. 

Man  kann  nun  auch  mit  Hilfe  der  auf  der  Zwillingsfläche  senk- 
rechten Zwillingsachse  zu  einer  klaren  Vorstellung  über  die  gegen- 
seitige Lage  der  Individuen  im  Zwilling  gelangen  und  das  Zwillings- 
gesetz auch  mit  Hilfe  dieser  Achse  angeben.  Denkt  man  sich  nämlich 
beide  Individuen  dieses  Zwillings  erst  in  vollkommen  paralleler  Stellung 
nebeneinander  liegend,  so  daß  sie  sich  in  der  Fläche  iT,  welche 
Zwillingsfläche  sein  soll,  berühren  (Fig.  260),  so  kann  man  sich  offen- 
bar den  Zwilling  dadurch  entstanden  denken,  daß  man  das  eine  Indi- 
viduum (mit  den  unterstrichenen  Flächenbuchstaben)  um  eine  Achse 
senkrecht  zu  f  um  180^  herumdreht.  Berührten  sich  vor  der  Drehung 
beide  Individuen  nach  der  Fläche  K^  so  ist  dies  auch  nachher  noch 
der  Fall ;  und  wie  vorher,  so  werden  sich  hier  auch  nachher  die  Um- 
risse von  K  in  beiden  Individuen  vollkommen  decken.  Statt  der  nach 
oben  links  liegenden  stumpfen  Ecke  wird  aber  durch  die  Drehung  die 
scharfe  von  unten  nach  oben  gebracht  werden  etc.,  und  es  entsteht 
die  in  Fig.  258  dargestellte  Verwachsung.  Diese  unterscheidet  sich 
offenbar  in  keinem  wesentlichen  Punkt  von  dem  in  Fig.  257  dar- 


Zwillinge.  193 

gestellten  Zwilling.  Die  einzige  Abweichung  ist  nur  die,  daß  im 
einen  Fall  (Fig.  258)  die  beiden  Individuen  ganz  vollständig  vorhanden 
sind,  während  im  anderen  Fall  (Fig.  257)  nur  Stücke  derselben  den 
Zwilling  bilden.  Es  ist  aber  eine  sehr  häufig  vorkommende  Erschei- 
nung, daß  an  einem  Zwilling  die  beiden  Individuen  in  der  Richtung 
der  ZwilliDgsachse  stark  verkürzt  erscheinen,  so  daß  man  besser  die 
in  der  Natur  tatsächlich  beobachtete  Form  des  Zwillings  erhält,  wenn 
man  ein  Individuum  durch  eine  Schnittfläche  parallel  mit  der  Zwillings- 
fläche (senkrecht  zur  Zwillingsachse)  halbiert  und  die  eine  Hälfte,  die 
nun  wie  die  andere  für  sich  ein  Individuum  darstellt,  gegen  die  andere 
um  180®  verdreht.  Mit  Hilfe  der  Zwillingsachse  wird  das  Zwillings- 
gesetz so  ausgesprochen:  „Zwillingsachse  senkrecht  zu  K^^  wobei  die 
Drehung  um  180®  selbstverständlich  ist,  oder :  „beide  Individuen  haben 
K  gemein  und  sind  in  K  (um  eine  Achse  senkrecht  zu  K)  um  180® 
verdreht".  Wegen  dieser  Drehung  um  einen  halben  Kreisumfang 
heißen  solche  Zwillinge  auch  wohl  Hemitropieen. 

Selbstverständlich  ist  die  Idee  der  Drehung  des  einen  Individuums  nur  eine 
geometrische  Abstraktion,  um  sich  die  gegenseitige  Lage  der  beiden  Individuen  im 
Zwilling  klar  zu  machen.  An  eine  Entstehung  der  Zwillinge  in  der  Natur  auf  diese 
Weise  wird  wohl  niemand  denken. 

Im  vorliegenden  Beispiel  war  die  Zwillingsfläche  eine  tatsächlich 
vorhandene  ErystaUfläche,  dagegen  ist  die  Zwillingsachse,  also  die 
Normale  zur  Querfläche,  wie  die  spezielle  Betrachtung  der  mono- 
klinen  Erystalle  zeigt,  keiner  krystaUographisch  möglichen  Kante  der 
Individuen  parallel. 

157.  Betrachten  wir  jetzt  den  in  Fig.  261  dargestellten  Krystall, 
der  z.  B.  bei  dem  regulären  Sodalüh  vorkommt,  so  flnden  wir,  daß 
derselbe  von  sechs  in  einer  Zone  liegenden  Trapezen 
mit  abwechselnd  langen  und  kurzen  Parallelkanten 
und  aus  je  drei  beiderseits  auf  die  kurzen  Trapez- 
kanten aufgesetzten  Bhomben  begrenzt  ist,  welch 
letztere  sich  aber  nicht  parallel  gegenüberliegen, 
wie  das  die  Trapeze  tun.  Sowohl  die  trapez-  als  die 
rhombenformigen  Flächen  schneiden  sich  unter  120^ 
Hier  sieht  man  nun  keine  einspringenden  Winkel,  ^^'  ^^^• 

aber  ebenso  wie  diese  vorher,  deutet  hier  der  Mangel  an  gegenseitiger 
Parallelität  bei  den  Bhombenflächen  auf  Zwillingsbildung  hin.  Man 
sieht  in  der  Tat  leicht,  daß  sich  dieser  Krystall  nach  einer  strich- 
punktiert angegebenen,  auf  den  Parallelkanten  der  Trapeze  senk- 
rechten Ebene  in  zwei  symmetrische  Hälften  teilen  läßt,  deren  jede  in 
iI^*en  wesentlichen  Beziehungen,  in  den  Winkeln  etc.  einem  halben 
Granatoeder  entspricht.  Jene  Ebene  ist  also  hier  Zwillingsfläche.  Weil 
sie  auf  den  sechs  parallelen  Kanten  der  beiden  granatoedrischen  Einzel- 

Baner,  Mineralogie.  ^^ 


1Ö4  ZwiUiBge. 

iadividueu  senkrecht  steht,  muß  sie  offenbar,  parallel  mit  sich  selbst 
verschoben,  die  rechts  und  links  liegenden  dreikantigen  Ecken  gerade 
abstumpfen,  wie  die  punktierten  Dreiecke  andeuten;  sie  ist  also  in 
beiden  Granatoedern  eine  Oktaederfläche.  Die  Zwillingsachse  ist  hiei- 
parallel  mit  den  sechs  parallelen  Kanten  der  Trapeze,  d.  h.  parallel 
mit  den  Granatoederkanten.  Dreht  man  die  eine  Hälfte  des  Krystalls 
um  180^  um  eine  solche  Achse,  so  erhält  man  ein  vollständig  regel- 
rechtes Granatoeder.  Aus  einem  solchen  kann  man  sich  umgekehrt 
den  Zwilling  entstanden  denken,  wenn  man  das  Granatoeder  senk- 
recht zu  sechs  parallelen  Kanten  halbiert  und  die  beiden  Hälften 
gegeneinander  um  180®  in  der  Halbierungsebene  (d.  h.  um  eine  jener 
sechs  Kanten  als  Achse)  verdreht.  Hier  ist  die  Zwülingsfläche  zwar 
auch  eine  Krystallfläche,  aber  nur  eine  mögliche,  nicht  eine  wirklich 
vorhandene  Ebenso  ist  aber  auch  gleichzeitig  die  Zwillingsachse 
eine  Kante  und  zwar  eine  tatsächlich  existierende,  in  beiden  Individuen 
gleichnamige,  eine  Grauatoederkante.  Auch  diese  Granatoederzwillinge 
sind  häufig  stark  v^kürzt,  nicht  selten  so  stark,  daß  von  den  sechs 
Fläche  senkrecht  zu  der  Zwillingsfläche  nichts  oder  fast  nichts  mehr 
übrig  ist  und  der  Zwilling  aus  einer,  über  einer  gemeinsamen,  gleichseitig 
dreieckigen  Basis  errichtetenDoppelpyramide  besteht  (z..B.  beimDiamant). 

158.  Ein  Beispiel  eines  Zwillings,  bei  dem  zwax  die  Zwillingsachse, 
aber  nicht  die  Zwillingsfläche  krystallonomisch  möglich  ist,  liefert  der 
trikline  Feldspat  (Albit  oder  Anorthit)  (Fig.  262).  Zwei  Krystalle» 
gebildet  von  den  vertikalen  Prismenflächen  T  und  ?,  der  Basis  P  und 
der  Längsfläche  M  und  zuweilen  auch  der  hier  nur  gestrichelt  an- 
gedeuteten Qu€a:*fläche  K,  sind  mit  d^  Basis  P  so  verwachsen,,  daii  T 


Fig.  268.  Fig.  268. 

und  l  einspringende  Winkel  machen  und  da£  die  Kanten  PjK  und 
PjK  beid^  Individuen  parallel  sind.  Die  Kanten  PIM  und  PfM  fallen 
daj^:  nicht  aiifeinander,  sondern  schneiden  sich  rechts  und  links  unter 
sehr  spiten,  Winkeln ;  M  und  M  machen  sehr  stumpfe  einerseits  aus-, 
anA^rseitQ.  einsprinkgende  Winkel.  Daß  P  hier  nicht  Symmetrieebene^ 
ist^  si^ht.  man^  so&rt,  die  Anordnung  beider  Individuen  symmetrisch 
ZU:  einßF  Bben^  tritt  dagegen  hervor,  wenn  man:  das  obere  Individuum 
pai^lel  mit.  sich  so  neben  das  untere,  verschiebt,  daß^  in  der  neuen 
Lage  die  Fl$cheo  P  und  P  zusammenfallen  und .  die  Kanten  JE/P  und 
KfP  paralW  sißd  (Fig.  26S^. 


Zwillinge. 


195 


Man  kann  dann  eine  mit  KjP  und  KjP  parallele  Linie  bbb^b^  un- 
unterbrochen über  P  und  P  hinziehen,  und  die  Anordnung  der  stumpfen 
und  spitzen  Winkel  der  Flächen  an  beiden  Individuen  in  Verbindung 
mit  der  Flächenverteilung  selbst  zeigt,  daß  in  dieser  Lage  beide 
Individuen  symmetrisch  sind  zu  einer  Ebene,  die  senkrecht  zu  bb^ 
(Kante  PIK)  den  schmalen  keilförmigen  Raum  zwischen  ihnen  halbiert, 
welcher  der  Kreuzung  der  Kanten  PjM  und  PIM  bei  der  ursprfing'- 
lichen,  in  Fig.  262  dargestellten  Lage  entspricht.  Diese  Halbierungs- 
ebene ist  also  hier  Zwillingsfläche.  Sie  ist  keine  krystallonomisch 
mögliche  Fläche,  dagegen  ist  die  Zwillingsachse  66*,  wie  erwähnt,  der 
Kante  PjK  in  beiden  Individuen  parallel,  also  eine  mögliche  (oder 
faktisch  vorhandene)  Kante  derselben.  Dreht  man  das  eine  Indi- 
viduum um  die  Zwillingsachse  66*  um  180®  herum,  so  wird  es  dem 
anderen  vollkommen  parallel.  Hier  hat  man  auch  zugleich  ein  Bei- 
spiel daffir,  daß  die  beiden  Individuen  nicht  mit  der  Zwillingsfläche, 
sondern  mit  einer  auf  dieser  senkrechten  Fläche  miteinander  ver- 
wachsen sind. 

Zwillinge,  bei  denen  sowoU  Zwillingsebene,  als  Zv^ingsacbse  keine  krystallo- 
nomiscb  mOglicben  Flächen  resp.  Kanten  sind,  sind  zu  selten,  als  daß  hier  ein  Bei- 
spiel daf&r  elrforderlich  wäre.    Sie  finden  sich  n.  a.  gleichfaUs  beim  triklinen  AnortMt. 

15Ö.  Übrigens  lassen  sich  viele  Zwillinge  auf  mehr  als  nur  eine 
einzige  Weise  erklären,  d.  h.  es  laßt  sich  auf  mehrfache  Weise  die 
Art  der  Verbindung  der  Individuen  krystallographisch  definieren; 
das  Zwillingsgesetz  kann  in  verschiedener  Fassung  ausgesprochen 
werden.  So  findet  man  sehr  häufig  einen  Zwilling  des  moÄoklinen 
OrihöklaSj  den  sog.  Karlsbader  Zwilling,  in  dem  zwei  Individuen,  be- 
grenzt von  den  Prismenflächen  T,  der  Längsfläche  M  und  der  vorderlen 
und  hinteren  Schiefendfläche  P  und  y,  in  der  Fig.  264  und  265  an- 
gegebenen Weise  vereinigt  sind.  Beide 
Individuen  sind  zwar  nach  der  Fläche 
JfcT verwachsen,  diese  ist  al)er  nicht  Zwil- 
lingsfläche, zu  der  beide  Individuen 
symmetrisch  liegen,  und  kann  auch  gar 
nicht  Zwillingsfläche  sein  (155),  da  sie 
in  beiden  Individuen  Symmetrieeberie  ist. 
Z'willingsfläche  ist  die  auf  M  senkrechte, 
hier  nicht  gezeichnete  Querfläche  Jt,  welche  die  stumpfe  Kante  T/T  jedes 
einzelnen  Individuums  und  ebenso  die  Kante  T/ T  des  Zwillings  gerade 
abstumpfen  Würdö.  Die  Vei-^achsungSfläche  M  ist  also  hier  glfeich&lls 
attf  der  ZwiMingsfläche  senkrecht'  (Fig.  264),  oder  sie  hat,  wie  in 
Fig.  265,  wo  die  beiden  Individuen  etwas"  ineinander  hineingewachsen 
sind,  einerf  uaregeKnäßigen,  jedoch  M  naheliegendeti  Verlauf  Die" 
Normale  zu  K  (d;  hv  eine  in  M  atrf'  der  Kante  \2li/jP  senkrechte;  ate'^ 

13* 


Fig:  264. 


Fig.  265. 


196  Zwillingsgrenze. 

Erystallkante  unmögliche  Linie)  ist  die  Zwillingsachse.  Wenn  man 
das  eine  Individuum  um  diese  Achse  um  180^  herumdreht,  so  werden 
beide  Individuen  parallel,  und  umgekehrt,  wenn  man  eines  aus  der 
ParaUelstellung  beider  ebenso  herausdreht,  so  entsteht  der  Zwilling. 
Derselbe  entsteht  aber  ganz  ebenso,  wenn  man  das  eine  Individuum 
aus  der  Parallelstellung  heraus  um  180®  um  die  Kante  MjT  dreht. 
Letztere  ist  dann  Zwillingsachse;  sie  ist  auf  der  anderen  Zwillings- 
achse senkrecht.  Eine  zu  ihr  senkrechte  Ebene,  welche  übrigens 
krystallonomisch  unmöglich  ist,  wäre  Zwillingsfläche;  auch  zu  ihr 
liegen  beide  Individuen  symmetrisch.  Diese  zweite  Zwillingsfläche  ist 
auf  der  ersterwähnten  K  senkrecht.  Während  bei  der  obigen  Deutung 
die  Zwillingsfläche  eine  mögliche  Erystallfläche  K,  die  Achse  dagegen 
eine  krystallonomisch  unmögliche,  jedoch  in  der  angegebenen  Weise 
definierbare  Richtung  war,  ist  es  hier  umgekehrt:  die  Zwillingsachse 
ist  eine  Eantenrichtung,  die  Zwillingsfläche  ist  als  Erystallfläche  un- 
möglich. Auch  den  oben  betrachteten  Augitzwilling  (Fig.  257)  kann 
man  ganz  genau  in  derselben  Weise  wie  hier  nach  dem  Gesetze  er- 
klären: Zwillingsachse  die  Vertikalkante  MjT  oder  TjK 

160.  Zwillingsgrenze.  Die  Verwachsungsfläche  beider  Zwülings- 
individuen  und  der  Verlauf  dieser  Fläche  auf  der  äußeren  Begrenzung 
des  Zwillingskrystalls,  die  sog.  Zwillingsgrenze  oder  Ztoülingsnakt,  ist 
an  den  Zwillingskrystallen  manchmal  auf  den  ersten  Blick  zu  er- 
kennen, manchmal  liegt  sie  auch  mehr  versteckt.  Ersteres  ist  nament- 
lich dann  der  Fall,  wenn  die  Flächen  der  beiden  Individuen  an  der 
Grenze  einspringende  Winkel  bilden,  wie  z.  B.  bei  dem  oben  be- 
schriebenen Augitzwilling  und  bei  dem  häufig  vorkommenden 
Zwilling  zweier  regulärer  Oktaeder  des  Spinells  und  anderer  Mine- 
ralien nach  der  Oktaederfläche  (Fig.  266),  welche  hier  gleichzeitig 
Verwachsungsfläche  und  Zwillingsebene  ist,  etc.  Es  ist  dasselbe  Ge- 
j<  setz  wie  in  Fig.  261:  Zwillingsfläche  die  Oktaeder- 

y7    \v         fläche.    Der  Unterschied  liegt  allein  in  der  Begrenzung 
y/y      ,//^^  der  Individuen,   die  dort  eine  dodekaedrische,   hier 
H'""~'/y     //    ^^^  oktaedrische  ist.    Ein  Zwilling  dieser  letzteren 
O.^  //^\  //     Art  (Fig.  266),  bei   dem   zwei   Oktaeder  mit   einer 
^vf  \  V  Oktaederfläche  als  Zwillingsfläche   verwachsen  sind, 

^^  heißt  nach  dem  Vorkommen  am  Spinell  Spindhwilling, 

Fig.  266.        g^y^jj  Yfenn  er  an  einem  anderen  Mineral  auftritt. 

Die  einspringenden  Winkel  an  Zwillingen  unterscheiden  sich  von 
den  einspringenden  Winkeln  parallel  verwachsener  Individuen  (154) 
wesentlich  dadurch,  daß  bei  letzteren  immer  eine  Fläche  rechts  von 
der  einspringenden  Kante  einer  solchen  links  parallel  ist  (Fig.  252); 
bei  Zwillingen  flndet  dies  nicht  statt.    Solche  einspringenden  Winkel 


Verwachsnngsfläche.  197 

fehlen,  wie  wir  schon  (157)  nnd  Fig.  261  gesehen  haben,  häufig  ganz. 
Dann  gibt  zuweilen  die  sog.  federartige  Streifung  (Fiederstreifung) 
den  Verlauf  der  Grenze  an.  Geht  nämlich  die  Zwillingsgrenze  über  eine 
beide  Individuen  des  Zwillings  in  ununterbrochener  Fortsetzung  be- 
grenzende Fläche  am  Zwillingskrystall  hin,  so  ist  nicht  selten  eine 
etwaige  Streifung  dieser  Fläche  rechts  und  links  von  der  Grenze 
schief,  aber  beiderseits  symmetrisch  zu  derselben  gestellt 
(Fig.  267.  Harmotom).  Ähnliche  federartige  Streifung  kommt 
indessen  manchmal  auch  bei  einfachen  Erystallen  (Chabasit, 
Glimmer  etc.)  vor.  Statt  ihrer  deuten  zuweilen  abwechselnd 
matte  und  glänzende  Partien  derselben  Fläche  die  Zwillings- 
bildung an  (166);  öfters  ist  auch  die  über  beiden  Indivi- 
duen gemeinsame  Flächen  hinlaufende  Zwillingsgi'enze  j.^^^~^7 
etwas  eingekerbt.  Bei  manchen  Zwillingen  ist  ein  solches 
äußeres  Zeichen  für  die  Erkennung  der  Zwillingsfläche  überhaupt 
nicht  mehr  vorhanden,  wie  z.  B.  bei  dem  oben  beschriebenen 
Granatoederzwilling  (Fig.  261),  wo  nur  noch  der  Mangel  paralleler 
Gegenflächen  an  beiden  Enden  des  Krystalls  auf  Zwülingsbildung 
hindeutet,  ihn  aber  nicht  mit  Sicherheit  beweist,  da  auch  durch 
Hemiedrie  etc.  geneigtflächige  Krystalle  entstehen.  In  derartigen 
Fällen  ist  es  überhaupt  oft  schwierig,  und  es  ist  die  genaueste  Unter- 
suchung erforderlich,  um  zu  erkennen,  ob  man  es  mit  einem  Zwilling 
oder  einem  einfachen  Krystall  zu  tun  hat.  Dann  sind  die  Blätter- 
brüche oft  wichtig,  die  bei  einem  Zwilling  nicht  mehr  alle  ununter- 
brochen durch  den  ganzen  Erystall  hindurch  gehen,  sondern  an  der 
Zwillingsgrenze  mitten  im  Krystall  plötzlich  aufhören  und  jenseits 
derselben  in  anderer  Richtung  weiterlaufen,  entsprechend  der  Spal- 
tungsrichtung im  zweiten  Individuum,  wie  beim  Sodalith,  Feldspat, 
Kalkspat  (5).  Bei  nicht  regulären  Krystallen  f Qhrt  die  Untersuchung 
im  polarisierten  Licht  oft  leicht  zum  Ziel  (256). 

161.  Terwaehsungsfläclie.  DieZusammensetzungs-(yerwachsungs-) 
fläche  ist,  wie  wir  gesehen  haben,  häufig  eine  ganz  ebene  Fläche. 
Sie  ist  entweder  parallel  mit  der  Zwillingsebene  (Spinellzwilling, 
Fig.  266,  Augitzwilling,  Fig.  257)  oder  senkrecht  darauf  (Fig.  262 
und  264).  Ist  die  Verwachsungsfläche  eben,  so  ist  die  Zwillingsgrenze 
eine  aus  einzelnen  geradlinigen  Stücken  zusammengesetzte  ebene  poly- 
gonale Figur  (Fig.  266).  Ist  die  Zusammensetzungsfläche  etwas  wellig 
gekrümmt,  so  ist  die  Grenze  ebenfalls  wellig  hin-  und  hergebogen, 
wie  z.  B.  häufig  bei  den  Karlsbader  Zwillingen  des  Orthoklases 
Fig.  268,  die  sich  von  den  in  Fig.  264  abgebildeten  nur  dadurch 
unterscheiden,  daß  statt  der  hinteren  Schiefendflächen  y  die  etwas 
weniger  steilen  Flächen  x  vorhanden  sind.  Weicht  die  Verwachsungs- 
fläche noch  stärker  von  der  Ebene  ab,  so  wird  die  Grenze  ziemlich 


198 


JDxtapoBition.    Penetration. 


.kompliziert,  so  dafi  die  beidea  Individaea  z.  T.  förmlich  einander 
durchdringen,  indem  Torsprilnge  des  einen  Individnams  in  Yer- 
tiefungen  des  anderen  eingreifen,  vie 
dies  bei  vielen  nach  demselben  Giesetz 
gebildeten  Orthoklaskrystallen  (Fig. 
265)  oder  dem  Zwilling  von  Flußspat- 
Würfeln  (Fig.  269)  mit  der  Oktaeder- 
fiäcbe  als  Zwillingsääcbe  der  Fall  ist. 
Diese  stecken  so  ineinander,  daß  die 
Flg.  268.  Fig.  269.        Ecken  des  einen  Individuums  ans  den 

Flächen  des  anderen  naseni^rmig  hervorrageD. 

162.  Juxtapositlon  und  Penetration.  Häufig  hOrt  ein  Indivi- 
duum nicht  an  der  Verwachsnngsfläche  auf,  in  der  es  sich  mit  dem 
anderen  Individuum  berührt,  sondern  beide  wachsen  darüber  hinaus 
fort  und  durchkreuzen  sich  vollständig,  so  daß  zwei  sich  unter  irgend 
einem  Winkel  durchschneidende  ebene  oder  auch  häufig  komplizierte 
krnmme  Verwachsnngsflächen  entstehen.  Dies  zeigt  z.  B.  der  Stauro- 
lithkrystall  (Fig.  270).     Solche  Zwillinge  werden  als  Durchkreueungs- 

oder  PenetraiiORSetcillinge  von  den  Berührungs-  oder 
JttxtapositionsgwnlHngen  unterschieden,  an  denen  sich  die 
,  Individuen  nach  einer  Fläche  mehr  oder  weniger  innig 
I  berühren.  Zu  den  Penetrationszwillingen  gehört  u.  a. 
f  auch  der  Flußapatzwilling  (Fig.  269),  während  der  Ortho- 
klaszwilling (Fig.  268),  der  Spinellzwilling  (Fig.  266) 
and  der  Augitzwilling  (Fig.  257)  Justapositionszwillinge 
^«-  ^-  sind. 
Zwei  Individuen  derselben  Substanz  können  nach  demselben 
Zwillingsgesetz  bald  Juztapositions-,  bald  Penetrationszwillinge  bilden. 
So  ist  z.  B.  der  Quarzzwilling  Fig.  275  und  der  lilg.  276  demselben 
Gesetz  unterworfen,  aber  der  eine  ist  durch  Juztaposition,  der  andere 
dnrch  Penetration  entstanden. 

163.  ZwiUlnge  hemiedrischer  Kristalle.  Bei  hemiedrischen 
Eiystallen  werden   die  Verhältnisse  der  Zwillingsblldung  oft  etwas 

modifiziert.  So  gilt  zuweilen  bei  derartigen  Zwil- 
lingMi  die  Symmetrie  nach  der  Zw.  Fl.  nur  noch  in 
Bezug  auf  die  Form  der  Zwillinge,  nicht  mehr  in 
Bezug  auf  die  physikalische  BeschafTenbeit  der 
Flächen.  Bei  der  der  tetraedrisch  -  hemiedrischen 
Klasse  des  regulären  Systems  uigeh&rigen  ZinJAlende 
kommen  Zwillinge  vor  (Fig.  271),  welche  ganz  ebenso 
Fig.  271.  gestaltet  sind  wie  die   Spinellzwillinge   (Fig.  266). 

Während  aber  bei  den  Spinellzwillingen  in  der  ZwiJiiugsgreaze  an  allen 


Zwillinge  hemiedriBcher  Kryat&lle.  \gQ 

Kanten  zwei  gleiohe  Flachen  znsammenstoflen,  treffen  eich  beim  Blende^ 
Zwilling,  dessen  IndiTiduen  eine  Kombination  beider  koiTelaten  Tetraeder 
darstellen,  zwei  infolge  der  Hemiedrie  verschieden  gewordene  PlScfaen. 

M.  a.  W.  die  Flächen  des  einen  Tetraeders  +  ■=■  am  einen  Individnnm 

etofien  in  der  ZwUling^renze  überall  aof  Flächen  des  Gegentetraeders 

—  -a-Ava.  anderen  nnd  umgekehrt,  wie  die  Schrafflerang  und  Signierung 

in  Figor  271  zeigt. 

164.  ZwUlbige  mit  pwallcAen  Aehs«».  Bei  sämtlichen  bisher 
betrachtete  Zwillingen  waren  die  Achsen  beider  Individuen  ver- 
si^ieden  gerichtet  und  lagen  zur  Zwillingsfläche  in  derselben  W^e 
eiouider  symmetrisch  gegenüber,  wie  die  äuflere  Begrenzung  der  Indi- 
viduen (Zwillinge  mit  gmeifften  Achsen).  Eemiedrische  Krjstalle  (and 
teilflächige  überhaupt)  bilden  abu*  zuweilen  eigentümli^e  Zwillinge, 
hei  welchen  die  beiden  Individuen  mit  paraiiden  Achsen  vereinigt 
sind.  Ein  derartiger  Zwilling  ist  Fig.  272  dargestellt,  wo  zwei  ßhom- 
boeder  von  K(äk3pat  in  dieser  Weise  zwillingsartig  aneinander  liegen. 
Die  Basis  ist  hier  ZwUlings-  und  Terwacbsnngsfiäche  zugleich. 
Zwillinge  mit  parallelen  Achsen  bilden  u.  a.  auch  hemimorpbe 
Erystalle,  wie  z.  B.  das  Kieaelsinkerg  (Fig.  645).  Bei  rollflächigen 
Formen  kann  selbstverständlich  eine  Zwillingsbildnng  mit  parallelen 
Achsen  nicht  vorkommen;  parallele  Achsen  bedingen  bei  ihnen  einoi 
vollkommenen  Parallelismus  auch  der  äußeren  Begrenzung. 

165.  E^iunrngszwininge.  Zwei  gleiche  hemiedrische  Krystalle 
wachsen  in  Zwillingsstellnng  mit  parallelen  Achsen  nicht  immer  in 
der  Weise  aneinander,  wie  es  Fig.  272  zeigt  Häufig  dorchdringen  sie 
sieh  in  dieser  gegenseitigen  Stellung  vollständig  und  bilden  Fene- 


Fig.  272.  ng.  273.  tig.  274. 


trationszwillinge,  bei  denen  die  Ek^eo  des  einen  Individunms  nasen- 
f&rmig  ans  den  Flftchen  des  anderen  herausragen,  wie  dies  iü  Fig.  273 
ftr  zwei  Tetraeder  und  Fig.  274  für  zwei  Pyritoeder  gezeichnet  Ist. 
Man  kann  auch  hier  den  Zwilling  durch  Drehnng  um  eine  Achse  oder 
durch  Angabe  der  ZwÜiingsfl&che  erklären,  gegen  welche  beide  lödi- 


200 


Erg;fliuniig8z  willing^e . 


Tidnen  der  GestAlt  nach  synuDetriscli  liefen.  Zweckmäßiger  und  au- 
schalllicher  scheint  ea  aber,  hier  zu  sagen:  beide  Individnen  haben 
alle  Äcbsenrichtnngen  gemein,  aber  die  Raamabschnitte  mit  den  sich 
ansdetmeoden  Flächen  des  einen  Individnnrns  liegen  so  wie  die  ßaum- 
abschnitte  mit  den  verschwundenen  Flächen  des  anderen;  die  durch 
die  Hemiedrie  angleich  gewordenen  Oktanten  beider  Individuen  haben 
die  gleiche  Lage.  Bei  genauerer  Betrachtung  sieht  man,  daß  durch 
eine  solche  Zwillingsbildung  diejenigen  Symmetrieebenen  am  Zwilling 
wiederhergestellt  werden,  welche  bei  der  Hemiedrie  in  jedem  einzelnen 
Individuum  verschwunden  sind.  Denkt  man  sich  die  auf  den  einzelnen 
Flächen  aufsitzenden  naseoartigen  Hervorrf^ngen  weg,  so  erhält  man 
die  entsprechenden  vollflächigen  £Crper,  deren  Kanten  mit  den  ein- 
springenden Kanten  dieser  Zwillinge  zusammenfallen.  Die  beiden 
hemiedrischen  Formen  ergänzen  sich  also  in  diesen  Zwillingen  gewisser- 
maßen zn  der  zngehürigen  vollflächigen  Gestalt:  die  beiden  Tetraeder 
znm  Oktaeder  (Fig.  273),  die  beiden  Pyritoeder  zum  PyramidenwOrfel 
(Fig.  274).  Zwillinge  dieser  Art  werden  daher  anch  Ergäruungs- 
etoiUinge  genannt. 


160.  Zwillinge  eaantlomorpfaer  Krystalle.  Zwillinge  mit  pa- 
rallelen Achsen  liefert  uns  u.  a.  auch  der  der  trapezoedrischen  Te- 
tartoedrie  des  hexagonalen  Systems  zagehörige  Quare.  Aus  ihnen  sind 
gleichzeitig  die  aUgemeinen  Verhältnisse  der  Zwillinge  enantiomorpher 
Krystalle  mit  parallelen  Achsen  zu  erkennen.  In  Fig.  275  sind  zwei 
von  dem  Prisma  r,  dem  größeren  (und  meist  glänzenden)  Rhomboeder 
P  und  dem  kleineren  (und  meist  mat- 
ten) Gegeorhomboeder  s  begrenzte 
Individaen  so  nach  einer  Fläche  r 
verwachsen,  daß  die  Prismenkanten 
r/r  resp.  rjr  in  beiden  parallel  sind 
und  daß  die  Flächen  n  des  einen 
Individuums  den  Flächen  P  des 
anderen  der  Lage  nach  entsprechen 
nnd  umgekehrt.  In  beiden  Indivi- 
duen haben  dann  die  Achsen  die- 
Die  Individuen  sind  aber  nicht  parallel,  sondern  in 


Fig.  275. 


Fig.  276. 


selbe  Bichtung. 

ZwUlingsstellung  und  zwar  in  der  Weise,  daß  das  eine  um  eine  Achse 
senkrecht  zu  einer  Prismenfläche  r  um  180°  gegen  das  andere  ver- 
dreht erscheint  So  lange  an  den  Krystallen  nur  die  genannten 
Flächen  ausgebildet  sind,  haben  sie  die  Symmetrie  der  rhomboedrischen 
Hemiedrie.  Sie  liegen  symmetrisch  zn  der  gemeinsamen  Fläche  r,  die 
hier  Zwillingsfläche  ist  Dies  zeigt  auch  die  Fig.  277,  I  und  I^  wo 
zwei  solche  Qnarzkrystalle  in  dieser  ZwUlingsstellung  mit  vertikal 


Zwillinge  enantioiDorpher  Erystalle.  201 

stehender  Hauptachse  abgebildet  sind  (die  Flächen  s  sind  vorläufig 
wegzudenken). 

Zu  den  Flächen  P,  /s  und  r  treten  nun  aber  nicht  selten  noch 
die  Ehombenflächen  s  und  ebenso  Trapezflächen  x  ((129),  Fig.  194),  die 
in  den  einfachen  Individuen  auf  die  abwechselnden  Prismenkanten 
oben  und  unten  aufgesetzt  sind  und  an  den  zwischenliegenden 
fehlen  und  die  den  speziell  tetartoedrischen  enantiomorphen  Formen, 
Trigonoedern  und  Trapezoedem,  angehören.  An  den  beiden  in  Zwillings- 
stellung befindlichen  Quarzkrystallen  Fig.  277  I  und  II  sind  die 
Shomben-  (Trigonoeder-)  flächen  s  ausgebildet,  durch  welche  sie  einen 
ausgesprochen  tetartoedrischen  Charakter  erhalten  haben. 

Gleichzeitig  hat  aber  auch  die  Symmetrie  nach  einer  Fläche  r 
aufgehört;  r  ist  nicht  mehr  Zwillingsfläche,  aber  eine  Gerade  senk- 
recht zu  r  ist  immer  noch  Zwillingsachse.  Durch  Drehung  um  eine 
solche  um  180^  kann  ein  Individuum  aus  der  Parallelstellung  heraus 
in  die  Zwillingsstellung  gebracht  werden.  Man  kann  dieselbe  gegen* 
seitige  Stellung  beider  Individuen  auch  durch  Drehung  um  180**  um 
die  Hauptachse  c  erhalten,  so  daß  also  auch  c  als  Zwillingsachse  an- 
gesehen werden  kann.  Aber  die  darauf  senkrechte  Fläche,  die  der 
Basis  entsprechen  wiirde,  ist  gleichfalls  keine  Zwillingsfläche ;  auch  zu 
ihr  liegen  die  beiden  Individuen  im  Zwillinge  nicht  symmetrisch.  Es 
gibt  nach  dem  Auftreten  der  enantimorphen  Formen  überhaupt  keine 
Ebene  mehr,  zu  der  dies  der  Fall  wäre.  Ganz  allgemein  ist  bei  jeder 
derartigen  Zwillingsverwachsung  von  gleichartigen  enantiomorphen 
Formen  (also  von  zwei  rechten  oder  zwei  linken  Individuen)  mit 
parallelen  Achsen  wohl  eine  Zwillingsachse  vorhanden,  um  die  das 
eine  Individuum  in  die  Zwillingsstellung  gedreht  werden  kann.  Es 
ist  aber  keine  Zwillingsfläche  denkbar,  zu  der  beide  Individuen  des 
Zwillings  symmetrisch  liegen. 

Derselbe  ZwiUing  kann  aber  noch  in  anderer  Weise  auftreten,  so  daß  er  von 
einem  einfachen  QnarzkrystaU  sich  auf  den  ersten  Blick  gar  nicht  unterscheiden  läßt 
(Fig.  276).  Hier  treten  außer  den  Flächen  r,  P  und  z  noch  die  Bhombenflächen  8 
und  die  Trapezflächen  x  auf.  Bei  genauerer  Betrachtung  sieht  man  an  einem 
solchen  Zwilling,  daß  die  abwechselnden  Bhomboederflächeu  P  und  z  nicht  gleich- 
mäßig matt  und  glänzend  sind,  sondern  daß  auf  derselben  Fläche  matte  und  glänzende 
SteUen  miteinander  in  scharfer  Umgrenzung  abwechseln.  Dabei  stoßen  in  den  End- 
kanten ausnahmslos  glänzende  Flächenelemente  einerseits  mit  matten  andererseits 
zusammen,  und  wo  eine  Linie,  welche  auf  einer  Fläche  matte  und  glänzende  SteUen 
voneinander  trennt,  eine  Endkante  trifft  und  überschreitet,  da  wechselt  auf  beiden 
in  dieser  Endkante  zusammenstoßenden  Flächen  die  Beschaffenheit:  ist  unter  dieser 
Grenze  die  Fläche  links  glänzend  und  rechts  matt,  so  ist  über  der  Grenze  die  Fläche 
rechts  glänzend,  links  matt  und  umgekehrt.  Außerdem  sieht  man  auch,  daß  hier 
die  Flächen  8  und  x  nicht  mehr  nach  der  Kegel  an  den  abwechselnden  Prismen- 
kanten rjr  oben  und  unten  vorkommen  und  an  den  zwischenliegenden  fehlen,  sondern 
daß  sie  ganz  regeUos  verteilt  sind.  Dies  aUes  ist  die  Folge  einer  innigen  Durch- 
dringung zweier  nach  dem  obigen  Gesetz  verwachsener  gleichartiger  Quarzindividuen. 


202 


Zwillinge  enantiomorpher  KryBtalie. 


Von  dieser  Verwachsung  kann  man  sich  anf  folgende  Weise  eine  Vorstellung  maehen : 
die  beiden  Individuen  I  und  II  (Fig.  277),  befinden  sich  gegeneinander  in  der  oben 
angegebenen  und  Fig.  275  abgebildeten  Zwillingsstellung.  Schneidet  man  aus  dem  einen 
Individuum  I  Stücke  längs  der  beliebigen  durch  die  krummen  Linien  angedeuteten 


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Fig.  277. 

Flächen  heraus  und  setzt  dafür  ganz  gleiche  Stücke  des  anderen  Individuums  H 
ein,  welche  aus  diesem  nach  den  entsprechenden  Flächen  herausgeschnitten  wurden, 
so  entsteht  der  Zwilling  III  (resp.  Fig.  276),  der  offenbar  in  allem  Wesentlichen  mit 
dem  in  Fig.  275  abgebildeten  Übereinstimmt,  nur  daO  hier  die  Verwachsungsflächen 
ganz  unregelmäßig  sind.  Derselbe  unterscheidet  sich  in  der  Tat  von  einem  ein- 
fachen Elrystall  der  Gestalt  nach  nur  durch  die  unregelmäßige  Verteilung  der 
Flächen  s  und  x,  und  auch  dieser  Unterschied  fällt  an  Erystallen  fort,  an  welchen, 
wk  in  Fig.  275,  diese  Flächen  nicht  ausgebildet  sind.  Die  Ungleichmäßigkeit  der 
Verteilung  von  s  (und  x)  entsteht  dadurch,  daß  statt  einer  jeden  ausgeschnittenen 
Ecke  mit  8  (und  x)  eine  solche  eingesetzt  ist,  wo  s  (und  x)  fehlen  (rechts  am  Zwilling  TU) 
und  umgekehrt  (links),  wie  die  Vergleichung  von  I  und  n  zeigt.  Da  dies  in  ganz 
willkürlicher  Weise  geschehen  kann,  so  wird  die  Verteilung  der  Flächen  8  xmd  x  am 
Zwilling  ganz  regellos.  Ganz  ähnlich  erklärt  sick  auch  die  Abwechslimg  matter  und 
glänzender  Stellen,  den  Flächenstttcken  z  und  P  entsprechend,  auf  einer  und  derselben 
Fläche  der  dihexaediischen  Begrenzung.  Solche  Zwillinge  sind  zuerst  an  Krystafien 
aus  dem  Dauphin6  beobachtet  worden,  sie  heißen  daher  auch  wohl  Dcuu^hinSer 
ZwÜlinge. 

Symmetrisch  zu  einer  Ebene  und  zwar  hier  zu  der  des  zweiten 
hexagonalen  Prismas  liegen  aber  wieder  die  beiden  Individuen,  wenn 
diese  ungleichartig  sind,  wenn  also  ein  rechter  und  ein  linker  Quarz- 
krystall  mit  parallelen  Achsen  verwachsen  (Fig.  278).  Je  die  Flächen 
P  und  die  Flächen  a  der  beiden  Individuen  fallen  dann 
zusammen.  Die  beiden  Individuen  lassen  sich  nun  aber 
nicht  durch  Drehung  um  eine  Achse,  etwa  die  Hauptachse 
oder  irgend  eine  andere,  in  ihre  gegenseitige  Lage  bringwi. 
Diese  Verwachsung  ist  zuerst  an  brasilianischen  ErystaUen 
beobachtet,  daher  der  Name  brasilianische  Ztcülinge.  Hier 
wie  bei  allen  solchen  Verwachsungen  ungleichartiger  enantio- 
morpher  Krystalle  (d.  h.  eines  rechten  und  eines  linken)  ist 
im  Gegensatz  zu  der  Verwachsung  gleichartiger  Formen,  wohl  eine 
Symmetrieebene,  aber  keine  Symmetrieachse  vorhanden,  wie  man  sich 
durch  ein  analoges  Schema  wie  in  Fig.  277  leicht  klar  machen  kann. 
Fig.  278  stellt  einen  Penetrationszwilling  dieser  Art  dar. 

Eine  solche  Form  (Fig.  278)  könnte  übrigens  auch  dadurch  entstehen,  daß  an 
einem  Qoai-zkrystall  das  rechte  und  linke  Trapezoeder  desselben  Skalenoeders  gleioh- 
zeitig  auftreten.     Den  Zwilling  unterscheidet  man  aber  hier  leicht  auf  optischem 


Fig.  278. 


Fortgesetete  Zwülingsbildang.  203 

Wege,  da  beide  Individuen  die  Polarisationsebene  in  yerscMedener  Bichtong  dreben, 
80  daß  auch  unter  Umständen  Airjsche  Spiralen  entstehen  (247).  Am  einfachen 
Erystall  und  am  Dauphin^er  Zwilling  kann  etwas  derartiges  nicht  beobachtet  werden. 
Mittels  der  Ätzfignren  (200)  und  der  Untersuchung  der  pyroelektrischen  Verhältnisse 
(270)  ist  diese  Unterscheidung  ebenfalls  möglich. 

167.  Fortgesetzte  Zwillingsbildung.  Im  vorhergehendeD  waren 
immer  nur  zwei  Individuen  zu  einem  Zwilling  verwachsen.  Die 
Zwillingsbildung  kann  aber  noch  weiter  gehen,  indem  sich  nach  dem- 
selben Gesetz,  oder  nach  einem  anderen  an  ein  zweites  Individuum 
ein  drittes,  an  dieses  ein  viertes  etc.  anschließt.  Derartige  Bil- 
dungen nennt  man  dann  Drülmge,  Vierlinge  etc.,  allgemein  VieUinge, 
Wir  betrachten  zunächst  die  fortgesetzte  Zwillingsbildung  nach  dem- 
selben Gesetz,  d.  h.  nach  Zwillingsflächen,  die  alle  derselben  ein- 
fachen Form  angehören. 

Diese  Verwachsung  kann  auf  zweierlei  Weise  geschehen:  einmal 
indem  die  Zwillingsfläche  (resp.  Achse),  nach  welcher  das  dritte  an 
das  zweite  Individuum  angewachsen  ist,  parallel  läuft  mit  der  Zwillings- 
fläche (resp.  Achse),  nach  welcher  die  Verwachsung  des  zweiten  und 
ersten  Individuums  stattgefunden  hat,  und  so  fort  für  alle  anderen 
Individuen.  In  diesem  Fall  ist  die  Verwachsung  aller  Individuen 
eine  reihenförmige  (polysynthetische).  Oder  aber  die  Zwillingsfläche 
(resp.  Zwillingsachse)  des  zweiten  und  dritten  Individuums  hat  nicht 
dieselbe  Richtung,  wie  die  Zwillingsfläche  (resp.  Zwillingsachse)  des 
ersten  und  zweiten  Individuums,  sie  ist  einer  anderen  Fläche  derselben 
einfachen  Erystallform  parallel,  der  die  erste  Zwillingsfläche  angehört. 
In  diesem  Falle  ist  dann  die  Verwachsung  aller  Individuen  eine 
hreisformige  (cyklische). 

168.  Polysynthetische  Zwilliiigsbildiuig.  Ist  z.  B.  ein  Zwilling 
gebildet  von  den  zwei  rhombischen  Prismen  1  und  2  (im  Querschnitt 
dargestellt,  so  daß  die  Flächen  auf  der  Ebene  des  Papiers  senkrecht 
sind)  (Fig.  279),  deren  Zwillings-  und  Verwachsungsfläche  die  gemein- 
same Prismenfläche  ist,  so  kann  an  die  dieser 
Zwillingsfläche  parallelen  anderen  Prismenfläche 
des  zweiten  Individuums  ein  drittes  zwillings- 
artig anwachsen,  an  dieses  ebenso  ein  viertes, 
f&nftes  etc.,  immer  je  zwei  benachbarte  in  pig.  279. 
ZwiUingsstellnng  und  stets  nach  derselben 
Zwillingsfläche,  so  daß  alle  Zwillings-  und  Verwachsungsflächen  der 
Beihe  einander  parallel  sind  und  die  Zwillingsachse  stets  dieselbe 
Richtung  hat.  Dann  muß,  wie  leicht  zu  sehen,  das  dritte  Individuum 
mit  dem  ersten  parallel  sein,  das  f&nfte  mit  dem  dritten  etc.,  ebenso 
auch  das  zweite,  vierte  etc.,  kurz,  es  mfissen  alle  Individuen  mit  un- 
geraden und  alle  mit  geraden  Nummern  je  untereinander  parallel  und 


204  PoljBynthelische  ZwUlingsbildnng. 

zQ  den  entgegengesetzten  in  Zwillingsstellung  sein.  In  Zwillingsstellnng 
sind  die  anmittelbar  benachbarten,  in  Parallelstellung  die  abwechselnden 
Individuen.  Solche  häufig  vorkommenden  reihenfönnig  wiederholten 
Zwillingsverwacbsungen  heißen  polysyntbeiische  Zwillinge  (Wieder- 
holnngszwillinge).  Ihre  spezielle  Ausbüdung  ist  Terschiedeu:  hänfig 
sind  es  nur  drei  ludividnen,  von  denen  das  mittlere  nicht  selten  als 
papierdünne  Lamelle  parallel  der  Zwülingsfläcbe  in  ein  gr5ßeres  Indi- 
viduum eingeschoben  erscheint  (Fig.  280,  281);  dies  kommt  z.  B.  bei 
manchen  Krystallen  des  Aragmit  vor.  Besondei-s  wichtig  sind 
Zwillinge  dieser  Art,  bei  denen  viele  solche  dünne  Lamellen  zwillings- 
artig in  ein  größeres  Individuum  eingewachsen  sind  oder  wo  der 
ganze  Krystall  aus  einer  außerordentlich  großen  Zahl  derartiger 
Lamellen  aufgebaut  ist,  wie  bei  den  trtklinen  Feldspaten  (Plagioklasen). 
Diese  Krystalle  sind  rhomboidische  Prismen  T  und  l  mit  schiefer 
Abstumpfung  der  scharfen  seitlichen  Kanten  durch  die  Längsfläcbe  M, 
mit  einer  auf  die  stumpfe  vordere  Kante  Tß  schief  aufgesetzten  End- 
fläche -P  (Fig.  506),  so  daß  FjM  =  94*  resp.  86",   und  einer  ent- 


Fig.  280.  Fi«.  281.  Fig.  282.  Fig.  283. 


sprechenden  hinteren  schiefen  Endfläche  x  resp.  y.  Das  hier  am 
häufigsten  vorkommeDde  Zwillingsgesetz  Ist  das,  wonach  die  Individuen 
die  Fläche  M  gemein  haben  und  umgekehrt  liegen  (Albitgesetz).  Beim 
Zwilling  müssen  dann  an  dem  unteren  Ende  die  beiden  scharfen,  an 
dem  oberen  die  beiden  stumpfen  Winkel  PjM  in  der  Zwillingsgrenze 
zusammenstoßen.  Am  letzteren  Ende  machen  die  beiden  Flächen  P 
einen  einspringenden  Winkel  FjP  von  188*  längs  den  Kanten  PjM 
and  FjM  (Fig.  282).  Wächst  an  das  zweite  Individuum  ein  drittes 
nach  demselben  Gesetz,  so  legt  sich  neben  den  einspringenden  Winkel 
PjF  nun  ein  ausspringender  FIP  von  172*,  während  am  anderen 
Ende  ein  einspringender  Winkel  entsteht,  und  beim  Anwachsen  noch 
weiterer  Individuen  bilden  sich  parallel  mit  der  Kante  FjM  immer 
wieder  neue  abwechselnd  ein-  und  ausspringende  Kanten  der  Flächen 
P  und  P  zweier  aneinander  stoßender  Individuen  (Fig.  283).  Werden 
diese  nun  durch  Zusammenrücken  der  Flächen  M  papierartjg  dünn, 
lamellenfSrmig,  so  folgen  die  aus-  und  einspringenden  Kanten  sehr  dicht 
aufeinander,  und  das  Ganze  macht  dann  den  Eindruck,  als  wäre  eine 
einheitliche  Fläche  P  vorhanden,    auf  welcher  eine  Streifung  ganz 


Cyklische  ZwiUingsbildnng. 


205 


geradlinig  in  der  Eichtang  der  Kante  PjM  hinläuft.    Eine  derartige 
Streifung  wird  ZtviUingsstreifung  (Zwillingsriefung)  genannt. 

169.  Cyklische  Zwillingsbildung.  Ist  die  Verwachsung  eine 
kreisförmige,  dann  kann  im  allgemeinen  kein  Individuum  der  Reihe 
einem  anderen  mehr  parallel  sein.  Die  auf  diese  Weise  gebildeten 
cyMischen  Zwillinge  werden  auch  wohl  Wendezwillinge  genannt.  Dabei 
wachsen  die  rhombischen  Prismen,  die  wir  auch  hier  als  Beispiele 
benützen  wollen,  so  aneinander,  daß  die  Zwillingsfläche  zwischen  2 
und  3  diejenige  Prismen  fläche  ist,  welche  bei  der  Verwachsung  von 
1  und  2  nicht  Zwillingsfläche  war  (Fig.  284).  Die  drei  Individuen 
liegen  dann  alle  um  einen  gemeinsamen  Mittelpunkt  herum  und  bilden 
einen  Drilling.  Da  der  Prismenwinkel  nicht  genau  gleich  120  ^  ist, 
so  bleibt  zwischen  dem  ersten  und  dritten  Individuum  ein  kleiner 
keilförmiger  Raum.  Dieser  wird  aber  ausgefüllt  durch  Ausdehnung 
dar  beiden  Individuen  1  und  3,  die  dann  längs  einer  unregelmäßig 
verlaufenden  Fläche  aneinander  stoßen.  ZuweUen  wächst  an  das  zweite 
Individuum  ein  drittes,  gleichzeitig  aber  an  das  erste  nach  der 
anderen  Fläche   ein  viertes  an  (Fig.  285),  einen  Vierling  bildend, 


1I7»4«' 


104*4»' 


|2SQ^ 


Fig.  284. 


Fig.  285. 


Fig.  286. 


Fig.  287.  Fig.  288. 


wobei  sich  dann  die  Individuen  3  und  4  nur  unvollständig  entwickeln 
können;  auch  sie  stoßen  dann  nach  einer  unregelmäßigen  Grenzfläche 
aneinander.  Eine  noch  größere  Anzahl  von  Individuen  kann  cyklisch 
verwachsen,  wenn  die  scharfe  Prismenkante  nach  dem  gemeinsamen 
Mittelpunkt  des  so  gebildeten  Viellings  gewendet  ist  (Fig.  286,  wo 
s^chs  Individuen  einen  Sechsling  bilden).  Auch  bei  solchen  Ver- 
wachsungen bleibt,  je  nach  der  Größe  des  Prismenwinkels,  zwischen 
dem  ersten  und  letzten  Individuum  ein  kleiner  keilförmiger  Zwischen- 
raum (wie  Fig.  284),  oder  es  hindern  sich  das  erste  und  letzte  Indi- 
viduum an  der  vollständigen  Ausbildung  (Fig.  285);  davon  ist  aber 
hier  der  Einfachheit  wegen  abgesehen.  Häuflg  sind  bei  solchen 
Sechslingen  die  nach  außen  gekehrten  scharfen  Kanten  sehr  stark 
abgestumpft,  so  daß  die  Abstumpfungsflächen,  die  an  jedem  einzelnen 
Individuum  Brachypinakoide  sind,  an  den  Zwillingsgrenzen  aneinander 
stoßen  (Fig.  286).  Es  entstehen  dann  häufig  scheinbar  regelmäßig 
sechsseitige  Prismen,  bei  denen  aber  ebensowenig  wie  bei  den  in 
Fig.  284  und  285  abgebildeten  alle  Gegenflächen  streng  parallel  und 
die  Winkel  genau  =  120®  sind. 


206 


Cykliscfae  Zwillingsbildung. 


Lidessen  können  solche  sechsfache  Verwachsungen  wie  Fig.  286 
auch  in  etwas  anderer  Weise  gebildet  sein.  Es  kommt  nämlich  auch 
bei  diesen  Bildungen  vor,  daß  die  Individuen,  über  die  Zwillings- 
grenze hinaus  sich  fortsetzend,  Penetrationszwillinge  bilden  (162). 
Sind  zunächst  die  drei  Individuen  1,  2,  3  (Fig.  286)  in  der  ange- 
gebenen Weise  miteinander  verwachsen  und  setzen  sich  dieselben 
über  den  gemeinsamen  Mittelpunkt  hinaus  fort,  so  daß  4  die  Fort-* 
Setzung  von  1,  5  von  2,  6  von  3  ist,  so  entsteht  eine  ganz  ähnliche 
Bildung  wie  jener  Sechsling.  Es  müssen  aber  dann  hier  zwei  dia- 
metral gegenüberliegende  keilförmige  Zwischenräume  zwischen  1  und 
6  und  3  und  4  entstehen,  die  indessen  auch  hier  stets,  durch  Fort- 
wachsen der  Individuen  bis  zur  gegenseitigen  Berührung,  ausgefüllt 
sind.  Ob  ein  solcher  durch  Juxtaposition  gebildeter  Sechsling  oder 
ein  durch  Penetration  gebildeter  Drilling  vorliegt,  ist  im  konkreten 
Fall  oft  schwer  zu  erkennen.  Eine  Entscheidung  ist  möglich  durch 
Messung  der  Prismenwinkel  oder  durch  Beobachtung  des  Verhaltens  im 
polarisierten  Licht  (256).  Eine  andere  Art  von  Penetration  ist  noch 
Fig,  287  abgebildet,  wo  in  ein  großes  Individuum  1  zwei  kleinere  2 
und  3  rechts  und  links  keilförmig  eingeschoben  sind,  beide  über  den 
Mittelpunkt  hinweg  zusammengehörig,  aber  beide  Hälften  2  resp.  3 
sich  gar  nicht  berührend.  Verhältnisse  wie  die  der  Fig.  286  kommeri 
z.  B.  beim  Witherit  vor,  die  der  anderen  genannten  Figuren  beim 
Araganit.  Hier  ist  zuweilen  noch  eine  andere  Art  dieser  cyklischen 
Verwachsung  zu  beobachten,  nach  welcher  in  ein  großes  Individuum 
nach  beiden  Prismenflächen  Zwillingslamellen  eingeschoben  sind 
(Fig.  288),  nicht  bloß  nach  einer  wie  in  Fig.  280  und  281. 

Nicht  immer  liegen  alle  cyklisch  verwachsenen  Individuen  eines  Viel- 
lings  um  einen  gemeinsamen  Punkt  herum,  sondern  sie  bilden  zuweilen 
einen  mehr  oder  weniger  geöffneten  Kreis.  So  gibt  es  quadratische 
Prismen  von  Rtdil,  welche  nach  einer  Oktaederfläche  zwillingsartig 
verwachsen  sind  (Fig.  289).  An  das  vom  1.  Individuum  abgdcehrte 
Ende  des  2.  heftet  sich  ein  3.  mit  einer  anderen  Fläche  desselben 

Oktaeders  als  Zwillingsfläche, 
daran  in  derselben  Weise  ein  4. 
und  so  fort.    Diese  Aneinander- 


reihung kann  so  vor  sich  gehetf, 
daß  die  Hauptachsen  aller  Indi- 
viduen in  einer  Ebene  liegen 
(Fig.  289);  oder  es  kann  auch 
^-  ^^-  ^-  2^-  so  geschehen,  daß  nur  die  Achsen 

der  Individuen  1  und  2,  2  und  3  etc.  je  in  einer  Ebene  liegen,  daß 
aber  diese  Ebenen  nicht  zusammenfallen,  so  daß  die  Individuen 
zickzackförmig  hin  und  her  gebogen  erscheinen  (Fig.  290). 


Doppels wiliinge.    Himeeie.  207 

170.  DoppelzwitllD^re.  Zuweilen  koniiiit  es  auch  vor,  daB  ein 
aoB  zwei  Individnen  nfich  einem  gewissen  Gesetz  gebildeter  Zwilling 
mit  einem  zweiten  gleich  gebaaten  Zwilling  dei-selben  Substanz  nach 
einem  anderen  Gesetz  verwachsen  ist.  Die  Fläche,  zu  der  die  beiden 
Zwillinge  symmetrisch  liegen,  gehört  hier  im  Gegensatz  zom  bisherigen, 
einer  anderen  einfachen  Krystallform  an,  als  die  Zwillingsflfichen  jedes 
einzelnen  Zwillings.  Es  entstehen  dann  DoppehtmSinffe  oder  Zwillinge 
höherer  Ordnung,  in  denen  jeder  der  beiden  Zwillinge  sich  verhält, 
wie  die  beiden  Individuen  in  einem  gewöhnlichen  Zwilling.  So  findet 
man  nicht  selten,  daS  beim  AJlnt  Zwillinge  zweier,  dem  Albitgesetz 
gemftS,  nach  M  verwaclisener  Individuen,  wie  sie  oben  beschrieben 
worden  (Fig.  282),  so  verbunden  sind,  daß  sie  wieder  eine  Fläche  M 
gemein  haben,  daneben  auch  eine  Kaute  Mil  (oder  MjT),  daß  aber  der 
eine  Zwilling  seine  Hinterseite  mit  den  Flächen  x  (oder  y)  nach  vorn 
wendet,  also  nach  derselben  Seite,  nach  welcher  der  andere 
Zwilling  seine  Vordei-seite  mit  den  Flächen  P  kehrt  (Fig. 

291).    Der  eine  Zwillingskrystall  kommt  aus  seiner  Farallel- 
stellung  mit  dem  anderen  in  die  Stellung,  die  er  am  Dop< 
pelzwilling  hat,   wenn  man  ihn  um    180  <*  um  die  Kante 
Tjl  ^=  MjT  dreht,    welche  somit  für  den   Doppelrwilling  ^ 
Zwillingsachse  ist    Die  damuf  senkrechte  Fläche  ist  seine    p.    ^^ 
Zwillingaflädie;  sie  ist  hier  krystallonomisch  unmöglich. 

171.  Mimest«.  DieFolge  der  symmetrischen  Verwachsnng  einzelner 
Individuen  in  den  Zwillingen  ist,  daß  die  letzteren  häufig  eine  höhere 
Symmetrie  zeigen,  als  die  ersteren,  aus  denen  sie  zusammengesetzt 
sind.  So  zeigt  z.  B.  der  gewj^hnliche  Albitzwilling  (Fig.  282),  gebildet 
von  zwei  triklinen  Individnen,  Symmetrie  nach  einer  Ebene  Jf,  also 
die  Symmetrie  numokliner  Krystalle.  Während  aber  hier  der  ein- 
springende Winkel  auf  P  deutlich  die  Zwillingsbildung  zeigt,  gibt  es 
andere  Uinlidie  Verwachsungen,  wo  nor  ausspringende  Winkel  tot- 
handen  sind,  wie'  z.  B.  an  dem  Erystall  von  HarmaUm  (Fig.  ^17), 
welcher  aus  zwei  durcheinander  hindurch  gewachsenen  monc^linen 
lodividaui  besteht  Darch  diese  Verwachsung  hat  der  Zwilling  die 
ein^riaigenden  Kant»  verloren  und  die  Symmetrie  rhombischer  Kry- 
stalle  angenommen.  Solche  Zwillinge  kann  man  leicht  für  rhomtusche, 
ei^tkcfae  Krystalle  halten  und  hat  dies  auch  beim  Harmotom  in  der 
Tat'  luge  getan,  bis  eine  g^iaue,  namenitieh  optische,  Untersuchung 
des  vrirklichen  Sachverhalt  klarstellte. 

In  den  genannt«!  b^den  Fällen  ist  die  Symmetrie  des  Zwillings 
gun  genau  die  des  höber  symmetrisdien  Krystallsystems,  in  anderen 
FiUen  ist  dies  dagegen  nnr  ^nähwnd  der  Fall.  So  gibt  es  z.  B.  KrystaUe 
dca-  rhoiBbisdieit  Aragmit  (Fig.  285),  w^he  ^n  seheiBber  r^ehnftfligr 


208  Mimesie. 

sechsseitiges  Prisma  bilden,  das  aber  nicht  lauter  gleiche  Kanten  von 
120^  sondern  solche  von  127«  40',  116<>  10'  und  104«  40'  hat  und 
welches  aus  vier  rhombischen  Prismen  in  der  in  der  Figur  angedeuteten 
Weise  cyklisch  verwachsen  ist:  4,1;  1,2;  2,3  sind  in  Zwillingsstellung, 
4,3  grenzen  unregelmäßig  aneinander.  Ahnlich  bildet  der  rhombische 
Alstonü  durch  Zwillingsbildung  scheinbar  hexagonale  Dihexaeder, 
und  nur  genaue  Untersuchung  der  Winkel  und  der  optischen  Ver- 
hältnisse (256)  zeigt,  daß  man  es  hier  mit  einer  Verwachsung  rhom- 
bischer Krystalle  zu  tun  hat. 

Wenn  die  Zwillingsbildung  einfach  ist,  wie  in  den  bisher  be- 
trachteten Beispielen,  wird  die  Symmetrie  nur  wenig  gehoben,  da  nur 
eine  oder  doch  nur  wenige  Symmetrieebenen  neu  hinzutreten.  Ver- 
einigt sich  aber  eine  größere  Anzahl  von  Individuen  durch  cyklische 
Verwachsung  nach  einem  oder  mehreren  Gesetzen,  dann  kann  sich  die 
Zahl  der  Symmetrieebenen  so  vermehi*en,  daß  eine  bedeutende  Stei- 
gerung der  Symmetrie  des  Zwillingsstocks  gegenüber  derjenigen  der 
einzelnen  Individuen  stattfindet.  Ist  damit  eine  Fortwachsung  der 
Individuen  über  den  gemeinschaftlichen  Mittelpunkt  hinaus  verbunden, 
so  daß  die  sämtlichen  einspringenden  Winkel  in  den  Zwillingsgrenzen 
dadurch  verschwinden,  so  ahmt  der  komplizierte  Zwilling  in  zahl- 
reichen Fällen  Formen  einfacher  KrystaUe  von  weit  höherer  Sym- 
metrie täuschend  nach.  Ein  Beispiel  hierfür  liefert  uns  ebenfalls  der 
Harmotom,  Wie  wir  bei  der  speziellen  Betrachtung  dieses  Minerals 
unten  sehen  werden,  sind  häufig  Zwillinge  wie  Fig.  267  zu  kompli- 
zierten Doppelzwillingen  (Zwölflingen)  verbunden,  welche  sehr  nahe 
die  Gestalt  des  Rhombendodekaeders  besitzen  und  so  die  Symmetrie 
des  regulär-vollflächigen  Systems  zeigen.  Die  Zahl  der  Symmetrie- 
ebenen ist  dabei  von  einer  bei  einem  Individuum  auf  neun  in  dem  von 
zwölf  Individuen  gebildeten  Zwillingsstock  gewachsen.  Voraussetzung 
hierbei  ist  stets,  daß  die  Individuen  niederer  Symmetrie  Winkel  be- 
sitzen, die  den  Winkeln  der  durch  die  Zwillingsbildung  nachgeahmten 
Formen  höherer  Symmetrie  so  nahe  wie  möglich  entsprechen.  So 
schneiden  sich  zwei  Prismenflächen  beim  Harmotom  unter  120**  1'. 
Es  sind  dieselben  Flächen,  die  beim  Zwölf  ling  die  Flächen,  und  deren 
Kanten  die  Kanten  des  scheinbar  einfachen  Rhombendodekaeders 
bilden ;  bei  einem  wirklichen  regulären  Rhombendodekaeder  ist  dieser 
Winkel  genau  =  120  ^.  Solche  scheinbar  einfache  und  einheitlich 
gebaute  Krystalle,  die  durch  derartige  mehr  oder  weniger  komplizierte 
Zwillingsbildung  Formen  höherer  Symmetrie  annehmen  oder  nach- 
ahmen, nennt  man  mimetische,  die  Erscheinung  selbst  Mimesie,  Mi- 
metisch ist  also  z.  B.  der  KrystaU  von  Harmotom  (Fig.  267),  der  wie 
ein  rhombischer  einfacher  Krystall  aussieht  und  das  erwähnte  Rhomben- 
dodekaeder, das  an  manchen  anderen  Krystallen  desselben  Minerals 


Nachahmende  Gestalten.  209 

auftritt.  Nicht  mimetisch  ist  der  Zwilling  von  Älbit  (Fig.  237),  dessen 
einspringende  Winkel  ihn  sofort  als  nicht  einfach,  als  Zwilling,  er- 
kennen lassen. 

Bei  manchen  Mineralien,  z.  B.  beim  Harmotom,  ist  es  sicher,  daß 
ihre,  höhere  Symmetrie  zeigenden,  scheinbar  einfachen  Krystalle  in 
der  Tat  mehr  oder  weniger  komplizierte  Zwillingsbildungen  der  er- 
wähnten Art  darstellen,  daß  sie  also  mimetisch  sind.  Bei  anderen 
Mineralien  ist  es  jedoch  zweifelhaft,  ob  ihren  Krystallen  die  Eigenschaft 
der  Mimesie  zukommt^  oder  ob  sie  tatsächlich  die  höhere  Symmetrie 
besitzen.  So  nehmen  manche  Mineralogen  an,  daß  die  quadratischen 
Formen  des  Apophyllit  aus  monoklinen,  die  rhomboedrischen  Formen 
des  Chabasü  aus  triklinen  Individuen  zwillingsartig  aufgebaut  und 
also  nur  mimetisch-quadratisch  resp.  mimetisch-rhomboedrisch  seien. 

Der  Grund,  warum  man  diese  Krystalle  nach  dem  Vorgang  von 
MäUard  (Explication  des  ph6nomönes  optiques  anomaux  1877)  in  der 
angedeuteten  Weise  auffaßt,  ist  der,  daß  sie  gewisse  Erscheinungen, 
kleine  Winkelunterschiede,  Blätterbrüche,  und  besonders  gewisse  op- 
tische Eigenschaften  etc.  zeigen,  welche  sich  nicht  mit  dem  Krystall- 
system  der  höheren  Symmetrie  direkt  vereinigen  lassen,  dagegen  un- 
gezwungen mit  der  niedrigen  Symmetrie  der  verwachsenen  Einzel- 
individuen. So  sind  viele  Apophyllitkrystalle  (nicht  alle)  optisch  zwei- 
achsig, ebenso  viele  Chabasitkrystalle,  während  sie  dem  quadratischen 
resp.  rhomboedrischen  System  entsprechend  einachsig  sein  müßten  etc. 
Die  Untersuchungen  hierüber  sind  aber  noch  nicht  abgeschlossen,  und 
solche  mimetischen  Krystalle  werden  durchaus  nicht  von  allen  Mine- 
ralogen in  der  angedeuteten  Weise  aufgefaßt.  Viele  halten  den 
Apophyllit  wirklich  für  quadratisch  und  den  Chabasit  wirklich  für 
rhomboedrisch  etc.  und  erklären  jene  mit  der  höheren  Symmetrie 
nicht  zu  vereinbarenden  Erscheinungen,  namentlich  die  optischen,  durch 
Störungen,  welche  die  Krystalle  bei  ihrer  Bildung  oder  später  erlitten 
haben,  um  so  mehr,  als  man  ganz  ähnliche  abweichende  Erscheinungen 
an  sicher  quadratischen,  rhomboedrischen  etc.  Krystallen  beliebig 
künstlich  nachmachen  kann. 

(Vergl.  (257)  optische  Anomalien;  ferner  Tschermak^  Ztschr.  d.  deutsch,  geol. 
Ges,  Bd.  31.  1879.  pag.  637;  Becke,  Chabasit;  Rumpfe  Apophyllit  etc.)  Vergleiche 
auch  Boracit,  Leucit,  Granat,  Perowskit  etc.,  wo  aber  z.  T.  noch  andere  Verhältnisse 
mit  zn  berücksichtigen  sind.    Siehe  auch  Grenzformen  (80). 

172.  Nachahmende  Gestalten.  Dnrch  teils  paralleles ,  teils 
zwillingsartiges,  allerdings  häufig  nicht  immer  ganz  vollkommen  regel- 
mäßiges Verwachsen  kleiner  Kryställchen  entstehen  zuweilen  eigen- 
tümliche Krystallaggregate ,  welche  namentlich  bei  den  gediegenen 
Metallen  eine  Rolle  spielen.  Sie  werden  mit  allerlei  organischen  oder 
anderen  Gebilden  verglichen,  deren  Gestalt  sie  nachahmen  und  nach 

Bauer,  Mineralogie.  ^^ 


210  Nachahmende  Oeatalteii. 

denen  sie  benannt  werden.  Sie  werden  deswegen  (Dbrigens  mit 
einigen  anderen  Formen)  unter  der  Bezeichnung  der  „naclialimenden 
Gestalten"  zusammengefaßt 

Wenn  kleine  ErystäUchen  mit  ihren  diametral  gegenüberliegen- 
den Ecken,  Kanten  oder  Flächen  in  einer  Reihe  parallel  aneinander 
wachsen,  so  z.  B.  kleine  Oktaederchen  gediegenen  Silbers  mit  ibren 
Ecken,  so  entstehen  tanggezogene  Erystallstrahlen,  welche  teils  ganz 
gerade,  teils  anch  mehr  oder  weniger  stark  gebogen  Bind.  Die  einzelnen 
KrystSllcheu  einer  solchen  Reihe  sind  vielfach  ganz  scharf  aasgebildet, 
häufig  sind  sie  auch  stark  gerundet,  und  schließlich  gibt  es  solche 
Strahlen,  wo  jede  Spur  von  Kanten  und  Ecken  verschwunden  ist,  so 
daß  müde  droht-  oder  kaarförmige  Gebilde  vorliegen.  Diese,  mit  den 
scharf  aaskrystallisierten  durch  alle  möglichen  Übergänge  verbunden 
und  also  nicht  wesentlich  in  der  Bildnng  von  ihnen  verschieden,  sind 
meistens  stark  gekrümmt,  die  feinen  Haare  des  gediegenen  Silbers 
sind  sogar  zuweilen  in  dichte  Ballen  zusammengerollt  und  ineinander 
verschlangen.  Derartige  Bildungen  werden  moosförmig  genannt  Manch- 
mal haben  solche  Drähte  eine  ziemlich  erhebliche  Dicke;  sie  sind  dann 
oft  einfach  gebogen  wie  Eberzähne  and  werden  daher  ebenfalls  als 
Zähne  bezeichnet;  oft  sind  sie  anch  stärker  gekrfimmt  und  sogar 
pfropfenzieherfbrmig  eingerollt.  Zahnförmige  und  ähnliche  Gestalten 
bildet  nnter  den  Metallen  besonders  das  Silber,  Übrigens  auch  bei- 
spielsweise das  Steinsalz. 

Krystallstrahlen  wie  die  oben  genannten  darchkrenzen  sich  nun 
nicht  selten.  Dies  geschieht  häufig  in  einer  Ebene,  wobei  sie  Winkel 
von  60"  und  von  90"  mitein- 
ander machen;  es  entstehen 
dann  sog.  (2etuirät$cA« Bildungen 
(vergl.  auch  188),  welche  be- 

1  sonders  bei    dem   gediegenen 
Knpfer  nud  anderen   regulär 
krystallisierten  Metallen  ans- 
\  gezeichnet  zu  beobachten  sind 
^  (Fig.  292) :  mehr  oder  weniger 
dicke  Sti-ahlen  schneiden  sich 
i  nnter  60"  und  bilden  in  der 
Ebene  ein  mehr  oder  weniger 
I  dichtes  Maschenwerk.    Diese 
krystallisierten  Dendriten  sind 
aber  fast  durchweg  so  gebaut, 
daß  sie  einen  Zwilling  bilden, 
dessen    Zwillings-    und  Ver- 
^^'  *^  wacbsnugsebene  parallel    der 


Verwachsung  ungleichartigeT  Erystalle.  211 

Fläche  der  Hanpterstreckung  des  Maschenwerks  durch  dasselbe  hindurch- 
geht. Die  obere  Hälfte  dieses  letzteren  bildet  ein  trotz  des  maschigen 
Baues  einheitliches  von  dem  Würfel  a,  dem  Oktaeder  o  und  dem  Rhomben- 
dodekaeder d  begrenztes  Individuum,  ebenso  die  untere,  aber  diese 
beiden  Hälften  sind  Zwillinge  nach  der  erwähnten  Fläche,  die  einer 
Oktaederfläche  parallel  geht.  Die  Maschen  sind  zuweilen  sehr  eng, 
die  Zwischenräume  zwischen  den  einzelnen  Strahlen  verschwinden 
häufig  ganz  und  es  entstehen  Bleche^  besonders  ausgezeichnet  beim 
gediegenen  Gold.  Solche  Bleche  sind  ganz  in  derselben  Weise  ge- 
baut, wie  die  erwähnten  Dendriten,  die  obere  und  untere  Hälfte  sind 
in  Zwillingsstellung  zueinander :  die  Hauptausdehnungsfläche  des  Blechs 
ist  Zwillingsfläche,  die  das  Blech  in  zwei  halb  so  dicke  Hälften  teilt. 
Bei  dem  regulären  Gold  sind  die  Flächen  des  Blechs  parallel  einer 
Oktaederfläche.  Vielfach  sind  auf  ihnen  die  einzelnen  miteinander  ver- 
wachsenen Individuen  durch  regelmäßige  Dreiecke  und  die  Zwillings- 
stellung  der  oberen  Hälfte  zur  unteren  durch  deren  gegenseitige 
(parallele)  Lage  auf  der  Ober-  und  Unterseite  angedeutet 

Durchkreuzen  sich  die  Strahlen  nach  mehreren  Richtungen,  welche 
nicht  alle  einer  Ebene  angehören,  so  geschieht  dies  entweder,  wie 
z.  B.  beim  gediegenen  Silber,  in  der  Art,  daß  von  einzelnen  Punkten 
eines  Hauptstammes  Seitenäste  unter  90**  oder  60^  ausstrahlen,  von 
welchen  wieder  in  ähnlicher  Weise  kleinere  Zweige  abgehen  können. 
Dies  sind  die  regelmäßig  baumförmigen  Bildungen.  Oder  die  in  drei 
oder  mehr  Raumrichtungen  durcheinander  gewachsenen  Strahlen  bilden 
ein  mehr  oder  weniger  dichtes  räumliches  Maschengewebe,  wie  beim 
Speiskobalt,  Bleiglanz,  Gediegen  Wismuth  etc.  Solche  Bildungen  nennt 
man  gestrickt  oder  GitterhrysiaXle. 

Yerwachsang  ungleichartiger  Krystalle. 

173.  Verwachsung  nngleichartlger  Mineralien.  Zuweilen  verwachsen  auch 
Erystalle  von  yerschiedenen  Substanzen,  deren  Zusammensetzung  und  KrystaUform 
gar  keine  Beziehungen  zueinander  erkennen  lassen,  in  regelmäßiger,  krystallo- 
graphisch  definierbarer  Weise  miteinander,  und  die  häufige  Wiederholung  der  Ver- 
wachsung von  Erystallen  zweier  bestimmter  Substanzen  in  stets  gleicher  Art  zeigt, 
daß  man  es  nicht  mit  einer  zufälligen,  sondern  mit  einer  gesetzmäßigen  Erscheinung 
zu  tun  hat.  Die  Gesetzmäßigkeit  pflegt  darin  zu  bestehen,  daß  die  beiden  Erystalle 
bestimmte  Flächen,  und  in  diesen  bestimmte  Eanten  gemein  haben,  oder  daß  diese 
Eanten  sich  rechtwinklig  kreuzen. 

Ein  Beispiel  hierzu  bildet  der  trikline  langprismatische  Cyanit  und  der  rhom- 
bische, ebeufidls  langsäulenförmige  Staurolith,  Stets  liegt  bei  dieser  Verwachsung 
der  Staurolithkrystall  so  auf  dem  Cyanit,  daß  seine  Flächen  o  (Fig.  17)  mit  der 
Hauptspaltungsfläche  des  letzteren  und  bei  beiden  die  langen  Prismenkanten  paraUel 
sind.  Auf  vielen  rhomboedrischen  EisenglanzkrystaUen  sind  quadratische  Butü' 
hrystaüe  so  aufwachsen,  daß  dieselben  mit  einer  Fläche  des  Prismas  2.  SteUung 
auf  der  Basis  des  Eisenglanzes  liegen,  und  zwar  mit  ihrer  Hauptachse  senkrecht  zu 

14* 


212  Habitus  der  Krystalle. 

den  Kanten  dieser  Basis  gegen  die  flächen  des  nächsten  stumpferen  Bhomboeders. 
Ähnliche  gesetzmäßige  Verwachsungen  zeigen  noch  Quarz  und  Kalkspat,  Fahlerz 
und  Kupferkies  etc.  (Sadebeck,  Angew.  Krystallographie  1876  pag.  244  ff.)  Eine 
andere  gesetzmäßige  Verwachsung  ungleichartig  zusammengesetzter  Krystalle  ist 
die  isomorphe  Fortwachsung  (288). 


F.   Beschaffenheit  und  Ausbildung  der  Krystalle. 

Wir  betrachten  hier  die  allgemeinen  Verhältnisse  der  Krystallformen ,  der 
KrystaLlf ächen  und  der  inneren  Beschaffenheit  der  Krystalle  namentlich  in  ihrer 
Abweichung  von  dem  oben  Torausgesetzten  idealen  Zustande,  sowie  die  Art  und 
Weise  des  Auftretens  der  Mineralien  in  der  Natur  und  der  dadurch  bedingten  Aus- 
bildung der  Krystalle. 

174.  Habitns.  Die  Krystalle  haben  nur  selten  ihre  ideale  Form 
(24).  Die  meisten  weichen  infolge  der  verschiedenen  Größe  gleich- 
artiger Flächen  hiervon  mehr  oder  weniger  stark  ab;  sie  sind  ver- 
zerrt. 

Durch  die  besondere  Art  der  Ausbildung  der  Krystallflächen 
nach  relativer  Größe  und  Gestalt  wird  ganz  allgemein  der  Habitus 
der  Krystalle  hervorgebracht,  wobei  aber  allerdings  auch  oft  Zwillings- 
bildung und  anderes  eine  EoUe  spielen.  Der  Habitus  ist  eine  niclit 
ganz  unwichtige  Eigenschaft.  Er  ist  mehr  oder  weniger  von  der  Art 
der  Entstehung  der  Krystalle  abhängig  und  kehrt  daher  bei  ein  und 
demselben  Mineral  unter  den  gleichen  Bildungsumständen  vielfach  in 
tibereinstimmender  Weise  wieder,  während  unter  abweichenden  Be- 
dingungen ein  anderer  Habitus  zur  Entwicklung  gelangt.  Bei  der 
Beschreibung  des  Habitus  werden  leicht  verständliche  Ausdrücke  be- 
nutzt, wie:  prismatisch  oder  säulig,  nadeiförmig,  spießig  und  haar- 
förmig;  plattig  oder  taflig,  blättchenförmig,  pyramidenförmig  etc. 
Eine  und  dieselbe  Krystallform  kann,  wie  wir  schon  oben  bei  der 
Betrachtung  der  hexagonalen  und  quadratischen  Formen  gesehen  haben, 
sehr  verschiedenen  Habitus  zeigen.  Ein  hexagonales  Prisma  mit  der 
Basis  kann  säulig,  nadel-  oder  haarför'mig,  taflig  oder  blättchenförmig 
ausgebildet  sein,  je  nachdem  die  Prismen  dick  oder  dünn  und  die  Basis- 
flächen weit  voneinander  entfernt  sind,  oder  einander  nahe  liegen.  — 
Ein  quadratisches  Oktaeder  mit  der  Basis  zeigt  pyi^amidenförmigen 
Habitus,  wenn  die  Endecken  nur  wenig,  dagegen  taf  ligen  oder  blättchen- 
förmigen  Habitus,  wenn  sie  stark  bis  sehr  stark  abgestumpft  sind,  so 
daß  von  den  Pyramidenflächen  schließlich  nur  äußerst  schmale  Streifen 
übrig  bleiben.    Ähnliche  Verschiedenheiten  in  der  Ausbildung  können 


Beschaffenheit  der  Erystallfi&cheiL  213 

bei  anderen  Erystallformen  vorkommen.  Umgekehrt  kann  aber  auch 
derselbe  Habitus  bei  der  verschiedenartigsten,  krystallographischen 
Begrenzung  wiederkehren.  Eine  Nadel  kann  ein  hezagonales,  quadra- 
tisches oder  ein  anderes  Prisma  von  langer  und  dunner  Gestalt^  eine 
Tafel  eine  hexagonale  oder  quadratische  Pyramide  oder  irgend  ein 
Prisma  mit  nahe  beieinander  liegenden  Basisflächen  darstellen  etc. 
Wenn  man  Erystalle  als  Nädelchen,  Täfelchen,  Blättchen  etc.  be- 
schreibt, so  ist  das  vollkommen  unbestimmt.  Es  wird  damit  nur  etwas 
über  den  verhältnismäßig  gleichgültigen  Habitus,  aber  nichts  über  die 
sehr  viel  wichtigere  eigentliche  Krystallform  ausgesagt  Eine  und 
dieselbe  Substanz  kann  unter  gewissen  Umständen  Nädelchen,  unter 
anderen  Umständen  Blättchen  bilden  und  doch  jedesmal  krystallogra* 
phisch  genau  dieselbe  Begrenzung  haben. 

Durch  die  verschiedene  Ausbildung  gleicher  Flächen  bei  der  Ver- 
zerrung wird  eine  ganz  andere  Symmetrie,  und  zwar  eine  niedrigere 
nachgeahmt,  als  sie  dem  Krystall  eigentlich  zukommt  Umgekehrt 
kann  durch  das  Gleichwerden  der  Form  krystallographisch  ungleicher 
Flächen  die  Symmetrie  scheinbar  erhöht  werden.  Ein  Würfel  kann 
scheinbar  quadratisch  und  rhombisch  werden,  wenn  die  Parallelflächen 
verschiedene  Entfernung  voneinander  haben.  Ein  reguläres  Oktaeder, 
bei  dem  zwei  gegenüberliegende  Flächen  nahe  zusammen  oder  weit 
auseinander  rücken,  bildet  ein  scheinbares  Bhomboeder  mit  der  Basis. 
Granatoeder  geben,  in  der  Richtung  einer  vierzähligen  Sjrmmetrie- 
achse  verkürzt  oder  verlängert,  eine  scheinbar  quadratische,  in  der 
Richtung  einer  dreizähligen  Symmetrieachse  verkürzt  oder  verlängert 
eine  scheinbar  rhomboedrische  Kombination  etc.  Ein  Würfel  kann 
daher  regulären,  quadratischen  oder  rhombischen,  ein  Oktaeder  regu- 
lären oder  rhomboedrischen,  ein  Granatoeder  regulären,  quadratischen 
oder  rhomboedrischen,  alle  auch  u.  a.  einen  ganz  unregelmäßigen  Habitus 
annehmen  etc.  Die  in  der  Idealform  gleichen  Winkel  und  die  Flächen- 
beschaffenheit bleiben  dabei  jedoch  selbstverständlich  immer  dieselben, 
so  daß  man  daran,  auch  bei  Verzerrung  zu  ganz  symmetrielosen 
Formen,  die  richtigen  Symmetrieverhältnisse  zu  erkennen  vermag, 
wenn  schon  oft  nur  durch  eingehendes  und  mühevolles  goniometrisches 
Studium. 

Einen  gewissen  Einfloß  anf  den  Habitos  der  ErystaUe  hat  auch  das  Euweilen 
zn  beobachtende  yoUkommen  gesetzlose  Fehlen  einzelner  von  den  der  Symmetrie 
nach  eigentlich  za  erwartenden  Flächen.  Anch  diese  Erscheinung  wird  zuweilen 
Meroedrie  genannt  (63). 

175.  Krystallflachen.  Die  Krystallflächen  sind,  wie  schon  oben 
erwähnt  wurde  (8),  kaum  jemals  vollkommen  eben  und  glatt.  Am 
meisten  ist  dies  noch  bei  kleinen  aufgewachsenen  Krystallen  der  Fall, 
welche  daher  auch  zu  goniometrischen  Messungen  am  geeignetsten  sind. 


214  Beschaffenheit  der  Krystallflächen. 

Abweichungen  von  der  Ebenheit,  also  krumme  Flächen  und  da- 
mit auch  krumme  Kanten,  kommen  nicht  so  gar  häufig  vor;  die  ge- 
krümmten Flächen  sind  meist  konvex,  seltener  konkay.  So  ist  es 
beim  Diamant,  der  fast  ausschließlich  krumme  Begrenzungsflächen  hat ; 
nur  die  an  ihm  vorkommenden  Oktaederflächen  sind  stets  eben.  We- 
niger häufig  finden  sich  krumme  konvexe  Flächen  an  Gypskrystallen, 
die  zuweilen  linsenförmig  gerundet  aussehen.  Eigentümlich  sind  die 
sog.  geflossenen  Krystalle,  deren  Flächen  und  Kanten  so  abgerundet 
sind,  wie  wenn  sie  eine  oberfiächliche  Schmelzung  erlitten  hätten  (was 
aber  nicht  immer  der  Fall  ist);  so  bei  manchen  Krystallen  des  Apatit, 
des  Augit^  der  Hornblende,  des  Bleiglanzes  etc.  Namentlich  die  in 
Eontaktzonen  (302)  im  kömigen  Kalk  eingewachsenen  Krystalle  zeigen 
häufig  diese  Erscheinung. 

Vielfach  ist  die  Flächenkrümmung  nur  eine  scheinbare;  die 
Flächen  sind  aus  einer  größeren  Anzahl  von  kleinen  ebenen  Flächen- 
elementen zusammengesetzt,  welche  annähernd  aber  nicht  ganz  voll- 
kommen in  ein  Niveau  fallen.  Dies  ist  einmal  der  Fall,  wenn  eine 
größere  Anzahl  von  kleinen  ebenflächigen  Krystallen  in  nicht  voll- 
kommen paralleler  (hypoparalleler)  Stellung  miteinander  verwachsen. 
So  entstehen  z.  B.  die  krummen  Flächen  der  sattelförmigen  Braun- 
spatkrystalle  (Fig.  265),  ebenso  diejenigen  des  kugeligen  Prehnits,  des 
garbenförmigen  Desmins  (Fig.  256)  und  mancher  Bergkrystalle.  In 
anderer  Weise  wird  die  scheinbare  BjrümmuDg  dadurch  hervorgebracht, 
daß  an  völlig  einheitlich  gebauten  Krystallen  in  einer  Zone  zahlreiche 
sehr  schmale  Flächen  auftreten,  welche  zusammen  den  Eindruck  einer 
kontinuierlichen  cylinderförmigen  Krümmung  hervorbringen,  z.  B.  beim 
hexagonalen  Beryll  (116),  beim  quadratischen  Vesuvian  (134). 

Abweichungen  von  der  vollkommenen  Glätte  bei  in  ihrer  Haupt- 
erstreckung  ebenen  Flächen,  d.  h.  das  Auftreten  kleiner  Rauhigkeiten 
auf  in  der  Hauptsache  ebenen  Flächen  ist  häufiger,  als  die  Krümmung. 
Nach  der  speziellen  Beschaffenheit  unterscheidet  man :  Drüsige  Flächen, 
viele  kleine  von  anders  gerichteten  Flächen  begrenzte  Krystallecken 
sitzen  auf  den  Flächen  auf.  Solche  drusige  Flächen  sind  z.  B. 
die  Flächen  der  aus  parallelen  Würfelchen  verwachsenen  okta- 
edrischen  FlußspatkrystaUe  (Fig.  254).  Bei  rauhen  Flächen  sind 
diese  kleinen  Erhabenheiten  scharfkantig  und  eckig,  aber  unregelmäßig 
begrenzt.  Diese  Unregelmäßigkeiten  sind  vielfach  sehr  fein  und  dann 
die  Flächen  stets  matt.  Kömige  Flächen  sind  von  kleinen  rundlichen 
Erhabenheiten  bedeckt.  Manche  Flächen  tragen  wenige  regelmäßig 
gestaltete  größere  Erhabenheiten ;  so  die  Dihexaederfiächen  des  Quarzes 
vielfach  flache  gerundet  dreiseitige  Schuppen  {schuppige  Flächen)  etc. 
Auf  manchen  Flächen  sitzen  in  großer  Zahl  und  dicht  nebeneinander 
kleine  sehr  niedrige  Pyramiden,  begrenzt  von  Seitenflächen,  welche  von 


Beschaffenheit  der  KrystaUfiächen.  215 

jenen  Flächen  nur  um  sehr  kleine  Winkel  abweichen  (vizinale  Flächen, 
176),  und  an  den  Ecken  parallel  mit  der  betr.  Fläche  sehr  breit  ab- 
gestumpft. Solche  Flächen  heißen  parkettiert  oder  facettiert;  sie  finden 
sich  am  Zinnstein,  Vesuvian  etc. 

Besonders  hänfig  bemerkt  man  auf  den  Erystallflächen  eine  mehr 
oder  weniger  regelmäßige  Streifung  oder  Biefung,     Sie  ist  teils  fein, 
teils  dick  und  grob,  geradlinig  oder  auch  wohl  gebogen  und  krumm, 
und  verläuft  auf  den  Flächen  meist  in  einer  ganz  bestimmten  Sich- 
tung, so  z.  B.  auf  den  Würfelflächen  des  Schwefelkieses  parallel  den 
Wurfelkanten,  auf  den  Prismenflächen  des  Quarzes  senkrecht  zu  den 
Prismenkanten  und  parallel  den  Kanten  zu  den  Rhomboederflächen  etc. 
Seltener  ist  es,  daß  auf  einer  Fläche  in  mehreren  Richtungen  Streifen 
gehen,  die  sich  dann  aber  meist  nicht  schneiden,  sondern  längs  einer 
geraden  Linie  zusammenstoßen  und  eine  federartige  Streifung  bilden. 
Diese  findet  sich  vorzugsweise  bei  Zwillingen  (160),  aber  auch  bei 
einfachen  Erystallen  (Glimmer,  Chabasit).    Die  Streifen  sind  oft  durch . 
auf  den  Flächen  aufsitzende,  feine,  langgezogene  Erhabenheiten  ge- 
bildet, besonders  die  nicht  ganz  geradlinige  Streifung.    Nicht  selten 
entsteht  die  Streifung  aber  auch  dadurch,  daß  zwei  Flächen  vielfach 
wiederholt  treppenförmig  (oscillatorisch)  miteinander  abwechseln,   so 
z.  B.  beim  Quarz    die  Prismenfiächen    und    die   darüber  liegenden 
Rhomboederflächen.    Je  niederer  und  kleiner  die  Treppen  sind,  desto 
feiner   die  Streifung,  die  nach  ihrer  Entstehung  als  Kombinations' 
streifung  bezeichnet  wird.     Diese  treppenförmige  Abwechslung  von 
Flächen  bringt  zuweilen  stark  gestreifte  Scheinflächen  hervor.    So 
findet  man   die  Schiefendflächen  P  und   x   an    manchen  Feldspat- 
krystallen   (Adular)     derart    miteinander    oscillatorisch  vielfach  ab- 
wechselnd,   daß   aUe  dadurch   entstehenden  Kanten   in   eine  Ebene 
fallen,   welche  dann   als   eine   scheinbare,    in   der  Richtung   dieser 
Kanten  stark  gestreifte  Fläche  an  dem  Krystall  sich  darstellt. 

Aber  nicht  nur  durch  Erhabenheiten  wird  die  Glätte  und  Eben- 
heit der  Krystallflächen  gestört,  sondern  auch  durch  Vertieftmgen,  In 
viele  Flächen  sind  kleine  mehr  oder  weniger  regelmäßige  Vertiefungen 
eingesenkt,  zuweilen  von  ganz  ebenen  kleinen  Flächenelementen  be- 
grenzt, die  sich  in  scharfen  nach  innen  gerichteten  Kanten  und  Ecken 
schneiden  und  die  ganz  bestimmten  Krystallflächen  parallel  gehen. 
Zuweilen  werden  diese  Vertiefungen  aber  auch  von  ganz  unregel- 
mäßigen Flächen  gebildet,  besonders  wenn  sie  größer  sind.  Es  sind 
dies  wahrscheinlich  zum  Teil  nicht  ursprüngliche  Unregelmäßig- 
keiten, sondern  sie  sind  durch  die  korrodierende  Tätigkeit  des 
Wassers  und  anderer  Agentien  später  eingeätzt,  es  sind  natürliche 
Ätzfiguren  (200).  Sind  die  Vertiefungen  der  Flächen  zahlreich, 
groß,    unregelmäßig,    scharfkantig    und    eckig,    wenn    auch    nicht 


216  Vudnale  Flächen.    Erystallskelette. 

gerade  ebenflächig  begrenzt,  so  heißt  die  Fläche  eerfressen  (zerfressene 
Krystalle). 

Eine  eigentümliche  Art  von  Rauhigkeit  zeigen  die  Krystalle 
mancher  Mineralien  dadurch,  daß  ihre  Flächen  mit  oft  staubförmig 
feinen  Teilchen  einer  fremden  Substanz  bedeckt  sind.  Dabei  herrscht 
nicht  selten  die  Gesetzmäßigkeit,  daß  auch  hierin  die  gleichwertigen 
Flächen  eines  Erystalls  sich  gleich  und  von  den  anderen  verschieden 
verhalten.  Manche  Flächen  sind  in  dieser  Weise  bestäubt,  andere  an 
demselben  Erystall  nicht.  So  sind  an  zahlreichen  Erystallen  des 
alpinen  Adulars  (vgl.  Fig.  496)  die  Flächen  des  Klinopinakoids  M 
und  des  Prismas  z  mit  grünem  Chloritstaub  überzogen,  die  anderen 
Flächen  nicht  etc. 

176.  Tlsinale  Flftehen*  Eine  eigentümliche  Erscheinung,  welche  die  Be- 
sch&tfenheit  der  Erystallflächen  vieler  Mineralien  zuweilen  beeinflaßt,  sind  die  sog. 
vizinalen  Flächen.  Diese  Erscheinung  besteht  darin,  daß  eine  Fläche,  welche  nach 
ihrer  Lage  gegen  die  anderen  Flächen  einen  durch  einfache  Indices  bestimmten 
Ausdruck  zu  haben  scheint,  nach  mehreren  über  sie  hinweggehenden  sehr  stumpfen 
geraden  Kanten  gebrochen  oder  geknickt  ist  und  dadurch  in  eine  Anzahl  von  Flächen- 
stücken zerfällt,  welche  miteinander  und  mit  der  Fläche,  welche  auf  den  ersten 
Blick  allein  vorhanden  zu  sein  scheint,  sehr  stumpfe  Winkel  machen.  Diese  Flächen- 
stücke sind  vizinal  zu  der  großen  scheinbaren  Gesamtfläche,  der  zuweilen  eine  der 
Facetten  genau  parallel  geht,  zuweilen  auch  nicht.  Diese  Teilflächen  liegen  oft  in  be- 
stimmten Zonen  und  haben  rationale  Indices,  sind  also  echte  ErystaUflächen,  die 
Ausdrücke  sind  aber  sehr  kompliziert.  So  sieht  man  z.  B.  an  Adularkrystallen  häuflg 
die  Prismenflächen  T  durch  solche  stumpfe  Kanten  abgeteilt.  Es  ist  nicht  mehr  die 
Fläche  T  mit  dem  Ausdruck  ooP  (110)  rechts  und  links  von  der  Querfläche  K 

vorhanden,  sondern  in  dem  Fig.  293  als  Beispiel  gezeichneten  Fall 
sind  statt  T  die  diesem  sehr  nahe  liegenden  Flächen  |  =  43 .  42  . 1 ; 
S  =  71 .  70 . 1  etc.  vorhanden.  Eine  dieser  Facetten  ist  auch  genau 
mit  T  paraUel  und  hat  also  den  Ausdruck:  r=110.  Eine  ähn- 
liche Erscheinung  etwas  anderer  Art  ist  mit  dem  Namen  Polyedrie 
Fig.  293.  belegt  worden.  (Websky,  Ztschr.  d.  deutsch,  geol.  Ges.  Bd.  15,  1863, 
pag.  677.    A.  Scacchi,  ibid.  pag.  16.) 

177.  Krystallskelette.  Eine  eigentümliche  Beschaffenheit  nimmt 
oft  die  Oberfläche  der  Krystalle  an,  wenn  beim  Wachstum  derselben 
die  neue  Substanz  sich  vorzugsweise  an  einzelnen  Stellen  anhäuft. 
Geschieht  dies  an  den  Kanten,  so  ist  die  Folge,  daß  die  Flächen  nach 
ihrer  Mitte  hin  vertieft  erscheinen  (Quarz).  Ist  diese  Anhäufung  an 
den  Kanten  so  regelmäßig,  daß  die  Vertiefung  nach  dem  Innern  der 
Flächen  in  ebenflächigen  und  geradlinigen  Treppen  erfolgt,  wie  z.  B. 
nicht  selten  am  Bleiglanz,  dann  heißt  die  Fläche  kastenförmig  vertieft 
Zuweilen  ist  die  Einsenknng  der  Fläche  nur  gering  und  seicht,  zu- 
weilen ist  die  Substanz  des  KrystaUs  so  sehr  an  den  Kanten  koncen- 
triert,  daß  von  den  Flächen  aus  tiefe  Höhlungen  oft  bis  zum  Krystall- 
mittelpunkt  reichen.    Dann  ist  der  Krystall  durch  die  Kanten  ge- 


Krystallschalen.    ZonarstniktiLr.  217 

wissermaßen  nur  im  umriß  angedeutet,  aber  die  Umrisse  sind  nicht 
mit  Masse  ausgefüllt.  Solche  Bildungen  heißen  KrystcdlsMette  (Berg- 
krystall;  Bleiglanz).  Einsenkungen  der  Krystallflächen  werden  übrigens 
auch  zuweilen  durch  teilweise  Wegführung  der  Substanz  aus  dem 
Krystall  hervorgebracht;  so  sind  z.  B.bei  den  in  Malachit  verwandelten 
Krystallen  von  Rotkupfererz  aus  Chessy  bei  Lyon  die  Flächen  in  der 
Mitte  vertieft,  weil  bei  der  Umwandlung  mehr  Substanz  weg-  als  zu- 
geführt wurde,  so  daß  die  entstehende  Verbindung  (der  Malachit)  den 
durch  die  Kanten  des  Rotkupfererzkrystalls  im  Umriß  angegebenen 
Raum  nicht  mehr  völlig  ausfüllen  konnte. 

Häuft  sich  die  Masse  mehr  auf  den  Flächen  an,  so  sind  diese 
in  ihrer  Mitte  erhöht,  und  an  den  Kanten  sind  infolgedessen  die 
Krystalle  vertieft  —  eingekerbte  Kanten  — .  Solche  beobachtet  man 
bei  manchen  Quarzen,  beim  Rotkupfererz,  Gold,  Silber  etc.  (siehe  da- 
gegen die  infolge  von  Zwillingsbildung  eingekerbten  Kanten  des 
Diamaut). 

178.  Krystallschalen.  Sehr  verbreitet  ist  der  schalige  Aufbau 
vieler  Krystalle,  der  die  Folge  der  allmählichen,  z.  T.  sogar  einer 
intermittierenden  Bildung  ist.  Häufig  ist  nur  der  Kern  von  der 
Hülle  verschieden,  wie  bei  den  amerikanischen  Turmalinen,  wo  eine 
äußere  grüne  Schicht  eine  innere  rote  Partie  umgibt  Oft  liegen 
aber  auch  einzelne  dünnere  Schichten  parallel  der  äußeren  poly- 
edrischen  Umgrenzung  in  größerer  Anzahl  übereinander.  Diese 
hängen  meist  fest  zusammen,  sie  treten  aber  auf  dem  Bruch  der 
Krystalle  deutlich  hervor,  wenn  sie  kleine  Unterschiede  im  Aussehen, 
also  in  Farbe,  Durchsichtigkeit  etc.  erkennen  lassen  (ZonarstruUur). 
So  ist  es  z.  B.  bei  den  Krystallen  des  gemeinen  Quarzes,  die  häufig 
aus  einer  sehr  großen  Zahl  solcher  dünnen  Lagen  aufgebaut  sind 
Bei  manchen  Mineralien  tritt  die  Schichtenbildung  erst  bei  der  Ver- 
witterung deutlich  hervor  oder  bei  künstlichem  Anätzen  der  Brnch- 
flächen.  Bei  manchen  anderen  Krystallen  sind  die  Schichten  nament- 
lich in  der  Farbe  so  verschieden,  daß  sie  auf  den  ersten  Blick  und 
mit  größter  Deutlichkeit  ins  Auge  fallen,  so  bei  manchen  Amethysten, 
in  denen  vielfach  einzelne  Lagen  weißen  Quarzes  parallel  mit  den 
äußeren  E[rystallflächen  eingeschaltet  sind.  Manchmal  trägt  ein 
Kemkrystall  nur  Ecken  desselben  Minerals  von  anderer  Farbe,  z.  B. 
gibt  es  violette  Würfel  von  Flußspat  mit  weißen  Ecken  etc.  Sehr 
deutlich  tritt  diese  allmähliche  Bildung  der  Krystalle  hervor,  wenn 
die  Oberfläche  eines  im  Innern  steckenden  Kernes  mit  einer  dünnen 
Schicht  eines  anders  gefärbten  fremden  Minerals  bedeckt  ist.  So  findet 
man  nicht  selten  Bergkrystalle,  in  denen  ein  kleinerer  Bergkrystall- 
kem  steckt,  dessen  Rhomboederflächen  mit  Ghloritstaub  bedeckt  sind. 


218  Sandührstniktiir. 

SO  daß  ein  kleines  grfines,  der  äußeren  Begrenzung  paralleles  Dihexa- 
eder  durch  die  äußere  wasserhelle  Substanz  durchscheint.  Am  deut- 
lichsten wird  aber  der  Aufbau  aus  einzelnen  Schichten,  wenn  diese 
nicht  fest  zusammenhängen,  sondern  nur  lose  übereinander  liegen  und 
sich  voneinander  abheben  lassen,  wie  z.  B.  bei  dem  sog.  Eappenquarz, 
bei  manchen  E[rystaUen  von  Epidot^  Vesuvian,  Wolframit  etc. 

Als  eine  häufige  Erscheinung  zeigt  sich  die  Schalenbildung  (Zonar- 
struktur)  der  Mineralien  unter  dem  Mikroskop.  Die  Leucite,  Feld- 
spate, Granaten,  Augite  etc.  in  den  Gesteinen  erweisen  sich  häufig 
als  aus  einzelnen  dünnen  Schichten  aufgebaut,  welche  sich  koncentrisch 
um  einen  centralen  Kern  herumlagem  und  die  in  ihrer  äußeren  Form 
mehr  oder  weniger  vollkommen  mit  dem  Kern  und  miteinander  über- 
einstimmen. 

Die  Schalenbildung  kommt  dadurch  zu  stände,  daß  bei  der  Ent- 
stehung der  ErystaUe  das  Wachstum  durch  Ablagerung  immer  neuer 
Schichten  auf  der  jeweiligen  Oberfläche  erfolgt  Sind  diese  Schichten 
alle  vollkommen  gleichartig  und  wird  der  Bildungsprozeß  in  keiner 
Weise  gestört  oder  gar  unterbrochen,  dann  sind  sie  einzeln  nicht  be- 
merkbar; derErystall  erscheint  vollkommen  homogen  und  zusammen- 
hängend. Ändert  sich  dagegen  während  des  Prozesses  die  Lösung 
oder  der  Schmelzfluß,  worin  der  Krystall  wächst,  dann  werden  auch 
die  neugebildeten  Schichten  von  den  älteren  Teilen  des  Krystalls  ver- 
schieden sein  können  und  sich  in  Farbe,  Durchsichtigkeit  etc.,  kurz 
im  ganzen  Aussehen  und  z.  T.  auch  in  ihren  physikalischen  Eigen- 
schaften von  der  letzteren  mehr  oder  weniger  deutlich  abheben. 
Tritt  eine  solche  Änderung  nur  einmal  ein,  dann  ist  ein  Kern  von 
einer  davon  abweichenden  Hülle  umgeben.  Geschieht  dies  öfter,  dann 
entspricht  jeder  einzelnen  Änderung  eine  in  ihrer  Beschaffenheit  von 
der  benachbarten  verschiedene  Schicht  und  umgekehrt  Tritt  eine 
Unterbrechung  im  Wachstum  ein,  wächst  der  Krystall  nicht  stetig, 
sondern  intermittierend,  und  bedeckt  sich  dabei  die  Oberfläche  des- 
selben mit  einer  noch  so  dünnen  Schicht  einer  fremden  Substanz,  so 
hängen  die  neugebildeten  Schichten  vielfach  nicht  mehr  fest  an  ihrer 
Unterlage  und  lassen  sich  nun  kappenförmig  von  dem  Kern  abheben. 

179.  Sanduhrstruktnr.  Die  Ablagerung  der  neuen  Substanz  bei 
der  Vergrößerung  eines  Krystalls  geht  von  dessen  Flächen  aus.  Über 
jeder  Fläche  schreitet  das  Wachstum  in  der  erwähnten  Weise  weiter. 
Die  neuen  Schichten  über  jeder  Fläche  werden  immer  größer  und 
ausgedehnter  und  grenzen  in  den  Kanten  und  Ecken  an  die  zu  den 
benachbarten  Flächen  gehörigen  gleichalteu  Schichten.  Der  ganze 
Krystall  kann  so  als  zusammengesetzt  aus  einer  der  Anzahl  seiner 
Flächen  entsprechenden  Zahl  von  Pyramiden  gedacht  werden,  deren 


EiiiBchlttBse. 


219 


Fig.  294. 


Spitzen  im  Krystallmittelpnnkt  liegen,  deren  Basis  die  betr.  Fläche  ist 
und  die  sich  nach  außen  allmählich  immer  mehr  vergrößern  und  er- 
weitem (Fig.  294).  Sie  werden  danach  als  AmoachS' 
Pyramiden  oder  Anwachskegel  bezeichnet.  Wie  die  Krystall- 
flächen  in  ihrer  Beschaffenheit  verschieden  sein  können 
(8),  so  können  u.  U.  auch  die  zu  ihnen  gehörigen  An- 
wachskegel in  ihrer  Beschaffenheit  und  in  ihrem  Aus- 
sehen, besonders  in  der  Färbung,  verschieden  werden. 
Die  sich  gleichzeitig  ablagernden  Schichten  sind  dann 
auch  nicht  mehr  rings  um  den  Erystall  herum  einander 
gleich,  sondern  von  den  anstoßenden  über  den  benach- 
barten Flächen  etwas  verschieden.  Die  Folge  eines 
derartigen  Aufbaues  aus  verschiedenen  Anwachskegeln 
ist  dann  nicht  selten  eine  Struktur  des  Erystalls,  die  sich,  wie 
Fig.  294  deutlich  zeigt,  mit  der  einer  Sanduhr  vergleichen  läßt 
und  die  danach  als  Sanduhrstruktur  bezeichnet  wird.  Sie  kann  beim 
Chiastolith,  bei  manchen  Augiten  und  auch  bei  sonstigen  Mineralien 
beobachtet  werden. 

ISO.  Einschlüsse.  Auch  die  Eigenschaft  der  Homogenität  ist 
bei  den  Krystallen  oft  nur  unvollkommen  ausgebildet.  Dies  zeigt 
schon  der  soeben  betrachtete  schalige  Aufbau  vieler  derselben.  Noch 
größer  ist  jedoch  die  Störung  der  gleichmäßigen  Beschaffenheit  durch 
die  Anwesenheit  fremder  Substanzen  im  Innern  der  Erystalle,  die 
man  als  MnsMüsse  (Interpositionen)  bezeichnet  und  die  beim  Wachs- 
tum der  Erystalle  in  diesen  eingehüllt  wurden.  Sie  können  fest, 
flüssig  oder  gasförmig  sein.  Zwischen  ihnen  ist  die  Substanz  des 
umhüllenden  Erystalls,  des  sog.  Wirts,  vollkommen  homogen,  aber  die 
Homogenität  des  ganzen  Gebildes  wird  durch  ihre  Anwesenheit  mehr 
oder  weniger  beeinträchtigt.  Sie  finden  sich  häufig  nur  vereinzelt, 
oft  sind  sie  aber  auch  in  beträchtlicher  Zahl  vorhanden  und  in  manchen 
Fällen  bilden  sie  sogar  einen  größeren  Teil  des  Ganzen,  als  der  Wirt. 
Sie  sind  entweder  regellos  durch  den  ganzen  Erystall  zerstreut  oder 
auf  einzelne  Stellen  beschränkt.  Häufig  sind  sie  auch  in  einer  ge- 
wissen Gesetzmäßigkeit  in  demselben  angeordnet:  mehr  nach  der  Mitte 
oder  mehr  nach  der  Peripherie  hin  angehäuft,  oder  in  Schichten,  die 
durch  einschlußarme  oder  -freie  Schichten  voneinander  getrennt  sind, 
oder  in  zusammenhängenden  Schwärmen,  die  den  Erystall  durch- 
ziehen etc.  Manchmal  sind  sie  schon  mit  bloßem  Auge  deutlich  zu 
sehen,  sehr  viel  häufiger  sind  sie  jedoch  mikroskopisch  klein  und  nur 
in  bis  zur  Durchsichtigkeit  dünn  geschliffenen  Platten  der  betreffenden 
Mineralien,  sog.  Dünnschliffen,  unter  dem  Mikroskope  erkennbar. 

181.  Feste  Elnschlttsse.  Die  festen  Einschlüsse  sind  teils  amorph, 
teils  krystallisiert     Amorph  sind  sie  hauptsächlich  in  solchen  Mine- 


220  Feste  Einschlüsse. 

ralien,  welche  die  aus  fearigem  Fluß  erstarrten  Lavagesteine  zu- 
sammensetzen und  denen  daher  ebenfalls  eine  derartige  Entstehung 
zuzuschreiben  ist.  Es  ist  hier  glasartig  erstarrte  Gesteinsmasse, 
welche  nicht  Zeit  hatte,  sich  bei  der  Festwerdung  des  Ganzen  in 
Krystallen  auszubilden.  Feldspate,  Leucite,  Quarze  etc.  aus  Basalten, 
Trachyten,  Lipariten,  Felsitporphyren  etc.  zeigen  solche  Einschlüsse, 
nicht  selten  in  mehr  oder  weniger  großer  Zahl.  Die  einzelnen  Ein- 
schlüsse sind  mikroskopisch  klein,  erreichen  aber  auch  zuweilen  eine 
erhebliche  Größe.  Manchmal  haben  sie  die  Gestalt,  welche  die  äußere 
Begrenzung  des  umgebenden  Krystalls  zeigt  (Glaseinschlüsse  von  der 
Form  des  Wirts).  In  diesem  sind  sie  auch  in  einzelnen  Fällen  in 
irgend  einer  regelmäßigen  Weise  eingelagert  z.  B.  in  Zonen  parallel 
mit  der  äußeren  Begrenzung  etc.  Solche  Glaseinschlüsse  sind  sichere 
Beweise  für  die  Erstarrung  der  betr.  Mineralien  und  Gesteine  aus 
dem  Schmelzfluß,  also  für  ihre  vulkanische  Entstehung. 

Häufiger  sind  Einschlüsse  von  Krystallen  in  anderen  Krystallen. 
Die  Formen  der  Einschlüsse  sind  verschieden.  Nicht  selten  sind  es 
lange  Prismen  z.  B.  von  Strahlstein,  oder  Eutil,  oder  Turmalin  etc., 
besonders  im  Bergkrystall,  welche  manchmal  mit  einem  Ende  aus 
diesem  mehr  oder  weniger  weit  hervorragen.  In  anderen  Fällen  sind 
es  dünne  Plättchen  und  Schüppchen,  wie  z.  B.  die  Eisenglanz-  oder 
Goethitschuppen  in  dem  Oligoklas  (sog.  Sonnenstein)  von  Tvedestrand 
in  Norwegen,  in  welchem  alle  diese  Schüppchen  parallel  mit  der 
Hauptspaltungsfläche  des  Oligoklas  eingewachsen  sind.  Auch  im 
Camallit  findet  man  solche  dünnen  roten  Schüppchen.  Kömchen  von 
Magneteisen,  Quarz  etc.  trifft  man  in  vielen  Mineralien, 

Sind  die  eingeschlossenen  Kryställchen  sehr  klein  und  nur  noch 
unter  dem  Mikroskop  erkennbar,  so  nennt  man  sie  Mihrolithen,  Man 
spricht  so  von  Augit-,  Nephelin-  etc.  Mikrolithen,  doch  sind  diese 
kleinen  Gebilde  oft  ihrer  mineralogischen  Natur  nach  nicht  sicher  be- 
stimmbar. Auch  die  Mikrolithen  sind  zuweilen  in  regelmäßiger  Weise 
in  den  Krystallen  eingewachsen,  so  z.  B.  die  Eisenglanzschuppen  in 
dem  oben  erwähnten  Sonnenstein,  Magneteisenkörnchen  in  Flächen 
parallel  mit  den  Kry stallflächen  des  einschließenden  Leucits;  in  manchen 
Glimmern  findet  man  in  drei  unter  60®  gegeneinander  geneigten 
Kichtungen  parallel  den  Hauptblätterbrüchen  sehr  dünne  Nädelchen 
eines  anderen  Minerals  in  zahlloser  Menge  eingelagert,  welche  den 
Asterismus  (264)  dieser  Glimmer  hervorbringen  etc.  Nicht  ungewöhn- 
lich ist  eine  Verteilung  in  einzelnen  Schichten,  die  durch  einschluß- 
freie, reine  Schichten  voneinander  getrennt  sind. 

Die  Zahl  der  eingeschlossenen  Kryställchen  ist  manchmal  gering, 
manchmal  sehr  groß,  so  daß  nicht  selten  der  ganze  an  sich  farblose 
und  durchsichtige  Wirt  von  ihnen  scheinbar  gleichmäßig  getrübt  und 


Flüssigkeitseinschlfisse.  221 

gefärbt  erscheint.  So  ist  der  schon  erwähnte  Gamallit  durch  die 
Eisenglanz-  oder  Goethiteinschlüsse  rot,  der  Sonnenstein  erhält  dnrch 
diese  Schüppchen  einen  eigentümlichen  rötlichen  Lichtschein,  mancher 
Bergkrystall  wird  durch  Einschluß  massenhafter  staubartiger  Chlorit- 
partikelchen  dunkelgrün;  ebenso  wird  mancher  Quarz  grün  durch 
Strahlsteinnädelchen  etc.  Ist  aber  die  Zahl  der  Einschlüsse  auch  oft 
sehr  groß,  so  ist  wegen  der  äußersten  Kleinheit  oder  Dünne  derselben 
ihre  Masse  doch  gering.  So  beträgt  z.  B.  im  Sonnenstein  der  Oehalt 
an  Fe^O^  nur  ca,  ^U^U^  trotzdem  die  Eisenoxydschüppchen  so  zahl- 
reich eingewachsen  sind,  daß  sie  den  roten  Schiller  in  dem  Mineral 
erzeugen  können,  aber  diese  Plättchen  sind  eben  äußerst  dünn.  Viel- 
fach ist  die  Masse  der  Einschlüsse  allerdings  größer,  am  größten 
wohl  bei  dem  sog.  krystallisierten  Sandstein  von  Fontainebleau :  Kalk- 
spatkrystalle  mit  eingeschlossenen  Sandkörnern,  welche  ca.  -/b  ^^^ 
ganzen  Masse  der  Krystalle  ausmachen ;  ähnlich  die  zu  rosenähnlichen 
Gruppen  verbundenen  Schwerspatkrystalle  von  Eockenberg  bei  Butz- 
bach in  Oberhessen. 

(Söchting,  Seyffert,  Leonhard  und  Blum,  Einschlüsse  von  Mineralien  in  krystaUi- 
sierten  Mineralien.  Haarlem  1854.  Yergl.  auch  die  in  (3)  angeführten  Werke  über 
die  mikroskop.  Verhältnisse  der  Mineralien,  bes.  von  y.  Lasanlx,  Rosenbusch  and 
Zirkel,  auch  in  Bezug  auf  den  nächsten  Abschnitt.) 

182.  Flttssigkeltselnschlüsse.  Man  findet  in  den  Mineralien 
vielfach  Hohlräume,  welche  selten  ganz,  meist  nur  teilweise  mit  einer 
Flüssigkeit  erfüllt  sind.  Namentlich  in  mikroskopischer  Kleinheit  sind 
solche  Einschlüsse  sehr  häufig,  besonders  im  Quarz,  Olivin  und  noch 
in  vielen  anderen  Mineralien.  Sie  finden  sich  teils  einzeln,  teils  in 
größerer  Zahl  nebeneinander,  vielfach  gleichmäßig  durch  den  Wirt 
zerstreut,  oder  stellenweise  angehäuft,  oder  in  zusammenhängenden 
Zügen  oder  Schwärmen  gruppiert,  endlich  auch  ganz  unregelmäßig 
verteilt.  Indessen  sind  solche  Einschlüsse  von  makroskopischen 
Größen,  die  mit  bloßem  Auge  beobachtet  werden  können,  gleichfalls 
nicht  selten,  so  z.  B.  im  Quarz  von  Poretta  bei  Bologna,  in  manchen 
Steinsalzkrystallen  und  anderen  aus  wäßriger  Lösung  gebildeten 
Mineralien.  Am  größten  sind  die  Flüssigkeitseinschlüsse  wohl  beim 
sog.  EnhydroSj  einem  Ghalcedon,  der  als  dünne  Hülle  linsenförmig 
rundliche  halb  mit  Flüssigkeit  erfüllte  Hohlräume,  oft  von  mehreren 
Eubikcentimetem  Inhalt,  umschließt.  Sind  solche  Hohlräume  nicht 
ganz  mit  der  Flüssigkeit  erfüllt ,  so  steht  in  ihnen  an  der  höchsten 
Stelle  eine  Luft-  oder  Gasblase,  die  sich  beim  Neigen  des  Stückes 
hin-  und  herbewegt,  eine  sog.  Libelle,  An  dieser  wird  die  flüssige 
Natur  eines  solchen  Einsclüusses  oft  am  sichersten  erkannt.  Dies 
ist  auch  unter  dem  Mikroskop  möglich,  wo  man  die  Libellen  häufig 
ohne  erkennbaren  äußeren  Anlaß  lebhaft  hin  und  her  zittern  und 


222  Gasförmige  Einschlttsse. 

schwanken  sieht.  Die  Flussigkeitseinschlflsse  sind  oft  von  einfach 
rundlicher  Form,  nicht  selten  aber  auf  das  komplizierteste  nach  allen 
Richtangen  verästelt  und  schlauchförmig  verzweigt.  Gar  nicht  un- 
gewöhnlich sind  sie  aber  auch  von  regelmäßig  ebenen  Flächen  parallel 
der  äußeren  Begrenzung  des  Wirts  begrenzt;  auch  sie  haben  nicht 
selten  die  Form  des  Wirts,  wie  z.  B.  in  manchen  Quarzen,  besonders 
schön  in  manchen  Steinsalzkrystallen  etc.  Die  eingeschlossene  Flüssig- 
keit ist  von  verschiedener  Natur,  bald  fast  reines  Wasser,  bald  NaCl- 
Lösung,  bald  flüssige  Kohlensäure  etc.  Meist  hat  sie  die  Beschaifen- 
heit  der  nach  der  Ausbildung  der  Erystalle  übrig  gebliebenen  Mutter- 
lauge. 

183.  Gasförmige  Elnschlfisse.  Neben  den  Flüssigkeitseinschlüssen, 
vielfach  aber  auch  ganz  anabhängig  und  getrennt  von  ihnen  trifft 
man  leere  Einschlüsse,  d.  h.  solche,  die  nur  von  einem  Gas  oder  einem 
Dampf  erfüllt  sind.  Derartige  Einschlüsse  werden  daher  auch  wohl 
Gasporen  oder  Dampfporen  genannt.  Ihre  Form  ist  meist  rundlich, 
gewöhnlich  einfach,  selten  kompliziert  verzweigt  und  verästelt  wie 
bei  den  Flüssigkeitseinschlüssen.  Nicht  ungewöhnlich  haben  auch 
sie  die  Form  des  Wirts,  wie  z.  B.  in  den  Bergkrystallen  von  Middle- 
ville,  New  York,  wo  sie  bis  3  mm  groß  werden.  Sie  bilden  dann  die 
sog.  negativen  Krystalle,  von  denen  man  aber  in  derselben  Weise 
auch  bei  Flüssigkeitseinschlüsaen  von  der  Form  des  Wirts  spricht. 
Außer  im  Quarz  sind  solche  leere  negative  Erystalle  ganz  besonders 
auch  im  Gips,  im  Topas  und  im  Eis  beobachtet  worden.  Wie  die 
Flüssigkeitseinschlüsse,  so  sind  auch  die  Dampfporen  meist  mikro- 
skopisch klein,  nicht  selten  aber  auch  mit  bloßem  Auge  zu  sehen; 
wie  diese  sind  auch  sie,  bald  einzeln,  bald  reichlicher  und  in  ähn- 
licher Verteilung  vorhanden.  Es  ist  meistens  Wasserdampf,  Kohlen- 
wasserstoff, Kohlensäure,  Stickstoff  und  Sauerstoff.  Manchmal  sind 
diese  Gase  unter  einem  höheren  Druck  in  den  Hohlräumen  ein- 
geschlossen, wie  dies  das  sog.  Knistersalz  von  Wieliczka  zeigt.  Dies 
ist  ein  Steinsalz  mit  zahlreichen  Einschlüssen  von  Sumpfgas  und  Stick- 
stoff. Bringt  man  davon  ein  Stück  ins  Wasser,  dann  werden  die 
Hüllen,  welche  die  Einschlüsse  umgeben,  von  diesem  aufgelöst  und 
daher  immer  dünner,  bis  das  hochgespannte  Gas  die  einschließenden 
Wände  des  Steinsalzes,  unter  Erregung  deutlicher  Töne  sprengt  Bei 
dem  ganzen  Lösungsprozeß  hört  man  daher  fortdauernd  ein  knisterndes 
Geräusch  und  sieht  gleichzeitig  Gasblasen  in  großer  Menge  aufsteigen 
und  entweichen. 

184.  Ansbildung  der  Krystalle.  Die  in  der  Natur  vorkommenden 
Krystalle  finden  sich  in  zweierlei  Weise  ausgebildet:  einmal  ringsum 
mit  allen  von  der  Symmetiie  erforderten  Flächen  ausgestattet^  sodann 


Eing^ewachsene  ErystaUe.  223 

an  einer  Stelle  mehr  oder  weniger  verkflmmert  oder  verstümmelt. 
Dies  hängt  auf  das  Engste  mit  der  Art  nnd  Weise  des  Vorkommens 
nnd  der  Bildung  der  Krystalle  zusammen.  Bingsum  vollständig  aus- 
gebildet sind  diese,  wenn  sie  sich  in  einer  weichen  und  nachgiebigen 
Umgebung  schwebend  oder  schwimmend  entwickelt  haben,  in  der  sie 
später  nach  Festwerdnng  des  Ganzen  eingebettet  liegen  (eingewachsene 
KfTfstaUe).  Unvollständig  sind  sie,  wenn  sie  im  freien  Raum  auf  einer 
Unterlage  sitzend  entstanden  sind,  von  der  aus  sie  mit  ihrem  freien 
Ende  in  diesen  leeren  Raum  hineinragen  (aufgewachsene  Krystalle), 
Manche  Mineralien  finden  sich  nur  eingewachsen  (Boracit);  manche 
nur  aufgewachsen  (Kalkspat);  manche  andere  endlich,  und  zwar  die 
meisten,  bald  in  der  einen,  bald  in  der  anderen  Weise,  je  nach  der 
speziellen  Art  ihrer  Entstehung. 

185.  Eingewachsene  Krystalle.  Die  eingewachsenen  Krystalle 
finden  sich  zum  Teil  nur  vereinzelt  in  der  sie  umgebenden  Masse 
(Grundmasse,  Muttergestein),  zum  Teil  sind  sie  darin  in  größerer  Zahl 
vorhanden;  man  nennt  dies  dann  auch  wohl  eingesprengt.  Sind  sehr 
viele  kleine  KrystäUchen  (oder  derbe  Kömchen)  eines  Minerals  in 
einem  anderen  Mineral  oder  in  einem  Gesteine  eingesprengt,  so  sagt 
man,  das  letztere  Mineral  oder  Gestein  sei  mit  dem  ersteren  Mineral 
imprägniert.  Eingewachsene  Krystalle,  wie  z.  B.  Feldspat  und  Quarz 
im  Porphyr,  Granat  im  Glimmerschiefer,  Magneteisen  im  Chlorit- 
schiefer,  Schwefelkies  im  Tonschiefer  etc.  sind  rundum  vollkommen 
ausgdnldet,  zu  jeder  Fläche,  Kante  und  Ecke  ist  das  parallele  Gegen- 
stück vorhanden,  aber  die  Flächen  sind  infolge  der  innigen  Berührung 
mit  der  Umgebung  meist  matt,  sogar  rauh.  Diese  Krystalle  müssen 
sich  in  einer  nachgiebigen  Masse  (meist  ist  es  ein  Schmelzfluß) 
schwimmend  oder  schwebend  gebildet  haben,  sonst  hätten  sie  sich 
nicht  nach  allen  Richtungen  hin  in  der  Hauptsache  ungehindert  ent- 
wickeln können. 

Die  eingewachsenen  Krystalle  liegen  entweder  getrennt  und  ohne 
Znsammenhang  in  der  Grundmasse,  wie  z.  B.  der  Granat  im  Glimmer- 
schiefer etc.,  oder  sie  sind  zu  mehreren  miteinander  verwachsen.  Der- 
artige aus  mehreren  Krystallen  bestehende,  in  einer  Grundmasse  ein- 
gelagerte Zusammenhäufungen  nennt  msn  KrystaUgruppen-^  sie  können 
die  verschiedenartigste  Gestalt  haben,  sind  aber  meist  kugel-  oder 
knollenförmig.  Solche  Gruppen  bildet  z.  B.  der  Gips  im  Ton,  die 
Kupferlasur  von  Chessy  ebenfalls  im  Ton  etc.  Mehr  oder  weniger 
zahlreiche  Krystallspitzen,  jede  einem  der  zusammengewachsenen  Indi- 
viduen angehörig,  ragen  an  ihrer  Oberfläche  weiter  oder  weniger  weit 
hervor.  Werden  diese  Individuen  kleiner,  resp.  die  polyedrische  Be- 
grenzung der  aus  der  Oberfläche  der  Gruppe  herausragenden  Krystall- 


224  Aufgewachsene  Erystalle. 

spitzen  anregelmäßig,  unyoUkomnien  and  nndeatlich,  so  nähern  sich 
die  Grappen  immer  mehr  krystallinischen  Aggregaten  mit  randlicher 
Oberfläche  (187). 

186.  Anfgewachsene  Krystalle.  Die  aufgewachsenen  Erystalle 
sitzen  an  dem  einen  Ende  mit  einer  mehr  oder  weniger  aasgedehnten 
Fläche,  der  Ansatzstelle,  aaf  der  Unterlage  anf  und  ragen  mit  dem 
anderen  Ende  frei  in  einen  Hohlraam  hinein.  Die  Ansatzstelle  ist 
oft  nnr  klein,  manchmal  aber  anch  sehr  aasgedehnt  Nimmt  man 
einen  solchen  Krystall  von  der  Unterlage  ab,  so  ist  er  an  der  Ansatz- 
stelle unvollständig  ausgeMdet,  da  hier  sich  natürlich  keine  Flächen 
entwickeln  konnten.  Man  kann  aber,  wie  wir  schon  gesehen  haben, 
ein  solches  Krystallbruchstück  nach  den  Gesetzen  der  Symmetrie  und 
des  Flächenparallelismas  meist  leicht  ergänzen  (8).  Die  Flächen  der 
anfgewachsenen  KiystaUe  sind  meist  glatt  und  glänzend  und  daher 
zur  krystallographischen  Untersuchung  mit  dem  Goniometer  besonders 
geeignet,  trotz  ihrer  UnvoUständigkeit. 

Selten  sieht  man  einen  einzelnen  Krystall  aufgewachsen,  meist 
sind  mehrere  vereinigt  und  bilden  eine  Drtise  (Krystalldruse,  z.  B. 
Kalkspat-,  Bleiglanz-  etc.  Druse).  Wenn  die  Krystalle  der  Druse  sehr 
klein  sind  und  gi'ößere  Flächen  der  Unterlage  bedecken,  so  spricht 
man  wohl  von  einem  Rasen.  Die  einzelnen  Krystalle  einer  solchen 
Druse  sind  meist  ganz  regellos  gegeneinander  gestellt,  zuweilen  zeigen 
sie  aber  doch  eine  gewisse  Begelmäßigkeit  in  der  Anordnung;  man 
nennt  dies  dann  wohl  einen  KrystaUstock,  So  sind  manchmal,  aber 
selten,  alle  Krystalle  einer  Druse  parallel,  oder  sie  konvergieren  alle 
nach  einem  Punkte,  wobei  sie  entweder  langprismenförmig  (z.  B. 
Natrolith)  oder  dünn  tafelförmig  sind  (Eisenglanz  bei  den  sog.  Eisen* 
rosen  der  Alpen),  oder  die  Krystalle  bilden  dünne  Tafeln,  welche 
fächerförmig  von  einer  allen  gemeinsamen  Linie  ausstrahlen  (wie  z.  B. 
der  sog.  kammförmige  Schwerspat).  Dabei  entstehen  nicht  selten 
ziemlich  regelmäßige  kugelige  oder  ellipsoidische  Gebilde;  oder  es 
sind  tropfsteinartige  Zapfen,  deren  einzelne  Krystalle  senkrecht  zur 
Achse  der  Zapfen  nach  allen  Richtungen  radial  hinausragen.  Andere 
solche  Gruppierungen  kommen  noch  vor,  welche  in  leicht  verständ- 
licher Weise  durch  Vergleich  mit  bekannten  Gegenständen  von  cha- 
rakteristischer Gestalt  beschrieben  werden,  so  garbenförmig  (154), 
rutenförmig  etc.  Rosettenförmig  angeordnet  nennt  man  eine  Anzahl 
von  meist  kleinen,  dünnen  und  lang  gezogenen  Krystallen,  welche 
alle,  auf  einer  ebenen  Unterlage  aufgewachsen,  radial  von  einem 
Centrum  ausstrahlen  (Wavellit,  Kobaltblüte)  etc. 

Die  Krystalle  der  Drusen  sind  oft  groß  und  lang,  z.  B.  beim 
Quarz,  oft  sind  sie  nur  kurz  und  niedrig,  z.  B.  beim  Schwefelkies. 


AnfgewachMiie  Erjertalle.  ^5 

Zuweilen  werden  die  Krystalle  sehr  klein  und  bilden  nur  eine  dfinne 
Haut,  welche  auf  größere  Erstreckung  Gesteine  und  Mineralien  über- 
zieht. Solche  Häute  werden  v.  a.  vom  Quarz  gebildet,  der  auf  diese 
Weise  die  von  ihm  flbei*zogenen  Mineralien  förmlich  abgießt  und  ab- 
formt 

Die  Gestalt  der  Drusen  hängt  ab  von  derjenigen  ihrer  Unter- 
lage. Ist  diese  nahezu  eben,  wie  z.  B.  die  Wand  einer  Spalte  im  Ge- 
birge, so  ist  auch  die  Druse  eben  und  meist  stark  ausgedehnt.  Sitzt 
sie  auf  der  runden  Wand  eines  kleinen  Hohlraums  im  Gestein,  so  ist 
auch  die  Druse  rund,  wie  z.  B.  die  sog.  Mandeln  (300,  301).  Indessen 
sind  solche  runden  Drusenräume  nicht  immer  klein,  sondern  zuweilen 
von  gewaltigem  Umfang,  wie  z.  B.  die  sog.  Erystallkeller  in  den 
Alpen,  deren  Wände  mit  centnerschweren  Quarzkrystallen  besetzt  sind. 
Die  Unterlage  der  deutlich  ausgebildeten  Krystalle  ist  entweder  mit 
dem  aufsitzenden  Mineral  gleichartig  oder  nicht  Ersteres  ist  der  Fall, 
wenn  z.  B.  Quarzkrystalle  auf  derbem  Quarz  sitzen,  letzteres,  wenn 
Flußspatkrystalle  auf  Sandstein,  Ealkspatkrystalle  auf  Granit  auf- 
gewachsen sind,  oder  bei  den  Mineralien  in  den  Mandeln  (300).  Im 
ersteren  Fall  ist  die  herausragende  Erystallspitze  häufig  die  direkte 
Fortsetzung  eines  individualisierten  Stücks  der  die  Unterlage  bildenden 
derben  Masse,  welche  sich  mit  deutlichen  Flächen  nach  außen  hin  aus 
Mangel  an  Platz  nicht  ausbilden  konnte,  sondern  nur  nach  innen  in 
den  leeren  Drusenraum  hinein.  Sehr  häufig  beobachtet  man  so,  daß 
in  großen  derben  Massen  eines  Minerals  auf  Hohlräumen  dasselbe 
Mineral  in  drusenförmig  aufgewachsenen  Krystallen  ausgebildet  ist, 
welche  letztere  sich  unregelmäßig  begrenzt  in  die  derbe  Masse  hin- 
ein fortsetzen,  wie  z.  B.  Bleiglanzkrystalle  auf  Drusen  im  derben 
Bleiglanz  etc. 

Manchmal  ist  ein  Mineral  in  Fonn  einer  dünnen  ausgebreiteten,  zusammen- 
hängenden  oder  aach  pnlverförmigen  Decke  oder  eines  sehr  dünnen  Häntchens  anf 
der  Oberfläche  eines  anderen  Minerals  abgelagert,  z.  B.  eine  dünne  Haut  von  Bot- 
gültigerz, Glaserz  etc.,  oder  ein  feiner  Staub  von  Pharmakolith.  Man  nennt  dies 
einen  Anflug.  —  Zuweilen  bilden  sich  einzelne  Krystalle  oder  ein  feines  Mehl  auf 
der  Oberfläche  eines  Minerals  durch  chemische  Umwandlung  oder  teilweise  Auflösung 
und  Wiederabsatz  des  letzteren,  z.  B.  Kobaltblüte  auf  Speiskobalt,  Steinsalz  auf  dem 
Boden  von  Salzsteppen  etc.;  man  nennt  dies  eine  ÄMshluhimg  oder  Efflorescenz. 

187.  Derbe  Aggregate.  Krystalle  mit  regehnäßigen  Flächen 
können  nnr  dann  entstehen,  wenn  die  Umstände,  welche  bei  der 
Bildung  herrschten,  dazu  günstig  sind.  Ist  dies  nicht  der  Fall,  bilden 
sich  z.  B.  gleichzeitig  viele  Krystalle  auf  beschränktem  Baum,  oder 
ist  die  Substanz  zwar  fähig  zu  krystallisieren,  aber  nicht,  regelmäßige 
Krystalle  zu  bilden,  wie  z.  B.  der  Brauneisenstein,  so  entstehen  un- 
regelmäßig begrenzte,  derbe  (6)  Krystallindividuen  und  durch  Zu- 

Baaer,  Mineralogie.  ^^ 


226  Bethe  Aggregate. 

sammenhäafang  von  vielen  solchen  die  sog.  derien  oder  hrystdllinischen 
Aggregate. 

Die  Individuen,  welche  diese  Aggregate  bilden,  nennt  man  die 
Zusammensdetmgssiücke  derselben.  Sie  haben  sehr  verschiedene  Größe. 
Je  nachdem  man  sie  noch  mit  bloBem  Auge  oder  erst  mit  dem  Mikro- 
skop erkennen  und  von  den  benachbarten  unterscheiden  kann,  nennt 
man  die  Aggregate  phanerohrystaUinisch  resp.  mihrokrystaUimsch  oder 
hrypiokrystaUinisch  oder  meist  dicht.  Sie  sind  aber  auch  von  sehr  ver- 
schiedener Gestalt  und  in  mehr  oder  weniger  regelmäßiger  Weise  mit- 
einander verbunden;  danach  ergeben  sich  die  StnMurformen  der 
Aggregate. 

Sind  die  Zusammensetzungsstücke  eines  Aggregats  isometrisch, 
d.  h.  nach  allen  Seiten  ziemlich  gleichmäßig  ausgedehnt,  so  heißt  die 
Struktur  Mmig^  und  man  unterscheidet  nach  der  abnehmenden  Größe 
des  Korns  groß-,  grob-,  mittel-,  und  feinkörnig  (Kalkspat  als  Marmor, 
Augit,  Magneteisen  etc.).  Dichte  (krypto-  oder  mikrokrystallinische) 
kömige  Aggregate  bildet  u.  a.  der  Kalkspat  als  Kalkstein,  der  Blei- 
glanz als  Bleischweif  etc. 

Sind  die  Zusammensetzungsstücke  dünn  und  tafelförmig,  so  nennt 
man  das  Aggregat  schalig,  und  zwar  je  nach  der  Form  und  Größe 
der  Schalen:  geradschalig  (Apophyllit,  Kalkspat),  nicht  mit  Blätter- 
bruch zu  verwechseln  (194) ;  krummschalig  (Eisenglanz,  Achat,  Arsen) ; 
femer  dick-  und  dünnschalig;  parallel-  und  verworrenschalig  etc. 
Besteht  die  ganze  Masse  aus  einzelnen  kleinen  und  dünnen  Blättchen, 
so  heißt  das  Aggregat  schuppig  (Glimmer).  Auch  schalige  und  schuppige 
Massen  können  dicht  werden. 

Sind  die  Zusammensetzungsstücke  nur  nach  einer  Eichtung  ausge- 
dehnt, so  heißt  das  Aggregat  stenglig  oder  auch  wohl  strahMg  wenn 
sie  dick,  fasrig  wenn  sie  sehr  fein  sind.  Man  unterscheidet  nach  der 
Größe  der  Stengel  dick-  und  dünnstenglige,  sowie  kurz-  und  lang- 
stenglige  Aggegrate;  nach  ihrer  Anordnung:  parallelstenglig  und 
-strahlig,  excentrisch-  oder  radial-stenglig  und  -strahlig,  oder  ver- 
worrenstenglig  und  -strahlig.  Dieselben  unterschiede  gelten  für  fas- 
rige  Aggregate.  Stenglig  ist  der  Pyknit,  mancher  Kalkspat  etc., 
fasrig  mancher  Gips,  ebenso  mancher  Kalkspat  etc.  Manche  ver- 
worrenfasrige  Mineralien  sind  auch  dicht,  z.  B.  der  Nephrit 

Zuweilen  sind  die  Zdsammensetzungsstücke  eines  Aggregats  gleich- 
zeitig auf  mehrere  verschiedene  Arten  miteinander  verbunden,  so  daß 
zunächst  kleinere  Teile  in  einer  bestimmten  Weise  zu  größeren  Zu- 
sammensetzungsstücken (höherer  Ordnung)  vereinigt  sind,  die  dann, 
auf  eine  andere  Art  verbunden,  das  Aggregat  bilden  (mehrfache  Zu- 
sammensetzung, doppelte  Struktur).  So  ist  z.  B.  der  Achat  fasrig 
dicht  und  zugleich  schalig.     Mikroskopisch  kleine  Kömchen  bilden 


Derbe  Aggregate.  227 

beim  Arsen  dünne  krnmme  Schichten  oder  Schalen,  welche  in  viel- 
facher Wiederholung  übereinander  liegen.  Manche  Vorkommnisse  des 
Eoteisensteins  sind  schalig  und  fasrig;  einzelne  krumme  Schalen  liegen 
übereinander,  jede  aus  radial  zu  den  koncentrischen  Schalenoberflächen 
gestellten  Fasern  bestehend.  Dieselben  beiden  Strukturformen  geben 
auch  die  Struktur  der  OoUthe  oder  Pisölithe  (z.  B.  Erbsenstein,  Eogen- 
stein).  Diese  bestehen  ganz  aus  zusammengehäuften  Engeln;  die 
Kugeln  sind  koncentrischschalig,  jede  einzelne  Schale  ist  radial- 
fasrig. 

Manchmal  sind  solche  Aggregate  in  bestimmter  regelmäßiger 
Weise  nach  außen  abgegrenzt.  Besonders  häufig  beobachtet  man 
rundliche  Knollen,  die  zuweilen  fast  regelmäßig  kugelförmig  werden 
(Wawellit)  oder  die  auch  eine  cylindrische,  röhrenförmige,  pilzförmige, 
nierenförmige,  traubige  etc.  Gestalt  haben.  Nierenförmig  nennt  man 
solche  Knollen,  wenn  sie  aus  einzelnen  Abschnitten  großer  Kugeln, 
iratMg,  wenn  sie  aus  vielen  kleinen  Kugeln  verwachsen  scheinen 
(Brauneisenstein,  Psilomelan).  Die  rundliche  Oberfläche  ist  oft  voll- 
kommen glatt,  zuweilen  auch  rauh  durch  hervorstehende  Krystall- 
spitzchen,  die  mehr  oder  weniger  deutlich  zur  Ei*scheinung  kommen 
können  und  welche  dann  den  Übergang  zu  den  Krystallgruppen  und 
-drusen  herstellen  (185,  186).  Solche  runde,  nierige  und  traubige 
Aggregate  sind  sehr  häufig  im  Innern  radialfasrig,  doch  auch  nicht 
selten  körnig,  dicht  oder  von  anderer  Struktur. 

Diese  rundlichen  Massen  sind  teils  auf  einer  Unterlage  auf- 
gewachsen, teils  sind  sie  eingewachsen  in  gleicher  Weise  wie  aus- 
gebildete Krystalle.  Aufgewachsen  sind  z.  B.  die  radialfasrigen 
Kugeln  des  Wawellits,  die  ebenfalls  radialfasrigen  traubigen  Massen 
des  Sphärosiderits  auf  Hohlräumen  im  Basalt  etc.  Zu  den  auf- 
gewachsenen Aggregaten  dieser  Art  gehört  der  Glaskopf.  Man  ver- 
steht darunter  radialfasrige  Mineralien  mit  einer  runden  (nieren- 
förmigen  oder  traubigen)  Oberfläche,  parallel  mit  welcher  im  Innern 
schalige  Absonderungs-  und  Verwachsungsflächen  verlaufen.  Diese 
doppelte  Strukturform  flndet  sich  besonders  bei  einigen  Eisenerzen, 
welche  man  durch  ein  Beiwort  näher  bezeichnet  (roter,  brauner  Glas- 
kopf etc.).  Krystallinische  Aggregate  mit  rundlicher  Oberfläche  bilden 
auch  die  krustenförmigen  Überzüge,  welche  häufig  z.  B.  aus  Kalk- 
spat durch  Sickerwasser  auf  große  Erstreckung  hin  gebildet  werden 
{Sinter,  speziell  Kalksinter);  ebenso  die  aus  tropfendem  Wasser  ab- 
gelagerten zapfenförmigen  Tropfsteine  (Stalaktiten),  welche  mit  solchen 
Sinterkrusten  oft  in  Verbindung  stehen.  Viele  lösliche  Mineralien 
bilden  derartige  Krusten  und  Stalaktiten:  Vitriole,  Steinsalz  etc.,  be- 
sonders aber,  wie  erwähnt,  Kalkspat.    Sie  sind  im  Innern  teils  kömig, 

teils  radialstrahlig  und  -fasrig  von  der  Achse  des  Zapfens  aus,  und 

15^ 


228  Derbe  Aggregate. 

nieht  selten  auch  parallel  der  Zapfenoberfläche  schalig.  Endlich  seien 
hier  die  vielfach  verästelten,  sog.  zackigen  Gebilde  der  runden  dAnnen 
Stengel  der  Eisenblflte,  einer  Abart  des  Aragonits,  erwähnt. 

Eingewachsene  rundliche  Knollen  von  ähnlicher  Form  und  Be- 
schaffenheit (Konkretionen,  vergl.  auch  (299))  bildet  vielfach  der 
Schwefelkies  im  Ton  (der  übrigens  auch  in  ganz  gleicher  Weise  auf- 
gewachsen vorkommt)  und  manche  andere  Mineralien.  Sie  unter- 
scheiden sich  nur  durch  den  Mangel  regelmäßiger  äußerer  Begren- 
zung der  einzelnen  Individuen  von  den  bei  der  Betrachtung  der 
eingewachsenen  Krystalle  (185)  erwähnten  ähnlich  gestalteten  Ag- 
gregaten. 

Die  Zusammensetzungsstücke  der  Aggregate  sind  zum  Teil  sehr 
fest  miteinander  verwachsen,  z.  B.  die  Kalkspathkömer  im  Marmor, 
zum  Teil  sind  sie  locker  und  lose  und  lassen  sich  durch  Drücken  in 
der  Hand  trennen,  z.  B.  der  kömige  Augit  (Kokkolith),  oder  sie  lassen 
sich  zwischen  den  Fingern  zu  Pulver  zerreiben  (Kreide).  Ersteres  ist 
"der  Fall,  wenn  die  Grenzen  der  Zusammensetzungsstücke  gegen- 
"^inander  (die  Zusammensetzungsflächen)  kompliziert  sind  und  in- 
einander eingreifen,  letzteres,  wenn  die  einzelnen  Stücke  nach  fast 
ebenen  Flächen  zusammenstoßen  oder  doch  so,  daß  nicht  weit  hervor- 
ragende Teile  des  einen  Korns  in  entsprechende  Vertiefungen  des 
anderen  hineinragen.  Daher  sind  namentlich  schalige  und  fasrige 
Aggregate  in  der  Richtung  der  Schalen  und  Fasern  häufig  leicht  zu 
trennen.  Beim  Arsen  z.  B.  lassen  sich  sogar  vielfach  einzelne  Schalen 
voneinander  abheben.  Beim  roten  Glaskopf  sieht  man  ^dielfach  fast 
ebene  Trennungsflächen  in  der  ungefähren  Richtung  der  radial  ver- 
laufenden Fasern  durch  die  Masse  hindurchgehen.  Diese  Flächen  sind 
ganz  glänzend  und  glatt  und  machen  daher  auf  den  ersten  Blick  den 
Eindruck  von  Krystallflächen.  Davon  ist  aber  keine  Rede,  die  Flächen 
liegen  unregelmäßig  gegeneinander  und  die  zwischen  den  einzelnen 
Flächen  liegenden  keilförmigen  Stücke  bilden  nicht  je  ein  Krystall- 
individuum,  sondern  ein  radial  fasriges  Aggregat.  Derartige  Flächen 
sind  nur  Scheinflächen. 

188.  Formen  der  amorphen  Minerallen.  Die  amorphen  Mine- 
ralien zeigen  zuweilen,  trotzdem  ihnen  an  sich  gar  keine  regel- 
mäßige Gestalt  zukommt^  ähnliche  Formen  wie  die  krystallinischen 
Aggregate.  So  findet  man  solche  Körper  häufig  in  Form  von  runden 
Knollen  eingewachsen  (Opal  als  Menilit)  oder  aufgewachsen  (Opal 
als  Hyalith);  schön  traubig  beim  letzteren  und  beim  PsUomelan;  auch 
bilden  sie  ausgedehnte  sinterartige  Krusten  und  Überzüge.  Man  findet 
zwar  hier  dieselben  nierenförmigen  und  traubigen  etc.  Oberflächen  wie 
bei  jenen  krystallinischen  Aggregaten,  aber  keine  Spur  von  innerer 


Formen  der  amorphen  Mineralien.  229 

fasriger,  kömiger  etCw  Struktur,  die  stets  ein  Anzeichen  von  Krystalli- 
sation  ist.  Auch  tropfsteinartige  Gestalten  finden  sich.  Vor  allem 
sind  aber  die  Dendriten  zu  erwähnen,  braune  oder  schwarze  moos- 

0 

oder  baumfSrmige  Anfluge  von  Eisen-  und  Manganerzen,  welche  aus 
Lösungen  abgeschieden  wurden,  die  infolge  der  Kapillarität  auf  ganz 
engen  Spalten  sich  in  dieser  eigentttmlichen  Weise  ausgebreitet  haben. 
Man  findet  die  Dendriten  nur  auf  den  Wänden  solcher  ganz  engen 
Spalten,  kann  auch  den  Prozeß  kunstlich  nachahmen.  (Dendritische 
Bildungen  anderer  Art,  aus  Erystallen  zusammengesetzt,  haben  wir 
oben  schon  kennen  gelernt  (172)). 


n.  Abschnitt. 

Mineralphysik. 


Die  Mineralphysik  hat  die  Anfgahe,  die  physikalischen  Eigenschaften  der  Mine- 
ralien soweit  zn  erforschen,  als  es  zu  deren  Charakterisiernng,  zu  ihrer  Erkennung  und 
Unterscheidung  notwendig  ist.  Wichtig  ist  dahei  die  Beziehung  der  physikalischen 
zu  anderen  Eigenschaften,  hesonders  zur  Krystallform  und  zur  chemischen  Zusammen- 
setzung. Sofern  die  Zahl  der  amorphen  Mineralsuhstanzen  den  krystaUisierten  gegen- 
üher  fast  verschwindet,  handelt  es  sich  hier  hauptsächlich  um  die  physikalische 
Beschaffenheit  krystallisierter  EOrper.  Die  Mineralphysik  ist  somit  in  dem  oben  be- 
zeichneten Umfang  beinahe  identisch  mit  Erystallphysik. 

Vergl.  hierzu  außer  den  eingangs  genannten  Werken:  Wüttner,  Lehrbuch  der 
Experimentalphysik,  letzte  Aufl.  FouiUet-MiäUi'f  Lehrbuch  der  Physik  (neueste 
Auflage,  bearbeitet  Ton  Pfaundler).  Beer,  Einleitung  in  die  höhere  Optik  (2.  Aufl., 
bearbeitet  Ton  V.  t.  Lang).  Lommel,  Das  Wesen  des  Lichts.  Badicke,  Handbuch 
der  höheren  Optik.  Bület,  Trait6  d'optique  physique.  Verdetf  Oeuvres  compl^tes. 
Merschelj  Vom  Licht  (übersetzt  von  Schmidt).  Brewster,  A  treatise  on  optics. 
Voigt,  Die  fundamentalen  physikalischen  Eigenschaften  der  Erystalle,  und  manche 
andere  Lehr-  und  Handbücher  der  Physik  und  einzelner  Zweige  derselben,  be- 
sonders der  Optik.  Besonders  hervorzuheben  sind  die  der  Erystallphysik  speziell 
gewidmeten  Werke  von  Chroth,  Liebisch,  Linck,  Mallard,  Schrauf  und  Soret 
(siehe  (3)  B).    (Neu  erschienen:  Becker,  Erystalloptik.) 

189.  Hauptgesetz  der  Erystallphysik.  Die  physikalischen 
Eigenschaften  der  Mineralien  stehen  z.  T.  zu  der  Struktur  derselben 
in  keiner  Beziehung,  wie  z.  B.  das  spezifische  Gewicht ;  z.  T.  sind  sie 
von  der  Struktur  abhängig.  Diese  letzteren  Eigenschaften  hängen 
in  bestimmter  gesetzmäßiger  Weise  mit  den  Sichtungen  zusammen, 
nach  welchen  sie  in  den  Krystallen  beobachtet  werden,  und  stehen 
daher  in  der  engsten  Beziehung  mit  der  Krystallform ;  so  die  optischen 
und  thermischen  Eigenschaften,  die  Verhältnisse  der  Kohäsion  etc. 
Amorphe  Mineralien  verhalten  sich  nach  allen  Richtungen  physikalisch 
gleich,  krystallisierte  im  allgemeinen  verschieden.  In  einfachen  Kry- 
stallen (Individuen)  sind  jedoch  stets  parallele  Richtungen  physikalisch 
von  derselben  Beschaffenheit,  weshalb  es  gleichgültig  ist,  an  welcher 
Stelle  eines  Krystalls  man  dessen  physikalische  Untersuchung  vor- 


Hauptgeaetz  der  Erystallphysik.  231 

Bimmt.  Es  gilt  hier  aber  auch  femer  durchaus  das  Gesetz :  Kryställo- 
grapkisch  gleiche  Richtungen  verhatten  sich  in  jeder  BedAwng  physikalisch 
gleich,  so  daß  also  die  krystallographischen  Symmetrieebenen  auch  in 
Beziehung  auf  die  physikalischen  Eigenschaften  solche  sind. 

Bezflglich  der  Umkehrung  dieses  Hauptsatzes  der  Erystallphysik 
hat  man  zwei  Gruppen  von  Eigenschaften  zu  unterscheiden.  Für 
die  eine  Gruppe,  in  die  vorzugsweise  die  Eohäsion  und  alles 
was  damit  zusammenhängt,  ferner  das  Wachstum  der  Erystalle  und 
ihr  Widerstand  gegen  die  Auflösung  (chemische  Kohäsion)  und  endlich 
die  Pyroelektrizität  gehören,  gilt  auch  die  ümkehrung  ganz  allgemein : 
Alle  hrystaHographisch  verschiedenen  Richtungen  sind  auch  physikalisch 
verschieden.  Die  Symmetrie  ist  hier  in  physikalischer  Hinsicht  genau 
dieselbe  wie  fftr  die  Krystallform.  Für  diese  Gruppe  von  Eigen- 
schaften sind  alle  Erystalle  anisotrop  und  unterscheiden  sich  dadurch 
von  den  amorphen  Substanzen,  die  in  diesem  Sinne  allein  isotrop 
sind  (4). 

Für  die  optischen,  thermischen  und  magnetischen  Eigenschaften 
und  für  die  Leitung  der  Elektiizität  sind  zwar  in  den  meisten  Fällen 
die  krystaliographisch  verschiedenen  Richtungen  ebenfalls  physikalisch 
verschieden,  aber  dies  gilt  hier  nicht  mehr  allgemein;  es  gibt  auch 
Fälle,  in  denen  dies  nicht  mehr  zutrifft.  So  sind  namentlich  sämtliche 
Bichtungen  eines  regulären  Erystalls  in  optischer  etc.  Beziehung  ein- 
ander gleich,  während  dies  in  krystallographischer  Beziehung  keines- 
wegs der  Fall  ist.  Der  Würfelkante  entspricht  z,  B.  eine  krystalio- 
graphisch andere  Richtung,  als  der  Würfelflächendiagonale;  Licht- 
schwingungen nach  diesen  beiden  Richtungen  bewegen  sich  aber  mit 
ganz  gleicher  Geschwindigkeit,  die  Wärmeleitung  und  die  Leitung  für 
die  Elektrizität  sind  in  beiden  Richtungen  dieselben  etc. 

In  Bezug  auf  die  zweite  Gruppe  physikalischer  Eigenschaften 
unterscheidet  sich  ein  regulärer  Erystall  nicht  mehr  von  einem 
amorphen  Eörper;  er  ist  isotrop  wie  letzterer.  Seine  physikalische 
Symmetrie  ist  für  diese  Eigenschaften  höher,  die  Zahl  der  Symmetrie- 
ebenen größer,  als  für  die  Erystallform.  Dasselbe  ist  auch  bei  allen 
Erystallen  mit  einer  Hauptachse  der  Fall.  Bei  ihnen  verhalten  sich 
alle  zur  Hauptachse  gleich  geneigten,  namentlich  also  auch  alle  auf 
der  Hauptachse  senkrechten  Richtungen  einander  physikalisch  gleich 
und  von  allen  Richtungen  mit  anderen  Neigungen  zur  Hauptachse 
verschieden.  Bei  Erystallen  des  rhombischen,  monoklinen  und  triklinen 
Systems  sind  auch  für  diese  zweite  Gruppe  von  Eigenschaften  alle 
krystaliographisch  verschiedenwertigen  Richtungen  physikalisch  gleich- 
falls verschieden;  die  physikalische  Symmetrie  stimmt  mit  der  krystallo- 
graphischen vollkommen  überein.  (Vergl.  Sohnke,  Entwicklung  einer  Theorie 
der  ErystaUstroktar  1879.) 


232  SpeEiÜBcbes  Gewicht 

Der  innige  Zusammenhang  der  physikalischen  Eigenschafben  mit 
der  Erystallform  ermöglicht  es  oft,  ans  der  ph3rsikalischen  Beschaffen- 
heit eines  Krystalls  allein  seine  Zugehörigkeit  zu  dem  oder  jenem 
Krystallsystem  mit  Sicherheit  abzuleiten.  Man  ist  darauf  sogar  aus- 
schließlich angewiesen,  wenn  die  regelmäßige  äußere  Form  fehlt;  und 
wenn  sie  mangelhaft  ausgebildet  ist,  wird  eine  Ergänzung  und  Kon- 
trolle der  krystallographischen  Untersuchung  durch  die  physikalische 
stets  wünschenswert  sein.  Die  Ermittlung  der  physikalischen  Eigen- 
schaften der  Krystalle  stellt  daher  nicht  nur  an  sich,  sondern  auch 
aus  dem  genannten  Grunde  eine  der  wichtigsten  Aufgaben  des  Mine- 
ralogen dar.  Von  besonderer  Bedeutung  sind  hierbei  für  die  Praxis 
(neben  dem  spezifischen  Gewicht)  das  optische  Verhalten,  sowie  die 
mechanische  und  chemische  Eohäsion  (Spaltbarkeit  und  Ätzflguren) 
Wir  werden  im  folgenden  die  einzelnen  physikalischen  Eigenschaften 
in  ihren  Beziehungen  zu  den  Mineralien,  soweit  es  für  die  Mineralogie 
nötig  ist,  mehr  oder  weniger  eingehend  betrachten. 

Spezifisches  Gewicht. 

190.  Spezifisehes  Gewicht.  Das  spejrifische  Oewickt  eines  Minerals 
ist  die  Zahl,  welche  angibt,  wievielmal  schwerer  ein  gewisses  Volumen 
desselben  ist,  als  dasselbe  Volumen  Wasser.  Sie  ist  konstant  for  alle 
Stücke  einer  und  derselben  Spezies,  aber  die  Mineralien  unterscheiden 
sich  voneinander  in  Bezug  hierauf  bedeutend.  Die  spezifischen  Ge- 
wichte sind  daher  zur  Charakterisierung  der  einzelnen  Mineralspezies 
von  großer  Wichtigkeit  Das  höchste  spezifische  Gewicht  (G.)  ist  bei 
dem  natürlich  vorkommenden  Iridium  beobachtet  worden:  G.  =  22,8^ 
woran  sich  die  Gewichte  der  anderen  schweren  Metalle  und  die  von 
deren  Verbindungen  anschließen.  Eines  der  schwersten  Mineralien, 
welche  kein  schweres  Metall  enthalten,  ist  der  Zirkon,  G.  =  4,6—4,7. 
Diejenigen  Mineralien,  welche  am  massenhaftesten  vorkommen,  welche 
also  in  der  Zusammensetzung  der  festen  Erdkruste  die  bedeutendste 
EoUe  spielen,  haben  ein  viel  geringeres  spez.  Gewicht:  Quarz  und 
Feldspat  2,65;  Kalkspat  2,7;  Hornblende  3,0  und  Augit  3,3.  Diese 
niederen  Zahlen  sind  mit  Bücksicht  auf  das  hohe  spezifische  Gewicht 
der  ganzen  Erde,  welches  etwa  5,5  beträgt,  sehr  auffallend,  um  so 
mehr,  als  sogar  die  schwersten  in  größeren  Mengen  in  der  Erdkruste 
vorhandenen  Mineralien,  Eisenglanz,  Magneteisen  etc.,  nur  spezifische 
Gewichte  von  5 — 57«  haben.  Noch  geringer  als  die  genannten  Ge- 
wichte ist  das  des  Gypses  (2,3)  und  der  meisten  wasserhaltigen  Silikate, 
des  Schwefels,  des  Graphits  etc.  An  der  untersten  Stufe  stehen  die 
Mineralien  organischen  Ursprungs,  die  Harze,  Naphta,  Asphalt  etc., 
deren  spezifische  Gewichte  zwischen  1,4  und  0,5  schwanken.    Die  ge- 


Spezifisches  Gewicht.    Eohäsioii.  233 

ringste  Zahl,  welche  überhaupt  angegeben  wird,  ist  die  für  den 
Pyropissit  von  Halle,  dessen  6.  =  0,49—0,52.  Es  ist  aber  nur  wegen 
zahlreicher  innerer  Poren  so  niedrig. 

Das  spezifische  Gewicht  eines  Minerals  wird  an  gr(SOeren  Stttcken  in  bekannter 
Weise  mittels  der  hydrostatischen  Wage  bestimmt.  Genauer  ist  in  vielen  Fällen 
die  Bestimmung  an  gri^blichem  Pulver  mittels  des  Pyknometers,  Dies  ist  ein  kleines 
dünnwandiges  Glasflftschchen  mit  einem  weit  herausragenden  sorgfältig  eingeriebenen 
Glasstöpsel,  der  in  seiner  Achse  von  einem  feinen  langen  Kanal  durchzogen  ist. 

Bei  der  Gewichtsbestimmung  wird  zuerst  das  absolute  (Gewicht  p  der  Substanz 
ermittelt.  Dann  wird  das  Pyknometer  mit  destilliertem  Wasser  gefttUt,  so  daß  das- 
selbe in  dem  Kanal  des  Stöpsels  bis  an  den  oberen  Rand  geht  und  das  Ganze  ge- 
wogen. Das  Gewicht  sei  » a.  Endlich  wird  die  Substanz  vom  Gewicht  p  in  das 
Fläschchen  geworfen,  wodurch  ein  Teil  des  Wassers  verdrängt  wird,  und  dafür 
gesorgt,  daß  nach  dem  Aufsetzen  des  Stöpsels  das  Wassemiveau  wieder  genau  das 
obere  Ende  desselben  erreicht;  dann  sei  das  Gewicht  des  Ganzen  ^6.  Nun  ist 
P'\'a — h  das  Gewicht  des  durch  die  Substanz  verdrängten  Wassers,  und  man  hat: 

6r.= — — £- — -.    Die  an  der  Substanz  adhärierende  Luft  ist  durch  Auskochen  oder 

unter  der  Luftpumpe  zu  entfernen  und  die  Temperatur  etc.  in  bekannter  Weise  zu 
berücksichtigen. 

In  neuerer  Zeit  wird  das  spezifische  Gewicht  von  Mineralien  auch  durch  Ein- 
tauchen in  Flüssigkeiten  ermittelt,  deren  spezifisches  Gewicht  man  durch  Verdünnen 
oder  Koncentrieren  genau  dem  des  Minerals  gleich  macht,  das  dann  darin  eben  noch 
schwimmt.  Das  Abwägen  eines  bestimmten  Volumens  der  Flüssigkeit  gibt  das 
spezifische  Gewicht.  Bequemer  erhält  man  es  mittels  der  WestphäUcheti  Wage,  die 
am  einen  Ende  des  Balkens  einen  gläsernen  Senkkörper  trägt,  der  in  die  Flüssigkeit 
eintaucht;  durch  Auflegen  von  Gewichten  auf  derselben  Seite,  die  dann  das  spezi- 
fische (Gewicht  ergeben,  wird  die  Wage  wieder  zum  Einspielen  gebracht  Zu  der- 
artigen Untersuchungen  sind  Flüssigkeiten  von  besonders  hohem  spezifischen  Gewicht 
am  geeignetsten,  so  eine  Lösung  von  Kaliumquecksilbeijodid  (Thouletsche  Lösung) 
oder  von  borwolframsaurem  Cadmium  (Kleinsche  Lösung),  Methylenjodid  etc.  Diese 
Flüssigkeiten  eignen  sich  namentlich  auch  zur  Trennung  von  lockeren  Mineral- 
gemengen nach  dem  spezifischen  Gewicht  in  ihre  einzelnen  Bestandteile. 

Verschiedene  Stücke  eines  und  desselben  Minerals  geben  nicht 
selten  etwas  verschiedene  Zahlen  f&r  G.  Dies  hängt  anßer  mit  kleinen 
Messnngsfehlem  hauptsächlich  mit  den  Verunreinigungen  zusammen, 
welche  die  Mineralien  als  mechanische  Verunreinigungen  und  als  iso- 
morphe Beimischungen  (180.  289)  enthalten. 

{Kohlrausehf  Praktische  Regeln  zur  Bestimmung  des  spezifischen  Gewichts  1866. 
Webgky,  Mineral.  Studien,  L:  Die  Mineralspezies  nach  den  für  das  spezifische  Ge- 
wicht gefundenen  Werten  1868.  CHseviuSf  Methode  der  Bestimmung  des  spezifischen 
Gewichts.  Diss.  Bonn  1883.  Ooldschmidt,  Verwendbarkeit  einer  Kaliumquecksilber- 
jodidlösung  bei  mineral.  Untersuchungen.  Diss.  Heidelberg  1881.  R.  Brauns^  Über 
die  Verwendbarkeit  des  Methylenjodids  etc.  N.  Jahrb.  f.  Min.  1886,  II,  72;  1888, 
I,  263.) 

Kohäsion. 

lOl.  KohteioD«  Die  Kohäsion  ist  diejenige  Eigenschaft  der 
Mineralien,  vermöge   deren  sie  einer  Trennung  oder  Verschiebung 


234  Elastirit&t. 

ihrer  Teilchen  Widerstand  entgegensetzen.  Die  Kräfte,  welche  den 
Zusammenhalt  der  kleinsten  Teile  der  Körper  bedingen,  werden  all- 
gemein die  Köhäsianskräfte  genannt  Auf  ihnen  beruhen  u.  a.  die 
Aggregatzustände,  von  welchen  hier  aber  nur  der  feste  von  Bedeutung 
ist.  Je  nach  der  speziellen  Beschaffenheit  der  Kohäsion  verhalten  sich 
die  Mineralien  verschieden  gegen  äußere  Einwirkungen,  welche  auf 
eine  Trennung  oder  Verschiebung  der  kleinsten  Teilchen  oder  auf  eine 
Gestaltungsänderung  des  vorliegenden  Stücks  gerichtet  sind.  Wir 
haben  danach  die  Elastizität,  die  Spaltbarkeit,  die  Zersprengbarkeit, 
die  Gleitflächen,  die  Härte  und  die  Tenazität,  endlich  auch  die 
chemische  Kohäsion,  den  Widerstand  gegen  Auflösung,  d.  h.  die  Ätz- 
figuren als  spezielle  Äußerungsformen  der  Kohäsion  kennen  zu  lernen. 

192.  Elastizität.  Unter  Elastmtät  versteht  man  die  Eigenschaft 
der  Mineralien,  einer  Gestalts-  und  Volumenänderung  einen  Wider- 
stand entgegenzusetzen.  Je  größer  dieser  Widerstand  ist,  je  größer 
also  die  äußeren  Krafteinwirkungen  sein  müssen,  um  eine  solche 
Änderung  herbeizuführen,  desto  größer  ist  die  Elastizität  des  be- 
treffenden Körpers;  je  leichter  die  Änderung  vor  sich  geht,  desto 
geringer  ist  sie.  Demnach  ist  also  Stahl  im  physikalischen  Sinne 
elastischer  als  Kautschuk.  Sind  die  Änderungen  nicht  zu  groß,  so 
nimmt  der  Körper  nach  dem  Aufhören  der  äußeren  Kraftwirkungen 
seine  ursprüngliche  Form  und  Größe  wieder  an.  Gehen  sie  über  einen 
bestimmten  Betrag  hinaus,  so  ist  dies  nicht  mehr  der  Fall;  die 
kleinsten  Teile  nehmen  dann  eine  neue  stabile  Gleichgewichtslage  ein, 
man  sagt,  die  Elastizitätsgrenze  ist  überschritten. 

Die  Elastizität  innerhalb  der  Elastizitätsgrenze  wird  gemessen 
durch  den  ElastiaüätsTcoeffisienten  (Dehnungskoeffizienten).  Derselbe 
gibt  das  Verhältnis  der  Verlängerung  oder  Verkürzung  eines  Stabes 
zu  der  Kraft  an,  welche  die  Verlängerung  oder  Verkürzung  hervor- 
gebracht hat.  Er  sagt  aus,  wie  groß  das  Gewicht  sein  muß,  aus- 
gedrückt in  Grammen,  das  quadratische  Stäbe  von  1  Dmm  Quer- 
schnitt auf  das  Doppelte  ihrer  Länge  auszudehnen  oder  auf  die  Hälfte 
ihrer  Länge  zusammenzudrücken  im  stände  wäre,  vorausgesetzt,  daß 
dabei  die  Elastizitätsgrenze  nicht  überschritten  würde.  Je  größer  der 
Elastizitätskoefflzient,  um  so  größer  die  Elastizität.  Bestimmt  wird 
derselbe  durch  Beobachtung  der  Ausdehnung,  der  Kompression  oder 
der  Biegung  von  Stäbchen  des  betreffenden  Minerals  von  bekannten 
Dimensionen  unter  dem  Einfluß  bekannter  Gewichte. 

Dabei  stellt  sich  heraus,  daß  man  bei  einem  amorphen  Körper 
stets  denselben  Elastizitätskoefflzienten  findet,  wie  auch  die  Richtung 
sein  mag,  in  welcher  das  Stäbchen  aus  dem  Stück  herausgeschnitten 
ist.  Anders  bei  Krystallen,  bei  denen  nur  dann  gleiche  Elastizitätskoeffi- 


Brach.    Spaltbarkeit.  235 

zienten  erhalten  werden,  wenn  alle  entsprechenden  Dimensionen  der 
Stäbchen  parallel  oder  sonst  krystallographisch  gleich  gerichtet  sind. 
In  allen  anderen  F&Ilen  erh&lt  man  verschiedene  Elastizitätskoeffl- 
zienten.  Die  Elastizität  ist  also  nach  sämtlichen  krystallographisch 
gleichwertigen  Bichtangen  eines  Krystalls  dieselbe,  nach  anderen 
Bichtnngen  hat  sie  einen  anderen  Wert,  ganz  wie  es  dem  Haupt- 
gesetz der  Krystallphysik  und  seiner  Umkehrung  entspricht  (189): 

Sehr  genau  ist  in  dieser  Beziehung  a.  A.  das  Tegviü&reSteinsaUs  untersucht.  Stäbchen 
parallel  den  Würfelkanten  (senkrecht  zu  den  Wttrfelflftchen)  ergaben  gleiche  Zahlen, 
der  Koeffizient  ist  =4170000  gr;  Stäbchen  senkrecht  zu  den  Granatoederflächen 
geben:  3403000  gr,  und  solche  senkrecht  zu  den  Oktaederflächen:  3186000  gr. 
Ähnliche  Beziehungen  gab  auch  der  rhomboedrisch  krystallisierte  Kalkspat.  In 
der  Richtung  der  drei  Endkanten  des  Hauptrhomboeders  ist  der  Elastizitätskoeffizient 
derselbe,  aber  größer  als  der  in  der  Richtung  der  kleinen  Diagonale  der  Haupt- 
rhomboederflächen,  bei  denen  wieder  untereinander  Gleichheit  herrscht.  ( Voigt,  Unter- 
suchungen über  die  Elastizitätsverhältnisse  des  Steinsalzes,  Diss.  Königsberg  1874 
und  Pogg.  Ann.  Erg.  Bd.  7  pag.  177.  Baumgarten  (Kalkspat),  Pogg.  Ann.  Bd.  162 
pag.  369.    Coromilas.    Diss.  Tübmgen  1877  etc.) 

193.  Brach.  Die  Formen  der  Bruchflächen,  welche  die  Mineralien 
beim  Zerschlagen  oder  Zerreißen  erhalten,  sind  für  dieselben  vielfach 
charakteristisch.  Sie  sind  entweder  regelmäßig  ebenflächig  {BlMter- 
hrüche)  (194),  oder  unregelmäßig.  Diese  unregelmäßigen  Formen  der 
Bmchflächen  nennt  man  kurz  den  Bruch  der  Mineralien.  Man  unter- 
scheidet in  dieser  Beziehung: 

1.  MuscKligen  Bruch.  Die  eine  Bruchfläche  ist  rundlich  erhaben, 
die  andere  entsprechend  ebenso  vertieft,  ähnlich  wie  das  Innere  einer 
Muschelschale,  und  auf  der  Bruchfläche  gehen  von  der  Ansatzstelle 
des  Hammers  koncentrische  Runzeln  aus  wie  die  Anwachsstreifen  auf 
einer  solchen.  Die  Vertiefungen  sind  groß  oder  klein,  flach  oder  tief; 
man  unterscheidet  danach:  groß-  und  klein-,  flach-  und  tiefmuschligen 
Bruch.  Sehr  vollkommen  großmuschlig  ist  z.  B.  der  Bruch  des  Feuer- 
steins. 2.  Unebener  Bruch  verläuft  in  den  kleinmuschligen  (Kalkstein, 
Schwefelkies).  3.  Ebener  Bruch  (Jaspis).  4.  SpUUriger  Bruch.  Auf 
den  Bruchflächen  sind  halblosgerissene  Splitter  hängen  geblieben, 
welche  sich  als  hellere  Stellen  auf  dem  dunkleren  Hintergrunde  ab- 
heben (Homstein).  Es  ist  der  GegensatSs  zum  glatten  Bruch,  bei  dem 
dies  nicht  der  Fall  ist.  5.  Hackiger  Bruch,  bei  geschmeidigen  Metallen. 
6.  Erdiger  Bruch  bei  erdigen  Mineralien  (Kreide,  Tripel  etc.)  Der 
Bruch  hängt  vielfach  in  bestimmter  Weise  mit  der  Struktur  des  be- 
treffenden Minerals  zusammen. 

194.  Blätterbraeh.  Zerschlägt  man  einen  Kalkspat-Krystall,  so 
zerbricht  derselbe  stets  nach  vollkommen  ebenen  Bruchflächen,  welche 
man  Blätterbrüche  oder  Elätterdurchgänge  oder  auch  wohl  Spaltungs- 


296  Spaltbarkeit 

flächen  nennt,  da  man  sie  vielfach  durch  Spalten  mit  einem  Meißel 
darstellt.  In  gleicher  Weise  zerbrechen  Krystalle  von  Steinsalz,  Blei- 
glanz, Flußspat  etc.  nach  ebenen  Flächen,  während  Quarz,  Granat 
und  andere  Mineralien  etwas  ähnliches  nicht  deutlich  beobachten 
lassen. 

Die  Leichtigkeit  der  Herstellung  der  Blätterdurchgänge  ist  bei 
verschiedenen  Mineralien  und  bei  einem  und  demselben  Mineral  in 
verschiedenen  Richtungen  eine  sehr  verschiedene.  Manchmal  ent- 
stehen sie  schon  beim  unregelmäßigen  Schlag  (Kalkspat)  oder  durch 
Zerreißen  (Glimmer);  manchmal  nur  wenn  man  einen  scharfen  Meißel 
in  der  geeigneten  Richtung  in  das  Mineral  eintreibt;  manchmal  erhält 
man  sie  überhaupt  nur  mehr  zufallig,  aber  kaum,  wenn  man  sie  mit 
Absicht  darzustellen  sucht.  Je  leichter  die  Darstellung  ist,  desto 
regelmäßiger,  ebener  und  glatter,  kurz  desto  vollkommener  sind  die 
erhaltenen  Flächen.  Je  schwieriger  jene  vor  sich  geht,  desto  unvoll- 
kommener, unterbrochener  und  rauher  sind  dieselben,  so  daß  nur  ein- 
zelne vollkommen  ebene  Flächenteilchen,  die  aber  alle  in  einer  Rich- 
tung liegen,  mit  umfangreicheren  unebenen  Stellen  des  Bruchs  ab- 
wechseln. Ein  derartiger  Blätterbruch  ist  dann  auf  den  ersten  Blick 
sehr  ähnlich  dem  gewöhnlichen  unregelmäßigen,  unebenen  Bruch,  aber 
dieser  letztere  ist  durchaus  uneben  und  enthält  gar  keine  ebenen 
Flächenelemente  mehr.  Die  Existenz  von  solchen  erkennt  man  an 
auf  ihnen  reflektierten  vollkommen  regelmäßigen  Spiegelbildern,  welche 
auf  unebenem  Bruch  nicht  entstehen  können.  Man  unterscheidet  ver- 
schiedene Grade  der  Vollkommenheit  der  Spaltbarkeit:  dieselbe  ist 
vollkommen  z.  B.  beim  Kalkspat,  Glimmer,  Gips  etc.,  ziemlich  voll- 
kommen z.  B.  beim  Flußspat,  Rutil  (in  der  Richtung  der  Prismen- 
flächen) etc.;  deutlich  z.  B.  beim  Augit,  Kryolith  etc.;  ziemlich  deut- 
lich z.  B.  beim  Nephelin,  Skapolith  etc.  und  undeutlich  z.  B.  beim 
Granat,  Fahlerz  etc.  Spuren  von  Blätterbrüchen  fehlen  wohl  bei 
keinem  Krystall. 

Diese  ebenen  Trennungsflächen,  die  Blätterbrüche,  gehen  stets 
(wirklichen  oder  möglichen)  Flächen  der  betreffenden  Krystalle  parallel, 
und  zwar  bei  allen  Krystallen  einer  jeden  hier  in  Betracht  kommen- 
den Mineralspezies  stets  den*  Flächen  derselben  einfachen  Krystall- 
form.  Parallel  mit  den  sämtlichen  krystallographisch  gleichwertigen 
Flächen  einer  solchen  einfachen  Form  geht  die  Spaltbarkeit  auch 
stets  mit  derselben  Leichtigkeit  und  Vollkommenheit  vor  sich.  So 
sind  die  Blätterbrüche  des  Kalkspats  den  Flächen  eines  Rhomboeders 
mit  dem  Endkantenwinkel  von  105^  5',  die  des  Steinsalzes  und 
Bleiglanzes  den  Flächen  des  Würfels,  die  des  Flußspats  denen 
des  Oktaeders  parallel.  Es  gilt  demnach  das  Gesetz:  Geht  einer 
Fläche  ein  Blätterbruch  parallel,  so  geht  auch   allen  anderen   ihr 


Spaltbarbeit.  237 

gleichen  Flächen  ein  solcher  parallel,  und  zwar  ein  gleich  leicht  dar- 
stellbarer. Zuweilen  gehen  auch  krystallographisch  verschiedenen 
Flächen  eines  ErystaUs  Blätterbrüche  parallel,  wie  z.  B.  beim  Schwer- 
spat Dann  sind  zwar  alle  diejenigen,  welche  gleichen  Flächen  ent- 
sprechen, auch  gleich  leicht  darstellbar,  aber  solche,  welche  zu  ver- 
schiedenen Flächen  gehören,  lassen  sich  verschieden  leicht  herstellen. 
Allgemein  kann  man  also  sagen:  Gleichwertige  Flächen  eines  Krystalls 
verhalten  sich  bezttglich  der  Spaltbarkeit  einander  gleich,  verschieden- 
wertige  verschieden. 

Die  einfachen  ErystaUformen,  parallel  mit  deren  Flächen  Blätterbrüche  von 
mehr  oder  weniger  großer  Vollkommenheit  beobachtet  worden  sind,  sind  die 
folgenden : 

Regtdärta  System.  Würfel  (Steinsalz);  Oktaeder  (Flnfispat);  Granatoeder 
(Blende). 

Hexagonales  System.  Dihexaeder  (Pyromorphit) ;  hexagonales  Prisma  (Zinnober) ; 
Bhomboeder  (Kalkspat);  Basis  (Beryll). 

Quadratisches  System.  Oktaeder  (Scheelit);  qnadr.  Prisma  (Butil);  Basis 
(Apophyllit). 

Rhombisches  System.  Oktaeder  (Schwefel);  Prisma  (Schwerspat);  Pinakoid 
(Schwerspat,  Topas). 

Monoklifies  System.  Prisma  (Hornblende);  Längsfläche  (Gips);  parallel  mit 
der  Achse  b  (Glimmer,  Orthoklas). 

TriMines  System.    (Plagioklas.) 

An  den  Blätterbrüchen  der  verschiedenen  Mineralien  kann  man  sich  ebensogut 
krystallographisch  orientieren,  wie  an  den  ursprünglichen  Begrenznngsflächen.  Man 
kann  mit  ihrer  Hilfe  auch  vielfach  Individaen  von  Zwillingen  unterscheiden.  In 
ersteren  gehen  die  Spaltungsflächen  durch  die  ganze  Masse  ununterbrochen  hindurch ; 
in  letzteren  (aber  auch  in  Aggregaten)  gehen  sie  bis  zur  Grenze  der  Individuen,  um 
jenseits  derselben  in  anderer  Richtung  weiter  zu  laufen.  Außerdem  ist  die  Spaltbar- 
keit eine  charakteristische  Eigenschaft,  die  in  allen  Exemplaren  einer  Spezies  in 
derselben  Weise  wiederkehrt.  Sie  kann  daher  zur  Bestimmung  und  Unterscheidung 
der  Mineralien  dienen  und  ist  hierzu  ihrer  im  allgemeinen  leichten  Erkennbarkeit 
wegen  sogar  ganz  besonders  wichtig.  Man  sieht  hieraus,  daß  die  Spaltbarkeit  eine 
Eigenschaft  von  ganz  hervorragender  Bedeutung  bei  dem  Studium  der  Mine- 
ralien ist. 

Gehen  durch  ein  Mineral  Blätterbrüche  (Bl.  Br.)  nach  mehr  als 
zwei  nicht  in  einer  Zone  liegenden  Flächen,  so  kann  man  aus  ihm  ringsum 
ebenflächig  begrenzte  sog.  Spaltungsstücke  herausspalten,  welche  die 
Gestalt  derjenigen  einfachen  Krystallform  haben,  mit  deren  Flächen 
die  Bl.  Br.  parallel  gehen.  So  gibt  es  z.  B.  beim  Kalkspat  rhombo- 
edrische,  beim  Flußspat  oktaedrische,  beim  Steinsalz  hexaedrische 
Spaltungsstiicke.  Man  muß  sich  hüten,  solche  mit  echten  Krystallen 
zu  verwechseln  (6). 

Ihrem  physikalischen  Charakter  nach  sind  die  Blätterbioiche 
Flächen,  senkrecht  zu  welchen  die  absolute  Festigkeit  des  be- 
treffenden Minerals  ein  Minimum,  d.  h.  kleiner  ist»  als  nach  allen 
unmittelbar  benachbarten  Richtungen.    Die  Krystalle  lassen  sich  somit 


238  Spaltbarkeit 

senkrecht  zu  diesen  Flächen  mit  einem  Minimum  von  Kraft  aus- 
einander reißen.  Aus  dem  Verhalten  der  Erystalle  bezüglich  der 
Spaltbarkeit  ergibt  sich  das  Gesetz,  daß  die  Festigkeit  nach  gleich- 
wertigen Richtungen  dieselbe,  nach  verschiedenwertigen  Richtungen 
eine  verschiedene  ist,  wie  man  durch  direkte  Versuche  u.  a.  am  Stein- 
salz auch  zahlenmäßig  festgestellt  hat.  Da  die  Blätterbrüche  auf 
Eohäsions-(Festigkeits-)unterschieden  beruhen,  so  können  amorphe 
Substanzen  keine  solchen  Erscheinungen  zeigen,  denn  bei  ihnen  ist 
die  Eohäsion  (Festigkeit)  nach  allen  Richtungen  dieselbe  (4).  Blätter- 
brüche sind  daher  stets  ein  Beweis  für  Krystallisation.  Je  rascher  die 
Festigkeit  von  der  Richtung  eines  Minimums  nach  den  benachbarten 
Richtungen  hin  zunimmt,  desto  vollkommener  ist  im  allgemeinen  die 
Spaltbarkeit.  In  einem  vollkommen  intakten  Krystall  ist  von  der  Spalt- 
barkeit äußerlich  nichts  zu  bemerken.  Hat  er  aber  durch  eine  mecha- 
nische Einwirkung  schon  eine  Veränderung  erlitten,  dann  ist  sie  viel- 
fach an  geradlinigen  Rissen  (Spaltungsrissen)  zu  erkennen  und  man 
sieht  auf  diesen  das  lebhafte  Farbenspiel  des  Irisierens  (264)  und  eine 
eigentümliche  Art  des  Glanzes,  den  Perlmutterglanz  (258),  was  beides 
für  vollkommene  Spaltung  charakteristisch  ist. 

Die  Blätterbrüche  sind  demnach  keine  präexistierenden  Flächen 
leichtester  Trennbarkeit  von  bestimmter  Lage;  es  sind  Richtungen 
von  dem  angegebenen  physikalischen  Charakter.  Die  leichte  Teilung 
ist  nicht  auf  gewisse  Stellen  im  Krystall  beschränkt,  sondern  unter 
Anwendung  der  geeigneten  Hilfsmittel  an  jedem  Punkt  in  der  be- 
treflfenden  Richtung  ausführbar.  Dadurch  unterscheiden  sich  spalt- 
bare (blättrige)  Mineralien  von  sog.  geradschaligen  Aggregaten  (187), 
welche  aus  einzelnen ,  oft  sehr  dünnen  parallelflächig  begrenzten 
Lamellen  verwachsen  sind.  Hier  findet  eine  leichte  Trennung  nur 
nach  den  Flächen  statt,  in  denen  sich  zwei  solche  Platten  beruhigen, 
nicht  aber  auch  durch  deren  Mitte  hindurch.  Die  Möglichkeit  der 
ebenflächigen  Teilung  ist  demnach  hier  eine  endliche,  durch  die  Zahl 
der  übereinander  liegenden  Lamellen  bedingte.  Bei  spaltbaren  Mine- 
ralien dagegen  ist  sie  unbegrenzt;  jedes  Spaltungsplättchen  läßt  sich 
wieder  weiter  spalten,  bis  die  Unzulänglichkeit  der  mechanischen 
Hilfsmittel  eine  Grenze  setzt.  Scheinbare  Spaltbarkeit  entsteht  auch 
dadurch,  daß  einem  Krystall  in  einer  Richtung  zahlreiche  äußerst 
dünne  Plättchen  einer  fremden  Substanz  eingewachsen  sind.  Nach  dieser 
Richtung  findet  dann  leicht  eine  ebenflächige  Trennung  statt,  ohne 
daß  sie  einer  Fläche  geringster  Kohäsion  entsprechen  würde,  z.  B. 
beim  rhombischen  Hypersthen  nach  der  Querfläche.  Man>  pflegt  dann 
von  ebener  oder  schäliger  Absonderung  zu  sprechen. 

(Für  Spaltbarkeit  siehe  q.  a.:  Sohrike,  Ztschr.  f.  Kryst  Bd.  13.  1887.  pag.  214; 
Viola,  N.  Jahrb.  f.  Min.  etc.  1902.  I.  pag.  9;  Sadebeck,  Über  die  Teilbarkeit  der 
Krystalle.    Berlin  1876.) 


GldtflächeB.  239 

195.  GleltflSehen.  Wie  es  in  den  Erystallen  Flächen  der  ge- 
längsten  absoluten  Festigkeit  gibt^  parallel  mit  welchen  durch  Spaltung 
die  Blätterbrüche  dargestellt  werden  können,  so  existieren  auch  Minima 
der  Festigkeit  anderer  Art  nach  anderen  Flächen,  in  deren  Bichtung 
ebene  Trennungsflächen  durch  andere  mechanische  Prozesse  als  durch 
Spaltung  hergestellt  werden  können,  während  durch  Spaltung  dies 
nicht  möglich  ist. 

Preßt  man  einen  Steinsalzw&rfel  w  (Fig.  295)  senk-  ^^^^ 
recht  zu  zwei  gegenüberliegenden  Würfelkanten  v  (welche 
man  zweckmäßig  durch  Abfeilen  gerade  abstumpft),  so  j^ 
erfolgt  eine  Trennung  des  Würfels  in  zwei  Stücke  nach 
ganz  ebenen  und  glatten  Flächen,  welche  der  durch 
die  beiden  Kanten  v  gehenden  Granatoederfläche  g  ^.  ^^ 
parallel  sind.  Diese  Trennungsflächen  sind  dadurch 
entstanden,  daß  infolge  nie  ganz  zu  vermeidender  Unregelmäßig- 
keiten des  Drucks  die  beiden  Hälften  in  der  Richtung  der  Pfeile 
gegeneinander  verschoben  worden  sind,  und  man  hat  daher  in 
dieser  Granatoederfläche  eine  Fläche  leichtester  Verschiebbarkeit 
•oder  leichtesten  Gleitens,  eine  sog.  Gleitfläche  (Gleitbruch)  zu 
sehen.  Jeder  Granatoederfläche  des  Steinsalzes  geht  eine  Gleit- 
fläche parallel,  alle  lassen  sich  mit  gleicher  Leichtigkeit  dar- 
stellen, und  zwar  so  leicht,  daß  man  zuweilen  an  Steinsalzstücken 
solche  granatoedrischen  Gleitflächen  von  natürlicher  Entstehung  in- 
folge des  Gebirgsdrucks  sieht,  die  ganz  ebenso  glatt  und  glänzend 
sind,  wie  Blätterbrüche.  Durch  keinen  anderen  mechanischen  Prozess 
als  durch  das  Verschieben  lassen  sich  diese  Flächen  herstellen,  also 
namentlich  nicht  durch  Spalten,  während  man  umgekehii;  eine  ebene 
Trennungsfläche  parallel  den  Würfelflächen  des  Steinsalzes  nie  durch 
Abschieben  erhalten  kann.  Man  sieht  hieraus,  daß  hier  zwei  ganz 
verschiedene  Erscheinungen  vorliegen.  Gleitflächen  sowohl  wie  Blätter- 
brüche sind  wohl  Flächen,  nach  denen  eine  Trennung  der  kleinsten 
Teilchen  der  Krystalle  mit  der  größten  Leichtigkeit,  mit  der  ge- 
ringsten Kraft  bewerkstelligt  werden  kann.  Der  Unterschied  liegt 
darin,  das  beim  Spalten  die  trennenden  Kräfte  senkrecht,  beim  Ab- 
schieben parallel  zu  den  dabei  entstehenden  Trennungsflächen  gehen. 
Auf  der  Existenz  von  Gleitflächen  beruht  bei  manchen  Mineralien, 
z.  B.  dem  Gips,  Glimmer,  Antimonglanz  etc.,  die  Erscheinung,  daß 
ihre  KrystaUe  z.  T.  eine  deutliche  Biegung,  ja  eine  sehr  starke 
Krümmung  zeigen.  Für  die  Gleitflächen  und  die  ihnen  entsprechende 
Gleitfestigkeit  gilt  genau  dieselbe  Gesetzmäßigkeit  wie  fui*  die  Blätter- 
brüche. Auch  sie  sind  auf  Krystalle  beschränkt  und  ein  Beweis  für 
Krystallisation. 

Ähnliche  aber  etwas  kompliziertere  Erscheinungen  als  das  Stein- 


240  Gleitflftchen. 

salz^  dem  der  Bleiglanz  in  dieser  Beziehung  vollkommen  gleicht,  zeigt  der 
Kalkspat.    Feilt  man  an  zwei  gegenüberliegenden  Seitenecken  E  eines 

rhomboedrischen  Spaltnngsstücks  B  Flächen  an 
parallel  zu  zwei  Flächen  des  ersten  hexagonalen 
Prismas  und  preßt  in  der  Bichtung  der  Pfeile 
(Fig.  296),  so  entsteht  zunächst  eine  eingeschaltete 
Zwillingslamelle  zwischen  r  und  r^y  welche  in  der 
FiiT^e  Richtung  einer   Fläche   des  nächsten  stumpferen 

Rhomboeders  —  ^B  (0112)  verläuft.  Wird  der 
Druck  vermehrt,  so  findet  eine  Trennung  des  Rhomboeders  in  zwei  Stucke 
längs  einer  solchen  Fläche  — ^jR  statt,  welche  also  ebenfalls  eine 
Gleitfläche  ist.  Hier  geht  aber  nun  der  Trennung  in  der  Nähe  der 
nachmaligen  Trennungsfläche  eine  Umlagerung  der  Moleküle  in  eine 
Zwillingsstellung  voraus,  für  welche  ebendieselbe  Fläche  Zwillings- 
fläche ist  (Druckzwillinge).  Diese  Umlagerung  scheint  vor  der  durch 
die  Schiebung  bewirkten  völligen  Trennung  immer  dann  vor  sich  zu 
gehen,  wenn  die  betreffende  Gleitfläche  überhaupt  Zwillingsfläche  sein 
kann,  wenn  sie  also  keine  Symmetrieebene  ist  (155),  so  z.  B.  außer 
beim  Kalkspat  auch  beim  Glimmer,  Cyanit  etc.  Beim  Steinsalz  etc. 
dagegen  kann  die  Gleitfläche  parallel  der  Granatoederfläche,  da  sie  einer 
Symmetrieebene  entspricht,  nicht  Zwillingsfläche  sein ;  hier  findet  also 
eine  solche  vorläufige  Umlagerung  nicht  statt,  sondern  sofort  die  Trennung. 

Nach  dieser  Methode  lassen  sich  in  einem  Eaikspatkrystall  durch  Pressen  leicht 
ZwillingsIameUeu  herstellen.  Aber  auch  dnrch  natürliche  Vorgänge  sind  solche  viel* 
fach  entstanden.  EalkspatkrystaUe,  die  dem  Gebirgsdruck  ausgesetzt  gewesen  sind, 
enthalten  Lamellen  nach  den  Flächen  des  nächsten  stumpferen  Rhomboeders  stets  in 
größerer  Anzahl,  so  daß  ihre  Flächen  (Blätterbrüche)  mit  feinen  geradlinigen  Streifen 
parallel  der  großen  Diagonale  der  Spaltnngsflächen  bedeckt  sind,  die  durchaus  auf 
eine  natürliche  Pressung  zurückgeführt  werden  müssen. 

Noch  deutlicher  als  durch  diese  Zwillingslamellen  zeigt  sich  die  Umlagerung 
durch  das  Verfahren  von  Baumhatier^  bei  dem  ein  ganzes  Stück  eines  großen  Kalkspat- 
krystalls  durch  Druck  zu  letzterem  in  Zwillingsstellung  nach  demselben  Gesetz  ge- 

„1  bracht  werden  kann.    Setzt  man  (Fig.  297)  auf  einer  stumpfen 
~   Kante  Ee   eines  Spaltungsrhomboeders  von  Kalkspat  in  M  nahe 
bei  der  stumpfen  Ecke  E  ein  Messer  senkrecht  zu  der  Kante  auf, 
und  drückt  dasselbe  in  den  Krystall  hinein,  so  wird  die  bei  £ 
liegende  stumpfe  Ecke  infolge  der  leichten  Verschiebbarkeit  der 
p.     oQ«  Teilchen  in  der  Richtung  der  Fläche  r  nach  rechts  gedrängt. 

*  E  kommt  nach  E^  und  das  rechts  liegende  verschobene  Stück 

befindet  sich  gegen  das  Ganze  in  Zwillingsstellung,  wobei  wieder  die  Fläche  r  des 
nächsten  stumpferen  Rhomboeders,  welche  die  Kante  Eie  abstumpfen  würde,  Zwil- 
lingsfläche ist.    Die  stumpfe  Ecke  E  verwandelt  sich  dabei  in  die  scharfe  JSJK 

(i2eu«cA,  Pogg.  Ann.  132  pag.  441.  1867.  Sitzungsber.  Berl.  Ak.  1872.  Bauer, 
Zeitschr.  deutsch,  geol.  Ges.  1878  p.  283.  Baumhauer,  Zeitschr.  Kryst.  Bd.  HL  588, 
1879.  Bauer,  N.  Jahrb.  Min.  etc.  1882,  I.  Bd.  138.  Müyge,  ibid.  1883,  I.  Bd.  32, 
U.  Bd.  13;  1884,  I.  Bd.  60  und  216  und  an  anderen  Orten  der  Jahrg.  1883  u.  1884. 
Miiggt,  N.  Jahrb.  f.  Min.  etc.  1898,  I,  pag.  71.    Coromüas,  Diss.,  Tübingen  1877.) 


EOrnerprobe.    Härte.  241 

196.  KOmerprobe.  Eine  eigentümliche  Methode,  Gleitf  ächen  und  Blätter- 
brfiche  darsnstellen,  besteht  darin,  eine  stampfe  Stahlspitze,  z.  B.  eine  Schneider- 
n&hnadel  oder  einen  Körner,  wie  ihn  die  Metallarbeiter  verwenden,  durch  einen 
leichten  Schlag  in  das  Mineral  einzutreiben.  Für  härtere  Mineralien  hat  man  anch 
eine  Diamantspitze  angewendet.  Dabei  entstehen  in  bestimmten  Richtungen  knrze, 
mit  jenen  Trennnngsflächen  parallele  Sprünge,  welche  auf  der  Fläche,  auf  welcher 
die  Spitze  aufgesetzt  war,  ein  fttr  das  Mineral  charakteristisches  Liniensystem  hervor- 
bringen. Diese  Linien  heißen  ScMaglinien^  zusammen  bilden  sie  die  Schlagfigur, 
Setzt  man  den  Körner  auf  eine  Steinsalzspaltnngsfläche  auf,  so  entstehen  sechs  von 
dem  Angriffspunkt  ausgehende  und  den  Granatoederflächen  parallel  verlaufende 
Spalten,  also  den  Gleitflächen  entsprechend,  und  ebenso  kann  man  die  Gleitflächen 
auch  beim  Gips,  Kalkspat  etc.  auf  diesem  Wege  mittels  der  sog.  Kömerprobe  sichtbar 
machen.  Legt  man  eine  dünne  Glimmerplatte  (siehe  Glimmer)  auf  eine  elastische 
Unterlage,  so  bekommt  man  durch  die  Kömerprobe  einen  sechsstrahligen  Stern,  der 
aber  einem  System  von  Blätterbrüchen,  nicht  von  Gleitflächen  entspricht.  Drückt 
man  dagegen  langsam  auf  ein  solches  GHmmerblättchen  mit  einem  vom  gerundeten 
Stift,  so  entsteht  ein  anderer  sechsstrahliger  Stem,  der  gegen  den  ersteren  um  30® 
verdreht  ist  und  dessen  Strahlen  Gleitflächen  des  Glimmers  entsprechen  (Drucklinien, 
Druckpgur).  Die  Kömerprobe  ist  für  die  krystallographische  Orientierung  in  un- 
regelmäßig begrenzten  Mineralien  z.  B.  gerade  beim  Glimmer  nicht  ohne  Wichtig- 
keit. Ob  dabei  in  den  verschiedenen  Mineralien  jeweilig  Spaltungs-  oder  Gleitflächen 
hervorgebracht  werden,  hängt  von  den  speziellen  Kohäsionsverhältnissen  des  be- 
treffenden Minerals  ab,  ist  aber  für  diesen  praktischen  Zweck  gleichgültig. 

{Bausch,  Pogg.  Ann.  132  pag.  441;  136  pag.  ^130  u.  632.  1868.  Bauer, 
Pogg.  Ann.  138.  1869  pag.  337.  Zeitschr.  d.  deutsch,  geol.  Ges.  1874  pag.  138. 
Mugge,  N.  Jahrb.  f.  Min.  etc.  1884,  I,  pag.  63.    YergL  auch  die  Lit  in  (195).) 

197.  Hftrte.  Die  Härte  ist  die  Eigenschaft  der  Mineralien,  dem 
Eindringen  einer  Spitze  eines  fi'emden  Körpers  einen  Wideratand  ent- 
gegenzusetzen. Ist  die  Spitze  härter,  so  dringt  sie  bei  einem  gewissen 
Druck  in  das  Mineral  ein;  dasselbe  wird  geritzt,  und  zwar  um  so 
leichter,  je  größer  der  Unterschied  der  Härte  ist.  Ist  das  Mineral 
härter  als  die  Spitze,  so  gleitet  letztere  ohne  einzudringen  darüber 
weg.  Es  ist  nicht  möglich,  die  in  dieser  Weise  aufgefaßte  Härte  so 
einfach  zu  definieren,  wie  die  Elastizität,  die  Spaltbarkeit  und  die 
Gleitung,  da  sie  auf  komplizierte  Art  von  allen  Äußerungen  der 
Eohäsion  abhängt  Aber  wie  alle  mit  der  letzteren  zusammen- 
hängenden Eigenschaften  ändert  auch  sie  sich  in  krystallisierten 
Substanzen  gesetzmäßig  (189)  mit  der  Bichtung.  Gleichzeitig  ist  sie 
eine  wichtige  charakteristische  Eigenschaft  der  Mineralien  und  wird 
daher  auch  praktisch  zum  Erkennen  und  Unterscheiden  der  ein- 
zelnen Spezies  vielfach  verwendet. 

Zu  diesem  letzteren  Zweck  vergleicht  man  die  Härte  des  be- 
treffenden Minerals  mit  der  Härte  von  zehn  bestimmten  verschieden 
harten  und  vom  ersten  bis  zum  zehnten  allmählich  an  Härte  zu- 
nehmenden Mineralien,  die  von  Möhs  nach  den  praktischen  Bedürf- 
nissen der  Mineralogie  zweckmäßig  ausgewählt  worden  sind  und  welche 
die  Mohssche  Härteskala  bilden.    Die  Glieder  derselben  repräsentieren 

Bauer»  Mineralogie.  16 


242  Härte. 

die  Härtegrade.  Diese  zehn  fiir  die  einzelnen  Härtegrade  typischen 
Glieder  der  Härteskala  sind  vom  weichsten  zum  härtesten: 

1.  Talk;  2.  Gips;  3.  Kalkspat;  4.  Flußspat;  5.  Apatit;  6.  Feld- 
spat; 7.  Quarz;  8.  Topas;  9.  Korund;  10.  Diamant 

Der  Talk  ist  das  weichste,  der  Diamant  das  härteste  der  be- 
kannten Mineralien;  innerhalb  dieser  Skala  müssen  also  die  übrigen 
alle  liegen. 

Man  bestimmt  die  Härte  der  Mineralien  in  Graden  der  stets 
vorrätig  zu  haltenden  Skala,  indem  man  mit  einer  spitzigen  Stelle 
der  Mineralien  derselben  von  Nr.  1  anfangend  und  der  Eeihe  nach 
zu  den  härteren  fortschreitend  über  eine  möglichst  glatte  und  aus- 
gedehnte Fläche  des  zu  untersuchenden  Minerals  hinfährt,  bis  bei 
irgend  einem,  z.  B.  dem  4.  Gliede  der  Skala,  ein  Ritzen  erfolgt.  Dann 
ist  das  zu  untersuchende  Mineral  weicher  als  dieses  letztere.  Ist  es 
genau  so  hart  wie  das  vorhergehende,  also  das  3.  Glied  der  Skala 
war,  durch  welches  noch  kein  Ritzen  hervorgebracht  wurde,  so  findet 
auch  kein  Ritzen  statt,  wenn  man  umgekehrt  über  dieses  letztere  mit 
dem  zu  untersuchenden  Mineral  hinstreicht.  Erhält  man  jedoch  hierbei 
eine  Einwirkung,  so  ist  das  Mineral  des  dritten  Härtegrades  weicher 
als  das  zu  untersuchende,  und  die  Härte  des  letzteren  liegt  zwischen 
der  des  3.  und  4.  Gliedes  der  Skala.  Man  sagt  im  ersten  Fall,  das 
Mineral  hat  den  dritten  Härtegrad  (H.  =  3);  im  anderen  Fall  ist 
H.«»3 — 4  oder  =3Va.  Weitere  Unterabteilungen  lassen  sich  zwar 
schwer,  aber  immerhin  zuweilen  noch  mit  einiger  Sicherheit  fest- 
stellen: H.  =  3 Vi  oder  3*/4.  Hierdurch  soll  aber  nur  ausgedrückt 
werden,  daß  die  Härte  des  zu  untersuchenden  Minerals  näher  beim 
dritten  resp.  beim  vierten  Härtegrad  liegt. 

Annähernden  Aufschluß  üher  die  Härte  der  Mineralien  gehen  folgende  Be*- 
merkungen.  Mineralien  des  .1.  Härtegrades  fühlen  sich  fettig  an  (Graphit,  Talk); 
die  des  zweiten  lassen  sich  noch  mit  dem  Fingernagel  ritzen,  nicht  mehr  aher  die 
des  dritten;  bis  £.  =  4  leicht  mit  einem  Messer  ritzbar,  5  schon  nicht  mehr  gut, 
aber  mit  einer  harten  Feile.  Für  gewöhnliches  Fensterglas  ist  ziemlich  genau 
^.  =  5;  Mineralien,  welche  Fensterglas  ritzen,  haben  also  mindestens  etwas  mehr 
als  H.s^b,  Von  B.,^1  an  geben  die  Mineralien  am  Stahl  reichliche  Funken,  z.  B. 
Quarz.  Härter  als  Quarz  sind  nur  einige  wenige  Mineralien,  meist  Edelsteine 
(Edelsteinhärte),  denen  allen  weit  voran  der  Diamant. 

Die  Mohssche  Methode  der  Härtebestimmnng  ist  zwar  praktisch  von  hohem 
Wert,  aber  doch  zu  wenig  genau,  als  daß  die  Gesetze  der  Verteilung  der  Härte  an 
den  KrystaUen  nach  ihr  könnten  ermittelt  werden.  Dies  ist  nur  bei  sehr  großen 
Härtedifferenzen  der  FaU,  z.  B.  beim  Cyanit,  wo  an  verschiedenen  Stellen  die  Härte 
zwischen  den  Graden  4  Vs  und  7  schwankt,  und  in  wenigen  anderen  Fällen,  in  denen  aber 
immer  die  unterschiede  weit  geringer  sind,  als  beim  Cyanit.  Bei  dem  rhomboedrisch 
krystallisierenden  Kalkspat  findet  man  z.  B.,  daß  die  Härte  am  größten  ist  auf  den 
Flächen  des  ersten  Prismas,  am  kleinsten  auf  den  Flächen  des  Hauptrhomboeders 
(Spaltungsrhomboeders)  in  der  Richtung  der  kleinen  Diagonale  von  der  Seitenecke 
zu  der  Endecke;  in  der  umgekehrten  Richtung,  von  der  Endecke  zur  Seitenecke, 


Härte.  248 

geht  auf  derselben  Fläche  das  Ritzen  schwieriger  von  statten.  Dieser  Unterschied 
entspricht  der  krystallographischen  Verschiedenheit  der  beiden  Richtungen  längs 
der  kleinen  Diagonale;  längs  der  großen  Diagonale  ist  wie  krystallographischi  so 
auch  in  Bezug  auf  die  Härte  kein  Unterschied,  ob  man  Ton  rechts  nach  links  geht 
oder  entgegengesetzt:  beide  Endpunkte  sind  Seitenecken,  also  gleichwertig. 

Die  Möglichkeit  solcher  größerer  Differenzen  an  demselben  Krystall  ist  bei  der 
Härtebestimmung  mittels  der  Mohsschen  Skala  stets  im  Auge  zu  behalten,  tn  den 
meisten  Fällen  zeigen  aber  die  Krystalle  dabei  überall  ziemlich  dieselbe  Härte,  da  ge- 
ringere Unterschiede  bei  diesen  verhältnismäßig  rohen  Versuchen  nicht  mehr  hervor- 
treten ;  es  ist  die  charakteriatische  Härte  des  Minerals,  die  durch  den  Mohsschen  Härte- 
grad  angegeben  wird.  Handelt  et  sich  aber  darum,  behufs  Ermittlung  der  Änderung  der 
Härte  auf  der  Oberfläche  eines  Krystalls  auch  die  feineren  Unterschiede  festzustellen, 
so  hat  man  zu  diesen  genaueren  Untersuchungen  besondere  Instrumente,  sog.  Skkro- 
meter,  zu  benützen.  Diese  ermöglichen  das  Messen  der  Kraft,  die  nötig  ist,  um  eine 
Spitze  von  Stahl  oder  Diamant  eben  noch  in  das  Mineral  eindringen  zu  lassen,  wenn 
dieselbe  in  einer  bestimmten  Richtung  über  eine  ebene  Fläche  desselben  hinweg- 
gezogen wird.  Die  Spitze  wird  solange  mit  Gewichten  beschwert,  bis  sie  bei  ihrem 
Wege  eben  noch  einen  Ritz  hervorbringt,  und  diese  Gewichte  werden  als  Maß  der 
Härte  betrachtet,  gleiches  Material  der  Spitze  vorausgesetzt.  Auf  diese  Weise  hat 
man  ermittelt,  daß  die  Krystalle  in  krystallographisch  gleichen  Richtungen  stets 
dieselbe  Härte  haben;  ob  die  Härte  in  ungleichen  Richtungen  stets  verschieden  ist, 
ist  noch  unsicher,  da  eben  auch  das  Skierometer  ganz  kleine  Unterschiede  nicht  mehr 
angibt;  doch  ist  dies  durchaus  wahrscheinlich. 

Die  Härte  auf  jeder  Fläche  kann  graphisch  mittels  der  sog.  Härtekurve  da- 
durch dargestellt  werden,  daß  man  die  zum  Ritzen  in  jeder  Richtung  nötigen  Ge- 
wichte als  Radien  in  dieser  Richtung  von  einem  gemeinsamen  Mittelpunkt  aus  auf- 
trägt und  die  Endpunkte  dieser  Radien  miteinander  durch  eine  Linie  verbindet.  Die 
Härtekurven  stellen  die  Verteilung  der  Härte  in  den  verschiedenen  Richtungen  jeder 
Kjystallfläche  unmittelbar  anschaulich  dar.  Ihre  Symmetrie  ist  stets  dieselbe  wie 
die  der  Fläche,  auf  der  sie  liegen.  Amorphe  Substanzen  haben  nach  allen  Rich- 
tungen die  gleiche  Härte,  die  Härtekurven  sind  demnach  bei  ihnen  stets 
Kreise.  Härteunterschiede  an  homogenen  Körpern  beweisen,  daß  letztere  krystalli- 
siert  sind. 

Vermittelst  des  Skierometers  hat  man  auch  die  Härtegrade  der  Mohsschen 
Skala  miteinander  verglichen  und  gefunden,  daß  zwischen  ihnen  keineswegs  gleiche 
Härteunterschiede  liegen.  Als  allgemeines  Vergleichsobjekt  diente  das  Gußeisen, 
dessen  mit  dem  Skierometer  gemessene  Härte  =  1000  Einheiten  (Gewichtseinheiten) 
gesetzt  wurde.  Dann  ergaben  sich  die  Härten  anderer  Objekte  gemessen  mit  dem 
Skierometer  einerseits  und  anderseits  mit  der  Mohsschen  Härteskala: 

Stabeisen    948  Einheiten  =  5  Grad. 


Platin 

376 

n 

=  4-4'/, 

Kupfer 

301 

n 

=  2V,-3 

SUber 

208 

n 

=  2'/.-3 

Gold 

167 

n 

=  2V.-3 

Wismuth 

52 

n 

=  2". 

Zinn 

27 

n 

<=2 

Blei 

16 

n 

=  1'/. 

n 


Hieraus  sieht  man,  daß  innerhalb  des  Mohsschen  Härteintervalls  2»/2— 3  Sklero* 
meterhärten  von  167  bis  301  Einheiten  mit  einer  Differenz  =  134  Einheiten  liegen 
und  daß  die  Härteunterschiede  zwischen  den  Mohsschen  Graden  in  der  Tat  recht 
erheblich  verschieden  sind.    Es  stellen  sich  folgende  Differenzen  heraus: 

16* 


244  Härte.    Zenprengbarkeit 

Zwischen  IVt  und  2     Grad     11  Einheiten. 

„  2  „  2V.  „  26  „ 
„  2V«  ,  3  „  249  „ 
,  3  „  4V.  „  74  „ 
n        ^V«    »6         »673         „ 

Dnrch  die  genauere  Härteuntersnchung  mittels  des  Skierometers  sind  anch 
Begehungen  zwischen  der  Härte  und  SpcUtbarkeit  (194)  konstatiert  worden.  Nur 
deutlich  spaltbare  Erystalle  zeigen  auch  deutliche  Härteunterschiede,  und  zwar  findet 
man  die  geringste  Härte  auf  den  Flächen,  die  den  Blätterbrüchen  parallel  gehen, 
die  grüßte  auf  denen,  die  zu  diesen  senkrecht  sind.  Ist  ein  Blätterbruch  senkrecht 
zu  einer  Erjstallfläche,  so  findet  man  auf  ihr  in  der  Richtung  des  Blätterbruchs  die 
geringste,  senkrecht  dazu  die  größte  Härte.  Ist  ein  Blätterbruch  schief  zu  einer 
Krystallfiäche,  so  daß  er  mit  ihr  einerseits  eine  spitze,  anderseits  eine  stumpfe  Kante 
bildet,  so  ist  auf  einer  Linie  senkrecht  zu  diesen  beiden  Kanten  auf  der  Fläche  die 
größte  Härte  zu  finden,  wenn  man  die  Spitze  von  der  Mitte  nach  der  spitzen,  die 
geringste,  wenn  man  sie  nach  der  stumpfen  E^ante  bewegt.  Hier  ist  also  ebenfalls 
auf  einer  Linie  in  beiden  entgegengesetzten  Bichtungen  yerschiedene  Härte  und  dies 
ist  immer  dann  der  Fall,  wenn  die  beiden  Enden  dieser  Linie  krystallog^phisch  un- 
gleichartig sind.  Sind  mehrere  Blätterbrttche  vorhanden,  so  summieren  sich  ihre 
Wirkungen  auf  der  betreffenden  Fläche.  Ist  nur  eine  einzig^  deutliche  Spaltungs- 
richtung vorhanden,  so  sind  auf  ihr  keine  deutlichen  Härtennt6rschiede  zu  beobachten. 

Solche  Härteunterschiede  an  einem  und  demselben  Krystall  sind  den  Edelstein- 
schleifem  längst  bekannt.  Diese  haben  z.  B.  die  Erfahrung  gemacht,  daß  sich  der 
Diamant  auf  den  Oktaederflächen  viel  leichter  schleift,  als  auf  den  Wtlrfelflächen, 
daß  erstere  also  erheblich  weicher  sind,  als  letztere.  Schleifversuche  sind  auch 
schon  zu  vergleichenden  Bestimmungen  der  Härte  ganzer  Flächen  benützt  worden 
und  man  hat  auch  besondere  Instrumente  dafür  konstruiert  (Usometer).  Doch  hat 
diese  Methode  bis  jetzt  für  die  praktischen  Zwecke  der  Mineralogie  noch  keine  Be- 
deutung erlangt,  ebensowenig  wie  der  Pfaffsche  Begriff  der  „absoluten  Härte**  in 
einer  linearen  Richtung  und  der  „mittleren  Härte**  einer  Fläche  und  der  Bestimmung 
der  letzteren  durch  das  Mesosklerometer.  Dasselbe  gilt  auch  für  die  von  Hertz  ein- 
geführte streng  wissenschaftliche  Definition  des  Begriffs  der  Härte  in  einem  anderen 
Sinne,  als  dem  obigen,  nämlich  als  der  Elastizitätsgrenze  eines  Körpers  bei  der 
Berührung  einer  ebenen  Fläche  desselben  mit  einer  kugelförmigen  Fläche  eines 
anderen  Körpers.  (Verhandlgn.  d.  pbys.  Ges.  Beriin  1^,  pag.  67,  sowie  Auerbach, 
Ann.  d.  Phys.  Bd.  43,  1891,.  pag.  61  Bd.  4ß,  1892,  pag.  262  u.  277;  Bd.  58,  1896, 
pag.  357.)    Hiervon  soll  daher  hier  nicht  weiter  die  Rede  sein. 

{Exner,  Untersuchungen  über  die  Härte  an  Krystallflächen  1873.  Franz,  Pogg. 
Ann.  Bd.  80,  18ö0,  pag.  37.  Grailich  und  Pekarek,  Sitzgsber.  Wien.  Akad.  13  Bd. 
1854,  pag.  410.  Pfaff,  Sitzgsber.  München.  Akad.  1883,  pag.  55  u.  372,  1884,  pag.  226 
(Mesosklerometer).  Bosival,  Verhandlgn.  k.  k.  geol.  Reichsanst.  Wien.  1896  Nr.  17 
u.  18.  Jannettaz,  Association  fran^se  pour  Tavancement  des  sdences.  Aug.  1895 
(Usometer).) 

198.  Zersprengbarkeit«  Von  der  Härte  im  allgemeinen  verschieden  ist  die 
Zersprengbarkeit  der  Mineralien,  die  größere  oder  geringere  Leichtigkeit,  mit  der 
durch  Hammerschläge  Stücke  losgelöst  werden  können.  Manche  Mineralien  sind 
zwischen  den  Fingern  zerreiblich,  lockere  Massen,  z.  B.  Kreide.  Leicht  zersprengbar 
ist  z.  B.  Schwefel,  Feuerstein  etc.,  schwer  zersprengbar  (fest^  zähe)  z.  B.  Nephrit. 
Diese  Eigenschaft  scheint  mit  der  Tenazität  (199)  und  d^  Struktur  in  naher  Beziehung 
zu  stehen,    l^pröde  Mineralien  sind  häufig  leichter  zersprengbar  als  milde,  dehnbare 


Tenazität.    AtEfig^nren.  246 

lassen  sich  überhaupt  nicht  mehr  in  Stücke  zerschlagen.  Besonders  fest  und  z&he 
sind  gewisse  yerworren  fasrige  Aggregate,  wie  z.  B.  der  Nephrit,  der  sich  viel 
schwieriger  zertrümmern  l&ßt,  als  kiystallisierte  Hornblenden,  zn  denen  er  als  Varie- 
tät gehört  Auch  die  verschiedenen  Varietäten  des  Quarzes  zeigen  sich  in  Bezug 
auf  Zersprengbarkeit  sehr  verschieden,  was  ebenfalls  mit  Strukturverhältnissen  zu« 
sammenhängen  dürfte.  Jedenfalls  sind  nicht  immer  härtere  Mineralien  auch  schwerer 
zersprenghar  (fester),  als  weichere. 

199.  Tenazltat  Unter  Tenazität  versteht  man  das  auf  der 
Eohäsion  beruhende  Verhalten  der  Mineralien  gewissen  besonderen 
äußeren  mechanischen  Einwirkungen  gegenüber.  Es  zeigen  sich  dabei 
mancherlei  charakteristische  Eigenschaften,  die  für  das  Erkennen  und 
Unterscheiden  der  Mineralkörper  von  Bedeutung  sind  und  die  man 
daher  mit  besonderen  Namen  belegt  hat. 

Spröde  heißen  solche  Mineralien,  von  denen  das  beim  Einritzen 
mit  dem  Messer  erzeugte  Pulver  unter  Geräusch  weggeschleudert 
wird  (Feldspat,  Blende  etc.,  überhaupt  die  Mehrzahl  der  Mineralien). 
Müde  sind  solche,  bei  welchen  das  Pulver  neben  der  durch  das  Eitzen 
entstandenen  Einne  ruhig  liegen  bleibt  (Speckstein,  Graphit  etc.).  An 
manchen  Mineralien  entsteht  beim  Eitzen  überhaupt  kein  Pulver, 
sondern  nur  eine  vertiefte  Einne.  Von  solchen  kann  man  am  Eande 
Spähne  abschneiden.  Zerbrechen  diese  auf  dem  Amboß  beim  Schlagen 
mit  dem  Hammer,  so  ist  das  Mineral  geschmeidig  (z.  B.  Kupferglanz); 
zerbrechen  sie  nicht,  sondern  lassen  sie  sich  zu  einer  Platte  hämmern, 
so  heißt  das  Mineral  dehnbar  (duktil)  (edle  Metalle);  doch  wird 
zwischen  dehnbar  und  geschmeidig  nicht  immer  scharf  unterschieden. 
Mineralien,  welche  sich  in  dünnen  Platten  umbiegen  lassen,  heißen 
biegsam^  und  zwar  elastisch  biegsam,  wenn  sie  nach  Aufhören  der 
Wirkung  der  biegenden  Kräfte  ihre  ursprüngliche  Gestalt  wieder  an- 
nehmen (Glimmer) ;  gemein  biegsam^  wenn  sie  dauernd  gebogen  bleiben 
(Chlorit).  Manche  Mineralien  sind  nach  gewissen  Eichtungen  biegsam, 
nach  anderen  brechen  sie  ohne  Biegung  durch,  z.  B.  Gips. 

200.  Atzflgruren.  In  nahem  Zusammenhang  mit  den  bisher  be- 
trachteten Verhältnissen  der  Kohäsion  steht  das  Verhalten  der  Mine- 
ralien gegen  den  Einfluß  von  Lösungsmitteln,  durch  welche  die  sog. 
Ätafiguten  hervorgebracht  werden.  Diese  sind  mehr  oder  weniger 
regelmäßig  geradlinig,  scharfkantig  und  -eckig  begrenzte  Ver- 
tiefungen auf  den  Flächen  der  Mineralien.  Sie  entstehen,  wenn  man 
die  Krystallflächen  kurze  Zeit  mit  einem  passenden  gasförmigen  oder 
flussigen  Lösungsmittel  in  Berührung  bringt.  Diese  Figuren  folgen 
mit  ihrer  Symmetrie  genau  der  Symmetrie  der  Krystalle,  auf  denen 
sie  gebildet  werden.  Sie  werden  begrenzt  von  kleinen  Flächen,  den 
Auflachen,  welche  parallel  mit  möglichen  Krystallflächen  in  das  Innere 
des  Krystalls  hineingehen.    Die  Ätzflächen  liegen  in  bestimmten  Zonen, 


246 


Ätzfiguren. 


den  Ätzeonen  des  betreffenden  Krystalls.  Alle  gleichen  Flächen  eines 
Krystalls  tragen  cet.  par.  stets  die  gleichen  Ätzflguren,  und  die 
anf  jeder  Fläche  befindlichen  Figuren  sind  untereinander  parallel  und 
haben  stets  dieselbe  Symmetrie,  wie  die  betreffende  Fläche  selbst. 
Treten  die  Ätzfiguren  dicht  zusammen,  so  daß  sie  sich  berühren,  so 
lassen  sie  zwischen  sich  regelmäßig  ebenflächig  begrenzte  Erhaben- 
heiten, die  man  Ätzhügel  nennt  und  die  gleichfalls  dieselbe  Symmetrie 
zeigen  müssen,  wie  die  Flächen,  auf  denen  sie  sitzen. 

So  haben  die  drei  rhomboedrischen  Spaltlingsflächen  des  Kalkspats  durch  Ätzen 
mit  HCl  Figuren  von  der  Fig.  298  abgebildeten  Form,  welche  symmetrisch  znr 
kleinen  Diagonale  dieser  Flächen  liegen:  rechts  und  links  gleich,  oben  und  unten 
Terschieden  ausgebildet.  Eine  Glimmerplatte  erhält  durch  Ätzen  mit  HFl  Ätzein- 
drücke, welche  nur  zur  kleinen  Diagonale  der  natürlichen  rhomblBchen  Spaltungs- 
plättchen  symmetrisch  sind,  nicht  aber  zur  großen,  ganz  der  monoklinen  Erystalli- 
sation  des  Glimmers  entsprechend  (Fig.  299).    Die  Ätzflguren  auf  den  Pinakoidflächen 


A                  A. 

;• 

A 

Fig.  298. 


Fig.  299. 


Fig.  300. 


Fig.  301 


des  Schwerspats  sind  der  rhombischen  Symmetrie  entsprechend  stets  nach  zwei  auf- 
einander senkrechten  Richtungen  symmetrisch.  Auf  einer  Prismenfläche  von  Apatit 
sind  sie  der  pyramidalen  Hemiedrie  entsprechend  oben  und  unten  gleich,  rechts  und 
links  verschieden  (Fig.  300).  Auf  der  Querfläche  von  Kieselzinkerz  sind  sie  endlich 
rechts  und  links  gleich,  aber  dem  Hemimorphismus  nach  der  aufrecht  stehenden 
Achse  entsprechend  oben  und  unten  verschieden  (Fig.  301)  etc. 

Wegen  der  Übereinstimmung  der  Symmetrie  der  Ätzfiguren  mit 
der  des  betreffenden  Krystalls,  resp.  der  betreffenden  Krystallfläche 
kann  man  aus  ersterer  auf  letztere,  also  auf  die  Zugehörigkeit  zu  der 
oder  jener  Krystallklasse  schließen.  Man  stellt  zu  diesem  Zweck  viel- 
fach an  den  Mineralien  solche  Figuren  dar.  Diese  üntersuchungs- 
methode  hat  sogar  neuerer  Zeit  eine  erhebliche  Wichtigkeit  erlangt, 
und  die  Kiystallisation  mancher  Mineralien  ist  durch  sie  erst  richtig 
erkannt  worden.  So  hat  z.  B.  die  Gestalt  der  Ätzeindrücke  auf  den 
Spaltungsflächen  des  Glimmers  zuerst  auf  die  Vermutung  geführt^  daß 
derselbe  monoklin  sei,  und  niclit  rhombisch,  wie  man  früher  geglaubt 
hatte.  Die  Ätzflguren  an  dem  seiner  äußeren  Begrenzung  nach 
scheinbar  hexagonal- vollflächigen  Nephelin  haben  gezeigt,  daß  er  mit 
Wahrscheinlichkeit  pyramidal-hemiedrisch  und  zugleich  hemimorph  ist, 
also  der  pyramidal  hemimorphen  Klasse  angehört  Beim  Quara  kann 
man  an  den  Ätzflguren  die  beiden  korrelaten  Rhomboeder  voneinander 
unterscheiden  und  erkennen,  daß  er  trapezoedrisch-tetartoedrisch  sein 
muß.    Auch  für  die  Erforschung  von  Zmllingen  bieten  die  Ätzflguren 


Ätzfi^ren.  247 

ein  gutes  Hilfsmittel  durch  ihre  symmetrische  Lage  zur  Zwillings- 
grenze statt  der  durchweg  parallelen  über  die  ganze  Fläche  weg; 
daher  eignen  sie  sich  auch  vorzüglich  zur  Untersuchung  des  Baues 
mimetischer  (171)  Krystalle. 

Die  voUkommene  Übereinstimmung  der  Symmetrie  der  Ätzfignren  mit  derjenigen 
der  Fläcbe,  an!  der  sie  liegen,  zeigt,  daß  die  Ätznng,  der  Angriff  der  KrystaUe  durch 
Lösungsmittel,  nach  krystallographisch  gleichen  Richtungen  gleich,  nach  yerschieden- 
wertigen  verschieden  leicht  vorwärts  schreitet.  Durch  die  LOsung  wird  der  Zu- 
sammenhang der  kleinsten  Teilchen  der  KrystaUe  auf  chemischem  Wege  aufgehoben. 
Die  Ätzfiguren  geben  uns  also  einen  Einblick  in  die  chemische  Kohäsion  der 
•KrystaUe  und  zwar  sind  die  Atzflächen  solche  Flächenrichtungen,  senkrecht  zu 
denen  die  Auflösung  am  schwierigsten  fortschreitet;  senkrecht  zu  ihnen  gehen  Rich- 
tungen der  größten  chemischen  Kohäsion.  Fftr  letztere  gelten  also  in  ihren  Be- 
ziehungen zur  Krystallform  dieselben  Gesetzmäßigkeiten,  wie  fRr  die  mechanische 
Kohäsion.  Daß  auf  gleichwertigen  Flächen  eines  Krystalls  die  Lösung  mit  gleicher 
Leichtigkeit,  auf  verschieden  wertigen  in  zuweilen  sehr  stark  verschiedenem  Maße 
einwirkt,  kann  man  auch  direkt  zahlenmäßig  nachweisen.  Auf  den  vollkommen 
spaltbaren  Rhomboederflächen  R  von  Kalkspat  (CaCO^)  wird  durch  HCl  unter 
gleichen  Umständen  siebenmal  so  viel  CO^  entwickelt,  als  auf  der  Basis  OR. 
Krystalle  des  rhombischen  Äragonit  (gleichfaUs  CaCO^),  werden  auf  den  Prismen- 
flächen viel  leichter  von  HCl  angegriffen  als  auf  der  Längsfläche.  HF  wirkt  auf 
die  Frismenflächen  beim  Qitarz  (StO«)  viel  schwieriger  ein,  als  auf  die  Endflächen 
etc.  Immer  verhalten  sich  dabei  aber  gleichwertige  Flächen  ganz  gleich,  also  alle 
Rhomboederflächen  R  des  Kalkspats,  alle  Prismenflächen  des  Quarzes  etc.  Auf 
amorphen  Mineralien  können  niemals  regelmäßig  ebenflächige  Atzfiguren  entstehen. 
Bei  ihnen  dringt  die  Auflösung  stets  nach  allen  Richtungen  gleich  leicht  in  die 
Substanz  ein. 

Auch  wenn  nicht  einzelne  Krystallflächen,  sondern  ganze  KrystaUe  mit  einem 
Lösungsmittel  behandelt  werden,  tritt  die  genannte  Gesetzmäßigkeit  deutlich  hervor. 
Der  Angriff  erfolgt  dabei  häufig  besonders  an  den  Kauten  und  es  entstehen  an  ihrer 
Stelle  Flächen,  sog.  Frärosionsflächen.  Dabei  verhalten  sich  stets  gleiche  Kanten 
gleich  etc.  Behandelt  man  z.  B.  einen  Quarzkrystall  mit  HF,  so  werden  dadurch 
die  abwechselnden  Kanten  F/z,  sowie  die  Kanten  FjF,  Fjs  und  r/z  abgestumpft, 
j^anz  wie  es  der  trapezoedrischen  Tetartoedrie  des  Minerals  entspricht  (siehe  die  Be- 
schreibung des  Quarzes).  Nicht  minder  beweisend  sind  Versuche  an  Kugeln,  die 
aus  Krystallen  herausgeschnitten  sind.  Diese  nehmen  in  einem  Lösungsmittel  all- 
mählich eine  der  Symmetrie  der  betreffenden  Substanz  entsprechende  Form  an. 
Kalkspatkugeln  erhalten  nach  längerem  Liegen  in  HCl  rhomboedrische  Formen  etc. 

Die  Ät^eindrtlcke  sind  im  allgemeinen  um  so  schärfer,  je  kleiner  sie  sind  und 
durch  je  kürzere  Einwirkung  des  Lösungsmittels  sie  entstanden  sind.  Einige  Augen- 
bUcke  der  Einwirkung  des  letzteren  genügen  vielfach.  Verlängert  man  die  Ein^ 
Wirkung,  so  werden  die  Figuren  groß,  aber  unregelmäßig  und  verschwommen. 
Manchmal  sind  sie  von  mikroskopischer  EUeinheit  und  werden  dann  gerne  in  Hausen- 
blasenabdrücken  der  Flächen  beobachtet.  Ihre  spezielle  Gestalt  auf  einem  Mineral 
hängt  z.  T.  von  der  Natur  und  von  der  Koncentration  des  Lösungsmittels  ab,  aber 
für  aUe  Lösungsmittel  sind  die  Verhältnisse  der  Symmetrie  so,  wie  wir  sie  oben 
kennen  gelernt  haben.  Als  gasförmiges  Lösungsmittel  dient  u.  a.  der  Sauerstoff, 
so  beim  Glühen  eines  oxydierbaren  Körpers,  z.  B.  des  Diamants,  an  der  Luft. 

Viele  kleine  Ätzfiguren  auf  einer  Fläche  beeinflussen  die  Reflexion  des  Lichts 
auf  dieser.  Die  Folge  davon  ist  häufig  eine  charakteristische  Art  von  Glanz,  den 
man    Krystalldamast    genannt    hat,    sowie    eigentümlich    gestaltete   Reflexbilder 


248  Verwittenmg.    Yerst&abuiig.    OptiBche  Eigenschaften. 

einer  Lichtflamme,  die  Lichtfiffuren,  die  gleichfalls  in  derselben  Weise  symmetrisch 
gestaltet  sind,  wie  die  Flächen,  auf  denen  sie  erscheinen. 

Viele  Mineralien  (Kalkspat,  Flußspat,  Qnarz,  Topas,  Schwerspat  etc.)  zeigen 
nicht  selten  natürliche  Ätzfignren,  hervorgebracht  durch  die  Gebirgsfeuchtigkeit  und 
andere  natttrliche  Einflüsse.  Dieselben  sind  meist  groß  und  ihre  Begrenzung  ist 
unregelm&ßig  und  undeutlich.  Durch  längeres  Andauern  solcher  natürlicher  Atzung 
werden  die  Krystalle  nicht  selten  ganz  zerfressen  (korrodiert)  und  gleichen  dann 
Krystallskeletten  (177). 

(Leydolt,  Sitzungsber.  Wiener  Akad.  Bd.  15.  1865.  pag.  59  und  19.  1855.  pag.  70; 
Baumhauer,  Zusammenfassung  zahlreicher  Arbeiten  in :  die  Resultate  der  Atzmethode 
in  der  krystallographischen  Forschung,  1894;  ExncTf  Sitzungsber.  Wiener  Akad.  69. 
pag.  6;  Birschwald,  Fogg.  An.  Bd.  137.  1869.  pag.  248;  G.  Rose,  Sitzungsber. 
Berl.  Akad.  1872.  pag.  520;  Tschermak,  Min.  u.  petr.  Mittig.  Bd.  4.  1882.  pag.  99; 
Becke,  ibid.  Bd.  5.  1883.  pag.  457;  6.  1886.  pag.  237;  7.  1886.  pag.  200;  8.  1887. 
pag.  239;  9.  1888.  pag.  1;  Bamberg,  Geol.  Foren  i.  Stockholm  FörhandL,  Bd.  12. 
1890.  pag.  617;  Bd.  17.  1895.  pag.  53  u.  453;  und  noch  viele  andere  Aufsätze,  die 
z.  T.  noch  bei  der  Beschreibung  der  einzelnen  Mineralien  genannt  werden  sollen.) 

200  a.  Terwittenmg.  Terstäabiing«  Mit  der  chemischen  Eohäsion  hängt 
auch  der  Wasserverlust  zusammen,  den  manche  Ersrstalle  schon  bei  niederer  Tempe- 
ratur erleiden  und  der  einen  Teil  der  Verwltterungsprozesse  (310)  bildet.  Man  hat 
die  Erscheinung  auch  wohl  als  Verstaubung  bezeichnet.  Der  Vorgang  beginnt  zu- 
weilen wie  die  Auflösung  (200)  von  einzelnen  Punkten  der  Oberfläche  und  schreitet 
Ton  hier  aus  allmählich  vorwärts,  bis  das  ganze  Stück  entwässert  und  gleichzeitig 
in  ein  trübes  Pulver  zerfallen  ist.  Um  die  Anfangsstellen  bilden  sich  zunächst  rund- 
liche, halbkugelfBrmig  oder  ellipsoidisch  erscheinende  mit  diesem  trüben  Pulver  er- 
füllte Vertiefungen,  die  sog.  VeruntterungseUipsoide,  die  erst  punktförmig  klein  sind 
und  allmählich  immer  größer  werden,  bis  sie  sich  berühren  und  schließlich  die  ganze 
Krystalloberfläche  bedecken.  Bei  Entfernung  des  Pulvers  sieht  man  in  ihnen  zu- 
weilen deutliche  ebene  Begrenzungsflächen,  so  daß  sie  der  Form  nach  ganz  den  Ätz- 
figuren entsprechen.  Sie  sind  dann  auch  denselben  Gesetzmäßigkeiten  unterworfen, 
wie  diese.  An  künstlichen  Erystallen  von  Alaun,  Eupfer-  und  Eisenvitriol  etc.  ent- 
stehen die  Verwitterungsellipsoide  sehr  häufig.  An  eigentlichen  Mineralien  ist  es 
seltener  der  Fall,  doch  lassen  sie  sich  an  ihnen  zuweilen  künstlich  herstellen,  wie 
z.  B.  am  Gips  durch  vorsichtiges  Erwärmen. 

(Pape,  Fogg,  An.  124.  pag.  329  und  125.  1865.  513;  Sohrücey  Zeitschr.  f.  Eryst 
Bd.  4.  1880.  225;  Blasius,  ibid.  Bd.  10.  1885.  pag.  221;  Bouman,  Min.  Mag. 
Nr.  58.  1900.  pag.  353.) 

Opttsche  Eigenschaften. 

Von  allen  physikalischen  Eigenschaften  sind  die  optischen  diejenigen,  deren  Be- 
ziehungen zur  Erystallform  am  eingehendsten  studiert  und  am  leichtesten  und  ein- 
fachsten, wenigstens  an  durchsichtigen  Erystallen,  zu  konstatieren  sind.  Sie  dienen 
daher  vielfach  zur  Kontrolle  der  krystallographischen  Untersuchungen  unvollkommen 
ausgebildeter  Erystalle  und  erlauben  sogar  häufig  die  Erkennung  des  Erystall- 
Systems  an  solchen,  die  gar  keine  regelmäßigen  Formen  mehr  erkennen  lassen.  Die 
optischen  Verhältnisse  sind  somit  von  besonderer  Wichtigkeit  und  sollen  daher  ein? 
gehender  besprochen  werden,  als  die  anderen  physikalischen  Eigenschaften. 

201.  Isotrop.  Anisotrop.  In  Bezag  auf  die  Art  der  Fort- 
pflanzung einer  im  Innern  einer  Substanz  erregten  Lichtbewegung 
unterscheidet  man  in  optischer  Hinsicht  zwei  Klassen  von  Körpern: 


Isotrope  Medien.  249 

1.  Isotr&pe.  Bei  ihnen  hat  der  Äther  nach  allen  Blchtnngen  hin 
dieselbe  Elastizität ;  das  Licht  pflanzt  sich  daher  nach  allen  Richtungen 
mit  derselben  Geschwindigkeit  fort  (Gase,  Flüssigkeiten,  amorphe 
Körper,  reguläre  Krystalle). 

2.  Anisotrope  (heterotrope).  Bei  diesen  ändert  sich  die  Elasti* 
zität  des  Äthers  mit  der  Richtung,  die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit 
des  Lichts  ist  also  für  Schwingungen  nach  verschiedenen  Richtungen 
verschieden.    (Alle  Krystalle  außer  den  regulären.) 

202.  Welle.  Strahl.  Eine  in  einem  beliebigen  Punkt  im  Innern 
einer  Substanz  erregte  Lichtbewegung  pflanzt  sich  durch  die  Quer- 
schwingungen des  Äthers  nach  allen  Seiten  fort,  und  in  jedem  ein- 
zelnen Moment  ist  die  Bewegung  in  jeder  Richtung  bis  zu  einem 
bestimmten  Punkt  gelangt.  Die  Fläche,  welche  alle  diese  Punkte 
verbindet,  heißt  die  WeVerifiäche  (Strahlenfläche)  der  Substanz.  Der 
erregte  Punkt  ist  der  Mittelpunkt  derselben,  ihre  Gestalt  ist  die 
nämliche  für  alle  Exemplare  derselben  Substanz  und  in  jedem  ein- 
zelnen Stück  für  jeden  Punkt  desselben  als  Mittelpunkt.  Alle  auf  der 
Wellenfläche  liegenden  Punkte  befinden  sich  im  gleichen  Schwin- 
gnngszustand.  Die  gerade  Fortpflanzungsrichtung  vom  Gentrum  der 
Wellenfläche  nach  einem  Punkt  derselben  heißt  ein  Strahl.  Die 
Richtung  der  Wellenfläche  in  diesem  Punkt  wird  durch  die  Tangential- 
ebene derselben  gegeben.  Das  vom  Mittelpunkt  auf  diese  Tangential- 
ebene gefällte  Lot  ist  die  WeOennormale,  sie  gibt  die  Richtung  an, 
in  welcher  die  Welle  an  dem  betreffenden  Punkt  vorwärts  schreitet. 

Strahlen  nach  benachbarten  Punkten  der  Wellenfläche  divergieren 
unter  einem  gewissen  Winkel,  welcher  um  so  kleiner  ist,  je  weiter 
sich  die  Welle  vorwärts  bewegt  hat.  Ist  die  Welle  unendlich  weit 
fortgeschritten,  so  werden  diese  Strahlen  parallel  und  das  betreffende 
Stück  der  Wellenfläche  wird  eben.  Eine  ebene  Welle  besteht  also 
aus  einem  Bündel  paralleler  Strahlen. 

Sehr  weit  entfernte  LichtqneUen,  z.  B.  die  Sonne  oder  anch  entfernte  terrestri- 
sche Lichtquellen,  liefern  sehr  annähernd  parallele  Lichtstrahlen;  die  Kollimatoren 
sind  zur  Herstellung  yon  Bündeln  paralleler  Lichtstrahlen  bestimmte  Instrumente 
(siehe  Beleuchtnngsfemrohr  des  Goniometers  etc.  (16)). 

Isotrope  Medien. 

Verhalten  sich  nach  aUen  Richtungen  optisch  gleich.  In  regulären  Erystallen 
ist  also  jede  krystallographische  Symmetrieebene  auch  eine  für  die  optischen  Ver- 
hältnisse, aber  nicht  umgekehrt.  Jede  beliebige  Ebene  ist  eine  Symmetrieebene  für 
die  letzteren.  Die  optische  Symmetrie,  bestimmt  durch  unendlich  yiele  Symmetrie- 
ebenen,  ist  demnach  höher  als  die  krystallographische. 

aOS.  Fortpflanznngsgeschwindigkeit.  Da  in  isotropen  Sab- 
stanzen   die   Fortpflanzungsgeschwindigkeit   des  Lichts    nach   allen 


250  Isotrope  Medien. 

Richtungen  dieselbe  ist,  so  ist  die  Wellenfläche  eine  Kugel  und  die 
Strahlen  fallen  stets  mit  den  entsprechenden  Wellennormalen  zu- 
sammen, denn  die  Eugelfläche  ist  ja  in  jedem  Punkte  senkrecht  zum 
betreffenden  Eadius. 

Die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  v  einer  in  einem  isotropen 
Medium  sich  fortpflanzenden  ebenen  Welle  geht  nach  der  Formel: 

t;  =  1/  —  vor  sich,  wo  e  die  Elastizität  des  Äthers  und  d  die  Dichte 

djsselben  bedeutet.  Nach  der  Annahme  von  Fresnel  ist  in  allen 
isotropen  Substanzen  die  Elastizität  des  Äthers  die  gleiche,  seine 
Dichte  d  dagegen  in  verschiedenen  Substanzen  verschieden.  Man 
unterscheidet  danach  optisch  mehr  oder  weniger  dichte  Körper.  In 
dichteren  Substanzen  pflanzt  sich  das  Licht  langsamer  fort  als  in 
dünneren,  z.  B.  ist  Wasser  (!;  =  225000  Kilometer)  dichter  als  Luft 
{v  =  300  000  Kilometer).    Alle  Mineralien  sind  optisch  dichter  als  Luft 

204.  Reflexion.  Trifft  eine  ebene  Welle  die  ebene  Grenzfläche 
zweier  durchsichtiger  isotroper  Körper,  z.  B.  von  Luft  und  Steinsalz, 
unter  irgend  einem  Winkel,  so  dringt  ein  Teil  der  Welle  in  die 
zweite  Substanz  ein,  der  andere  Teil  wird  an  der  Grenzfläche  in  das 
erste  Mittel  zurückgeworfen  (reflektiert).  Die  Reflexion  geht  nach 
dem  bekannten  Gesetze  in  der  Art  vor  sich,  daß  die  Normale  der 
reflektierten  Welle  in  der  Einfallsebene  liegt  und  mit  dem  Einfalls- 
lot denselben  Winkel  macht  wie  die  Normale  der  einfallenden  Welle, 
und  dasselbe  gilt  auch  für  die  einzelnen  Strahlen  der  beiden  ebenen 
Wellen.  Hierauf  beruht  das  Reflexionsgoniometer  (14),  das  übrigens 
auch  zur  Messung  der  Flächenwinkel  an  anisotropen  Krystallen  be- 
nutzt werden  kann,  da  auch  die  Reflexion  einer  aus  Luft  einfallenden 
Lichtwelle  an  Flächen  anisotroper  Krystalle  nach  demselben  Gesetz 
vor  sich  geht. 

Die  Reflexion  des  Lichts  geht  in  voller  Gesetzmäßigkeit  nur  vor  sich,  wenn 
die  reflektierende  Fläche  Yollkommen  eben  und  glatt  ist.  In  diesem  Fall  entsteht 
von  einem  gespiegelten  Objekt,  z.  B.  von  einer  Lichtflamme,  ein  scharfes  und  rich- 
tiges Bild.  Unregelmäßigkeiten  der  Flächen  veranlassen  Störungen  im  Zustande- 
kommen der  Bilder.  So  wird  z.  B.  durch  eine  Flächenkrümmung  das  Spiegelbild  in 
der  Eichtung  der  Krümmung  auseinander  gezogen;  auf  rauhen  Flächen  entstehen 
nur  undeutlich  umgrenzte  Spiegelbilder.  Zerfällt  eine  Fläche  in  mehrere  nicht  voll- 
kommen parallele  Facetten,  so  gibt  jede  Facette  ein  besonderes  Spiegelbild,  die 
Fläche  reflektiert  dann  mehrere  Bilder  desselben  Objekts  etc.  Durch  derartige  Un- 
regelmäßigkeiten wird  die  Genauigkeit  der  Winkelmessung  mit  dem  Reflexions- 
goniometer vielfach  sehr  beeinträchtigt. 

Durch  gewisse  bestimmte  Unregelmäßigkeiten  der  Erystallflächen  werden  viel- 
fach eigentümlich  gestaltete,  von  der  Beschaffenheit  der  Flächen  abhängige  Reflex- 
bilder von  Lichtflammen  (sog.  Lichtfiguren)  erzeugt,  die  man  namentlich  auch  oft 
auf  durch  Ätzen  künstlich  matt  gemachten  Kryatallflächen  beobachtet,  und  welche 
in  derselben  Weise  symmetrisch  gestaltet  sind,  wie  die  Erystallflächen  selbst  (200). 


Reflexion.    Refraktion.  251 

205.  Refraktion.  Der  Teil  einer  an  der  ebenen  Grenze  zweier 
isotroper  Medien  in  schiefer  Richtung  ankommenden  ebenen  Welle, 
welcher  in  das  zweite  Medium  eindringt,  wird  dabei  aus  seiner 
ursprünglichen  Eichtung  abgelenkt  (gebrochen),  er  erleidet  eine 
Refraktion.  Diese  findet  nicht  statt,  wenn  die  ankommende  Welle 
senkrecht  einfällt;  in  diesem  Fall  geht  die  Welle  im  zweiten  Medium 
in  der  ursprünglichen  Richtung  weiter.  Bei  jeder  Refraktion  liegt 
dem  Brechungsgesetze  zufolge  die  Normale  der  einfallenden  und  die 
der  gebrochenen  Welle  oder,  was  hier  dasselbe  ist,  der  einfallende 
und  der  gebrochene  Strahl  in  der  Einfalls-  l| 
ebene.  Macht  die  Normale  der  einfallen- 
den ebenen  Welle  (der  einfallende  Strahl)  AO 
(Fig.  302)  mit  dem  Einfallslot  LL^  (der  Nor- 
male zur  Grenzfläche  MM)  den  Einfallswinkel 
i  und  die  Normale  der  gebrochenen  ebenen 
Welle  (der  gebrochene  Strahl)  OC  den  Brechungswinkel  r,  so  ist  stets : 

•         • 

— —  =  n,  wo  n  eine  konstante  von  dem  Einfallswinkel  i  unabhängige 
stn  r         ^  °  ° 

Zahl  ist,  die  der  Brechungshoeffisfient  (Brechungsindex)  der  zweiten 

Substanz  Z>,  gegen  die  andere  L  heißt.    Er  ist  abhängig  von  der 

Natur  der  beiden  Medien  und  von  der  Farbe  (Schwingungsdauer  oder 

Wellenlänge)  des  angewendeten  Lichts.    Man  pflegt  den  Brechungs- 

koefflzienten  meist  anzugeben  für  den  Fall,  daß  das  erste  Medium 

Luft  ist,  und  wenn  von  dem  Brechungskoefflzienten  einer  Substanz 

ohne  speziellere  Angabe  die  Rede  ist,  so  meint  man  stets  diesen.    Der 

absolute  Brechungskoeffijsietd   einer   Substanz   ist   dagegen    derjenige, 

welcher  sich  beim  Übergang  des  Lichts  aus  einem  luftleeren  Raum 

(aus  dem  freien  Äther)  in  diese  ergibt. 

Die  Brechnngskoeffizienten  der  Mineralien  Bind  alle  ^  1 ;  sie  schwanken  bei 
isotropen  zwischen :  n  =  1,3305  (Wasser)  und  n  =  2,849  (Rotkupfererz).  Werte, 
welche  sich  der  2  nähern  oder  sie  gar  überschreiten,  sind  nicht  sehr  häufig. 

Sind  Vj  und  r,  die  Fortpflanzungsgeschwindigkeiten  des  Lichts 

im  ersten  und  zweiten  Medium,  so  ist:  n=-. —  =  — .     So  ist  z.  B. 

800000 
der  Brechungskoefftzient  von  Wasser  gegen  Luft:  ^  =  ööTooö  ^^  ^'^^ 

=  "0-  ca.  und  da  v«  =— ,  so  ist  auch:  225000  =  — ttk —  =  -^-i 

3  *       n'  4/3  4 

Wenn  das  erste  Medium  wieder  Luft  ist  und  wenn  die  Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit des  Lichtes  in  der  Luft :  r^  =  1  gesetzt  wird,  dann 


ist 


:  n  =  —  oder  t?2  =  — ,    d.  h.  der   Berechnungskoefflzient  ist  der 


v^  n 


reziproke  Wert    der  Fortpflanzungsgeschwindigkeit    des   Lichts   im 
zweiten  Medium,  und  umgekehrt. 


252  Isotrope  Medien. 

Aus  der  Formel:  n  =  —. —  =  -i  ergeben  sich  die  speziellen  Ver- 

«n  r     t?2      ® 

hältnisse  der  Brechung,  je  nachdem  das  Licht  ans  einem  optisch 
dttnneren  in  ein  dichteres  Medium  übergeht  oder  umgekehrt  Ist  das 
erste  Medium  das  dünnere,  dann  ist  v,  ^t;,,  also  n^l  und  i'^r. 
Der  gebrochene  Strahl  OC  liegt  dem  Einfallslot  näher,  als  der  ein- 
fallende OA,  das  Licht  wird  nach  dem  Einfallslot  hin  gebrochen 
(Fig.  302).  Ist  umgekehrt  das  erste  Medium  das  dichtere,  dann  ist 
^i<*^9>  somit  w<l  und  i<r.  Der  gebrochene  Strahl  OC  liegt  von 
dem  Einfallslot  femer,  als  der  einfallende  OA,  das  Licht  wird  von 
dem  Einfallslot  weggebrochen  (Fig.  303).  Wenn  beide  Medien  gleich 
dicht  sind,  findet  beim  Übergang  überhaupt  keine  Ablenkung  statt 
Ist  beim  Übergang  von  einem  Medium  A  in  ein  zweites  B  der 
Brechungskoeffizient  =.n,  dann  ist  er  beim  umgekehrten  Übergang 

von  -B  in  -4  =  —,  und  wenn  das  Licht  von  A  aus  den  Weg  AOG 

durchläuft  (Fig.  302,  303),  dann  durchläuft  es  von  C  ausgehend  den- 
selben Weg  COAj  aber  in  umgekehrter  Richtung. 

Je  größer  der  Unterschied  der  Dichte  in  beiden  Medien  ist,  desto 
größer  ist  der  Brechungsindex.  Haben  zwei  Substanzen  verschiedene 
BrechungskoeMzienten  gegen  Luft  (oder  eine  beliebige  andere  dritte 

isotrope   Substanz),  dann  ist  nach  der  Formel  n  =  —  die  Substanz 

mit  dem  größeren  Brechungskoeffizienten  die  dichtere,  und  umgekehrt. 

206.  Dispersion.  Der  Brechungskoeffizient  ist  von  der  Farbe 
d.  h.  von  der  Wellenlänge  des  Lichts  abhängig  und  also  nur  durch 
Angabe  der  Art  des  Lichts  vollkommen  bestimmt  Er  ist  am  kleinsten 
für  rotes,  am  größten  für  violettes  Licht  Eine  Welle  roten  Lichts 
wird  ceteris  paribus  weniger  stark  abgelenkt,  als  eine  Welle  violetten 
Lichts.  Fällt  ein  Bündel  weißer  Lichtstrahlen  ein,  so  wird  es  bei 
der  Brechung  zerlegt  und  die  verschieden  stark  abgelenkten  roten 
bis  violetten  Strahlen  folgen  in  ununterbrochener  Eeihe  nebeneinander. 
Diese  Erscheinung  heißt  die  Farbeneerstreuvmg  oder  Dispersion,  Je 
mehr  sich  dabei  die  roten  von  den  violetten  Strahlen  entfernen, 
desto  stärker  ist  die  Dispersion.  Diese  wird  durch  die  Differenz 
der  Brechungskoeffizienten  für  rotes  und  violettes  Licht  gemessen 
(vergl.  209). 

Nach  Cauchy  mid  die  Abhängigkeit  der  absoluten  Brechnngskoeffizienten  n 
einer  Substanz  ron  der  Farbe  des  betreffenden  Lichts  (WeUenlänge  A  im  freien  Äther) 

ausgedrückt  durch  die  Formel  :»»  =  «  +  ^ ,  wo  a  und  ß  zwei  von  der  Natur  der 

Substanz  abhängige  konstante  Koeffizienten  sind.  Kennt  man  n  einer  Substanz  für 
zwei  Terschiedene  Farben  (fttr  zwei  Werte  von  X),  so  erhält  man  zwei  spezieUe 


Dispersion.    Polarisation.    Planparallele  Platte.  253 

Gleichimgen,  welche  «und  ß  ergeben.  Mit  deren  Hilfe  läßt  sich  dann  ans  der 
Formel  fttr  jedes  weitere  X  (jede  andere  Farbe)  der  zugehörige  Brechnngskoeffisient 
n  berechnen. 

207.  Polarlsatioii.  Wenn  an  der  ebenen  Grenzfläche  zweier 
dnrchsichtigen  isotropen  Medien  einfallendes  Licht  teils  reflektiert^ 
teils  gebrochen  wird,  so  sind  diese  beiden  Teile  des  einfallenden 
Lichts,  der  reflektierte  nnd  der  gebrochene,  polarisiert,  und  zwar 
senkrecht  zueinander;  das  reflektierte  Licht  in  der  Einfallsebene,  das 
gebrochene  in  einer  darauf  senkrechten.  Die  Schwingungen  des  re* 
flektierten  Lichts  gehen  also  (nach  Fresnel)  senkrecht,  die  des  ge- 
brochenen Lichts  parallel  mit  der  Einfallsebene  vor  sich.  Bei  den 
meisten  Einfallswinkeln  ist  jedoch  die  Polarisation  im  reflektierten 
Lichte  nur  eine  teilweise,  es  ist  dem  polarisierten  Licht 
natürliches  beigemischt.  Vollständig  flndet  die  Polari- 
sation des  reflektierten  und  des  gebrochenen  Lichts 
nur  statt,  wenn  die  reflektierten  Strahlen  OB  auf  den 
gebrochenen  OG  senkrecht  stehen  (Fig.  304).  In  diesem 
Fall  ist  r  =  90<>  —  i,  also:  ^^'  ^• 

sin  i-=n  «in  ra=w  sin  (90®  —  i)  =n  cos  %  oder:  n  =  ^  ♦. 

Der  Einfallswinkel  i,  welcher  diese  Gleichung  befriedigt,  bei 
welchem  also  vollständige  Polarisation  des  reflektierten  Lichts  statt- 
findet, heißt  der  Pölarisationsmnkel  der  betreffenden  Substanz.  Er  ist 
z.  B.  für  Glas  =54V/,  fttr  Diamant  =68<>  1'  flir  Licht  von  mittlerer 
Brechbarkeit  (grün). 

Vollständige  Polarisation  namentlich  auch  des  hindurchgegangenen  Lichts  kann 
ttbrigens  auch  bei  anderen  Einfallswinkeln  erhalten  werden,  wenn  man  statt  einer 
einfachen  Platte  z.  B.  von  Glas  ein  System  übereinander  geschichteter  Glasplatten, 
einen  sog.  Glassatz  anwendet,  dessen  einzelne  Scheiben  wiederholte  Eeflexionen  und 
Brechungen  veranlassen.  Solche  Glassätze  werden  zuweilen  als  polarisierende  Appa- 
rate statt  der  Nicols  (219)  verwendet.  Der  Polarisationswinkel  i  kann  bestimmt 
und  aus  ihm  der  Brechungskoeffizient  n  ermittelt  werden  nach  der  Gleichung: 
ni=tgi;  doch  ist  diese  Methode,  die  Brechungskoeffizienten  zu  bestimmen,  ungenau 
und  wenig  ausgebildet,    [ßeehtck^  Pogg.  Ann.  20,  18B0,  27.) 

206«  Planparallele  Platte.  Nach  den  Anseinandersetzungen  in 
(205)  kann  man  sich  die  Vorgänge  klar  machen,  welche  man  be- 
obachtet, wenn  das  Licht  eine  planparallele  Platte  MN  eines  Minerals, 
die  ttberall  von  Lnft  umgeben  ist,  durchstrahlt  (Fig.  305). 
Der  unter  dem  Einfallswinkel  i  auf  der  Fläche  NN^  an- 
kommende Strahl  AB  wird  unter  dem  Brechungswinkel  r 
nach  BC  gebrochen ;  er  kommt  an  der  Fläche  MM^  unter 
dem  Einfallswinkel  r  an  und  wird  beim  Austritt  unter  „,  ^^ 
dem  obigen  Winkel  i  nach  CD  gebrochen,  so  daß  ^' 
AB  II  CD.  Wenn  ein  Strahl  also  nach  dem  Durchgang  durch  eine 
planparallele  Platte  in  dasselbe  Medium  austritt,  aus  welchem  er  ein- 


254  Isotrope  Medien. 

getreten  war,  so  geschieht  dies  ohne  Ablenkung  aas  seiner  ursprüng- 
lichen Eichtüng,  es  findet  nur  eine  geringe  seitliche  Verschiebung 
des  Strahles  statt  Man  kann  also  stets  planparallele  Glasplatten 
(Objektträger,  Deckgläschen  etc.)  in  den  Gang  der  Lichtstrahlen  ein- 
schalten, ohne  daß  dadurch  eine  Ablenkung  des  Lichts  erfolgt. 

Dasselbe  findet  statt,  wenn  man  drei  oder  mehrere  verschiedene  plauparaUele 
Platten,  z.  B.  Glastafeln  oder  eine  Tafel  von  Glas  nnd  eine  solche  von  einer  anderen 
durchsichtigen  Substanz,  übereinander  legt.  Aach  in  diesem  Falle  erleidet  ein  hin- 
durchgehender Strahl  beim  Austritt  in  dasselbe  Medium  (Luft)  keine  Ablenkung. 
Daraus  läßt  sich  ermitteln,  daß,  wenn  tn  und  n«  die  Brechungskoeffizienten  zweier 
Substanzen  A  und  B  (gegen  Luft)  sind  und  n^  der  Brechungskoeffizient  beim  Über** 

gang  aus  der  ersten  A  in  die  zweite  B,  man  erhält:  na  =  -- ,  wo  n,  ^1,  aber  n^ 

und  n^  stets  >>  1.    Ist  z.  B.  der  Brechungskoeffizient  von  Wasser:  ni  =  1,3305,  der 

von  Flußspat  n^  =  1,433  (gegen  Luft),   so  ist  der  Koeffizient  beim  Übergang  von 

ru       1433 
Wasser  in  Flußspat  (von  Flußspat  gegen  Wasser) :  =  —  =    '         =  1,077.     Diese 

Formel  gibt  auch  den  absoluten  Brechungskoeffizienten  (n«)  einer  Substanz,  wenn 

der  gewöhnliche  Brechungskoeffizient  derselben  (gegen  Luft)  (n^)  und  der  absolute 

Brechungfikoeffizient  der  Luft  gegeben  ist.    Letzterer  ist  ein  für  allemal  bekannt 

=  1,000294;  (bei  0»  C  und  760«"»  Druck),  der  Koeffizient  für  den  Übergang  aus 

l                                 no 
Luft  in  den  freien  Äther  ist  also :  n^  =  ^  nmobj. »  so^it  ng  = ^ —  ~  1,000294  n^. 

i;ÖÖ0^94 
Der    absolute    Brechungskoeffizient    des  Wassers   ist   danach  =  1,000294.   1,33Q5 
=  1,3311. 

209.  Prisma.  Geht  dagegen  ein  Lichtstrahl  durch  einen  von 
zwei  konvergierenden  ebenen  Flächen  begrenzten  Körper,  ein  sog. 
Prisma  hindurch,  so  wird  er  beim  Wiederaustritt  in  die  Luft  nicht 
mehr  in  seine  ursprüngliche  Richtung  zurückgeführt,  sondern  in  der- 
selben Ebene  noch  weiter  aus  ihr  abgelenkt. 

Man  läßt  die  Lichtstrahlen  meist  zur  brechenden  Kante  senkrecht 
auf  die  erste  Fläche  des  Prismas  einfallen.    Der  Durchschnitt  des 

Prismas  durch  eine  zu  dieser  Kante  senkrechte  Ebene 
sei  MNP  (Fig.  306),  N  sei  die  brechende  Kante.  Fällt 
ein  Strahl  roten  Lichts  in  der  Sichtung  AB  ein,  so  wird 
er  nach  BCr  gebrochen  und  verläßt  das  Prisma  in  der 
Richtung  CrDr  und  ABCrDr  liegt  in  jener  zur  brechenden 
Kante  senkrechten  Ebene.  Der  Winkel  A^ErDr  =  «r,  den 
Fig.  306.  der  austretende  Strahl  CrDr  mit  dem  einfallenden  AB  macht, 
heißt  die  Ahlmhung  des  Strahls.  Fällt  nach  AB  ein  Strahl  violetten 
Lichts  ein,  so  wird  dieser  in  B  stärker,  nach  BC^  gebrochen  und  verläßt 
das  Prisma  nach  einer  abermaligen  stärkeren  Brechung  bei  C»  in  der 
Richtung  CDp.  Auch  ABCJ),  liegt  in  der  Ebene  ABCrDr.  Die  Ab* 
lenkung  ist  hier  a„  =  A^EJ)„  und  zwar  ist  stets  ar>«r.  Läßt  man 
auf  dasselbe  Prisma  in  der  Richtung  AB  ein  Strahlenbündel  weißen 


Prisma.    Totalreflexion.  255 

Lichts  einfallen,  so  wird  dasselbe  infolge  der  Dispersion  zerlegt  (206). 
Die  dabei  entstehenden  roten  Strahlen  werden  wieder  nach  CrDr,  die 
violetten  nach  CpDp  gebrochen,  die  gebrochenen  Strahlen  der  zwischen- 
liegenden Farben  liegen  zwischen  diesen  beiden  Geraden  in  derselben 
Ebene  mit  ihnen.  Wenn  man  diese  zerlegten  Strahlen  auffängt,  so 
entsteht  ein  Spdctrum,  dessen  rotes  Ende  der  ursprünglichen  Einfalls« 
richtung  stets  näher  ist,  als  das  violette.  Je  weiter  vom  roten  Ende 
das  violette  entfernt  ist,  je  länger  das  Spektrum  ist,  desto  größer  ist 
die  Dispersion  der  Substanz ;  diese  ist  z.  B.  beim  Diamant  viel  größer 
als  beim  Steinsalz.  Sie  wird  durch  die  Differenz  des  Brechungs* 
koeffizienten  für  rotes  und  violettes  Licht  gemessen.  Eine  plan« 
parallele  Platte  kann  kein  Spektrum  geben,  weil  das  beim  Eintritt 
zerlegte  weiße  Licht  beim  Austritt  sich  wieder  vereinigt,  wodurch 
das  ursprungliche  Weiß  wiederhergestellt  wird. 

Die  Ablenkung  eines  Lichtstrahls  durch  das  Prisma  ist  für  jeden 
Einfallswinkel  eine  andere.  Sie  ist  ein  Minimum,  wenn  der  Strahl  im 
Innern  des  Prismas  gegen  beide  brechenden  Flächen 
gleich  geneigt  ist,  wie  der  Strahl  BC  in  Fig.  307.  Dann 
macht  auch  der  einfallende  Strahl  z.  B.  ArB  mit  der 
Ebene  MN  des  Prismas  denselben  Winkel,  den  der  ent- 
sprechende austretende  Strahl  CDr  mit  der  Ebene  NP 
macht.  Die  Minimalablenkung  ist  für  Prismen  aus  der- 
selben Substanz  um  so  gi*ößer,  je  größer  der  brechende  p.  ^^ 
Winkel  MNP  des  Prismas  ist.  Ein  violetter  Strahl 
JÜ^,  der  durch  das  Prisma  nach  BC  hindurchgehen  soll,  muß  nach 
dem  Obigen  mit  BC  einen  etwas  größeren  Winkel  machen,  als  ein 
roter  Strahl  ArB\  entsprechend  ist  es  mit  den  austretenden  Strahlen 
CDf,  und  CDr.  Bei  der  Minimalablenkung  ist  ArBCDr  der  Gang 
eines  Strahles  von  rotem,  A^BCD^  der  eines  Strahles  von  violettem 
Licht 

210.  Totalreflexion.  Tritt  ein  Lichtstrahl  AB  (Fig.  308)  aus 
einem  dichteren  Medium  in  ein  dünneres  nach  J?(7,  so  ist  i  •<  r  (205). 
Fällt  ein  zweiter  Strahl  A^B  unter  einem  größeren  Ein- 
fallswinkel A^BL  ein,  so  wird  er  nach  BC^  gebrochen; 
der  Brechungswinkel  C^BL^  ist  ebenfalls  größer  geworden. 
Nimmt  so  der  Einfallswinkel  stetig  zu,  so  geschieht  dies 
auch  beim  Brechungswinkel  und  bei  einem  gewissen  Ein-  „.  "^^^ 
faUswinkel  A^BL  wird  der  betreffende  einfallende  Strahl 
A^B  nach  BD  in  der  Richtung  der  Trennungsfläche  DD^  beider 
Medien  gebrochen:  der  Brechungswinkel  ist  für  diesen  Fall  =DBL^ 
=  90^  Wird  nun  der  Einfallswinkel  noch  größer,  fällt  z.  B.  ein 
Strahl  in  der  Sichtung  MB  ein,  so  wird  derselbe  überhaupt  nicht 
mehr  gebrochen,  sondern  der  einfallende  Strahl  wird  in  B^  ohne  daß 


256  Isotrope  Medien. 

eine  Lichtbewegung  in  das  zweite,  dünnere  Medium  eintritt,  nach  dem 
gewöhnlichen  Brechnngsgesetz  vollständig  und  ohne  Schwächung  in  der 
Richtung  BN  reflektiert  und  kehrt  in  das  erste  dichtere  Medium 
zurück,  so  daß  ^NBL  =  ^MBL.  Diese  Erscheinung  heißt  die 
Totalreflexion.  Der  Einfallswinkel  A^BL,  für  welchen  der  Brechungs- 
winkel DBLi  =  90®  ist,  heißt  der  Grensncinkd  der  totalen  Beflexion. 

1  *     * 

Für  diesen  Grenzwinkel  ist :  —  =    .    ^^  =  «w   i>    wenn  n   den 

n       s%n  90*^ 

Brechungskoefifizienten  aus  dem  dünneren  in  das  dichtere  Medium  be- 
deutet, so  daß  also  n  ;>  1.  Je  größer  der  Brechungskoefßzient,  desto 
kleiner  ist  der  Grenzwinkel  A^BL,  bei  desto  steilerem  Einfallen  wird 
das  Licht  bereits  total  reflektiert.  Für  Wasser  mit  dem  Brechungs- 
koefi^ienten  n  =  1,33  ist  der  Grenzwinkel  A^BL  «=  48®  35'.  Beim 
Diamant,  wo  n  =  2,5,  ist  letzterer  nur  nahe  =24®. 

Totalrefiezion  ist  nnr  mOglich,  wenn  Lichtstrahlen  von  einem  dichteren  Medium 
her  an  der  Grenze  gegen  ein  dünneres  Medinm  ankommen.  Beim  Übergang  ans 
einem  dünneren  in  ein  dichteres  Medium  kann  niemals  Totalreflexion  eintreten« 
Wenn  in  diesem  Falle  der  Einfallswinkel  seinen  größten  Wert:  i  =  9(P  erreicht  hat 
(streifende  Incidenz),  ist  stets  noch  der  Brechungswinkel  r  <^  90^.  Aus  einem 
dünneren  Medium  kann  somit  das  Licht  stets  in  ein  dichteres  eintreten. 

211.  Brechnngskoefflzienten.  Ein  isotroper  Körper  ist  in  der 
Hauptsache  optisch  bestimmt,  wenn  man  seine  Brechangskoef&zienten 
für  die  verschiedenen  Farben  kennt.  Diese  und  damit  implicite  die 
Lichtgeschwindigkeit  in  der  betreffenden  Substanz  werden  nach  ver- 
schiedenen Methoden  ermittelt  (vergl.  außerdem  207),  die  alle  ergeben,  daß 
in  jeder  isotropen  Substanz  die  Brechnngskoeffizienten  stets  denselben 
Wert  haben  und  daß  sie  von  der  Richtung  der  Schwingungen  ganz 
unabhängig  sind.  Hieraus  folgt,  daß  auch  die  Elastizität  des  Äthers 
in  den  isotropen  Körpern  nach  allen  Sichtungen  dieselbe  ist  Dies 
entspricht  ja  auch  der  oben  zu  Grunde  gelegten  Annahme  von  Fresnel, 
deren  Zulässigkeit  damit  bewiesen  ist. 

1.  Methode  mit  dem  Prisma,  Aus  der  Substanz  wird  ein  Prisma 
mit   zwei  vollkommen   glatten   und    ebenen   und   möglichst    großen 

Flächen,  die  miteinander  den  brechenden  Winkel  ß 
machen,  geschliffen  (Fig.  309).  Das  Prisma  wird  so  auf 
dem  Objekttisch  eines  Qoniometers  (16)  befestigt,  daß 
die  brechende  Kante  der  in  0  gelegenen,  in  der  Ver- 
längerung durch  das  Prisma  hindurchgehenden  Dreh- 
achse des  Instruments  parallel  ist.  Es  ist  dabei  gleich- 
gültig, welche  Lage  die  Flächen  des  Prismas  und 
ihre  brechende  Kante  im  Krystall  haben;  stets  erhält 
man  dieselben  Brechungskoeffizienten.  Auf  die  erste 
Prismenfläche  fällt  ein   Bündel  paralleler  Lichtstrahlen  AB  durch 


Bestimmung  der  Brechnngakoeffizienten.  257 

einen  anf  die  Drehachse  0  gerichteten  Kollimator  AS  mit  einer  der 
brechenden  Kante  parallelen  Spalte  A,  Diese  Strahlen  werden  nach 
BC  gebrochen  und  treten  nach  CD^  aus.  Man  kann  nun  den  Träger  mit 
dem  Prisma  leicht  so  drehen,  daß  dabei  die  Ablenkung  ein  Minimum 
wird.  Die  Kichtung  des  Strahls  CB^  für  die  Minimalablenkung  wird 
durch  das  ebenfalls  auf  die  Drehachse  0  gerichtete  Femrohr  bei  D^ 
fixiert.  Dieses  muß  aber  um  den  Winkel  Dj  OB  =  a  um  die  Achse  0 
bis  in  die  ursprüngliche  Richtung  OD  des  einfallenden  Strahls  gedreht 
werden,  indem  man  nach  Wegnahme  des  Prismas  die  Spalte  bei  A 
anvisiert,  und  dieser  Winkel  a  ist  die  Ablenkung.  Aus  den  Winkeln 
et  und  ß  ergibt  sich  dann: 

sin  ic  (a-\-  ß) 
Sin  ^ß 

Der  brechende  Winkel  ß  darf  nicht  zu  groß  sein,  weil  sonst  der  Strahl  BC 
wegen  Totalreflexion  (210)  nicht  ans  dem  Prisma  austreten  kann.  Für  jede  Farbe 
ist  der  EiufaUswinkel  bei  der  Minimalablenkung  ein  anderer  (209),  daher  ist  für  jede 
Farbe  die  Minimalablenknng  besonders  aufzusuchen  und  einzusteUen.  Eine  kleine 
Ungenauigkeit  in  der  Einstellung  des  Prismas  auf  die  Minimalablenkung  bat  auf 
den  Wert  von  n  nur  einen  geringen  Einfluß.  Einen  Zusammenhang  zwischen  den 
Brechungskoeffizienten  für  die  einzelnen  Farben  mit  bekannten  Wellenlängen  gibt 
die  Dispersionsformel  von  Cauchy  (206). 

Wenn  das  Prisma  ein  deutliches  Spektrum  gibt,  so  kann  man  für  jede  Farbe 
desselben  besonders  die  Minimalablenkung  suchen  und  daraus  den  betreffenden  Wert 
von  n  bestimmen.  Wenn  die  Beschaffenheit  der  Substanz  ein  solches  nicht  zu  stände 
kommen  läßt,  so  kann  man  die  Spalte  mit  verschiedenem  homogenen  Licht  beleuchten 
(mittels  gefärbter  Metallflammen,  Xi-Flamme  rot,  iVa-Flamme  gelb,  27-Flamme  grün, 
oder  mittels  gefärbter  Gläser,  von  weichen  aber  nur  durch  Kupfer  gefärbte  rote  sehr 
annähernd  homogene  Farbe  geben  etc.).  Vollkommen  homogenes  Licht  liefert  das 
Spektrum  eines  Glasprismas.  (Wülfing,  N.  Jahrb.  f.  Min.  etc.  Beil.  Bd.  XU. 
1899.  343.) 

2.  Methode  mit  dem  Mikroskop  (erfanden  von  dem  Marquis  von 
Chaulnes).  Diese  ist  u.  U.  von  Wert,  wenn  eine  Substanz  nur  in 
Form  planparalleler  Platten  erhalten  werden  kann  und  nicht  die 
Herstellung  eines  Prismas  gestattet.  Sie  beruht  darauf,  daß  wenn 
ein  im  Mikroskop  deutlich  und  scharf  gesehener  Punkt  mit  einer 
planparallelen  Platte  einer  durchsichtigen  Substanz  bedeckt  wird,  man 
denselben  nicht  mehr  sieht,  um  ihn  wiederzusehen,  ist  es  nötig,  das 
Objektiv  um  einen  gewissen  Betrag  v  zu  heben,  der  nur  von  der 
Dicke  d   der  Platte    und  von   deren  Brechungskoefl&zienten  n  ab- 

1  /2 

hängt  und  zwar  ist  sehr  annähernd:  v  =  d  (1 )  oder  ^=='^^1'' 

Für  jede  Lage  der  Platte  im  Krystall  erhält  man  denselben  Wert 
für  n. 

Bei  der  Erzeugung  des  Bildes  von  A  im  Mikroskop  spielen  alle  von  A  aus 
auf  die   bei    G  (Fig.  310)   gelegene  Objektivlinse   fallenden    Strahlen  eine  RoDe 
so  a.  Bw  der  Strahl  AD.    Wird  die  Platte  von  der  Dkke  AB  =  d  wä  A  gelegt,  so 
Bauer,  Mineralogie.  l*? 


258  Isotrope  Medien. 

wird  AD  abgelenkt.  Wenn  das  Bild  von  A  wie  früher  entstehen  soll,  so  mnß  für  AD 
ein  anderer  Strahl  von  A  ans  eintreten,  der  durch  die  Platte  hindurch  die  Linse  1)  anter 
demselben  Winkel  und  2)  in  derselben  Entfernung  von  der  Mikroskopachse 
AQ  trifft  wie  vorher  AD.  Das  kann  nur  ein  Strahl,  der  von  A  in  einer  sol- 
chen Richtung  ^lIT  ausgeht,  daß  er  in  M  beim  Austritt  aus  dem  PlSttchen 
nach  der  Bichtung  JELD^  ||  AD  gebrochen  wird,  dann  ist  die  erste  Bedingung 
erfüllt  Die  zweite  ist  erfüllt,  wenn  man  dann  das  Objektiv  bis  zu  dem 
Punkt  A  zurückschiebt,  der  gegeben  ist  als  Schnitt  von  HD^  mit 
DDi  II  AB.  Die  Länge,  um  welche  das  Objektiv  hat  zurückge- 
jjig.  6  u.     2ogen  werden  müssen,  ist  GGi=v  =  DDi.    Zieht  man  nun  KD^  bis 

AtM  TTm 
C  und  JKK  y  AB,  dann  ist  auch  CA  =  DD^  =  v.    Femer  ist :  n  =  — — .„  '  = 

-57^  =  -^Ti TTi  =  j •    Denn  offenbar  sind   stets  die  Winkel  BAH  etc.,  um 

BC      BA  —  AC      d  —  V  * 

weiche  es  sich  hier  handelt,  sehr  klein,  so  daß  mau  AC=DD*  sehr  annähernd  auch 

=  GGi  setzen  kann.    Ebenso  sind  sehr  nahe  die  tg  der  Winkel  =  deren  sin ;  es 

.  .  j  V       ^  ^C'ir     sin  BCH  d 

ist  daher :  .     p^fy^  -= — bttt  =  »  =  j . 

tg  BAH     sin  BAH  d  —  v 

Bei  der  Ausführung  der  Messung  wird  d  mit  dem  Sphärometer  oder  auf  einem 
anderen  Wege,  v  mittels  einer  auf  dem  Knopf  der  Mikrometerschraube  des  Mikroskops 
angebrachten  Teilung  geraessen,  welche  Bruchteile  der  bekannten  Ganghöhe  jener 
Schraube  abzulesen  gestattet.  Das  Zurückziehen  des  Objektivs  muß  natürlich  um 
den  vollen  Betrag  v  mit  dieser  Schraube  ausgeführt  werden. 

(Bauer,  Sitzgsber.  Berl.  Akad.  22.  Nov.  1877  pag.  698  und  Tschermak,  Min. 
Mitt.  I.  1878  pag.  28 ;  vergl.  auch :  Bertin,  Ann.  chim.  phys.  ser.  III.  Bd.  26  pag.  228 
für  eine  kleine  Abänderung  dieser  Methode.) 

3.  Methode  der  Totalreflexion.  Während  beide  genannte  Methoden 
eine  durchsichtige  Substanz  und  zwei  ebene  Flächen  voraussetzen,  hat 
die  Methode  der  Totalreflexion  den  Vorzug,  auch  an  undurchsichtigen 
Substanzen  ausführbar  zu  sein;  auch  ist  nur  eine  einzige  ebene  Fläche 
erforderlich. 

Es  sei  MN  (Fig.  311)  eine  ebene  Fläche  eines  von  einer  stärker 
brechenden  Flüssigkeit  umgebenen  isotropen  Minerals,  auf  welche  von 

allen  Seiten  her  Licht  einfällt,  und  das  Auge  sei  fest 
in  0.  Dann  werden  unter  zu  großem  Winkel  auf  MN 
einfallende  Strahlen  total  reflektiert  (210)  und  ein  unter 
einem  bestimmten  Winkel  ankommender  Strahl  AI  wird 
dabei  nach  0  gelangen,  ebenso  der  etwas  steiler  ein- 
Fig.  311.  fallende  Strahl  BE  etc.  Dagegen  wird  der  noch  steiler 
einfallende  Strahl  DG  nicht  mehr  total  reflektiert  werden,  sondern  in  das 
optisch  dfinnere  Mineral  nach  GH  eintreten,  wenn  sein  Einfallswinkel 
kleiner  als  der  Grenzwinkel  ist.  Die  linke  Hälfte  der  Fläche  MN  ist  also 
durch  die  in  das  Auge  gelangenden  totalreflektierten  Strahlen  hell, 
die  rechte  Hälfte,  welche  keine  Strahlen  ins  Auge  reflektiert,  dunkel, 
und  beide  Hälften  sind  durch  eine  Grenzlinie  bei  F  geschieden,  deren 


Bestimmang  der  Brechungskoeffizienten.  259 

Lage  dem  Grenzstrahl  CFO  entspricht,  welcher  unter  dem  Grenz- 
"winkel  einfäUt.  Bei  Anwendung  homogenen  Lichts  ist  diese  Grenz- 
linie ziemlich  scharf,  bei  weißem  Licht  ist  sie  farbig  gesäumt,  weil 
die  Grenze  für  jede  Farbe  eine  etwas  andere  Lage  hat 

Man  kann  nun  die  Beobachtung  der  Grenze  der  Totalreflexion 
in  folgender  Weise  zur  Ermittlung  der  Brechungskoeffizienten  benützen. 

Man  befestigt  das  zu  untersuchende  Mineral  an  einer  in  0  (Fig. 
312)  projizierten  vertikalen  Drehachse,  welche  senkrecht  zu  einem 
horizontalen  Teilkreis  durch  dessen  Mittelpunkt  geht. 
Diese  Achse  fällt  in  die  ebenfalls  senkrechte  reflek- 
tierende Fläche  MN,  welche  in  ein  mit  einer  stark 
brechenden  Flüssigkeit,  etwa  Schwefelkohlenstoff  (n  = 
1,6274)  oder  Monobromnaphtalin  (n  =  1,65724)  oder 
Methylenjodid  (n  =  1,73798 ,  je  für  gelbes  JVo-Licht 
bei  20®  C)  etc.,  gefülltes  zylindrisches  Gefäß  einge-  Fig.  312. 
taucht  ist.  Dieses  ist  ringsum  von  mattgeschliffenem 
Glas  gebildet,  durch  welches  diffuses  Licht  von  allen  Seiten 
auf  H/DJ  fallen  kann,  nur  bei  BQ  ist  eine  yertikalstehende  plan- 
parallele durchsichtige  Glasscheibe,  auf  welche  normal  das  hori- 
zontale auf  Unendlich  eingestellte  Fernrohr  P  gerichtet  ist  Hat  die 
Fläche  MN  zuerst  die  Stellung  M^N^^  so  werden  die  von  rechts 
kommenden  Strahlen  die  Grenze  der  Totalreflexion  erzeugen,  und  man 
kann  diese  Grenze  durch  Drehung  der  Fläche  MN  um  die  Achse  0 
auf  das  Fadenkreuz  des  Femrohrs  einstellen.  Ist  m^n^  die  Normale 
zu  M^N^,  so  ist  iWj  OP  der  Grenzwinkel  i.  Dreht  man  nun  die  Fläche 
M^N^  an  der  Drehachse  in  die  Stellung  M^N^,  so  geben  die  von 
links  kommenden  Strahlen  ebenfalls  eine  Grenze,  die  man  auf  das 
Fadenkreuz  einstellen  kann.  Ist  m^n^  die  Normale  zu  M^N^^  so  ist 
m^  OP  der  Grenzwinkel  i  für  diese  Stellung.  Man  muß  also,  um  von 
der  einen  Grenze  auf  die  andere  einzustellen,  die  Fläche  MN  um  den 
doppelten  Grenzwinkel,  um  m^  Om^  =  2i,  drehen,  und  da  man  diese 
Drehung  am  Teilkreis  ablesen  kann,  so  ist  damit  i  gegeben.  Zu- 
nächst ist  der  Brechungskoefflzient  v  (v  >  1)  des  Minerals  gegen  die 

stärker  brechende  Flüssigkeit  bestimmt,  und  man  hat:  —  =  »n  i. 

Sind  aber  N  und  n  die  Brechungskoefflzienten  der  Flüssigkeit  und 

1  M 

des  Minerals  gegen  Luft,  so  ist  (208):  —  =  ^=sini,  a\so:  n  =  Nsini. 

Die  zu  solchen  Bestimmungen  benutzten  Instrumente  werden  im  all- 
gemeinen ToUüreflekUmeter  genannt.  Bei  jeder  beliebigen  Lage  der 
reflektierenden  Fläche  erhält  man  denselben  Wert  für  n. 

N  ist  ein  für  aUemal  bekannt.     Da  sich  dieser  Wert  mit  der  Temperatur 
wesentlich  Ändert,  so  ist  hierauf  Bücksicht  zu  nehmen.    Für  g^elbes  Licht  beträgt 

17* 


260  Isotrope  Medien.    Brechnngskoeffizieiiten. 

beim  Schwefelkohleiutoff  die  Yermindenmg  von  N  bei  1^  C.  Temperatormnahme: 
0,00080.  Die  entsprechenden  Zahlen  sind:  0,00045  beim  Monobramnaphtalin  und 
0,00073  beim  Methylenjodid. 

(F.  Kohlrausch,  Verh.  d.  phys.  med.  Ges.  Würzburg  XII.  1877  pag.  1;  Wied. 
Ann.  IV.  1878  pag.  1  und  XVI.  1882  pag.  603;  W.  Kohlrausch,  Wied.  Ann.  VI. 
1879  pag.  94;  LeiO,  Zeitachr.  f.  Kryst.  XXX.  1898  pag.  357.) 

Nach  dem  Vorschlag  von  Woüaston  kann  die  Totalreflexion  noch  in  anderer 
Weise  zur  Bestimmung  der  Brechungsexponenten  benutzt  nrerden,  die  den  störenden 
Einfluß  der  Temperatur  wesentlich  vermindert.  An  die  Fl&che  I  eines  Glasprismaa 
A  Ton  bekannter  möglichst  starker  Lichtbrechung  wird  die  zu  nntersnchende  Sub- 
stanz B  mit  einer  natttrlichen  oder  künstlichen  ganz  glatten  und  ebenen  Fl&che  an- 
gedrückt, und  zur  Herstellung  eines  vollkommenen  Kontakts  ein  Tropfen  C  einer 
Flüssigkeit  dazwischen  gebracht.  Der  Brechungskoeffizient  des  Glases  sowohl  als 
der  der  Flüssigkeit  muß  mindestens  etwas  höher  sein,  als  der  der  zu  messenden  Sub- 
stanz. Dann  läßt  man  diffuses  Licht  auf  der  zweiten  Fläche  11  des  Prismas  links 
von  der  zu  untersuchenden  Platte  eintreten.  Dieses  erleidet  an  der  letzteren  z.  T. 
Totalreflexion  und  tritt  auf  der  dritten  Fläche  III  des  Prisma«  wieder  aus.  In  einem 
auf  diese  gerichteten  Femrohre  entsteht  dann  ganz  wie  bei  der  oben  beschriebenen 
Methode  eine  Grenze  zwischen  hell  imd  dunkel,  die  dem  Grenzstrahl  entspricht  und 
man  kann  auf  dem  Goniometer  leicht  den  Winkel  messen,  den  die  der  Grenze  der 
Totalreflexion  entsprechenden  Strahlen  mit  der  Normale  zur  dritten  Fläche  des 
Prismas,  der  Austrittsfläche,  einschließen.  Hieraus  und  aus  dem  Brechungskoefflzienten 
des  Glasprismas  ergibt  sich  dann  der  Brechungskoef&zient  der  Substanz. 

(K.  Feußner,  Diss.  Marburg  1882;  Liebisch,  Zeitschr.  f.  Instrumentenk.  IV.  1884 
pag.  185  und  V.  1885  pag.  13;  Danker,  N.  Jahrb.  f.  Min.  etc.  Beil.  Bd.  IV.  1885 
pag.  241 ;  Liebisch,  N.  Jahrb.  f.  Min.  etc   1886  II.  pag.  51.) 

Pulfrich  konstruierte  ein  auf  ähnlichem  Prinzip  beruhendes  Instrument,  bei  dem 
aber  statt  des  Prismas  ein  Kreiszylinder  aus  stark  lichtbrechendem  Glase  benutet 
wird,  auf  dessen  Basis  die  zu  untersuchende  Substanz  mit  einer  möglichst  eben^ 
Fläche,  gleichfalls  mit  einem  Tropfen  einer  stark  liohtbzechenden  Flüssigkeit  da- 
zwischen, gelegt  wird. 

(Zeitschr.  f.  Instrumentenk.  VII.  1887  pag.  16.  65.  392;  Wied,  Ann.  30.  31. 

1887  pag.  193.  317.  487,  resp.  pag.  724.  734;  Mühlheims,  Zeitschr.  f.  Kryst  XIV. 

1888  pag.  206.) 

Das  vollkommenste  Instrument  dieser  Art  ist  das  Abbe-Czapekisehe  KrystaU- 
refrcüdometeTj  wo  der  Zylinder  Pulfrichs  durch  eine  Halbkugel  ersetzt  ist,  die  oben 
eine  nach  einem  Großkreis  angeschliffene  ebene  Fläche  trägt.  Auf  diese  wird  die 
zu  untersuchende  Substanz  wie  bei  den  anderen  genannten  Instrumenten  gelegt 

(Czapski,  Zeitschr.  f.  Instrumentenk.  X.  1890  pag.  246.  269;  W.  Feußner,  Sitzgsber. 
d.  Ges.  z.  Beförderung  d.  ges.  Natnrw.  Marburg  1893  pag.  6;  Viola,  Zeitschr.  f. 
Instrumentenk.  19.  1899  pag.  335;  Zeitschr.  f.  Kryst.  30.  1899  pag.  417  und  32. 
1899  pag.  66.) 

Siehe  auch  die  in  (3)  B  angeführten  Werke  von  Greth,  Leiß,  Liebisch,  Soret  etc. 
für  die  Theorie  der  Bestimmung  der  Brechungskoeffizienten  mittels  der  Totalreflexion 
tmd  die  dazu  dienenden  Instrumente  nicht  nur  bei  isotropen,  sondern  auch  bei 
anisotropen  Substanzen,  von  denen  unten  eingehender  speziell  die  Rede  sein  wird. 
Einfaches  Refraktometer:  Bertraud,  Bull.  soc.  fran^.  de  min.  Bd.  %.  9.  10.  186&— 87. 

£ine  Methode  zur  annähernden  Ermittlung  der  Brechungskoeffizienten,  wie  sie 
für  die  praktischen  Zwecke  der  Mineralbestimmung  zuweilen  wünschenswert  ist,  be- 
ruht darauf,  daß  ein  fester  Körper  in  einer  gleich  stark  lichtbrechenden  Flüssigkeit 
bei  gleicher  Farbe  keine  scharfen  Umrisse  mehr  zeigt.  Man  verfilhrt  in  der  Weise, 
daß  man,  etwa  durch  Verdünnen  von  Kaliumquecksüberjodid  mit  Wasser,  eine  nicht 


Anisotrope  Medien.    SchwiBgnngsrichtongen.  261 

zn  geringe  AnEabl  von  venchiedenen  Flüssigkeiten  mit  bekannten  möglichst  all- 
mählich steigenden  Brechongskoeffizienten  herstellt  und  dann  das  zu  nntersuchende 
Stück  in  die  einzelnen  Gläser  der  Beihe  nach  hineinwirft.  Wo  die  Umrisse  am 
Tollständigsten  verschwinden  —  am  besten  ist  es,  die  Beobachtung  im  homogenen 
Licht,  etwa  im  iVitz-Licht,  vorzunehmen  —  ist  die  größte  Übereinstimmung  der  Licht- 
brechung. Der  Brechungskoeffizient  kann  an  dem  betreffenden  Olase  abgelesen 
weiden.  Diese  Methode  eignet  sich  am  besten  für  farblose  Substanzen.  Sie  kann 
in  ganz  analoger  Weise  auch  für  anisotrope  Krystalle  angewendet  werden,  bei  denen 
man  einen  mittleren  Wert  für  die  Brechungskoeffizienten  erhält.  (Vergl.  Schröder 
van  der  Kolk,  Tabellen  zur  mikroskopischen  Bestimmung  der  Mineralien  nach  ihrem 
Brechungsindex.    1900.) 


Anisotrope  Medien. 

Verhalten  sich  nicht  nach  allen  Richtungen  optisch  gleich. 

212.  Schwingiingsrichtnngen.  Nach  der  Ansicht  von  Fresnel 
ist  der  Äther  in  anisotropen  Medien  (201)  so  beschaffen,  daß  seine 
Elastizität  nicht  nach  allen  Richtungen  gleich  ist,  sondern  sich  mit 
der  Richtung  ändert,  während  die  Dichte  für  jede  Substanz  unab- 
hängig von  der  Richtung  stets  denselben  Wert  hat.  Das  Licht  wird 
also  nicht  mehr  nach  allen  Seiten  mit  derselben  Geschwindigkeit  fort- 
gepflanzt,  sondern  diese  ändert  sich  ebenfalls  mit  der  Richtung.  Die 
Wellenfläche   kann    also  keine  Kugel  mehr  sein.     Auch  hier   gilt 

noch  die  Gleichung:  v «»  1/-^  (vergl.  203);  aber  während  die  Geschwin- 
digkeit in  jedem  isotropen  Medium  wegen  der  Konstanz  von  e  und  d  für 
alle  Richtungen  denselben  Wert  hat,  ändert  sich  hier  der  Wert  von  v 
gleichzeitig  mit  dem  von  e  mit  der  Richtung.  Sind  v^  und  v^  die 
Geschwindigkeiten,  mit  welchen  in  demselben  anisotropen  Medium 
Schwingungen  fortgepflanzt  werden,  die  in  Richtungen  mit  den 
Elastizitäten  e^  und  e^  stattfinden,  so  ist,  da  hier  d  konstant: 


Vi  :  v^  =|/^:  |/^  =  |'ei  :  ]^e^, 


d.  h.  die  Fortpflanzungsgeschwindigkeiten  zweier  verschiedener  Wellen 
in  demselben  anisotropen  Medium  verhalten  sich  wie  die  Quadrat- 
wurzeln ans  den  Elastizitäten  des  Äthers  in  den  Richtungen,  in 
welchen  die  Schwingungen  der  beiden  Wellen  vor  sich  gehen.  Es 
handelt  sich  dabei  stets  nur  um  die  Elastizität  in  der  Richtung  senkrecht 
zur  Fortpflanzungsrichtung,  in  welcher  die  Schwingungen  stattfinden, 
nicht  nm  die  in  der  Fortpflanzangsrichtnng  herrschende;  diese  ist 
vollkommen  gleichgültig.  Daher  ist  es  auch  möglich,  daß  in  derselben 
Bichtnng  in  einem  anisotropen  Krystall  sich  zwei  Wellen  mit  ver- 
schiedener Geschwindigkeit  fortpflanzen,  wenn  die  Schwingungen  der 


262  Anisotrope  Medien. 

beiden  Wellen  in  zwei  der  unendlich  vielen,  auf  der  Fortpflanzungs- 
richtung  senkrechten  Richtungen  vor  sich  gehen. 

In  jedem  anisotropen  Krystall  können  sich  in  der  Tat  in  der- 
selben Richtung  zwei,  und  nur  zwei,  Wellen  gleichzeitig  und  mit  ver- 
schiedenen Geschwindigkeiten  fortpflanzen,  die  ihre  Schwingungen  in 
zwei  zueinander  senkrechten  Richtungen  normal  zur  Fortpflanzungs- 
richtung ausführen.  Diese  beiden  Richtungen  sind  die  sog.  Schwin- 
gungsricktungen  des  Krystalls  für  die  betreffende  Fortpflanzungs- 
richtung. Sie  fallen  zusammen  mit  den  stets  zueinander  senkrechten 
beiden  Richtungen,  in  welchen  der  Äther  in  einer  zur  Fortpflanzungs- 
richtung der  beiden  Wellen  senkrechten  Ebene  die  größte  und  die 
kleinste  Elastizität  besitzt.  Sind  e^  und  et  diese  beiden  Elastizitäten 
und  Vg  und  vt  die  Fortpflanzungsgeschwindigkeiten  der  beiden  ent- 
sprechenden Wellen,  dann  ist: 

Beim  Hindurchgehen  durch  einen  anisotropen  Krystall  wird  also 
das  Licht  polarisiert  und  zwar  die  beiden  in  derselben  Richtung  sich 
fortpflanzenden  Wellen  senkrecht  zueinander.  Wir  haben  somit  ein 
zweites  Mittel,  gewöhnliches  Licht  in  polarisiertes  zu  verwandeln 
(vergl.  (207)  und  (219)). 

213.  Doppelbrechung.  Die  Grösse  der  Ablenkung  (Brechung) 
beim  Übergang  einer  Welle  aus  einem  Medium  in  ein  anderes  ist 
für  jede  Farbe  und  Temperatur  lediglich  von  der  Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit des  Lichts  in  beiden  Medien  (205)  abhängig.  Somit 
müssen,  wie  die  Huyghenssche  Konstruktion  in  bekannter  Weise  zeigt, 
die  beiden  Wellen,  welche  sich  in  einem  anisotropen  Krystall  in  der- 
selben Richtung,  aber  mit  verschiedener  Geschwindigkeit  fortpflanzen, 
beim  Austreten  in  Luft  verschieden  stark  abgelenkt  werden,  also 
ihren  Weg  in  der  Luft  in  zwei  verschiedenen,  einander  allerdings 
sehr  naheliegenden  Richtungen  fortsetzen.  Dabei  erleidet  auch  hier 
die  rascher  im  Krystall  sich  fortpflanzende  Welle  eine  geringere  Ab- 
lenkung, als  die  langsamere.  Ebenso  werden  aber  auch,  wenn  auf 
einen  solchen  Krystall  eine  ebene  Lichtwelle  von  außen  einfällt,  in 
demselben  zwei  Schwingungen  erregt,  welche  zwei  mit  verschiedener 
Geschwindigkeit  und  in  verschiedener  Richtung  im  Krystall  sich  fort- 
pflanzende Wellen  (resp.  Strahlen)  liefern.  Diese  können  ebenfalls 
mittels  der  Huyghensschen  Konstruktion  aufgefunden  werden.  Bei 
jedem  solchen  Übergang  aus  dem  anisotropen  Krystall  in  ein  anderes 
Medium,  z.  B.  Luft,  oder  umgekehrt  entstehen  also  im  allgemeinen 
aus  einer  Fortpflanzungsrichtung  des  Lichts  deren  zwei,  eine  ein- 
fallende Lichtwelle  (Lichtstrahl)  zerfallt  bei  der  Brechung  in  zwei 
Wellen,  resp.  Strahlen,  die  sich  im  zweiten  Medium  unter  verschie- 


Doppelbrechung.    Optische  Achsen.  263 

denen  Richtungen  fortpflanzen.  Die  anisotropen  Krystalle  heiBen  daher 
doppeltbrechend  im  Gregensatz  zu  den  einfach  lichtbrechenden  isotropen 
Substanzen,  wo  jeder  einfallenden  Welle  nur  eine  einzige  des  ge- 
brochenen Lichts  entspricht  Die  Erscheinung  selbst  heißt  die  doppelte 
Lichtbrechung  (Doppelbrechung).  Dieselbe  äußert  sich  u.  a.  darin,  daß, 
wenn  man  durch  einen  doppeltbrechenden  Körper  hindurch  einen 
leuchtenden  Punkt  betrachtet,  derselbe  doppelt  erscheint  (218).  Je 
größer  der  Winkel  ist,  den  die  beiden  so  entstehenden  Strahlen  mit- 
einander machen,  desto  stärker  ist  die  Doppelbrechung,  desto  weiter 
sind  dann  auch  die  beiden  Bilder  voneinander  entfeint,  die  bei  der 
Betrachtung  eines  Gegenstands  durch  einen  doppeltbrechenden  Körper 
hindurch  erscheinen.  Am  bequemsten  ist  dies  im  allgemeinen  mittels 
eines  Spaltungsstficks  von  Kalkspat  zu  beobachten.  Die  beiden  durch 
Doppelbrechung  entstehenden  Wellen  (Strahlen)  sind  stets  vollständig 
polarisiert  und  zwar  senkrecht  zueinander  (212);  Doppelbrechung  ohne 
Polarisation  ist  undenkbai*. 

214.  Optische  Achsen.  Es  gibt  in  jedem  doppeltbrechenden 
Krystall  eine  resp.  zwei  Richtungen,  in  welchen  sich  nur  eine  ein- 
zige Welle  durch  denselben  hindurch  bewegen  kann,  in  welchen  also 
nur  einfache  Lichtbrechung  und  keine  Polarisation  stattfindet,  und 
in  welchen  daher  auch  nur  einfache  Bilder  eines  Lichtpunkts  gesehen 
werden.  Solche  Richtungen  heißen  optische  Achsen.  Man  unterscheidet 
nach  der  Zahl  derselben  einachsige  und  zweiachsige  Krystalle.  Die 
ersteren  umfassen  alle  Krystalle  mit  einer  Hauptachse,  also  alle,  die 
dem  hexagonalen  und  quadratischen  System  angehören,  und  die  optische 
Achse  ist  stets  der  Hauptachse  parallel.  Die  Richtung  wird  daher 
meist  kurz  als  die  Achse  der  einachsigen  Krystalle  bezeichnet.  Zwei- 
achsig sind  die  sämtlichen  Krystalle  des  rhombischen,  monoklinen  und 
triklinen  Systems  (vergl.  (214)  und  (224)). 

Einachsige  Krystalle. 

Die  hierbergehdrigen  hexagonalen  und  quadratischen  Krystalle  verhalten  sich 
in  Beziehung  auf  die  allgemeinen  optischen  Eigenschaften  vöUig  gleich  und  kOnnen 
auf  optischem  Wege  nicht  unterschieden  werden.  Auch  bei  ihnen  ist,  wie  bei  den 
regulären  Krystallen,  die  optische  Symmetrie  höher  als  die  krystallographische.  Bei 
beiden  ist  die  zur  Achse  normale  Ebene  Symmetrieebene;  in  optischer  Hinsicht  ist 
auch  jede  durch  die  Achse  gehende  Ebene  (Hauptschnitt)  Symmetrieebene,  aber  nicht 
für  die  krystallographische  Begrenzung. 

215.  Allgemeine  Eigenschaften.  In  einachsigen  Erystallen  ist 
nach  den  Annahmen  von  Fresnel  der  Äther  so  beschaffen,  daß  seine 
Elastizität  in  der  Bichtnng  der  Achse  =  e  und  ein  Maximom  (resp.  Mi- 
nimnm),  in  allen  darauf  senkrechten  Eichtungen  dagegen  =  o  and  ein 


264  Einachsige  Erjstalle. 

Minimum  (resp.  Maximum)  ist.  In  den  Zwischenrichtungen  ist  die 
Elastizität  eine  intermediäre,  und  zwar  ist  sie  in  allen  solchen  Rich- 
tnngen  gleich,  die  gegen  die  Achse  gleiche  Neigung  haben.  Danach 
ist  die  Elastizität  in  allen  durch  die  Achse  hindurchgehenden  Ebenen, 
den  sog.  Hawptschnitten,  ganz  gleich  verteilt.  Sie  nimmt  in  jedem 
Hauptschnitt  von  der  Richtung  der  Achse  nach  der  darauf  senkrechten 
in  der  Ebene  der  Nebenachsen  gelegenen  Richtung  ganz  stetig  und 
in  ganz  gleicher  Weise  ab  (resp.  zu)  und  zwar  nach  einem  Gesetz, 
das  wir  unten  speziell  kennen  lernen  werden  (216). 

Krystalle,  bei  denen  die  Elastizität  des  Äthers  in  der  Richtung 
der  Achse  ein  Maximum  ist,  wo  also  c>>o,  heißen  negativ  ( — ),  z.  B. 
Kalkspat.  Solche,  wo  die  Elastizität  in  der  Richtung  der  Achse  ein 
Jffmmum,  bei  denen  also  « <  o,  heißen  posüiv  (+),  z.  B.  Quarz. 

Die  beiden  nach  irgend  einer  Richtung  in  einem  solchen  Krystall 
sich  fortpflanzenden  Wellen  schreiten  mittels  Schwingungen  vorwärts, 
welche  senkrecht  und  parallel  zu  dem  Hauptschnitt  sind,  in  welchem 
die  Fortpflanzungsrichtung  liegt,  d.  h.  senkrecht  und  parallel  zu  einer 
Ebene,  welche  man  durch  die  Fortpflanzungsrichtung  und  die  Richtung 
der  Hauptachse  legen  kann.  Die  Schwingungsrichtungen  der  Wellen 
in  einachsigen  Krystallen  sind  also  flir  jede  Fortpflanzungsrichtung 
senkrecht  und  parallel  zu  dem  durch  diese  letzteren  bestimmten 
Hauptschnitt.  Der  Grund  liegt  darin,  daß  die  Elastizität  des  Äthers 
senkrecht  zu  dem  Hauptschnitt,  also  senkrecht  zu  der  in  diesem 
liegenden  Fortpflanzungsrichtung  und  der  Achse  des  Krystalls,  bei 
4- Krystallen  den  größten,  bei  — Krystallen  den  kleinsten  in  dem 
Krystall  überhaupt  möglichen  Wert  hat  (212).  Andere  Lichtschwin- 
gungen als  solche  senkrecht  und  parallel  zu  diesem  Hauptschnitt 
können  in  einem  einachsigen  Krystall  in  der  betreffenden  Richtung 
nicht  fortgepflanzt  werden. 

Alle  senkrecht  zu  einem  Hauptschnitt  schwingenden  Lichtbewe- 
gungen müssen  sich  im  Krystall  stets  mit  derselben  Geschwindigkeit 
fortpflanzen,  die  Fortpflanzungsricbtung  mag  sein,  welche  sie  will; 
denn  diese  Schwingungen  gehen  alle  senkrecht  zur  Achse  vor  sich, 
und  in  allen  diesen  Richtungen  ist  ja  die  Elastizität  des  Äthers  im 
ganzen  Krystall  dieselbe,  nämlich  =  o.  Eine  solche  Lichtbewegung 
verhält  sich  also,  wie  wenn  sie  in  einem  isotropen  Medium  stattfände ; 
ihre  Geschwindigkeit  ist  konstant  und  von  der  Richtung  der  Fort- 
pflanzung im  Krystall  (von  der  Neigung  derselben  gegen  die  optische 
Achse)  vollkommen  unabhängig.  Bei  einer  im  Hauptschnitt  schwin- 
genden Lichtbewegung  ändert  sich  mit  der  Fortpflanzungsrichtung 
auch  die  Schwingungsricbtung  in  ihrer  Neigung  zur  Achse  und  damit 
die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  Diese  ist  nur  in  allen  solchen 
Richtungen  gleich,  welche  zur  Achse  gleich  geneigt  sind,  entsprechend 


WeUenfl&che.  265 

den  Verhältnissen  der  Elastizität  des  Äthers,  nnd  nimmt  von  der 
Bichtung  parallel  der  Achse  bis  zu  der  Richtung  senkrecht  darauf 
stetig  ab  bei  +  I^rystallen,  resp.  zu  bei  — Krystallen.  Eine  Licht- 
bewegung, deren  Fortpflanzung  durch  Schwingungen  im  Hauptschnitt 
geschieht  und  deren  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  sich  daher  mit  der 
Tüchtniig  ändert,  heißt  eine  außerwrdenüiche  (extraordinäre,  außer- 
ordentliche Wellen  und  Strahlen).  Dagegen  wird  eine  Lichtbewegung, 
die  mit  Schwingungen  senkrecht  zum  Hauptschnitt,  also  mit  konstanter 
Geschwindigkeit  fortschreitet,  eine  ordentliche  (ordinäre,  ordentliche 
Wellen  und  Strahlen)  genannt.  Das  ordentliche  Licht  ist  also  stets 
in  dem  Hauptschnitt,  das  außerordentliche  senkrecht  zu  dem  Haupt- 
schnitt polarisiert,  in  dem  die  Fortpflanzungsrichtung  liegt. 

'  216.  Wellenfläehe  (Strahlenfläehe).  In  positiven  Krystallen 
wird  sich  eine  Lichtbewegung  in  der  Richtung  der  Achse,  also  mit 
Schwingungen  senkrecht  zur  Achse,  mit  einer  Geschwindigkeit  o  fort- 
pflanzen, die  größer  ist,  als  die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  e  einer 
sdchen  senkrecht  zur  Achse,  also  mit  Schwingungen  parallel  der 
Achse,  weil  die  Elastizität  des  Äthers  e  parallel  der  Achse  kleiner 
ist,  als  diejenige  o  senkrecht  dazu  (215).  Die  Geschwindigkeit  o  ist  die 
größte,  c  die  kleinste  überhaupt  in  dem  betrefienden  Krystall  mögliche 
Fortpflanzungsgeschwindigkeit.  Bei  negativen  Krystallen  ist  dies  alles 
gerade  umgekehrt.    In  beiden  Fällen  besteht  aber  das  Verhältnis  (212) : 

b :  e  =?=  y  0  :  y^ 

Je  größer  die  Diflferenz  zwischen  o  und  e,  resp.  o  und  e,  desto 
größer  ist  die  Doppelbrechung  des  Krystalls,  desto  weiter  können  die 
durch  ihn  hindurch  gesehenen  beiden  Bilder  eines  leuchtenden  Punkts 
auseinanderrücken. 

Die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  in  einer  intermediären  Richtung 
erhält  man,  wenn  man  o  =  ^ö  in  der  Richtung  der  Hauptachse,  c  =  /c 
senkrecht  dazu  aufträgt  und  über  beiden  als  Achsen  eine  Ellipse 
konstruiert.  Eine  außerordentliche  Lichtbewegung,  deren  Fortpflan- 
zuogsrichtung  mit  der  Achse  den  Winkel  a  macht,  hat  eine  Ge- 
schwindigkeit, welche  gleich  ist  dem  Radius  der  Ellipse,  welcher  mit 
der  Achse  denselben  Winkel  a  ein- 
schließt (Fig.  313  für  einen  posi- 
tiven, Fig.  314  für  einen  negativen 
Krystall).  Die  Fortpflanzungsge- 
schwindigkeit einer  ordentlichen 
Lichtbewegung  ist  nach  allen  Rieh- 
tungen  dieselbe,  nämlich  o.    In  der      ^^'  ^^^'  ^'^'  ^^^' 

Bichtung  der  Achse  bewegt  sich  also  alles  Licht  mit  derselben  Ge- 
schwindigkeit 0,  hier  hört  der  Unterschied  zwischen  ordentlicher  und 


y^ 


266  Einachsige  Krystalle. 

außerordentlicher  Lichtbewegung  daher  auf.  Es  findet  hier  somit 
in  der  Tat  keine  Doppelbrechung  statt.  Das  in  der  Richtung  der 
Achse  gehende  Licht  wird  nicht  polarisiert 

Wird  also  im  Innern  eines  einachsigen  Krystalls  der  Äther  an 
einem  Punkt  0  erschüttert,  so  breitet  sich  gleichzeitig  eine  ordent- 
liche und  eine  außerordentliche  Welle  um  0  herum  aus.  Die  erstere 
schreitet  nach  allen  Seiten  mit  der  Geschwindigkeit  o  fort,  die  ordent- 
liche Wellenfläche  (Strahlenfläche)  ist  also  eine  Kugel  um  0  mit  dem 
Halbmesser  o.  Die  letztere  bewegt  sich  nur  in  der  Richtung  der 
Achse  mit  der  Geschwindigkeit  o,  senkrecht  dazu  mit  der  Geschwindig- 
keit c,  in  allen  intermediären  Richtungen  mit  Geschwindigkeiten,  welche 
man  aus  den  oben  genannten  Ellipsen  in  der  angegebenen  Weise  er- 
hält. Da  sich  in  allen  Hauptschnitten  des  Krystalls  die  außerordent- 
lichen Wellen  ganz  in  derselben  Weise  fortpflanzen,  so  daß  dies  in 
gleich  zu  der  Achse  geneigten  Richtungen  auch  stets  mit  derselben 
Geschwindigkeit  geschieht,  so  muß  die  außerordentliche  Wellenfläche 
ein  Rotationsellipsoid  sein,  dessen  Rotationsachse  der  Richtung  nach 
die  Hauptachse  und  dessen  Meridiane  die  genannten  Ellipsen  sind; 
dessen  Rotationsachse  der  Länge  nach  =  o,  dessen  Äquatorialachse 
=  e  ist.  In  der  Richtung  der  Achse  ist  die  Fortpflanzungsgeschwindig- 
keit der  ordentlichen  sowohl  als  der  außerordentlichen  Welle  =o, 
somit  berühren  sich  beide  Wellenflächen  an  den  Enden  der  Haupt- 
achse, umfassen  sich  aber  im  übrigen,  und  zwar  umgibt  bei 
-+-  Krystallen  die  kugelförmige  ordentliche  Wellenfläche  die  elliptische 
außerordentliche  (Fig.  313),  bei  — Krystallen  umgibt  die  elliptische 
außerordentliche  die  kuglige  ordentliche  (Fig.  314).  Hieraus  folgt 
dann  unmittelbar,  daß  bei  +  Krystallen  die  Fortpflanzungsgeschwindig- 
keit der  außerordentlichen  Wellen  stets  kleiner,  bei  —  Krystallen  stets 
größer  ist,  als  die  ordentlichen  Wellen. 

217.  Charakter  der  Doppelbrechung.  Wenn  eine  ebene  Licht- 
welle in  der  Richtung  AB  (Fig.  315,  316)  die   irgendwie  gelegene 

ebene  Grenzfläche  MN  eines  einachsigen 
Krystalls  trifft,  dessen  Hauptachse  nach  BG 
gerichtet  ist,  so  wird  diese  Welle  doppelt 
gebrochen ;  nach  Bo  geht  die  ordentliche,  nach 

Fi  316  "^^  ^^®  außerordentliche  gebrochene  Welle.  Da 
bei  negativen  Krystallen  die  ordentliche  Welle 
sich  langsamer  fortpflanzt,  als  die  außerordentliche,  so  wird  sie  stärker 
gebrochen  als  letztere  (213,  216),  bei  positiven  Krystallen  ist  dies  um- 
gekehrt. Die  Fortpflanzungsrichtung  der  außerordentlichen  Welle  Be 
ist  daher  bei  negativen  Krystallen  stets  von  der  Hauptachse  BG 
weiter  entfernt,  als  die  Richtung  der  ordentlichen  Welle  Bo  (Fig.  316), 


Charakter  der  Doppelbrechung.    Doppelbrechnng  im  Kalkspat.  267 

sie  wird  von  der  Achse  gleichsam  abgestoßen ;  bei  positiven  Krystallen 
ist  sie  näher  bei  der  Achse  jBC,  sie  wird  von  der  Achse  gleichsam 
angezogen  (Fig.  315) ,  daher  heißen  —  Krystalle  auch  repfdsiv, 
+  Krystalle  attraktiv. 

Die  Fortpflanzangsrichtnngen  der  ordentlichen  nnd  anOerordenÜichen  Wellen 
Bo  nnd  Be  (die  ordentliche  und  außerordentliche  Wellennormale)  folgen  hei  der 
Brechnng  dem  gewöhnlichen  Brechnngsgesetz  (205).  Was  die  gebrochenen  Strahlen 
betrifft,  so  füllt  der  ordentliche  Strahl  mit  der  ordentlichen  Wellennormale  Bo  stets 
zusammen,  er  folgt  also  ebenfalls  in  jeder  Beziehung  dem  allgemeinen  Brechungs- 
gesetz. Der  gebrochene  außerordentliche  Strahl  fällt  aber  mit  der  außerordentlichen 
Wellennormale  Be  im  allgemeinen  nicht  mehr  zusammen  und  folgt  nicht  dem  all- 
gemeinen Brechungsgesetz.  Er  liegt  sogar  nicht  einmal  stets  in  der  Einfallsebene 
des  Strahls  AB.  Dies  geschieht  nur,  wenn  AB  in  dem  durch  das  Einfallslot  be- 
stimmten Hauptschnitt  oder  senkrecht  dazu  einfällt;  in  allen  anderen  Fällen  tritt 
der  gebrochene  außerordentliche  Strahl  aus  der  Einfallsebene  heraus.  Sein  Brechungs- 
gesetz ist  dann  ziemlich  kompliziert  und  wird  mittels  der  Huyghensschen  Konstruk- 
tion angegeben. 

218.  Doppelbrechung  im  Kalkspat.  Am  geeignetsten  zur  Be- 
obachtung der  Erscheinungen  der  Doppelbrechnng  ist  der  rhombo- 
edrische,  also  einachsige  Kalkspat.  Er  ist  sehr  stark  doppeltbrechend 
und  findet  sich  in  großen  durchsichtigen  Massen,  aus  denen  man  schöne 
Spaltungsrhomboeder  herstellen  kann.  Wegen  der  sehr  starken  Doppel- 
brechung nennt  man  die  durchsichtige  Varietät  des  Kalkspats  Doppel- 
spat.  An  ihm  beobachtet  man  bezüglich  der  Doppelbrechung  folgendes: 
Legt  man  ein  Spaltungsstück  auf  ein  weißes,  mit  einem  schwarzen 
Punkt  versehenes  Papier,  so  sieht  man  von  oben  aus  zwei  Bilder  des 
Punkts,  beide  in  dem  vertikalen  Hauptschnitt  des  Krystalls  gelegen. 
Befindet  sich  das  Auge  senkrecht  über  dem  Punkte  m 
(Fig.  317),  so  sieht  man  das  eine  Bild  senkrecht  nach  unten 
an  der  Stelle,  wo  der  Punkt  m  selbst  ist,  das  andere  im 
vertikalen  Hauptschnitt  etwas  nach  der  unteren  stumpfen  ^^ 
Ecke  c  des  Spaltungsstücks  hin  verschoben  bei  m,.  Die 
Entfernung  der  Bilder  bleibt  dieselbe,  ob  man  das  Auge  *^' 
der  Fläche  nähert,  oder  von  ihr  entfernt,  dagegen  ist  ihre  Entfernung 
größer  bei  dickeren,  als  bei  dünneren  Stücken.  Dreht  man  den  Kalk- 
spat um  eine  Achse  o^m  senkrecht  zu  der  Spaltungsfläche,  auf  welche 
man  sieht,  so  bleibt  das  Bild  m  an  seiner  Stelle,  das  Bild  m^  dagegen 
dreht  sich  mit,  indem  es  immer  in  dem  vertikalen  Hauptschnitt  bleibt. 
Beide  Bilder  m  und  m^  haben  dabei  stets  dieselbe  Helligkeit  und  die- 
selbe Entfernung  voneinander.  Das  nicht  abgelenkte  Bild  m  ist  das 
ordentliche,  das  abgelenkte  Bild  m^  das  außerordentliche.  Betrachtet 
man  einen  fernen  Punkt  durch  einen  Kalkspat,  so  sind  die  Erschei- 
nungen ganz  ähnlich.  Sieht  man  in  einer  anderen  Richtung  als  senk- 
recht zum  Blätterbruch  durch  den  Krystall,  so  sind  die  beiden  Bilder 


268  Einachsige  Erjstalle. 

bei  gleicher  Dicke  des  letzteren  um  so  entfernter,  je  mehr  diese 
Richtung  sich  der  Normale  zur  Achse  nähert,  bis  zu  einem  bestimmten 
Punkt;  von  da  ab  nähern  sie  sich  einander  wieder.  Senkrecht  zur 
Achse,  also  durch  zwei  gegenüberliegende  Prismenflächen  gesehen, 
decken  sie  sich,  wie  die  Huyghensche  Konstruktion  zeigt.  Die  beiden 
Bilder  sind  einander  um  so  näher,  je  näher  die  Richtung,  in  der  man 
durch  den  Krystall  hindurchsieht,  der  Richtung  der  Achse  ist  Längs 
der  Achse  gesehen,  erhält  man  überhaupt  nur  ein  einziges  Bild ;  nach 
der  Achse  findet  keine  Doppelbrechung  statt. 

Alle  anderen  einachsigen  Krjstalle  zeigen  dieselben  Eracheinnngen  wie  der 
Kalkspat,  doch  ist  bei  den  meisten  die  Doppelbrechnng  viel  schwächer.  Die  beiden 
Bilder  liegen  sich  dann  näher  und  vielfach  überdecken  sie  sich  sogar  teilweise,  selbst 
in  der  Stellung,  in  der  sie  das  Maximum  der  Entfernung  haben.  Die  Erscheinung 
tritt  dann  vielfach  nicht  mehr  in  der  angegebenen  Weise  hervor,  und  viele  KrystaUe 
erscheinen  bei  dieser  direkten  Beobachtung  einfachbrecheud,  während  sie  doch  tat- 
sächlich doppeltbrechend  sind,  oder  sie  lassen  doch  die  Art  ihrer  Lichtbrechung 
zweifelhaft.  Die  beiden  Bilder  treten  aber  weiter  auseinander  und  lassen  dann  die 
Doppelbrechung  auch  bei  geringerer  Stärke  oft  noch  deutlich  erkennen,  wenn  man 
einen  Punkt  statt  durch  eine  planparallele  Platte  durch  ein  Prisma  aus  dem  be- 
treffenden ELrystall  betrachtet.  (Erkennung  der  Doppelbrechung  auf  indirektem  Wege 
im  Polarisationsinstrument  veigl.  (237)  ff.) 

210.  Nicolsehes  Prisma.  Tormalinplatte.  Der  Umstand,  daß  doppelt- 
brechende Körper  das  durch  sie  hindurchgehende  Licht  vollkommen  polarisieren  (213), 
wird  zur  Herstellung  von  Apparaten  benützt,  welche  Licht  liefern,  das  in  einer  be- 
stimmten Ebene  polarisiert  ist.  Es  handelt  sich  dabei  darum,  die  eine  der  beiden 
durch  die  Doppelbrechung  erhaltenen  WeUen  zu  eliminieren  und  nur  die  andere  ins 
Auge  gelangen  zu  lassen.  Man  benutzt  dazu  am  häufigsten  Turmalin-  und  Kalk- 
spatkrjstalle,  beide  dem  hexagonalen  Krystallsystem  angehörig,  doch  können  auch 
andere  doppeltbrechende  Krystalle  verwendet  werden. 

Schleift  man  eine  Platte  von  Turmalin  von  dunkelbrauner  oder  -grüner  Farbe 
(hellgefärbte  sind  untauglich)  paraUel  mit  der  Hauptachse,  so  wird  beim  Hindurch- 
gehen des  Lichts  die  dabei  entstehende  ordentliche  Welle  total  absorbiert  (262)  und 
nur  die  außerordentliche  gelangt,  stark  gefärbt,  ins  Auge.  Man  hat  also  nur  in  die 
Fortpflanzungsrichtung  eines  Strahlenbündels  gewöhnlichen  Lichts  eine  solche  Tur- 
malinplatte  einzuschalten,  um  ein  Bündel  polarisierter  Lichtstrahlen  zu  erhalten, 
deren  Schwingungen  parallel  mit  der  Achse  des  Turmalins  vor  sich  gehen. 

Um  statt  des  gefärbten  Lichts,  das  der  Turmalin  liefert,  weißes  zu  erhalten, 
benützt  man  den  Doppdapat^  in  welchem  man  die  Beseitigung  des  einen  und  zwar 
des  ordentlichen  Strahls  künstlich  bewirken  kann.  Man  schleift  an  ein  längliches 
Doppelspatspaltungsstück,  dessen  Umriß  in  dem  durch  die  lange  Endkante  BD 
gehenden  Hauptschnitt  durch  das  Parallelogramm  ABCD  darstellt  (Fig.  318),  zwei 

neue  Flächen  ABi  und  CiD  an,  welche  wie  die  beiden 
Spaltungsflächen  AB  und  CD  auf  dem  Hauptschnitt  ABCD 
senkrecht  stehen  und  mit  AB  und  CD  Winkel  von  je  3® 
machen.  Dann  zersägt  man  das  Spaltungsprisma  senkrecht 
Fig.  318.  2U    ABCD,   so  daß  die  Trennungsfläche  ByCi  mit  AB^^ 

und  CiD  Winkel  von  90**  macht,  poliert  die  beiden  Schnitt- 
flächen und  klebt  die  beiden  Hälften  mittels  Canadabalsam  genau  in  der  alten 
Lage  wieder  aufeinander.    Der  Balsam  hat  einen  Brechungskoeffizienten,   welcher 


Nicoisches  Prisma.    TnrmallnplaCte.    Brechnngskoeffizienten.  269 

zwischen  denen  der  ordentlichen  nnd  außerordentlichen  Welle  im  EalksiMtt  in 
deT  Mitte  steht.  Fällt  nnn  anf  die  Fläche  ABi  ein  gewöhnlicher  Lichtstrahl  ab 
parallel  znr  Kante  BD  ein,  so  wird  er  doppelt  gehrochen,  nnd  zwar,  weil  der 
Kalkspat  —  ist,  der  ordentliche  stärker  nach  &o,  der  außerordentliche  weniger 
stark  nach  he.  Der  ordentliche  Strahl  ho  wird  an  dem  optisch  weniger  dichten 
Cknadabalsam  total  reflektiert  und  durch  Ablenken  nach  od  beseitigft;  der  außer- 
ordentliche Strahl  be  geht  durch  die  Balsamschicht  hindurch  nach  ef  und  ver- 
läßt den  Kalkspat  nach  fg  \\  ab.  Dieser  Apparat  heißt  nach  seinem  Erfinder  ein 
Nicolachea  Prisma  oder  kurz  ein  Nicol.  Das  durch  einen  solchen  Apparat  gegangene 
Licht  ist  senkrecht  zum  Hauptschnitt  polarisiert,  die  Schwingungen  gehen  somit  im 
Hauptschnitt,  also  in  der  von  der  kurzen  Diagonale  des  Querschnitts  des  Spaltungs- 
rhomhoeders  bestimmten  Eichtung  vor  sich.  Dieser  Hanptschnitt  wird  auch  wohl 
die  Schwingungsebene  des  Nicols  genannt  Die  Nicols  sind  die  bequemsten  und  am 
häufigsten  angewendeten  polarisierenden  Apparate,  die  znr  Zeit  bekannt  sind. 

Übrigens  sind  diese  Prismen  zuweilen  auch  in  etwas  anderer  Weise  konstruiert, 
was  aber  in  der  Hauptsache  ihre  Wirkung  nicht  wesentlich  ändert.  (K.  Feußner, 
Zeitschr.  f&r  Listrumentenkunde  Bd.  IV.  1884  pag.  41.)  Auch  aus  anderen  Sub- 
stanzen (Natronsalpeter  etc.)  werden  sie  zuweilen  hergestellt,  statt  aus  Kalkspat. 

220,  BrechuiigskoefHzienteiL.  Kennt  man  die  Fortpflanzungs- 
geschwindigkeiten e  und  0  der  in  der  Richtnng  der  Achse  nnd  senk- 
recht dazu  schwingenden  außerordentlichen  Wellen  in  einem  ein- 
achsigen EryBtall,  so  folgen  daraus  die  Fortpflanzungsgeschwindig- 
keiten der  in  intermediären  Kichtungen  schwingenden  Wellen  nach 
(316).  Durch  die  Kenntnis  von  e  und  o  für  jede  Farbe  und  Temperatur 
sind  somit  einachsige  Krystalle  in  der  Hauptsache  optisch  bestimmt. 
Diese  Werte  werden  aber  ermittelt  durch  die  Brechungskoeffizienten 
€  und  (o  der  Wellen,  welche  parallel  und  senkrecht  zur  Achse 
schwingen,  der  sog.  Hauptbrechungskoeffiaienten,  Sie  sind  für  alle 
Krystalle  derselben  Substanz  dieselben,  ändern  sich  aber  von  einer  Sub- 
stanz znr  anderen.  Man  bezeichnet  sie  auch  als  die  optischen  Kon- 
stanten der  einachsigen  Krystalle. 

Die  Brechnngskoeffizienten  sind  wie  bei  isotropen  Substanzen  (205) 
die  reciproken  Werte  der  entsprechenden  Fortpflanzungsgeschwindig- 
keiten und  man.  hat  die  Formeln : 

w  und  e  sind  die  größten  und  kleinsten  Brechnngskoeffizienten, 
die  in  einem  Krystall  überhaupt  vorkommen  können,  w  ist  der  ordent- 
liche (ordinäre)  Brechungskoefftzient ;  er  gilt  für  ordentliche  Wellen 
durchaus,  b  ist  der  außerardentlidie  (extraordinäre)  Brechungskoefft- 
zient; er  gilt  für  diejenigen  außerordentlichen  Wellen,  die  sich,  in 
der  Bichtung  der  Hauptachse  schwingend,  senkrecht  zu  dieser  fort- 
pflanzen. Für  außerordentliche  Schwingungen,  die  weder  nach  der 
Achse  noch  senkrecht  dazu  stattfinden,  gelten  Brechnngskoeffizienten, 
die  zwischen  (o  und  e  liegen  und  zwar  entsprechend  dem  durch  die 


270  Einachsige  Krystalle. 

Wellen-  oder  Strahlenfläche  dargestellten  Gesetz.  Fttr  +  Krystalle 
ist  stets  w<€,  z.  B.  beim  Quarz:  ct>  =  1,54418;  fi  =  1,55328.  Ffir 
—  Krystalle  ist  w  >  ß,  z.  B.  beim  Kalkspat :  (o  =  1,6583 ;  e  =  1,4864, 
bei  beiden  Mineralien  für  Natriumlicht  (Linie  D  des  Spektrums).  Da 
die  Hauptbrechungskoeffizienten  durch  die  obigen  Formeln  direkt  ntit 
der  Elastizität  des  Äthers  in  der  Richtung  der  Achse  und  senkrecht 
dazu  in  Verbindung  stehen,  so  geben  sie  auch  ein  Maß  flir  die  Doppel- 
brechung. Ein  Krystall  ist  um  so  stärker  doppeltbrechend,  je  größer 
die  Differenz  der  beiden  Hauptbrechungskoeffizienten  w  —  e  für  — , 
€  —  0)  für  -[-Krystalle.  Der  Kalkspat,  wo  w  —  «  =  0,1719,  ist  viel 
stärker  doppeltbrechend,  als  der  Quarz,  bei  dem  c  —  w  =  0,0091  und 
die  Doppelbrechung  selbst  ist  =  0,1719  resp.  =  0,0091. 

Unter  den  bisher  bekannten  einachsigen  Erystallen  ist  das  quadratische 
Calomel,  die  am  stärksten  doppeltbrechendei  zugleich  die  am  stärksten  doppelt- 
brechende Substanz  überhaupt;  bei  ihm  ist:  <»  =  l,9732d  und  c  =  2,66618,  die 
Doppelbrechung  also:  e  —  tt>  =  0,68293  für  i\ra-Licht,  für  27-Licht  ist  sogar:  «  — » 
=  0,722.  Sehr  stark  doppeltbrechend  ist  anch  der  Zinnober  (diff.  =  0,847)  und  der 
Rutil  (0,287,  beide  für  rotes  Licht).  Sehr  schwach  doppeltbrechend  sind  dagegen 
der  Nephdin  (a;  =  1,541;  «=1,Ö37;  diff.  =  0,004)  und  der  Leucit  (öi  =  1,ö08; 
e  =  1,509 ;  diff.  =  0,001). 

Die  Bestimmung  der  Brechungshoefßjnenten  einachsiger  Krystalle 
erfolgt  mut.  mut  nach  denselben  Methoden,  wie  die  isotroper  Sub- 
stanzen (211).  Man  erhält  dabei  stets  dieselben  Werte  für  alle 
Schwingungen  senkrecht  zur  Hauptachse,  sie  mögen  sonst  in  einer 
Richtung  vor  sich  gehen,  in  welcher  sie  wollen,  also  stets  dieselben 
Werte  für  w.  Die  Elastizität  des  Äthers  ist  demnach  in  allen  Rich- 
tungen senkrecht  zur  Achse  die  gleiche,  wie  es  der  Annahme  von 
Fresnel  (215)  entspricht.  Ermittelt  man  die  BrechungskoefBzienten 
für  Lichtschwingungen,  die  in  einem  Hauptschnitt  in  allen  Azimuten 
von  der  Hauptachse  bis  zur  Richtung  senkrecht  dazu  vor  sich  gehen, 
so  findet  man  far  die  Schwingungen  parallel  der  Achse  stets  einen 
größten  und  für  die  senkrecht  darauf  stattfindenden  einen  kleinsten 
Wert  oder  umgekehrt.  Die  Änderung  der  Ätherelastizität  von 
einer  Richtung  zur  anderen  findet  in  allen  Hauptschnitten  in  der 
gleichen  Weise  und  stets  ebenfalls  der  Ansicht  von  Fresnel  gemäß 
statt,  wie  sie  durch  die  Wellenfläche  dargestellt  ist.  Die  Methoden, 
um  die  es  sich  hier  hauptsächlich  handelt,  sind  nun  die  folgenden: 

1.  Methode  mit  dem  Prisma,  Die  Prismen  müssen  so  geschliffen 
sein,  daß  bei  der  Minimalablenkung  die  senkrecht  zur  brechenden 
Kante  hindurchgehenden  Wellen  das  Prisma  in  der  Richtung  der 
Hauptachse  oder  senkrecht  dazu  durchziehen.  Die  Schwingungen  der 
Wellen  im  Prisma  müssen  dann  in  der  Tat  senkrecht  resp.  parallel 
mit  der  Achse  vor  sich  gehen,  wie  es  fttr  die  Wellen,  welche  oi  und  b 
geben  sollen,  nach  dem  Obigen  erforderlich  ist.    Dies  wird  am  besten 


Bestiminnng  der  Brechnngskoeffizienten.  271 

erreicht,  wenn  man  die  brechende  Kante  der  Hauptachse  parallel 
macht  oder  unter  Umständen  auch,  wenn  man  das  Prisma  so  schleift, 
daß  die  Hauptachse  in  der  den  brechenden  Winkel  halbierenden 
Ebene  auf  der  brechenden  Kante  des  Prismas  senkrecht  steht. 
Weniger  empfiehlt  es  sich,  die  brechende  Kante  senkrecht  zur  Haupt- 
achse zu  legen,  so  daß  diese  letztere  auf  der  Halbierungslinie  des 
brechenden  Winkels  senkrecht  steht. 

In  Fig.  319  sei  die  brechende  Kante  N  des  Prismas  der  Haupt- 
achse des  Krystalls  parallel,  die  Prismenflächen  MN  und  NP  sind 
dann  ebenfalls  der  Hauptachse  parallel,  können  aber  sonst  ^^^ 

ganz  beliebig  liegen.    Minimalablenkung  findet  auch  hier 
statt,  wenn  die  Wellen  den  Krystall  in  der  Richtung  BC  ^,. 
durchziehen,  welche  gegen  MN  und  NT?  gleich  geneigt  und    ^ 
zur  brechenden  Kante  senkrecht  ist.    In  dieser  Richtung 
gehen  aber  zwei  Wellen,  die  ordentliche  und  die  außer-  ^•^ 

ordentliche  mit  verschiedener  Geschwindigkeit  hindurch,  ^ff*  ^^^• 
die  eine,  außerordentliche,  mit  Schwingungen  parallel  der  brechenden 
Kante  N^  (Achse);  die  andere,  ordentliche,  senkrecht  dazu  nach  ISO 
schwingend,  welches  so  liegt,  daß  MNO  —  PNO^  also  NO  J_  BC  ist. 
Wegen  der  verschiedenen  Geschwindigkeit  beider  Wellen  treten  sie 
bei  C  nach  verschiedenen  Richtungen  CDo  und  CD«  aus,  sie  müssen 
also  auch  aus  verschiedenen  Richtungen  AoB  und  AeB  auf  der  Fläche 
MN  in  B  ankommen.  Man  muß  somit  für  die  ordentliche  und  die 
außerordentliche  Welle  die  Minimalablenkung  getrennt  aufsuchen  und 
erhält  daraus  dann  w  und  e  nach  der  oben  (211)  mitgeteilten  Formel, 
Man  unterscheidet  beide  Wellen  mittels  eines  auf  das  Okular  des 
Beobachtungsfemrohrs  aufgesetzten  Nicols.  Ist  dessen  Schwingungs- 
ebene der  brechenden  Kante  parallel,  dann  können  nur  Schwingungen 
parallel  dieser  Kante  d.  h.  parallel  der  Achse  hindurch  und  man  er- 
hält £.  Ist  dagegen  die  Schwingungsebene  des  Nicols  senkrecht  zur 
Kante,  so  sind  die  hindurchgehenden  Schwingungen  senkrecht  zur 
Achse  und  man  erhält  w,  wobei  dann  immer  Farbe  und  Temperatur 
noch  besonders  zu  berücksichtigen  sind. 

Man  erhält  dabei  stets  denselben  Wert  fttr  den  ordentlichen  Brechungskoeffi- 
zienten 07,  d.  h.  für  Schwingungen  senkrecht  zur  Achse  c,  das  Prisma  mit  der 
brechenden  Kante  parallel  zu  dieser  mag  in  dem  Krystall  orientiert  sein  wie  es  will, 
die  Flächen  NM  und  NP  mögen  diese  oder  jene  Lage  ||  c  haben  und  die  Fortpflan- 
zungsrichtung  BCj  sowie  die  Schwingungsrichtung  ON  mögen,  beide  in  der  Ebene 
der  Nebenachsen,  also  senkrecht  zu  c,  irgendwie  gerichtet  sein.  Dies  ist  nur  mög- 
lich, wenn  die  Elastizität  des  Äthers  in  allen  Bichtungen  senkrecht  zur  Achse  den 
gleichen  Wert  hat,  wie  es  der  Annahme  von  Fresnel  entspricht. 

Ist  dagegen  die  brechende  Kante  N  auf  der  Hauptachse  senkrecht,  dann  sei 
die  letztere  zunächst  nach  NO  (Fig.  319)  gerichtet,  so  daß  sie  den  brechenden 
Winkel  MNP  halbiert.  Nun  sind  die  beiden  Flächen  MN  und  NP  des  Prismas 
gegen  die  Hauptachse  NO  gleich  geneigt,  können  aber  sonst  beliebig  liegen.    In 


272 


Einachsige  Krystalle. 


H 


Fig.  320. 


diesem  Fall  schwingt  von  den  beiden  bei  der  Minimalablenlnmg  nach  BC  durch  das 
Prisma  gehenden  Wellen  die  eine,  ordentliche,  senkrecht  zur  Adise,  also  parallel  mit 
der  brechenden  Kante  Ny  die  andere,  anßerordentliche,  parallel  mit  der  Achse  NO. 
Bei  einem  solchen  Prisma  muß  die  Schwingnngsebene  des  Nicols,  umgekehrt  wie 
vorhin,  parallel  mit  der  brechenden  Kante  des  Prismas  sein,  wenn  man  oi,  senkrecht 
dazu  und  parallel  NO^  wenn  man  e  erhalten  will. 

Sind  die  beiden  Prismenflächen  MN  und  NP  gegen  die  Achse  nicht  gleich 
geneigt,  so  daß  die  Achse  nach  NO  gerichtet  ist,  wie  in  Fig.  320,  so  erhält  mau 
zwar  wieder  den  ordentlichen  Koeffizienten  co  aus  einer  Welle,  welche 
nach  BC  hindurch  geht  und  parallel  mit  der  brechenden  Kante  N,  also 
^'^  senkrecht  zur  Achse  NO  schwingt.  Aber  man  erhält  aus  einer  in  der 
Richtung  der  Minimalablenkung  BC  hindurchgehenden  außerordentUcben 
Welle  nun  nicht  mehr  e,  sondern  einen  Brechungskoeffidenten,  der  zwischen 
e  und  to  liegt.  Er  entspricht  den  Schwingungen  in  der  Richtung  BS, 
welche  in  dem  durch  AB  und  NO  bestimmten  Hauptschnitt  MNP 
senkrecht  zu  BC,  aber  schief  zur  Achse  NO  ist.  Mittels  Prismen  dieser  Art,  in 
denen  die  Achse  NO  die  verschiedenste  Lage  und  daher  die  verschiedenste  Neigung 
zur  Fortpflanzungsrichtnng  BC  des  Lichtes  im  Prisma  hat,  lassen  sich  die  außer- 
ordentlichen Brechungskoeffixienten  fftr  alle  in  einem  Hauptschnitt  gelegenen 
Schwingungsrichtungen  ermitteln.  Aus  ihnen  folgt  dann  die  Änderung  der  Elasti- 
zität des  Äthers  von  der  Richtung  der  Achse  bis  zu  der  Richtung  senkrecht  dam, 
gemäß  der  -\-  und  —  Doppelbrechung  und  entsprechend  der  Annahme  von  Fresnel, 
auch  in  allen  Hauptschnitten  ganz  in  derselben  Weise. 

Ist  endlich  die  brechende  Kante  wieder  senkrecht  zur  Hauptachse  (Fig.  321), 
liegt  diese  aber  so  in  BC,  daß  sie  auf  der  Halbierungslinie  NO  das 
brechenden  Winkels  senkrecht  steht,  dann  ist  sie  offenbar  der  Rich- 
tung BC  der  Minimalablenkung  parallel.  Geht  nun  in  dieser  Rich- 
tung das  Licht  durch  das  Prisma,  so  erhält  man  nur  den  Koeffi- 
zienten to,  weil  eben  in  der  Richtung  der  Hauptachse  BC  nur  Wellen 
durch  den  Krystall  gehen,  welche  die  Geschvrindigkeit  o  haben,  keine 
anderen. 

2.  Methode  mit  dem  Mikroskop.  Diese  wird  hier  ganz  ebenso  an- 
gewendet, wie  bei  isotropen  Substanzen  (211).  Eine  Platte  senkrecht 
zur  Achse,  parallel  mit  der  Basis,  gibt  nur  co.  Eine  solche  parallel 
mit  der  Achse  gibt  w  und  e.  Beide  werden  mit  Hilfe  eines  am 
Mikroskop  angebrachten  Nicols  unterschieden :  ist  dessen  Schwingungs- 
richtung der  Hauptachse  des  Krystalls  parallel,  so  erhält  man  €,  ist 
sie  darauf  senkrecht,  so  erhält  man  o. 

3,  Methode  der  Totalrefieocion,  Im  allgemeinen  gibt  jede  irgendwie 
am  Krystall  gelegene  Fläche  w  und  «.    Die  Fläche  MN  (Fig.  322) 

ip  sei  senkrecht  zur  Achse  CC,.    Eine  aus  der  Flüssigkeit 

auf  MN  einfallende  Welle  AO  gibt  zwei  vom  Einfallslot 
weggebrochene  Wellen  im  Krystall,  welche  sich  nach 
OBo  und  OBt  fortpflanzen.  Die  Schwingungen  der  ordent- 
lichen Welle  OBo  sind  im  Grenzfall,  d.  h.  wenn  sie 
sich  nach  ON  bewegt,  wie  überhaupt  immer,  senkrecht  zu  CC^  und 
somit  zur  Ebene  der  Zeichnung;  die  Schwingungen  der  außerordent- 
lichen Wellen  OB^  gehen  im  Grenzfall  parallel  CC^   vor  sich.    Die 


-  -0 


CiiitaJl! 

ii 


C9. 


'S 


Fig.  322. 


Zweiachsige  Erystalle.    Elastizitätsellipsoid.  273 

Brechungsverhältnisse  beider  lassen  sich  wie  bei  isotropen  Mineralien 
durch  Totalreflexion  bestimmen.  Die  den  beiden  gebrochenen  Wellen 
entsprechenden  Grenzen  der  Totalreflexion  gehen  beim  liehen  der 
Krystallplatte  um  die  in  0  vertikal  stehende  Drehachse  des  In- 
struments nacheinander  durch  das  Sehfeld,  hier  zuerst  f  «,  dann  Bo^ 
denn  in  dem  Moment,  wo  OBe  bereits  total  reflektiert  ist,  wird  OBo 
noch  nach  innen  gebrochen,  und  erst  bei  einer  weiteren  Drehung  der 
Fläche  um  die  zur  Zeichnungsebene  senkrechte,  durch  0  gehende 
Achse  tritt  die  Totalreflexion  auch  für  OB^  ein.  Die  beiden  reflek- 
tiei-ten  Wellen  unterscheidet  man  auch  hier  mittels  eines  auf  das 
Beobachtungsfemrohr  aufgesetzten  Nicols ;  ist  dessen  kleine  Diagonale 
senkrecht,  so  geht  die  ordentliche  Welle  hindurch  und  man  erhält  cti, 
ist  dieselbe  horizontal,  so  erhält  man  e. 

Ist  die  reflektierende  Fläche  MN  parallel  der  Achse  und  ist  die 
Achse  selbst  horizontal,  also  senkrecht  zur  Drehachse  des  Instruments, 
somit  parallel  der  Linie  MN^  auf  welcher  die  Drehachse  des  Instru- 
ments in  0  senkrecht  steht,  so  werden  nur  senkrecht  zur  Achse  des 
Krystalls  schwingende  Wellen  reflektiert  und  man  erhält  nui*  eine 
einzige  Grenze,  die  cu  liefert  Ist  die  Achse  dagegen  senkrecht  und 
der  Drehachse  0  parallel,  so  erhält  man  wieder  (n  und  «,  und  zwar 
nun,  entgegengesetzt  gegen  vorhin,  b  bei  senkrechter,  u>  bei  wage* 
rechter  Stellung  der  kleinen  Diagonale  des  Nicols. 

Die  WollastoDsche  Methode  kann  in  ganz  entsprechender  Weise 
angewendet  werden. 

(Lit.  vergl.  (211)).  Außerdem:  Liebisch,  N.  Jahrb.  Min.  1885,  I,  pag.  245  und 
n,  181;  Born,  N.  Jahrb.  f.  Min.  etc.  Beilageband  V,  1886,  pag.  1. 

Eine  andere  Methode  der  Bestimmung  von  Brechnngskoeffizienten  an  einachsigen 
Erystalien,  vergL  Baner,  N.  Jahrb.  für  Mineralogie  etc.,  Beilageband  II,  1883,  pag.  49. 

Zweiachsige  Krystalle. 

In  den  hierhergehörigen  rhombischen,  monoklinen  nnd  triklinen  Krystallen  ist 
die  Symmetrie  fttr  das  optische  Gesamtyerhalten  genau  dieselbe  wie  für  die  holoedrische 
krystallographische  Begrenzung.  Jede  krystallographische  Symmetrieebene  ist  eine 
optische  und  umgekehrt. 

22K  ElastlzltStselllpsoid.  In  zweiachsigen  Krystallen  ist  nach 
der  Annahme  von  Fresnel  der  Äther  so  beschaffen,  daß  seine  Elastizität 
in  einer  Richtung  OX  ihren  größten  Wert  a,  in  einer  zweiten  darauf 
senkrechten  Richtung  OZ  ihren  kleinsten  Wert  c  und  in  einer  dritten, 
auf  diesen  beiden  senkrechten  Richtung  OY  irgend  einen  mittleren 
«wischen  a  und  e  liegenden  Wert  b  hat,  der  aber  nicht  etwa  das 
arithmetische  Mittel  zwischen  a  und  c  ist.  Es  ist  also  a>&>c. 
Diese  drei  aufeinander  senkrechten  Richtungen  OX,  OY  und  OZ  der 
größten,  mittleren  und  kleinsten  Elastizität  werden  die  Elasturims^ 

Bauor,  Mineralogie.  *-^ 


274  Zweiachsige  Erystalle. 

ochsen,  die  drei  ebenfalls  aufeinander  senkrechten  Ebenen  XOY,  TOZ, 
ZOX  werden  die  Hauptschnüte  des  Erystalls  genannt. 

Die  Fortpflanzungsgeschwindigkeiten  a,  b,  c  der  nach  OX,  OYy 
OZ  schwingenden  Wellen  haben  gleichfalls  einen  höchsten,  mittleren 
und  kleinsten  Wert,  so  daß  a  >  b  >  c.  Sie  stehen  auch  hier  in  einer 
einfachen  Beziehung  zur  Elastizität  und  man  hat: 

Die  Lichtwellen,  die  durch  Schwingungen  in  der  Richtung  OXy 
OYy  OZ  fortgepflanzt  werden,  sind  charakterisiert  durch  die  Brechungs- 
koeffizienten a,  ß,  y,  die  als  die  HaupibrechungsJcoeffmenten  des 
Krystalls  bezeichnet  werden.  Sie  sind,  wie  bei  isotropen  Substanzen 
(205)  und  bei  einachsigen  Krystallen  (220): 

1^1  1 

a'  ^       b '  '       c 
so  daß:  a<;/?<;y.    Man  hat  somit: 

a,  b,  c;  Q,  b,  c;  o,  ß,  y  sind  in  allen  Krystallen  derselben  Substanz 
gleich,  aber  mit  der  Farbe  des  angewandten  Lichts  und  mit  der 
Temperatur  etwas  verschieden.  Die  Doppelbrechung  ist,  analog  wie 
bei  den  einachsigen  Krystallen  (220),  durch  die  Differenz  des  größten 
und  kleinsten  Hauptbrechungskoeffizienten  y — a  bestimmt 

In  allen  zwischen  den  drei  Elastizitätsachsen  liegenden  Richtungen 
ist  die  Elastizität  zwischen  a,  h  und  c  um  so  näher  dem  einen  oder 
anderen  dieser  Werte,  je  näher  die  Richtung  der  Achse  OX^  OY  oder 
OZ  ist.  Den  Wert  der  Elastizität  in  jeder  beliebigen  Richtung  kann 
man  nach  dem  Vorgang  von  Fresnel  darstellen  mit  Hilfe  der  Elasti- 
eüätsfiäche.  Diese  erhält  man,  wenn  man  von  einem  Punkte  0  aus 
auf  den  dreiJSlastizitätsachsen  OX^  OY,  OZ  nach  beiden  Seiten  die 
Stücke  a=ya;  b  =  y6;  c  =  Yc  abträgt  und  darüber  ein  Ellipsoid 
konstruiert.  Li  jeder  Richtung  ist  die  Quadratwurzel  aus  der 
Elastizität  des  Äthers,  "j/e,  gegeben  durch  den  betreffenden  Radius 
des  Elastizitätsellipsoids  und  die  in  dieser  Richtung  schwingenden 
Lichtwellen  pflanzen  sich  mit  einer  Geschwindigkeit  t  =  ie  fort. 
Überhaupt  sind  alle  Radien  des  Elastizitätsellipsoids  proportional  den 
Fortpflanzungsgeschwindigkeiten  der  in  den  betreffenden  Richtungen 
schwingenden  Lichtwellen  und  nach  dem  Obigen  auch  proportional 
den  reciproken  Werten  der  für  diese  Richtungen  geltenden  Brechungs- 
koeffizienten.   Speziell  die  Längen  der  drei  Elastizitätsachsen  a,  b,  c 

111 
verhalten  sich  wie  —  >-ö>,— •     Aus   dem  Elastizitätsellipsoid   lassen 

sich  dann,  wie  wir  sehen  werden,  die  optischen  Eigenschaften  der 
zweiachsigen  Krystalle  ableiten. 


Elastkittttsellipsoid.    Schwingongsrichtiuigren.  275 

Die  entsprechende  Elastizitätsilfiche  bei  einachsigen  Krystallen,  Ton  der  wir 
aber  allerdings  oben  keinen  Gebrauch  gemacht  haben  (216),  würde  man  erhalten, 
wenn  zwei  der  drei  Elastintätsachsen  einander  gleich  würden.  Das  bei  den  zwei- 
achsigen Sjystallen  dreiachsige  Ellipsoid  würde  dann  ein  Rotationsellipsoid,  dessen 
Jlotationsachse  die  dritte  Elastizitätsachse  wäre.  Ein  solches  Botationsellipsoid  würde 
die  Beschaffenheit  des  Äthers  in  einem  einachsigen  Krystall  znr  Darstellung  bringen. 
Ebenso  eine  Kugel  für  eine  isotrope  Substanz;  alle  drei  Elastizitätsachsen  sind  hier 
gleich,  der  Äther  hat  nach  allen  Richtungen  die  gleiche  Elastizität. 

Statt  des  Elastizitätsellipsoids  benützt  man  zur  Darstellung  der  optischen  Ver- 
hältnisse zweiachsiger  Krystalle  häufig  ein  Ellipsoid,  dessen  Achsen  nicht  den  reci- 
proken  Werten  der  Hauptbrechungskoeffizienten,  sondern  diesen  direkt  proportional 
sind.  Alle  Radien  sind  dann  den  Brechungskoeffizienten  der  in  den  betreffenden 
Richtungen  schwingenden  Lichtwellen  proportional  und  man  kann  sie  danach  aus 
den  Hauptbrechungskoeffizienten  a,  ß^  y  berechnen.  Dieses  Ellipsoid  ist  die  Index- 
fläche  oder  Indicatrix,  die  ebenfalls  wie  die  Elastizitätsfläche  entweder  dreiachsig, 
oder  ein  Rotationsellipsoid  oder  eine  Kugel  ist  Sie  führt  genau  auf  dieselben  Gesetz- 
mäßigkeiten im  optischen  Verhalten  wie  die  letztere. 

(Fletcher,  The  optical  indicatrix  and  the  transmission  of  light  in  crystals, 
London  1892;  Deutsch  von  Ambronn  und  König:  Die  optische  Lidicatiix,  Leipzig 
1892.) 

222.  Schwingaiigsrichtaiigeii.  Aach  in  einem  zweiachsigen 
ErystaU  bewegen  sich  nach  jeder  Bichtnng  im  allgemeinen  zwei 
senkrecht  zueinander  polarisierte  Lichtwellen  mit  verschiedener  Ge- 
schwindigkeit fort,  wenn  der  Äther  an  einem  beliebigen  Punkt  er- 
schBttert  worden  ist.  Die  Schwingungsrichtangen  dieser  beiden  Licht- 
wellen erhält  man  (212),  indem  man  um  den  erschütterten  Punkt  im 
Innern  des  Erystalls,  den  Ausgangspunkt  der  Lichtbewegung,  das 
Elastizitätsellipsoid  des  Erystalls  beschreibt  und  durch  denselben 
Punkt  eine  Ebene  senkrecht  zu  der  Fortpflanzungsrichtung  legt.  In 
dieser  Ebene  müssen  die  beiden  Schwingungsrichtungen  jedenfalls 
liegen  und  zwar  sind  es  die  beiden  Achsen  der  Ellipse,  in  der  die 
Ebene  die  Elastizitätsfläche  schneidet.  In  deren  Richtung  hat  ja  die 
Elastizität  des  Äthers  senkrecht  zu  der  Fortpflanzungsrichtung  ihren 
größten  und  ihren  kleinsten  Wert.  Die  Schwingungen  parallel  mit 
der  größeren  Ellipsenachse  werden  der  in  dieser  Eichtung  herr- 
schenden größeren  Elastizität  wegen  rascher  vorwärts  schreiten,  als 
die  Schwingungen  parallel  mit  der  kleineren,  und  zwar  sind  die 
beiden  Fortpflanzungsgeschwindigkeiten  den  Längen  dieser  beiden 
Ellipsenachsen,  die  ja  den  Quadratwurzeln  aus  den  Elastizitäten  iu 
diesen  Bichtungen  gleich  sind  (221),  direkt  proportional.  Die  in  der 
Richtung  der  kleinen  Achse  schwingende  Welle  wird  also  hinter  der 
in  der  Richtung  der  größeren  Achse  schwingenden  um  einen  mit  der 
Zeit  wachsenden  Betrag  zurückbleiben  müssen. 

Hierauf  beruhen  n.  a  die  Viertelundülathnsglimmerplatten  (V4  ^Plfttten),  die 
man  bei  der  optischen  Untersachimg  der  Krystalle  häufig  eot  Bestimmung  des 
Charakters  der  Doppelbrechung  (24S,  254)  etc.  benfitzt    Es  sind  Spaltungsplättchen 

18* 


276  Zw«iu;lim^  SiyfltBlle. 

Ton  QUmniär,  Toa  solcher  Dicke,  daQ  bei  senkncht  hindnrehgehendem  Licht  die 
langsamere  Welle  beim  AnBtritt  ans  der  Platte  hinter  der  rascheren  genau  nm  «ne 
ViertelweileBläng^e  ['Ul)  larOckgehlteben  ist  (fttr  Strahlen  von  mittlerer  Brschbar- 
keit  and  bei  gewShnlicher  Temperatur). 

Die  Elastizitätsaehsen  werden  wohl  ancb  als  die  Hauptschwingunffs- 
ricktungm  der  Krjstalle,  der  zweiachsigen  und  entsprechend  der  ein- 
achsigen, bezeichnet. 

22S.  WelleHllfteke.  FfStr  die  in  den  Hauptschnitten  gelegenen 
Fortpäanzungsrichtnngen  lassen  sich  nun  die  zugehSrigen  Schwin- 
gnngsrichtnngen  (senkrecht  und  parallel  zu  dem  betreffenden  Hanpt- 
scbnitt)  und  auch  die  zugehörigen  FortpSanzungsgeschwindigkeiten 
ohne  Schwierigkeit  angeben,  und  man  kann  danach  den  Verlauf  der 
Wellenfläche  (Strahlenflftcfae)  in  den  Hanptschnitten  ermitteln  und 
dadurch  einen  Einblick  in  die  Oestalt  dieser  Fläche  erlangen. 

In  einer  in  einem  Hanptschnitt  gelegenen  Richtung  pflanzen  sich 
zwei  Wellen  fort,  welche  nach  dem  obigen  senkrecht  und  parallel 
zum  Hauptschnitt  schwingen.  Liegt  diese  Richtung  in  dem  Haupt- 
schnitt XOZ,  so  mOssen  sich  die  senkrecht  dazu,  also  parallel  mit  der 
Achse  OY  sehwingesden  Wellen  mit  derselben  Geschwindigkeit  b  im 
Krystall  fortpflanzen,  die  Fortpäfunzungsricbtung  mag  in  diesem  Haupt- 
sebnitt  sein,  welche  ^e  will  Eme  solche  Welle  verhält  sich  in  diese» 
Hanptschnitt  als»  wie  die  ordentliche  Welle  in  einem  einachsigeB 
Kristall.  Die  Wellenfläche  gibt  im  Schnitt  mit  der  Ebene  XOZ 
einen  Kreis  um  des  erregten  Punkt  0  mit  dem  Radius  b.  Aber  in 
dem  Hauptschnitt  XOZ  können  sich  noch  Wellen  mit  Schwingungen 
parallel  dem  Hanptschnitt  fortpflanzen  (Fig.  323}.  Gieschieht  dies  in 
der  Richtang  OX,  so  Schwingt  die  Welle  parallel  OZ;  pflanzt  sie  sich 
nach  OZ  fort,  so  schwingt  sie  parallel  OX.  Diese  beiden  Wellen 
haben  also  die  Oescfawindigkeiten  c  und  a,  und  in  derselben  Zeit,  wo 
die  parallel  OY  sehwingenden  Wellen  sich  nach  allen  Seiten  in  du 


Fig.  323.  Fig.  324.  Pig.  826. 


Ebene  XOZ  bis  zn  einem  Ereis  mit  dem  Radina  b  ausgebreitet  haben, 
entfernen  sich  die  letzteren  beiden  Wellen  ron  0  um  die  Längen  c 
auf  OX  und  a  auf  OZ.  Die  Geschwindigkeiten  der  zwischen  OX  und 
OZ  sich  fortpflanzenden  Wellen  erhält  man  für  jede  Richtung  wieder 
all  Radios  einer  tiber  a  und  c  als  Achsen  konstraierten  Ellips«.    Die« 


Wel]«DflMie.    Oirtift^e  Achsen.  277 

imrallel  dem  iHaoptsduiitt  tKshwiligenden  Wellen  pflanzen  ^ch  also  je 
nach  der  Eichtnng  verschieden  rasch  fort,  sie  verhalten  sich  in  dieser 
Seddehnng  wie  die  außerordentliche  Welle  in  einem  einachsigen 
Krystall  (216). 

Der  Verlauf  der  WeUenfläche  in  den  Hanptschnitten  XOZ  nnd  TOZ  ergibt 
sich  in  ganz  ähnlicher  Weise.  In  YOZ  erhält  man  (Fig.  324]  einen  Kreis  mit  dem 
Itadias  a  nnd  eine  Ellipse  mit  der  Achse  c  anf  OF  nnd  b  anf  OZ^  nnd  in  XOT 
einen  Elreis  mit  dem  Badins  c  nnd  eine  Ellipse  mit  den  Achsen  a  nnd  b  anf  OT 
nnd  OX  (Fig.  325).  Setzt  man  die  Hanptschnitte  in  der  natürlichen  Lage  senkrecht 
aneinander  znsammen,  so  gewinnt  man  eine  genügende  Vorstellnng  von  der  Wellen- 
fläche zweiachsiger  Krystalle.  Diese  besteht  ebenfalls  ans  zwei  Schalen,  bis  zn 
welchen  die  in  jeder  Richtnng  mit  yerschiedener  (Geschwindigkeit  fortschreitenden 
beiden  Lichtbewegnngen  in  der  Zeiteinheit  gelangt  sind.  Die  Verhältnisse  sind 
ganz  ähnlich  wie  bei  den  einachsigen  Erystallen,  aber  bei  den  zweiachsigen  durch- 
dringen sich  die  beiden  Schalen  gegenseitig,  wie  Fig.  323  zeigt.  Die  ganze  Fläche 
ist  symmetrisch  zn  den  drei  durch  die  Elastizitätsachsen  OX,  OY^  OZ  gelegten 
Hanptschnitten. 

224.  Optische  Achsen.  Von  besonderem  Interesse  ist  die  Be^ 
wegnng  der  Lichtwellen  in  dem  Hanptschnitt  XOZ  (Fig.  328).  Während 
sich  in  jeder  Bichtnng  in  einem  zweiachsigen  Krystall  zwei  Wellen 
parallel,  aber  mit  verschiedener  Geschwindigkeit  fortpflanzen  können, 
deren  Lagen  in  einem  bestimmten  Moment  durch  die  zwei  Tangential- 
ebenen an  jede  der  beiden  Schalen  der  Wellenfläche  bestimmt  werden, 
gibt  es  in  dem  Hauptschnitt  XOZ  zwei  Richtungen,  in  welchen  sich 
*je  nur  eine  einzige  Welle  fortpflanzen  kann.  Es  gibt  nämlich  rechts 
und  links  von  OZ  resp.  OX  eine  Bichtung,  in  wehdier  beide  Schalen 
der  Wellenflächen  von  einer  einzigen  gemeinsamen  Ebene  berührt 
werden,  was  bei  den  beiden  anderen  Hauptschnitten  (Fig.  324,  325) 
nicht  möglich  ist.  Diese  gemeinsame  Berührungsebene  erhält  man, 
wenn  man  die  gemeinsamen  Tangenten  MN  und  MN  der  Ellipse 
nnd  des  Kreises  um  0  zieht  und  in  diesen  Linien  MN  und  MN*  auf 
der  Ebene  XOZ  senkrechte  Ebenen  errichtet  Zu  diesen  parallel  be- 
wegen sich  die  beiden  in  der  betreffenden  Bichtung  allein  sich  fort- 
pflanzenden Wellen;  ihre  Fortpflanzungsrichtungen  (Normalen)  siAd 
OM  und  OM,  beiderseits  symmetrisch  zu  OZ  und  OX,  so  daß  MOZ 
=  MOZ,  MOX^MOX.  In  diesen  Richtungen  OJlf  und  OM  findet 
also  keine  Doppelbrechung  statt.  Die  nach  OJf  und  OM  sich  be- 
wegenden Wellen  schreiten  mit  der  mittleren  Geschwindigkeit  i  =  -ö 

vorwärts,  die  der  auf  dem  Hauptschnitt  XOZ  senkrechten  mittleren 
Elastizität  b  entspricht  Diese  beiden  Bichtungen  OM  und  OM',  in 
denen  keine  Doppelbrechung  der  Lichtwellen  stattfindet,  sind  die 
optischen  Achsen  des  Krystalls.  Diese  liegen  stets  in  der  Ebene  XOZ, 
die  durch  die  größte  und  die  kleinste  Elastizitätsachse  bestimmt  und 
die   daher    auch  die   Ebene  der  optischen  Achsen  (optische  Achsen- 


278  Zweiachsige  Erystalle. 

ebene)  genannt  wird.    Letztere  ist  daher  auch  stets  senkrecht  zur 
Achse  der  mittleren  Elastizität  OY. 

Die  Bichtnng«n  OM  und  OM*  ergeben  sich,  wie  eine  mathematische  Betrach- 
tong  zeigt,  aus  dem  Elastizitätsellipsoid.  Legt  man  durch  die  Achse  OY  der  mitt- 
leren Elastizität  eine  Ebene  senkrecht  zum  Hauptschnitt  XOZ,  so  schneidet  diese 
das  Ellipsoid  im  allgemeinen  in  einer  Ellipse,  deren  anf  XOZ  senkrechte  Achse  ==  b 
ist.  Es  gibt  aber  auf  beiden  Seiten  der  Elastizitätsachse  OZ  resp.  OX  und  gegen 
diese  gleich  geneigt  je  einen  Schnitt,  in  welchem  die  im  Hanptschnitt  liegende 
Ellipsenachse  ebenfalls  =  b  ist,  so  daß  dieser  spezielle  elliptische  Schnitt  in  einen 
kreisförmigen  mit  dem  Halbmesser  b  übergeht.  Die  Normalen  zn  diesen  beiden  Kreis- 
schnitten sind  die  Bichtungen  OM  nnd  OM*,  also  die  optischen  Achsen  des  Erystalls. 
Bings  nm  diese  ist  die  Ätherelastizität  dieselbe.  Es  kann  also  in  diesen  beiden 
Bichtungen  in  der  Tat  nnr  je  eine  Welle  fortschreiten  nnd  zwar  mit  einer  Ge- 
schwind^keit  b  =-  ib.  Einer  solchen  Welle  muß  daher  der  mittlere  Brechnngs- 
koeffizient  ß  entsprechen. 

OM  und  OM  yerhalten  sich  also  in  gewisser  Beziehung  optisch  wie  die  Haupt- 
achsen einachsiger  Erystalle.  Aber  während  bei  diesen  zu  der  einzigen  Welle  auch 
nur  ein  einziger  Strahl  gehört,  gehören  bei  den  zweiachsigen  Krystallen  zu  der 
einen  Welle  unendlich  viele  Strahlen.  Die  Ebenen  MN  und  MN*  berühren  die 
WeUenfläche  nach  einem  Kreis,  und  jeder  von  0  nach  einem  Punkt  dieses  Kreises 
gezogene  Badius  ist  ein  zu  dieser  Welle  gehöriger  Strahl,  also  z.  B.  die  beiden  in 
XOZ  liegenden  Badien  OM  und  ON.  AUe  diese  Strahlen  liegen  je  auf  einem  Kreis- 
kege),  dessen  Spitze  in  0  und  dessen  Basis  jener  Kreis  auf  der  Ebene  MN  und 
MN*  ist.  Sie  erzeugen  die  Erscheinung  der  konischen  Refraktion,  indem  sie  beim 
Austritt  aus  einer  der  Tangentialebene  MN  paraUelen  Fläche  des  KrystaUs  den 
Mantel  eines  Kreiszylinders  mit  der  Basis  MN  bilden. 

225,  AchsenwinkeL  Der  Winkel  der  optischen  Achsen  MOM 
(Fig.  323)  ist  eine  für  die  optische  Charakterisierung  der  Erystalle 
sehr  wichtige  Größe,  da  er  im  allgemeinen,  nicht  immer,  für  alle 
Erystalle  derselben  Substanz  konstant  derselbe  ist.  Dieser  Winkel 
hängt  einzig  und  allein  von  den  drei  Hauptbrechungskoeffizienten 
a,  /?,  y  (resp.  von  den  Längen  der  Elastizitätsachsen  a,  6,  c)  ab,  mit 
welchen  er  gleichzeitig  für  verschiedene  Farben  und  Temperaturen 
seine  Größe  ändert.  Ist  v  der  Winkel,  den  eine  optische  Achse  OM 
oder  OM  mit  der  Achse  OZ  der  kleinsten  Elastizität  macht,  also 
v  =  ZOM=ZOM,  so  ist: 

"1     r 


a«       y« 


/rix 


/IZX 


Oder  auch  ^  =  V^-l/f4_iV'^ 


1—a){ß  +  a) 


ß)  iy+ß) 


Achsenwinkel.    Dispersion  der  optischen  Achsen  nnd  Elastdzitätsachsen.       279 

Diejenige  Elastizitätsaze,  welche  den  spitaen  Winkel  der  optischen 
Achsen  halbiert,  heißt  die  optische  Mittellinie  (M.  L.)  oder  auch  die 
erste  Mitteüinie  (Bisektrix);  die  darauf  senkrechte  Elastizitätsachse, 
welche  den  stumpfen  Achsenwinkel  halbiert,  heißt  die  zweite  Mittel- 
linie (Supplementarlinie).  Die  erste  nnd  die  zweite  Mittellinie  liegen 
in  der  Ebene  XOZ  der  optischen  Achsen;  sie  sind  stets  die  Achsen 
OX  nnd  OZ  der  größten  und  kleinsten  Elastizität  Die  auf  ihnen 
resp.  auf  der  optischen  Achsenebene  stets  senkrechte  mittlere  Elastizi- 
tätsachse OY  wird  auch  die  optische  Normale  genannt.  Krystalle,  bei 
welchen  die  Mittellinie  die  Achse  OX  der  größten  Elastizität  ist, 
heißen  ganz  analog  wie  bei  den  einachsigen  (215)  negative,  — ^  (Fig.  326), 
solche,  bei  denen  sie  die  Achse  OZ  der  kleinsten 
Elastizität  ist,   heißen  positive,  +,  Krystalle      —  !^  \\ 

(Fig.  327).    Für  negative  Krystalle  ist  somit  .^^  ■""'  "*" 

V  >  45®,  ifttr  positive :  v  <  45®.  Ein  negativer 
Krystall  wäre  demnach  auch  in  Fig.  323  dar- 
gestellt. ^«'  326.  Fig.  327. 

226,  Dispersion  der  optischen  Achsen.  In  jedem  zweiachsigen 
Krystall  ist  der  Achsenwinkel  für  rotes  Licht  von  dem  für  violettes 
verschieden,  und  zwar  ist  er  bei  manchen  größer,  bei  manchen  kleiner. 
Das  erstere  Verhalten,  daß  der  Achsenwinkel  für  rotes  Licht  der 
größere  ist^  bezeichnet  man  mit :  ^  >>  t; ;  das  letztere,  daß  der  Achsen- 
winkel für  rotes  Licht  der  kleinere  ist,  mit  Q<iv.  Die  Winkel  für 
alle  anderen  Farben  liegen  zwischen  denen  für  rotes  und  für 
violettes  Licht  in  der  Mitte.  Diese  ganze  Erscheinung  nennt  man 
die  Dispersion  der  optischen  Achsen. 

Dieselbe  kann  so  weit  gehen,  daß  die  Ebene  der  Achsen  für  rotes  Licht  anf 
der  f&r  violettes  (blanes)  Licht  senkrecht  steht  bei  gleich  bleibender  Mittellinie;  so 
z.  B.  beim  Brookit  (Dispersion  der  AchHenebene). 

227.  Dispersion  der  Elastlzitatsaclisen.  Die  Lage  der  Elastizitäts- 
achsen ist  ebenfalls  im  allgemeinen  von  der  Farbe  des  Lichts  abhängig, 
ebenso  auch  von  der  Temperatur.  Man  nennt  die  Erscheinung,  daß 
die  Elastizitätsachsen  ihre  Lage  mit  der  Farbe  des  angewandten 
Lichts  ändern,  die  Dispersion  der  Elastimtiitsachsen.  Für  jede  Farbe 
aber  und  für  jede  Temperatur  stehen  die  Elastizitätsachsen  in  Be- 
ziehung auf  ihre  Lage  im  engsten  Zusammenhang  mit  der  Symmetrie 
des  betreffenden  Krystalls,  derart,  daß  jede  krystallographische  Symme- 
trieebene auch  eine  solche  in  Bezug  auf  jene  Achsen,  also  eine  optische 
Symmetrieebene  ist.  Jede  Elastizitätsachse  parallel  einer  Symmetrie- 
achse und  jeder  Hauptschnitt  parallel  einer  Symmetrieebene  behalten 
konstant  diese  Richtung  bei,  da  ja  die  krystallographische  Symmetrie 
von    Farbe   und    Temperatur    unabhängig    ist.     Für   jede   andere 


280  Zwdkdttige  ErjBtaUe. 

Elastizitätsachse  resp.  Haaptschnitt  ist  aber  die  Lage  von  diesen 
beiden  Eigenscliaften  &bhibi^  und  mit  diesen  Terftnderlich. 

Far  die  einzelnen  ErystAllsysteme  verhält  sich  die  Diqtersion 
der  optischen  und  Elastizit&tsachsen  folgendenuaßen: 

1.  In  rhombischen  Krystallen  sind  för  jede  Farbe  nnd  für  jede 
Temperatur  die  Slaatizitätsacbsen  den  brystallographischen  Achsen 
parallel,  Dispersion  der  Elastizitätsachsen  findet  also  hier  nicht  statt. 
Jede  der  drei  krystallographischen  Achsenebenen  ist  ein  optischer 
Hanptschnitt;  die  Ebene  der  optischen  Achsen  föllt  stets  mit  einer 
solchen  Achsenebene  zusammen,  nnd  ebenso  ist  die  Mittellinie  stets 
einer  Krysta,llach9e  parallel.  Nor  die  Länge  der  Elastizitfitsachsen 
ändert  sich  mit  der  Farbe  nnd  der  Teroperatnr,  nnd  damit  der 
Achsen  Winkel. 

2.  In  monoklitteH  Krystallen  ist  stets  eine  der  drei  Elastizitäts- 
achsen bei  jeder  Temperatnr  and  für  jede  Farbe  anf  der  Symmetrie- 
ebene senkrecht  (der  Symmetrieachse  parallel),  die  beiden  anderen 
liegen  irgendwie  in  der  Symmetrieebene,  aber  fUr  verschiedene  Farben 
und  Temperaturen  verschieden.  Die  Symmetrieachse  (Orthodiagonale) 
ist  also  stets  eine  optische  Elastizitätsachse  und  die  Symmetrieebeue 
ist  stets  ein  optischer  Haaptschnitt.  In  diesem  findet  fflr  die  zwei 
darin  liegenden  Elastizitätsachsen  Dispersion  statt,  so  daß  die  Elastizi- 
tätsachsen für  rotes  Licht  mit  den  entsprechenden  für  blaues  einen 
kleinen  Winkel  einschließen.  Bezüglich  der  Lage  der  optischen 
Achsen  und  der  optischen  Mittellinie  hat  man  hier  drei  verschiedene 
Fälle  zu  unterscheiden.  Bei  der  bildlichen  Darstellung  derselben  ist 
als  Beispiel  das  Verhalten  von  ~\-  Krystallen  gewählt,  wo  die  Mittel- 
linie der  Achse  OZ  der  kleinsten  Elastizität  parallel  ist;  die  Ver- 
hältnisse der  — Krystalle  ergeben  sich  dann  daraus  von  seihst. 

a.  Die  Ebene  der  optischen  Achsen  fällt  mit  der  Symmetrieebeue 
des  Krystalls  zusammen.  In  dieser  Ebene  liegen  dann  auch  die  erste 
nnd  die  zweite  MitteUioie  nnd  die  optische  Normale  OY  ist  der 


Symmetrieachse  parallel  (Fig.  328).    Die  Mittellinien  OZr  and  OZ, 
für  rotes  und  violettes  Licht  haben  eine  etwas  verschiedene  Lage 


DispendoQ  der  EiaBÜeitftteachsen.  281 

(Disperskm  der  Elastizitätsachsen,  speziell  der  Mittellinien);  ebenso 
die  Achsen  OB  und  OF  für  rotes  und  violettes  Licht  (Dispersion  der 
optischen  Achsen  (226));  anf  der  einen  Seite  der  Mittellinien  müssen  daher 
die  Achsen  OR^  und  OV^  etwas  näher  beieinander  liegen,  als  auf  der 
anderen  Seite  die  Achsen  OR  und  OV.  Der  Winkel  ROR^^  ist  stets 
von  VOVj^  oder  ZrOR  von  Z^OV  etwas  verschieden.  Diese  Art  der 
Diversion  heißt  die  geneigte  Dispersion  (z.  B.  beim  Gips). 

b.  Die  Ebene  der  optischen  Achsen  ist  senkrecht  znr  Symmetrie- 
ebene; sie  geht  fttr  jede  Farbe  dnrch  die  Symmetrieachse  b  und  ist 
gegen  die  Qnerfläche  ooPoo(lOO)  (Fig.  329  nnd  330)  unter  einem 
schiefen  Winkel  geneigt  Aber  dieser  Winkel  ist  fftr  rotes  Licht 
anders  als  f&r  violettes,  so  daß  die  Achsenebene  RORi  fttr  rotes 
Licht  mit  der  fttr  violettes  Licht  TOV^  einen  kleinen  Winkel  macht. 
Hier  sind  zwei  Spezialfälle  zu  unterscheiden. 

cf.  Die  1.  Mittellinie  OZ  liegt  in  der  Symmetrieebene  (Fig.  329). 
OR  und  OÄji  sind  die  optischen  Achsen,  OZr  ist  die  Mittellinie  für 
rotes  Licht;  OV  und  OV^  sind  die  Achsen,  OZ^  ist  die  Mittellinie  für 
violettes  Licht.  Die  den  Mittellinien  entsprechenden  Elastizitäts- 
achsen Zr  und  Zt,  machen  also  hier  in  der  Symmetrieebene  einen 
kleinen  Winkel  ZrOZ^,  miteinander;  denselben  Winkel  machen  die 
ebenfalls  in  der  Symmetrieebene  liegenden,  hier  aber  nicht  gezeich- 
neten Elastizitätsachsen  OYr  und  OY^  Nur  die  dritte  Elastizitäts- 
achse OX  (die  zweite  Mittellinie)  ist  stets  für  alle  Farben  etc.  die- 
selbe, sie  ist  parallel  der  Symmetrieachse  b.  Diese  Art  von  Disper- 
sion heißt  die  horizontale  Dispersion  (z.  B.  beim  Orthoklas). 

ß.  Die  1.  Mittellinie  OZ  ist  auf  der  Symmetrieebene  senkrecht  und 
geht  der  Symmetrieachse  parallel  Dies  gilt  für  alle  Farben  und 
Temperaturen.  In  Fig.  330  sind  wieder  OR  und  OR^  die  optischen 
Achsen  fftr  rotes,  OV  und  OV^  die  für  violettes  Licht.  Die  Ebenen 
beider  gehen  durch  die  Achse  b,  welche  ja  die  für  alle  Farben  ge- 
meinsame Mittellinie  OZ  ist,  und  sie  durchkreuzen  sich  in  OZ  unter 
einem  kleinen  Winkel  VZR.  Das  weitere  ergibt  die  Figur.  Disper- 
sion der  1.  Mittellinie  findet  hier  nicht  statt.  Diese  Art  von  Dispersion 
heißt  die  gehreuste  (z.  B.  beim  Borax).  Andere  als  diese  drei  Arten 
der  Dispersion  sind  mit  der  Symmetrie  monokliner  Krystalle  unver- 
einbar. 

3.  In  iriklinen  Krystallen  ist  irgend  eine  gesetzmäßige  Beziehung 
zwischen  der  Lage  der  Elastizitätsachsen  und  der  krystallographischen 
Begi'enzung  überhaupt  nicht  mehr  vorhanden;  die  Elastizitätsachsen 
liegen  für  jede  andere  Farbe  und  Temperatur  immer  etwas  anders; 
es  findet  Dispersion  der  optischen  Achsen,  der  Achsenebene,  der 
Elastizitätsachsen  und  also  auch  der  Mittellinien  zugleich  statt. 


282  Zweiachsige  Krystalle. 

228.  Opüsche  Konstanten.  Die  optischen  Verhältnisse  eines 
zweiachsigen  Erystalls  sind  im  wesentlichen  bekannt,  wenn  man  die 
Länge  der  Elastizitätsachsen  o,  6,  c  fQr  alle  Farben  und  Tempera- 
turen oder,  was  im  Grunde  dasselbe  ist,  die  Hauptbrechungskoeffl- 

zienten  a  =  —,ß  =  ^,  y  =  —  kennt,  sowie  die  Lage  der  Elastizitäts- 
achsen gegen  die  krystallographischen  Begrenzungselemente.  Die 
Zahlen,  welche  die  Richtung  und  Größe  der  Elastizitätsachsen  in 
einem  solchen  Erystall  angeben,  heißen  die  optischen  Konstanten  des- 
selben. Die  Richtung  der  Elastizitätsachsen,  d.  h.  ihre  Lage  zu  der 
Begrenzung  des  betreffenden  Erystalls  wird,  soweit  sie  nicht  schon 
durch  die  S3rmmetrie  der  Erystalle  gegeben  sind,  nach  den  folgenden 
Abschnitten  (230  ff.)  mittels  des  Polarisationsinstruments  ermittelt. 
Die  Bestimmung  der  Hauptbrechungskoefflzienten  geschieht  auch  hier 
am  häufigsten  nach  den  schon  oben  bei  den  isotropen  und  einachsigen 
Erystallen  erläuterten  Methoden  (211,  220).  Im  konkreten  Falle  muß 
eine  eventuelle  Bestimmung  der  Lage  der  Elastizitätsachsen  der  Be- 
stimmung der  Hauptbrechungkoeffizienten  vorausgehen. 

In  triklinen  Ej-ystalleii)  sJs  dem  allgemeinsten  FaUe,  sind  die  meisten,  nämlich  fttnf 
voneinander  unabhängige  optische  Eonstanten  zu  bestimmen :  die  drei  Hauptbrechungs- 
koeffizienten und  die  Lage  zweier  EJastizitätsachsen  gegen  die  krystaUographische 
Begrenzung,  gemessen  etwa  durch  die  Neigung  der  beiden  Elastizitätsachsen  zu 
zwei  Kanten  des  Krystalls  (die  dritte  auf  jenen  beiden  senkrechte  Elastizitätsachse 
ist  dann  in  ihrer  Lage  ebenfalls  gegeben).  In  monoklinen  Erystallen  sind  vier  un- 
abhängige optische  Eonstanten  vorhanden:  die  drei  Hauptbrechungskoeffizienten 
und  die  Neigung  einer  in  der  Symmetrieebene  liegenden  Elastizitätsachse  zu  einer 
Eante  in  derselben  Ebene  (etwa  die  Vertikal-  oder  die  Elinoachse);  alles  übrige  ist 
durch  die  Symmetrie  gegeben.  Bei  rhombischen  Erystallen  ist  die  Lage  der  Elasti- 
zitätsachsen bekannt,  also  sind  nur  drei  Eonstanten,  die  drei  Hauptbrechungskoeffi- 
zienten, noch  zu  bestimmen. 

In  dem  SpezialfaU  der  einachsigen  Erystalle  sind  es  der  letzteren  nur  zwei, 
m  und  e,  auf  diese  Zahl  beschränkt  sich  also  die  Zahl  der  optischen  Eonstanten  und 
in  isotropen  Substanzen  ist  es  endlich  nur  ein  einziger  Brechungskoeffizient,  der  für 
alle  Lichtschwingungen  in  dem  Eörper  in  derselben  Weise  wiederkehrt. 

Auch  für  die  anisotropen  Erystalle  gilt  die  Dispersionsformel  von  Cauchy  (206) ; 
sie  wird  für  jeden  einzelnen  Hauptbrechungskoeffizienten  genau  in  derselben  Weise 
angewendet,  wie  bei  den  isotropen  Eörpem. 

229.  Brechungskoefflzienteii.    1.  Methode  mit  dem  Prisma.    Die 

drei  Hauptbrechungskoeffizienten  erhält  man  mit  Hilfe  dreier  Prismen, 
deren  Kanten  den  drei  Elastizitätsachsen  parallel  gehen,  deren  Flächen 
aber  im  Erystall  sonst  beliebig  liegen  können.  Durch  jedes  solches 
Prisma  gehen  zwei  Wellen,  von  denen  die  eine  parallel  mit  der 
brechenden  Kante  resp.  der  betreffenden  Elastizitätsachse  schwingt. 
Nur  diese  kommt  hier  in  Betracht,  und  sie  kann  leicht  mit  dem  Nicol 
erkannt  werden;  sie  liefert  den  Brechungskoefflzienten,  welcher  den 


Bestimmiuig  der  Brechungskoeffizienten.  283 

Schwingungen  in  der  Richtung  jener  Achse  entspricht  Man  kann  aber 
auch  mit  nur  zwei  Prismen  alle  drei  Hauptbrechungskoeffizienten, 
darunter  sogar  einen  davon  doppelt,  bestimmen.  Dabei  gehen  die  Kanten 
der  Prismen  ebenfalls  je  einer  Elastizitätsachse  parallel,  die  Prismen- 
flächen NM  und  NP  müssen  aber  so  liegen,  daß  je  eine  zweite 
Elastizitätsachse  NO^  welche  auf  der  Prismenkante  senkrecht  ist,  den 
Prismenwinkel  MNF  halbirt  (Fig.  321).  Ist  z.  B.  die  brechende 
Kante  N  parallel  mit  der  Achse  OY  und  ist  NO  parallel  mit  der 
Achse  OX,  so  schwingt  von  den  beiden  Wellen,  welche  bei  der  Minimal- 
ablenkung das  Prisma  längs  BC  durchschreiten,  die  eine  ||  N  oder  OF, 
die  andere  ||  NO  oder  0X\  die  erste  gibt  also  /?,  die  andere  a.  Ist 
in  einem  zweiten  Prisma  die  brechende  Kante  ||  OZ  und  entspricht 
NO  der  Achse  OF,  so  erhält  man  y  und  /?,  letzteres  zum  zweitenmal, 
was  als  Kontrolle  wichtig  sein  kann.  Die  Unterscheidung  von  a,  /S,  y 
erfolgt  auch  hier  mittels  eines  Nicols.  Ist  beim  zweiten  Prisma  die 
Kante  parallel  OZ,  liegen  aber  die  Flächen  desselben  sonst  beliebig, 
so  erhält  man  aus  ihm  nur  y.  Man  braucht  also  nur  ein  Prisma  mit 
zwei  orientierten  Flächen,  beim  zweiten  braucht  bloß  die  Kante  orien- 
tiert zu  sein. 

2.  Methode  mit  dem  MihrosJcap.  Hierbei  sind  mindestens  zwei 
planparallele  Platten,  parallel  mit  zwei  Hauptschnitten,  z.  B.  XOY 
und  XOZ  nötig.  Die  erstere  Platte  gibt  a  und  ß  aus  der  Verschiebung, 
welche  der  Tubus  des  Mikroskops  erleiden  muß  (220),  wenn  parallel 
mit  OX  resp.  OY  schwingendes  Licht  (mittels  eines  Nicols  herzu- 
stellen) durch  den  Krystall  geht  Die  zweite  Platte  gibt  a  (zum 
zweitenmal)  und  y. 

3.  Methode  der  Totalreflexion.  Eine  einzige  ebene  Fläche  parallel 
einem  Hauptschnitt,  für  welche  die  Lage  der  Elastizitätsachsen  be- 
kannt ist  (zu  ermitteln  nach  (234)),  genügt  zur  Bestimmung  von 
c,  ß,  y  (220).  Ist  die  Fläche  parallel  XOY  und  wird  sie  in  die 
Flüssigkeit  so  eingetaucht,  daß  OY  horizontal,  also  OX  senkrecht  ist, 
60  erhält  man  zwei  Grenzen,  welche  Schwingungen  ||  OX  und  ||  OZ 
entsprechen,  und  man  findet  daraus  a  und  y.  Ist  dann  bei  einer 
zweiten  Einstellung  derselben  Platte  OX  horizontal  und  OY  vertikal, 
dann  entsprechen  die  beiden  Grenzen  Schwingungen  \\  OY  und  ||  OZ 
und  man  erhält  ß  und  y  (letzteres  zur  Kontrolle  zum  zweitenmal). 
Sogar  mittels  einer  ganz  beliebig  gerichteten  Fläche  können  alle  drei 
Hauptbrechungskoeffizienten  ermittelt  werden,  wenn  diese  Fläche  nur 
einer  der  drei  Elastizitätsachsen  z.  B.  X  parallel  ist.  Liegt  diese 
Achse  horizontal,  also  in  der  Einfallsebene  des  Lichts,  dann  bewegen 
sich  beide  Wellen  in  der  Bichtung  dieser  Achse  und  man  erhält  die 
Brechungskoeffizienten  ß  und  y  für  die  beiden  anderen  Elastizitäts- 
achsen.   Steht  die  Ache  X  vertikal,  dann  erhält  man  a.    Die  Messung 


284  PolarisatianBmBtriimente. 

kann  nach  der  Methode  des  Eintauchens  von  Kohlransch  oder  nach 
der  Methode  von  WoDaston  mit  dem  Prisma  ausgef&hrt  werden.  An 
beiden  Instrumenten  sind  Vorrichtungen,  um  die  Erystallplatte  durch 
Drehung  in  ihrer  Fläche  aus  einer  Stellung  in  die  andere  ütbersn- 
führen. 

(Lit.  yergl.  (211)  und  (220),  aowie  TT.  Kohlrauschj  Wiedem.  Ann.  YII;  Liebisch, 
N.  Jahrb.  f.  Hin.  etc.  1890,  I,  pag.  57;  Zeitschr.  f.  Kryst.  VII,  1883,  pag.  433.) 

Eine  Methode  zur  Bestimmung  des  mittleren  Brechnngskoeffizienten  fi  ans  dem 
Winkel  der  optischen  Achsen  vergl.  (252).  Andere  Methoden  zur  Bestimmung  der 
BrechungskoeMzienten  zweiachsiger  Erystalle:  Batter,  Sitzgsber.  Berl.  Ak.  1877, 
pag.  684;  auch  Tschemtakf  Min.  u.  petr.  Mitteilgn.  I,  1878,  pag.  14;  lAehiBch, 
Zeitschr.  Kryrt.  Bd.  VII,  1888,  pag.  433;  Viola,  Zeitschr.  f.  Kryst.  XXX— XXXIT, 
1898,  1899. 

Bei  4-Kry8tallen  liegt  ß  näher  an  a,  als  an  /,  also  /?—«</—/?;  bei 
—  Erystallen  ist  es  umgekehrt:  ß  liegt  n&her  an  y,  als  an  «,  also  ß — «>y  — A 

Beispiele: 
Schwefel:   +.a  =  l,958;    /9  =  2,038;    y  =  2,240;    /?— «  =  0,080,    ;'— /ff  =  0,202. 
Aragonit:  — .a  =  l,5031;  /9  =  1,6816;  y  =  l,6859;  /ff— «  =  0,1786,  y— (J  =  0,0043. 


Folarisationsinstrumente. 

230.  Zweck  des  Folarisationsinstraments.  Um  ein  Mineral  als^ 
einfach-  oder  doppeltbrechend  zu  erkennen,  um  bei  doppeltbrechenden 
Substanzen  die  Ein-  oder  Zweiachsigkeit  unabhängig  von  der  Krystall- 
form  zu  unterscheiden,  um  die  Lage  der  Elastizitätsachsen  und  der 
Hauptschnitte  gegen  die  krystallographische  Begrenzung  resp.  die 
Blätterbrüche  zu  bestimmen,  um  die  Lage  der  optischen  Achsen,  den 
Achsenwinkel,  die  Dispersionsverhältnisse,  endlich  um  den  Charakter 
der  Doppelbrechung  (ob  -^-  oder  — )  ohne  Kenntnis  der  absoluten  Werte 
der  Längen  der  Elastizitätsachsen  (der  Hauptbrechungskoefßzienten) 
zu  untersuchen,  dienen  die  Pol4mscUi(ynsinsirumente,  von  denen  einige 
auch  fälschlicherweise  Polarisationsmikroskope  genannt  werden.  Bei 
ihnen  fällt  das  durch  eine  polarisierende  Vorrichtung  (den  Polarisator: 
einen  Nicol,  eine  Turmalinplatte  oder  einen  Glassatz)  polarisierte 
Licht  auf  das  meist  in  Form  von  planparallelen  Platten  angewendete 
Mineral,  geht  durch  dasselbe  hindurch,  durchdringt  eine  zweite  polari- 
sierende Vorrichtung,  den  Analyseur,  und  gelangt  dann  in  das  Ange. 
Dabei  muß  man,  um  alle  hierher  gehörigen  Erscheinungen  zu  be- 
obachten, das  polarisierte  Licht  teUs  in  parallelen  Strahlen,  teils  in 
solchen  durch  das  Mineral  gehen  lassen,  welche  im  Innern  desselben 
konvergieren  (Polarisationsinstrument  mit  parallelem  und  konver- 
gentem  Licht  oder  Orthoskop  und  Eonoskop). 

Da  die  Lage  aller  optischen  Sichtungen  mit  der  Symmetrie  der 
Krystalle  auf  das  innigste  zusammenhängt,  so  bilden  diese  optischen 
Untersuchungen  wichtige  Ergänzungen  zu  den  krystallographischen^ 


Polariflitioiisinstnimeiite.  285 

und  nicht  seltea  kann  man  aas  den  optischen  Erscheinungen,  welche 
das  Polarisationsinstrament  zeigt,  das  Erystallsystem  eines  Minerals 
bestimmen,  aach  wenn  keine  Spur  von  einer  regelmäßigen  Begrenzung 
vorhanden  oder  wenn  diese  mangelhaft  ausgebildet  ist.  In  manchen 
Fällen  hat  die  optische  Untersuchung  das  Erystallsystem  eines  Mine- 
rals richtig  kennen  gelehrt,  nachdem  es  durch  bloße  Beobachtung  der 
äußeren  Form  zuerst  unrichtig  bestimmt  worden  war  (vergl.  z.  B.  Grenz- 
formen  (80)  und  Mimesie  (171)).  Daher  ist  bei  durchsichtigen  Sub- 
stanzen die  Eontrolle  der  krystallographischen  Untersuchungen  durch 
optische  stets  dringend  geboten.  Die  optische  Untersuchung  der 
Mineralien  im  Polarisationsinstrument  ist  somit  von  großer  Wichtig- 
keit und  bildet  heutzutage  einen  der  wesentlichsten  Teile  der  wissen- 
schaftlichen mineralogischen  Forschung. 

{Des  CloizeaviXj  Memoire  sur  Temploi  du  microscope  polarisant.  Paris  1864  (ans : 
Aimales  des  mines  6.  ser.  Bd.  6).  Snr  Temploi  des  propri^t^s  optiqnes  bir^lrin- 
geantes  pour  la  d^termination  des  espöces  cristallis^es,  I  und  n.  (An.  d.  mines  6.  ser. 
Bd.  14.  1868  und  1859.)  NonveUes  recherches  snr  les  proprietes  optiqnes  d^ 
cristanx.  H6moires  des  savants  ^trangers  Bd.  13,  1867,  pag-.  511.  Ferner  die  Werke 
Ton:  Grailich,  Groth,  Liebisch,  Schabns,  Schranf  etc.  in  (3)  B.) 

Wenn  die  im  Polarisationsinstrament  zn  nntersnehenden  Elrystalle  gew5hnhch 
in  Form  planparalleler  Platten  angewandt  werden,  so  geschieht  dies,  damit 
das  senkrecht  zn  ihrer  Unterseite  einfaUende  nnd  an  ihrer  Oberseite  anstretende 
Licht  keinen  Intensitätsverlnst  dnrch  Totalreflexion  etc.  erleidet.  Solche  Platten  sind 
meist  mühsam  herznsteUen  nnd  oft  überhaupt  nicht  zn  erlangen.  Deshalb  verf&hit 
man  nach  dem  Vorgang  von  C  Klein  jetzt  oft  anch  zweckmäßigerweise  so,  daß 
man  die  unregelmäßig  begrenzten  Kdmer  der  betreffenden  Substanzen  m  kleinen 
Glasröhren  in  ein  in  der  Lichtbrechung  ihnen  möglichst  gleiches  flüssiges  Medium 
(Kaaadabalsam,  Methylenjodid  etc.)  hinein  und  mit  diesem  in  dasPolarisationsinstnunent 
bringt.  Die  Totalreflexion  und  der  dadurch  bedingte  Lichtverlnst  wird  so  bei- 
nahe vollständig  vermieden.  Das  zn  untersuchende  Mineral  wird  dabei  zweckmäßig 
an  einem  geeigneten  Drehapparat  befestigt,  der  erlaubt,  ihm  jede  denkbare  Lage 
gegen  die  einfallenden  Lichtstrahlen  zu  geben.  (Sitzungaber.  Berlin.  Akad.  1890, 
pag.  347  und  703.) 

231.   FolarisatioBsiiistrainent  fllr  koiiTergentes  Licht.     Ein 

voll  Mineralogen  vielgebrauchtes  Polarisationsinstrament  ist  Fig.  331 
abgebildet  Die  Einrichtung  für  konvergentes  Licht  ist  links^  die 
ftr  paralleles  Licht  rechts  dargestellt. 

Das  Polarisationsinstrnment  für  konvergentes  Licht  besteht  aus  einem  schweren 
MetaUfnI{,  auf  welchem  sich  die  dreiseitige  Säule  A  erhebt.  Längs  dieser  bewegt 
sich  der  Arm  B^  der  mittels  einer  Schraube  festgeklemmt  werden  kann,  nnd  der 
Arm  C,  der  sich  mittels  eines  Triebes  heben  und  senken  läßt.  An  dem  Arm  B  ist 
die  abwärts  gehende  cylindnsche  BiOure  g  befestigt,  in  der  sich  die  zweite  Bohre  f 
verschiebt  und  dreht  In  dieser  steckt  der  polarisierende  Micol  p  nnd  darüber  nnd 
darunter  je  eine  Linse  e  nnd  &,  deren  gemeinsamer  Brennpunkt  in  der  Mitte  von  p 
liegt.  In  dem  oberen  Teil  der  Bohre  ^  ist  ein  System  Ton  vier  SammeUinsen  n  von 
sehr  knrser  Brennweite  eingelassen,  die  zusammen  nnd  dicht  übereinander  in  eine 
kunee  MesiingrShre  gefaßt  sind,  mittels  welcher  man  sie  beliebig  aus  g  heranshebeii 


286  Polarisaticiiiaiiutnimente. 

nud  wieder  einaetEen  kann.    Daa  obere  Ende  von  g  ist  ferner  noch  nmg'eben  von 

einem  nm  die  Achae  des  Instnunents  drehbaren  Objekttiflch  l,  auf  weichem  oben  der 

ErjBtallti^er  k,  eine  Glasplatte,  lie^    Der  Objekttisch  l  hat  am  Kaade  bei  i  eine 

KrebteiloDg,  welche  Dber  den  mit  dem  Arm  B  fest  verbandenen  Noninakreis  k  sich 

A  hinwegpbewegt.    Die  Teilung  anf 

i  geht  Tou   rechte  nach  links. 

den  Uhrzeigern  entgegen,  wie  h 

rechts  oben  in  Fig.  331  zeigt 

In  der  Dnrchbohmng  dea 
oberen  Armes  G  bewegt  sich 
ebenfalls  eine  HessingriihTe  b, 
die  gerade  Fortaetcnng  von  g 
bildend.  Dieselbe  trägt  nnten 
ein  System  von  vier  Linaen  von 
kurzer  Brennweite  o,  welches 
dem  Linsensystem  n  ganz  gleich 
ist,  aber  die  Linsen  liegen  hier 
umgekehrt.  In  der  Brennebene 
dieser  Linaen  ist  ein  Olaamikro- 
meter  r  mit  einem  geteilten  und 
einem  darauf  senkrechten  onge- 
teilten  Arm.  In  der  Bflhre  b  ist 
die  Okalarrühre  v  mit  der  Okn- 
larlinse  t  verschiebbar.  Auf  ihr 
ist  der  analysierende  Nico!  q  auf- 
gesetzt, der  mit  seiner  Fassnng 
t  gedreht ,  aber  anch  beliebig 
aufgesetzt  nnd  abgenommen  wer- 
den kann.    Bei  t  ist  ein  Schlitz, 

in  welchem  eine  -y  A-Glimmer- 
platte  (32SJ  oder  ein  Qnarzkeil 
(240)  znr  Beatimmnng  des  Cha- 
rakters der  Doppelbrechong  (248, 
254)  oder  ein  dünnes  Oipapl&tt- 
chen  eingeschoben  werden  kann. 
Der  zu  beobachtende  Kryetall 
wird  anf  die  Glasplatte  k  des 
Objekttischea  gelegt;  zur  Er- 
zielnng  einea  mOglichat  großen 
Sehfelds  werden  ihm  die  Linsen 
n  und  0  möglichst  genähert. 
Die  Belenchtnng  geschieht  von 
nnten  durch  den  Spiegel  rS  (Lit 
Fig.  331.  siehe  (232)). 

Ein  sehr  viel  einfacheres,  aber  zn  vielen  Zwecken  sehr  gut  brauchbares  Polari- 
sationsinstnunent  ftkr  konvergentes  Licht  ist  die  Tumuüinzange.  Zwei  parallel 
der  Achse  geschnittene  Tnrmalinplatten  (319)  in  geeigneter  Fassung  werden  von 
einem  federnden  Draht  in  paralleler  Lage  nuammengehalten;  zwischen  beiden  wird 
die  zu  beobachtende  Erystallptatte  eingeklemmt.  Beide  Tnrmalinplatten  sind  in 
ihrer  Ebene  drehbar  und  die  Achsen  (Schwingnngs-  resp.  Folarisationsebenen)  beider 


Polarisationffliistnimente.  287 

können  daher  rechtwinklig  gekreuzt  oder  parallel  gestellt  werden.    Im  ersten  Fall 
ist  das  Sehfeld  dunkel,  im  letzteren  hell  (vergl.  (233)). 

282»  Polarisationgingtmraeiit  für  paralleles  Liebt*  Soll  das  Instrument 
fflr  Beohachtang  im  parallelen  Licht  eingerichtet  werden,  so  werden  (Fig.  331,  rechts)  die 
Linsen  n  ans  der  unteren  Bohre  herausgenommen  und  die  ohere  Bohre  b  wird  er- 
setzt durch  eine  andere  r,  welcher  die  Linsen  o  und  i  fehlen.  Der  analysierende 
Nicol  q  wird  auch  auf  diese  Bdhre  aufgesetzt,  und  die  Beleuchtung  geschieht  wieder 
mittels  des  Spiegels  8,  Durch  die  Drehung  und  Verschiebung  der  Bohren  können 
alle  erforderlichen  gegenseitigen  Stellungen  der  einzelnen  Teile,  namentlich  der 
Nicols  gegeneinander,  leicht  hergestellt  werden.  Eingeritzte  Marken  erleichtem  das 
Auffinden  dieser  Stellungen,  und  mit  Hilfe  yon  Klemmringen,  von  denen  einer  bei 
f*  abgebildet  ist,  können  die  einzelnen  Teile  des  Instruments  in  der  erforderlichen 
Lage  gegeneinander  festgestellt  werden.  Auch  mit  Erhitzungsyorrichtungen  yer- 
schiedener  Art  werden  die  Polarisationsinstrumente  für  paralleles  und  konvergentes 
Licht  nicht  selten  ausgestattet,  damit  man  auch  bei  höherer  Temperatur  die  optischen 
Eigenschaften  der  Mineralien  zu  untersuchen  im  stände  ist.  (Liebisch,  yergl.  (16) 
Beuschf  Pogg.  Ann.  92  und  Ber.  NaturL-Vers.  Karlsruhe  1868;  Bartin,  Ann.  chim. 
phys.  in.  s6r,  Bd.  69  pag.  78  j  7.  v.  Lang,  Carls  Bepertorium  Bd.  VII;  Groth, 
Pogg.  Ann.  144,  1871,  pag.  37 ;  Becke,  Tschermak,  Min.  Mitt.  Bd.  II,  1880,  pag.  430, 
femer  (230),  sowie  Brezina,  Des  Cloizeaux,  Groth,  Leiß,  Liebisch,  Binne  (3)  B.) 

2S3.  Wirknng  des  Folarisationsinstniments.  Fällt  gewöhn- 
liches Licht  anf  den  Spiegel  S  des  Polarisationsinstraments  f&r  ianver- 
gentes  Lieht  (Fig.  331,  links),  so  gelangen  die  Strahlen  zunächst  von  S  auf 
die  Linse  e,  von  welcher  sie  nach  ihrem  Brennpunkt  in  der  Mitte  des 
polarisierenden  Nicols  p  konzentriert  werden.  Nach  Durchstrahlung 
dieses  Nicols  fallen  sie  divergierend  auf  die  mit  e  ganz  gleiche 
Linse  ^,  deren  Brennpunkt  mit  dem  der  Linse  e  in  der  Mitte  des 
Nicols  p  zusammenfällt  und  von  welcher  aus  sie  als  ein  mit  der 
Achse  des  Instruments  paralleles  Strahlenbündel  auf  das  Linsen- 
system n  gelangen.  Hier  werden  sie  sehr  stark  nach  oben  konvergent 
gemacht,  so  daß  sie  aus  der  obersten,  kleinen  Linse  n  als  ein  sehr 
stumpfer  Kegel  austreten,  dessen  Spitze  unmittelbar  über  dieser  Linse 
liegt  und  eventueU  in  eine  auf  die  Linse  (resp.  den  Krystallträger) 
gelegte  Erystallplatte  fällt.  In  diese  tritt  das  Licht  an  der  Unter- 
seite konvergierend  ein  und  aus  ihr  an  der  Oberseite  unter  demselben 
Winkel  divergierend  aus,  so  daß  es  in  einem  ebenso  stumpfen  Kegel, 
als  welcher  es  die  Linsen  n  verlassen  hatte,  nun  auf  die  Linsen  o 
fällt  Von  diesen  werden  die  Strahlen  wieder  der  Achse  des  Instru- 
ments parallel  gemacht  und  fallen  so  auf  die  Linse  t,  welche  die 
Strahlen  wieder  konvergierend  durch  den  analysierenden  Nicol  q 
und  dann  ins  Auge  sendet.  Bei  den  meisten  Beobachtungen  sind 
die  Nicols  gekreuzt,  d.  h.  ihre  Schwingungsebenen  machen  90^ 
miteinander,  und  dies  wird  im  folgenden  als  Normalstellung  an- 
genommen. Die  Nicols  erhalten  dabei  eine  ganz  bestimmte  Stellung 
im  Instrument,   und  die   Lage  ihrer   Schwingungsrichtungen   wird 


288  PoiarisationsiiiBtrameBte. 

durch  die  beiden  Krenzfäden  kenntlich  nnd  unmittelbar  sichtbar  ge- 
macht. Bei  dieser  Anordnung  ist  das  Sehfeld  dunkel,  denn  die  von 
dem  Nicol  jp  kommenden  Strahlen  können  weder  ganz  noch  zum  Teil 
durch  den  oberen  Nicol  q  hindurch  gehen  und  in  das  Auge  gelangen. 
Sind  beide  Nicols  parallel,  so  ist  das  Sehfeld  hell,  da  nun  die  von  p 
kommenden  Schwingungen  ungehindert  durch  q  hindurch  gehen  können. 
Bei  einer  Kreuzung  der  Schwingungsebenen  unter  irgend  einem  Winkel 
findet  eine  teilweise  Aufhellung  statt.  Bei  einer  vollen  Drehung  des 
oberen  Nicols  um  360^  erhält  man  also  abwechselnd  je  zweimal  völlige 
Aufhellung  und  Verdunklung  des  Sehfelds  mit  ganz  allmählichen 
Übergängen.  Man  beobachtet  im  konvergenten  polarisierten  Licht 
hauptsächlich  Krystallplatten  senkrecht  zu  den  optischen  Achsen  und 
Mittellinien  und  erhält  dabei  die  Interferenzerscheinungen,  welche  in 
(246),  (247),  (250)  etc.  beschrieben  werden,  mittels  deren  die  Lage  der 
optischen  Achsen  im  Erystall,  der  Charakter  der  Doppelbrechung,  die 
Größe  des  Achsenwinkels  etc.  bestimmt  wird. 

In  dem  Folarisationsinstrument  für  paralleles  Licht  (Fig.  331,  rechts) 
gehen  die  von